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高三数学第一轮复习阶段性测试题4-三角函数与三角形


阶段性测试题四(三角函数与三角形)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的。) 1.(2011· 宁夏银川一中检测)y=(sinx+cosx)2-1 是( )

A.最小正周期为 2π 的偶函数 B.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的奇函数 [答案] D [ 解析 ] y= (sinx+ cosx)2 - 1= 2sinxcosx= sin2x,所以函数 y=

(sinx+cosx)2-1 是最小正周期为 π 的奇函数. 2.(2011· 宁夏银川月考、山东聊城一中期末)把函数 y=sin(ωx+ π φ)(ω>0,|φ|<π)的图象向左平移6个单位,再将图像上所有点的横坐标 伸长到原来的 2 倍( 纵坐标不变 )所得的图象解析式为 y= sinx ,则 ( ) π A.ω=2,φ=6 1 π C.ω=2,φ=6 [答案] B [分析] 函数 y=sin(ωx+φ)经过上述变换得到函数 y=sinx,把 函数 y=sinx 的图象经过上述变换的逆变换即可得到函数 y=sin(ωx +φ)的图象. 1 [解析] 把 y=sinx 图象上所有点的横坐标缩小到原来的2倍得到 π B.ω=2,φ=-3 1 π D.ω=2,φ=12

π 的函数解析式是 y=sin2x,再把这个函数图象向右平移6个单位,得 π? π? ? ? 到的函数图象的解析式是 y=sin2?x-6?=sin?2x-3?,与已知函数比
? ? ? ?

π 较得 ω=2,φ=-3. [点评] 本题考查三角函数图象的变换,试题设计成逆向考查的 方式更能考查出考生的分析解决问题的灵活性, 本题也可以根据比较 系数的方法求解,根据已知的变换方法,经过两次变换后函数 y=
?ωx ωπ ? sin(ωx+φ)被变换成 y=sin? 2 + 6 +φ?比较系数也可以得到问题的 ? ?

答案. 3. (2011· 辽宁沈阳二中阶段检测)若函数 f(x)=sinωx+cosωx(ω>0) 的最小正周期为 1,则它的图像的一个对称中心为(
? π ? A.?-8,0? ? ? ?π ? B.?8,0? ? ? ? ? π ? D.?-4,0? ?

)

C.(0,0) [答案] A

[分析] 把函数化为一个角的一种三角函数,根据函数的最小正 周期求出 ω 的值, 根据对称中心是函数图象与 x 轴的交点进行检验或 直接令 f(x)=0 求解. [解析] π? ? f(x)=sinωx+cosωx= 2sin?ωx+4?,这个函数的最小正
? ?

2π 2π 周期是 ω ,令 ω =1,解得 ω=2,故函数 f(x)=sinωx+cosωx= 2 π? ? ? π ? sin?2x+4?,把选项代入检验知点?-8,0?为其一个对称中心.
? ? ? ?

[点评] 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的对称中心,就是函数图象

与 x 轴的交点. 4. (2011· 江西南昌市调研)已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m(A>0, ω>0) π π 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为2,直线 x=3是其图象的 一条对称轴,则符合条件的函数解析式是( π? ? A.y=4sin?4x+6?
? ?

)
? ?

π? ? B.y=2sin?2x+3?+2 π? ? D.y=2sin?4x+6?+2
? ?

π? ? C.y=2sin?4x+3?+2
? ?

[答案] D [解析] 由最大值为 4,最小值为 0 得
? ? ?A+m=4 ?A=2 ? ,∴? , ?-A+m=0 ? ? ?m=2

π 2π π 又因为正周期为2,∴ ω =2,∴ω=4,∴函数为 y=2sin(4x+φ) π π π +2,∵直线 x=3为其对称轴,∴4×3+φ=2+kπ,k∈Z,∴φ=kπ 5π π - 6 ,取 k=1 知 φ=6,故选 D. π? ? 5.(文)(2011· 北京朝阳区期末)要得到函数 y=sin?2x-4?的图象,
? ?

