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2.2.2平面和平面平行的判定定理


复习提问:

空间中

1、两直线的位置关系 平行、相交、异面 2、直线和平面的位置关系 平行、相交、在平面内
3、平面间的位置关系

二层楼房示意图

一.两个平面的位置关系
1、两个平面相交
————

有一条公共直线

两个平面平行 ——没有公共点;

2、 画法: 命题: 若一个平面内的所有直线都和另一 ? 个平面平行,则这两个平面平行
?

?
? // ?
?
?
O

?

(2)不正确画法 ? ?? ? l

3.由两个平面平行的定义可得: A.如果两个平面平行,那么在其中一个平面 内的所有直线一定都和另一个平面平行; B. 反过来,如果一个平面内的所有直线都 和另一个平面平行,那么这两个平面平行.

练习1、
(1)若 ? // ? , a ? ? , b ? ? ,则直线a、 b的位置关系如何?
b

β

α

a

(2)若 ? // ? , a ? ? , 则直线a与平面 β的位置关系如何?
a

α

β

(3)若 ? // ? , a // ? , 则直线a与平面 β的位置关系如何?
a

α

β

(4)若α∥β,且α与γ相交,则β 与γ的位置关系如何?

α

β

γ

(5)若 a ? ? , 且a // ? ,则α与β一 定平行吗?

a β α

问题讨论

1、建筑师如何检验屋顶平面是否 与水平面平行?

2、如果平面α内的任意直线都平 行于平面β,则α∥β吗?

α

β

3、若平面α内有一条直线a平行 于平面β,则能保证α∥β吗?
a β α

4、若平面α内有两条直线a、b都 平行于平面β,能保证α∥β吗?
a b α β β α b a

二、平面与平面平行 1、判定定理: 如果一个平面内有两 条相交直线分别平行于另一个平面, 那么这两个平面平行.

?
?

P a b

线不在多, 重在相交.

c

练习2、判断下列命题是否正确? (1)平行于同一条直线的两平面平行

(×)
α a β

(2)若平面α内有两条直线都平 行于平面β,则α∥β. (×)
a

b
α β

(3)若平面α内有无数条直线都 平行于平面β,则α∥β. (×)

α

β

(4)过平面外一点,只可作1个平面 与已知平面平行 (√)

(5)设a、b为异面直线,则存在 平面α、β,使 a ? ? , b ? ?且? // ? .

(√)
α
b a

β

例1、已知 正方体 ABCD? A1B1C1D1

求证: 平面AB1C//平面A1C1D 如图:
D1

C1

A1 D

B1 C B

A

例2、点P是△ABC所在平面外一点,
A’,B’,C’分别是△PBC 、 △PCA、 △PAB的重心. 求证:平面A’B’C’//平面ABC
P
B’
A’

A

C’

C
E

F
B

D

练习1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1
P,Q, R,分别为A1A,AB,AD的中点 求证:平面PQR∥平面CB1D1.
分析:连结A1B,
PQ∥ A1B
P
R Q

A1B ∥CD1
故PQ∥CD1 同理可得,……

练习2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
M、N、P分别是AD1、BD和B1C的中点, 求证:平面MNP∥平面CC1D1D.
D1
A1
M

C1
E
B1

F

D
N

P B

C

A

练习3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中, M、N、E、F分别是棱A1B1,A1D1,C1D1, B1C1的中点,求证:(1)E、F、B、D四 点共面; (2)平面AMN∥平面BDEF.
D1 N A1 D O A B P M E Q B1 F C C1


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