只要将函数 y=sin2x 的图象( π A.向左平移4个单位 π C.向右平移8个单位 [答案] C

) π B.向右平移4个单位 π D.向左平移8个单位

π? π? ? ? [解析] y=sin?2x-4?=sin2?x-8?,故只要将 y=sin2x 的图象向
? ? ? ?

π 右平移8个单位即可.因此选 C. (理)(2011· 东北育才期末)已知 a=(cosx,sinx),b=(sinx,cosx), 记 f(x)=a· b,要得到函数 y=cos2x-sin2x 的图像,只需将函数 y=f(x) 的图像( ) π B.向右平移2个单位长度 π D.向右平移4个单位长度

π A.向左平移2个单位长度 π C.向左平移4个单位长度 [答案] C

[解析] f(x)=a· b=cosxsinx+sinxcosx=sin2x,y=cos2x-sin2x= π? ?π ? ? π cos2x=sin?2+2x?=sin2?x+4?, 可将 f(x)的图象向左平移4个单位长度
? ? ? ?

得到,故选 C. 6.(文)(2011· 北京西城区期末)已知△ABC 中,a=1,b= 2,B =45° ,则角 A 等于( A.150° C.60° [答案] D 1 2 1 [解析] 根据正弦定理得sinA=sin45° ,∴sinA=2, ∵a<b,∴A 为锐角,∴A=30° ,故选 D. (理)(2011· 福州期末)黑板上有一道解答正确的解三角形的习题, 一位同学不小心把其中一部分擦去了,现在只能看到:在△ABC 中, 角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a=2,……,解得 b= 6. 根据以上信息, 你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条 ... 件 ( . ) ) B.90° D.30°

A.A=30° ,B=45° C.B=60° ,c=3 [答案] D

1 B.c=1,cosC=3 D.C=75° ,A=45°

[分析] 可将选项的条件逐个代入验证. 2 6 [解析] ∵sin30° ≠sin45° ,∴A 错; a2+b2-c2 4+6-1 1 ∵cosC= 2ab = ≠3,∴B 错; 4 6 a2+c2-b2 4+9-6 7 ∵ 2ac = 12 =12≠cos60° , ∴C 错,故选 D. 7.(文)(2011· 黄冈市期末)已知函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的一部分 π 图象如图所示,如图 A>0,ω>0,|φ|<2,则( )

π A.φ=-6 π C.φ=3 [答案] D

π B.φ=-3 π D.φ=6

? ? ?A+b=4 ?A=2 [解析] 由图可知? ,∴? , ?-A+b=0 ? ? ?b=2

T 5π π π 又4=12-6=4,∴T=π,∴ω=2,
?5π ? ?5π ? ∴y=2sin(2x+φ)+2, 将?12,2?代入得 sin? 6 +φ?=0, 结合选项 ? ? ? ?

知选 D. (理)(2011· 蚌埠二中质检)函数 y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函 数,该函数的部分图象如右图所表示,A、B 分别为最高与最低点, 并且两点间的距离为 2 2,则该函数的一条对称轴为( )

2 A.x=π C.x=1 [答案] C

π B.x=2 D.x=2

π [解析] ∵函数 y=cos(ωx+φ)为奇函数,0<φ<π,∴φ=2,∴函 数为 y=-sinωx,又 ω>0,相邻的最高点与最低点 A、B 之间距离为 π π π π 2 2,∴ω=2,∴y=-sin2x,其对称轴方程为2x=kπ+2,即 x=2k +1(k∈Z),令 k=0 得 x=1,故选 C.
?3π ? 3 π 8. (文)(2011· 安徽百校联考)已知 cos? 2 -φ?= 2 , 且|φ|<2, 则 tanφ ? ?

等于(

) 3 B. 3 D.- 3

3 A.- 3 C. 3 [答案] D

?3π ? 3 3 [解析] 由 cos? 2 -φ?= 2 得,sinφ=- 2 , ? ?

π 1 又|φ|<2,∴cosφ=2,∴tanφ=- 3.
?π ? 4 ( 理 )(2011· 山 东 日 照 调 研 ) 已 知 cosα = - 5 且 α ∈ ?2,π? , 则 ? ?

π? ? tan?α+4?等于(
? ?

) B.-7 D.7

1 A.-7 1 C.7 [答案] C

4 π [解析] ∵cosα=-5,2≤α≤π, 3 3 ∴sinα=5,∴tanα=-4, 3 -4+1 π? ? 1 ∴tan?α+4?= = = π 7,故选 C. ? 3? ? ? 1-tanα· tan4 1-?-4?×1 ? ? 9.(2011· 巢湖质检)如图是函数 y=sin(ωx+φ)的图象的一部分, →· → A, B 是图象上的一个最高点和一个最低点, O 为坐标原点, 则OA OB 的值为( ) π tanα+tan4

1 A.2π 1 C.9π2-1

1 B.9π2+1 1 D.3π2-1

[答案] C T 5π π π [解析] 由图知4=12-6=4,∴T=π, ∴ω=2,∴y=sin(2x+φ),
? π ? ? π ? 将点?-12,0?的坐标代入得 sin?-6+φ?=0, ? ? ? ?

π ∴φ=6,
?π ? ?2π ? →· → =π -1,故选 C. ∴A?6,1?,B? 3 ,-1?,∴OA OB 9 ? ? ? ?
2

π 10. (2011· 潍坊一中期末)已知函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[-3, π 4]上的最大值是 2,则 ω 的最小值等于( 2 A.3 C.2 [答案] C
?π? π [解析] 由条件知 f?4?=2sin4ω=2,∴ω=8k+2,∵ω>0,∴ω ? ?

)

3 B.2 D.3

最小值为 2. 2sin2α+1 11.(文)(2011· 烟台调研)已知 tanα=2,则 sin2α =( 5 A.3 13 C. 5 [答案] D 2sin2α+1 3sin2α+cos2α 3tan2α+1 13 [解析] ∵tanα=2, ∴ sin2α = 2sinαcosα = 2tanα = 4 . 13 B.- 4 13 D. 4 )

tan10° +tan50° +tan120° (理)(2011· 四川广元诊断) 的值应是( tan10° · tan50° A.-1 C.- 3 [答案] C [解析] tan?10° +50° ??1-tan10° tan50° ?-tan60° 原式= tan10° tan50° = 3- 3tan10° tan50° - 3 =- 3. tan10° tan50° B.1 D. 3

)

12.(2011· 温州八校期末)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长 a b c 分别为 a、b、c,设命题 p:sinB=sinC=sinA,命题 q:△ABC 是等 边三角形,那么命题 p 是命题 q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] C a b c [解析] ∵sinB=sinC=sinA, sinA sinB sinC ∴由正弦定理得sinB=sinC=sinA, ∴sinA=sinB=sinC,即 a=b=c,∴p?q,故选 C. ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确 答案填在题中横线上) 13.(文)(2011· 山东日照调研)在△ABC 中,若 a=b=1,c= 3, 则∠C=________.

[答案]

2π 3

a2+b2-c2 1+1-3 1 2π [解析] cosC= 2ab = 2 =-2,∴C= 3 . π (理)(2011· 四川资阳模拟)在△ABC 中, ∠A=3, BC=3, AB= 6, 则∠C=________. π [答案] 4 [解析] 由正弦定理得 6 2 = ,∴ sin C = π sinC 2 ,∵AB<BC,∴ sin3 3

π C<A,∴C=4. 14.(2011· 山东潍坊一中期末)若 tanα=2,tan(β-α)=3,则 tan(β -2α)的值为________. 1 [答案] 7 [解析] tan(β-2α)=tan[(β-α)-α] = tan?β-α?-tanα 3-2 1 = =7. 1+tan?β-α?· tanα 1+3×2
? ?

π? ? 15. (2011· 安徽百校论坛联考)已知 f(x)=2sin?2x-6?-m 在 x∈[0, π 2]上有两个不同的零点,则 m 的取值范围是________. [答案] [-1,2] π π [解析] f(x)在[0,2]上有两个不同零点,即方程 f(x)=0 在[0,2] 上有两个不同实数解, π? ? π ∴y=2sin?2x-6?,x∈[0,2]与 y=m 有两个不同交点,
? ?

π π π 5π ∵0≤x≤2,∴-6≤2x-6≤ 6 , 1 π ∴-2≤sin(2x-6)≤1,∴-1≤y≤2,∴-1≤m≤2. 16.(2011· 四川广元诊断)对于函数 f(x)=2cos2x+2sinxcosx-1(x π 5π ∈R)给出下列命题:①f(x)的最小正周期为 2π;②f(x)在区间[2, 8 ] π 上是减函数;③直线 x=8是 f(x)的图像的一条对称轴;④f(x)的图像 π 可以由函数 y= 2sin2x 的图像向左平移4而得到.其中正确命题的序 号是________(把你认为正确的都填上). [答案] ②③ [解析] π? ? f(x)=cos2x+sin2x= 2sin?2x+4?,最小正周期 T=π;
? ?

π π 3π π 5π 由 2kπ+2≤2x+4≤2kπ+ 2 (k∈Z)得 kπ+8≤x≤kπ+ 8 ,故 f(x)在区 π 5π π π π π 间[2, 8 ]上是减函数;当 x=8时,2x+4=2,∴x=8是 f(x)的图象的 π 一条对轴称;y= 2sin2x 的图象向左平移4个单位得到的图象对应函 π? π? ? ? 数为 y= 2sin2?x+4?,即 y= 2sin?2x+2?,因此只有②③正确.
? ? ? ?

三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)(2011· 烟台调研)向量 m=(a+1,sinx),n π =(1,4cos(x+6)),设函数 g(x)=m· n(a∈R,且 a 为常数). (1)若 a 为任意实数,求 g(x)的最小正周期; π (2)若 g(x)在[0,3)上的最大值与最小值之和为 7,求 a 的值.

π [解析] g(x)=m· n=a+1+4sinxcos(x+6) = 3sin2x-2sin2x+a+1 = 3sin2x+cos2x+a π =2sin(2x+6)+a π (1)g(x)=2sin(2x+6)+a,T=π. π π π 5π (2)∵0≤x<3,∴6≤2x+6< 6 π π π 当 2x+6=2,即 x=6时,ymax=2+a. π π 当 2x+6=6,即 x=0 时,ymin=1+a, 故 a+1+2+a=7,即 a=2. 18 . ( 本小题满分 12 分 )(2011· 四川资阳模拟 ) 已知函数 f(x) = π Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在 x=6取得最大值 2,方程 f(x)=0 的 两个根为 x1、x2,且|x1-x2|的最小值为 π. (1)求 f(x); 1 (2)将函数 y=f(x)图象上各点的横坐标压缩到原来的2,纵坐标不 π π 变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)在[-4,4]上的值域. 2π [解析] (1)由题意 A=2,函数 f(x)最小正周期为 2π,即 ω =2π, ∴ω=1.
?π? 从而 f(x)=2sin(x+φ),∵f?6?=2, ? ? ?π ? π π π ∴sin?6+φ?=1,则6+φ=2+2kπ,即 φ=3+2kπ, ? ?

π? ? π ∵0<φ<π,∴φ=3.故 f(x)=2sin?x+3?.
? ?

π? ? (2)可知 g(x)=2sin?2x+3?,
? ?

π π π π 5π 当 x∈[-4,4]时,2x+3∈[-6, 6 ],则 π? ? 1 sin?2x+3?∈[-2,1],
? ?

故函数 g(x)的值域是[-1,2]. 19.(本小题满分 12 分)(2011· 山西太原调研)在△ABC 中,A、B、 A+B C 的对边分别为 a、 b、 c, 已知 a+b=5, c= 7, 且 4sin2 2 -cos2C 7 =2. (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积. A+B 7 C [解析] (1)∵A+B+C=180° , 4sin2 2 -cos2C=2.∴4cos2 2 - 7 cos2C=2, 1+cosC 7 ∴4· 2 -(2cos2C-1)=2, 1 ∴4cos2C-4cosC+1=0,解得 cosC=2, ∵0° <C<180° ,∴C=60° . (2)∵c2=a2+b2-2abcosC, ∴7=(a+b)2-3ab,解得 ab=6. 1 1 3 3 3 ∴S△ABC=2absinC=2×6× 2 = 2 . 20 . ( 本小题满分 12 分 )(2011· 辽宁大连联考 ) 已知函数 f(x) =

π Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2)的部分图象如图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式;
?α? 4 π (2)若 f?2?=5,0<α<3,求 cosα 的值. ? ?

[解析] (1)由图象知 A=1
?5π π? 2π f(x)的最小正周期 T=4×?12-6?=π,故 ω= T =2 ? ? ?π ? ?π ? 将点?6,1?代入 f(x)的解析式得 sin?3+φ?=1, ? ? ? ?

π π 又|φ|<2,∴φ=6 π? ? 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=sin?2x+6?
? ?

π? 4 ?α? 4 ? π (2)f?2?=5,即 sin?α+6?=5,又 0<α<3,
? ? ? ?

π? 3 ? π π π ∴6<α+6<2,∴cos?α+6?=5.
? ?

π π 又 cosα=[(α+6)-6] π? π π? π 3 3+4 ? ? =cos?α+6?cos6+sin?α+6?sin6= 10 . ? ? ? ? 21.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 浙江宁波八校联考)A、B 是单 位圆 O 上的动点,且 A、B 分别在第一、二象限,C 是圆 O 与 x 轴正 半轴的交点,△AOB 为等腰直角三角形.记∠AOC=α.

sin α+sin2α ?3 4? (1)若 A 点的坐标为?5,5?,求 2 的值; ? ? cos α+cos2α (2)求|BC|2 的取值范围. 4 5 4 [解析] (1)∵tanα=3=3, 5 tan2α+2tanα ∴原式= =20. 2-tan2α π π (2)A(cosα,sinα),B(cos(α+2),sin(α+2)),且 C(1,0) π π |BC|2=[cos(α+2)-1]2+sin2(α+2)=2+2sinα π? ? 而 A,B 分别在第一、二象限,α∈?0,2?,
? ?

2

∴|BC|2 的取值范围是(2,4). (理)(2011· 华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)A、B、 C 为 △ ABC 的 三 个 内 角 , 且 其 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 若 m = A A? A A? ? ? 1 ?-cos ,sin ?,n=?cos ,sin ?,且 m· n = 2 2? 2 2? 2. ? ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a=2 3,三角形面积 S= 3,求 b+c 的值. A A 1 [解析] (1)m· n=-cos2 2 +sin2 2 =-cosA=2, 1 ∴cosA=-2,∵A∈(0° ,180° ),∴A=120° .

1 (2)S△ABC=2bcsin120° = 3 ∴bc=4, 又∵a2=b2+c2-2bccos120° =b2+c2+bc=(b+c)2-bc=12, ∴b+c=4. 22.(本小题满分 12 分)(2011· 黑龙江哈六中期末)在△ABC 中, π 内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C=3. (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积. [解析] (1)由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4,又因为△ 1 ABC 的 面积 等于 3 , 所以 2 absinC = 3 ,得 ab = 4. 联 立方程 组
?a2+b2-ab=4, ? ? 解得 a=2,b=2. ? ?ab=4,

(2)由题意得 sin(B+ A)+sin(B- A)=4sinAcosA,即 sinBcosA= 2sinAcosA, π π 4 3 2 3 当 cosA=0 时,A=2,B=6,a= 3 ,b= 3 , 当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,由正弦定理得 b=2a,联立方程
?a2+b2-ab=4, ? 组? ? ?b=2a,

2 3 4 3 解得 a= 3 ,b= 3 . 1 2 3 所以△ABC 的面积 S=2absinC= 3 .


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