▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
北京市人大附中 2012 届高三数学尖子生专题训练：概率
I卷
一、选择题
1． 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷 1000 次，那么第 999 次出现正面朝上的概
率是
(）
A． 1 999
B． 1 1000
C． 999 1000
D． 1 2
【答案】D
2．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球 3 次，一旦发球成功，则
停止发球，否则一直发到 3 次为止．设学生一次发球成功的概率为 p(p≠0)，发球次
数为 X，若 X 的数学期望 E(X)>1.75，则 p 的取值范围是( )
A．(0，172)
B．(172，1)
1 C．(0，2)
1 D．(2，1)
【答案】C
3．一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超
过 1 的概率为( )
A．1－
3π 12
B．1－
3π 24
C．
3π 12
【答案】B
D．
3π 24
4． 数据 a1, a2 , a3,..., an 的方差为? 2 ，则数据 2a1, 2a2 , 2a3,..., 2an 的方差为（ ）
A． ? 2 2
B．? 2
C． 2? 2
D． 4? 2
【答案】D
5．在线段 0，3 上任取一点，则此点坐标大于 1 的概率是（ ）
A． 3 4
B． 2 3
C． 1 2
D． 1 3
【答案】B
6．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a，从{1,2,3}中随机选取一个数为 b，则 b>a 的概
率是( )
A．45
B．35
2 C．5
1 D．5
【答案】D
7．一台 X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 0.8，有 4 台这种型号的自 动机床各自独立工作，则在一小时内至多 2 台机床需要工人照看的概率是（ ）
A． 0.1536
B． 0.1808
C． 0.5632
D． 0.9728
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓
▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
【答案】D
8．甲乙两人一起去游“2011 西安世园会”，他们约定，各自独立地从 1 到 6 号景点中任
选 4 个进行游览，每个景点参加 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是
()
1 A．36
1 B．9
C．356
D．16
【答案】D
9．在 1 万平方公里的海域中有 40 平方公里的大陆架贮藏着石油，假若在海域中任意一点
钻探，那么钻到油层面的概率是
(）
A． 1 40
【答案】C
B． 1 25
C． 1 250
D． 1 500
10．随机变量 Y～ B(n, p) ，且 E(Y ) ? 3.6 , D(Y ) ? 2.16 ，则此二项分布是 ( ）
A． B(4, 0.9) B． B(9, 0.4)
C． B(18, 0.2) D． B(36, 0.1)
【答案】B
11．给出下列四个命题： ①15 秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流
量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
12． 某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动．从 2 道文史题和 3 道理科题中不放
回依次抽取 2 道题，在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为（ ）
A． 9 25
【答案】D
B． 6 25
C． 3 10
D． 1 2
13．锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个，花生馅汤圆 5 个，豆沙馅汤圆 4 个，这三种汤圆的外部特
征完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆，则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为（ ）
A． 8 91
【答案】C
B． 25 91
C． 48 91
D． 60 91
14． 如图，在一个长为? ，宽为 2 的矩形 OABC 内，曲线 y ? sin x ?0 ? x ? ? ? 与 x 轴围
成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC 内随机投一点（该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的），则所
在阴影部分的概率是（ ）
投的点落
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓
▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
4 A． ?
【答案】B
3 B． ?
2 C． ?
1 D． ?
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓
▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
II 卷
二、填空题
15．100 件产品中有 5 件次品，不放回地抽取 2 次，每次抽 1 件.已知第 1 次抽出的是次
品，则第 2 次抽出正品的概率是
.
【答案】 95 99
16．边长为 2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落在圆及正方
形夹的部分的概率是___________________。
【答案】 (4 ? ? )a2
17．已知函数 f(x)＝x2＋bx＋c，其中 0≤b≤4,0≤c≤4，记函数 f(x)满足条件
?f(2)≤12 ??f(－2)≤4
为事件 A，则事件 A 发生的概率为________．
【答案】12
18． 在第 1,3,5,8 路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)，有 1
位乘客等候第 1 路或第 3 路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，求首先
到站正好是这位乘客所要乘的汽车的概率为________．
【答案】
1 2
19．从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率
是________．
【答案】13
20．在平面区域中任取一点，记事件“该点落在其内部一个区域 d 内”为事件 A，则事件
A
P( A) 发生的概率为
?
d的面积 D的面积
。在边长为
2
的正方形
ABCD
内任取一点，使得
?APB ? 90? 的概率为
。
8?? 【答案】 8
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓
▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
三、解答题 21．如图，在边长为 25cm 的正方形中挖去边长为 23cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀
的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？
【答案】因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的 所以符合几何概型的条件。 设 A＝“粒子落在中间带形区域”则依题意得 正方形面积为：25×25＝625 两个等腰直角三角形的面积为：2× 1 ×23×23＝529
2 带形区域的面积为：625－529＝96 ∴ P（A）＝ 96
625 22．某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级
20 名学生某次考试成绩(百分制)如下表所示：
某数学成绩 90 分(含 90 分)以上为优秀，物理成绩 85 分(含 85 分)以上为优秀． (1) 根据上表完成下面的 2×2 列联表：
(2)根据题(1)中表格的数据计算，有多少的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间 有关系？
(3)若按下面的方法从这 20 人中抽取 1 人来了解有关情况：将一个标有数字 1,2,3,4,5,6 的正六面体骰子连续投掷两次，记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序 号．试求：①抽到 12 号的概率；②抽到“无效序号(序号大于 20)”的概率．
【答案】(1)表格为
(2)提出假设 H0：学生的数学成绩与物理成绩之间没有关系．
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓
▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
根据上述列联表求得 k＝206(×5×141×2－7×1×132)2≈8.802.
当 H0 成立时，K2(χ 2)>6.635 的概率约为 0.01，而这里 8.802>6.635， 所以我们有 99%的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系．
(3)①抽到 12 号的概率为 P1＝346＝19；
②抽到“无效序号”的概率为 P2＝366＝16．
23．某同学参加语文、数学、英语 3 门课程的考试。假设该同学语文课程取得优秀成绩
的概率为 4 ，数学、英语课程取得优秀成绩的概率分别为 m, n(m ? n) ，且该同学 3 5
门课程都获得优秀的概率为 24 ，该同学 3 门课程都未获得优秀的概率为 6 ，且不
125
125
同课程是否取得优秀成绩相互独立.
(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(Ⅱ) 记? 为该生取得优秀成绩的课程门数，求? 的分布列及数学期望 E? .
【答案】设事件 Ai 表示：该生语文、数学、英语课程取得优异成绩， i ? 1,2,3 。
由题意可知
P( A1 )
?
4 5
，
P( A2
)
?
m
，
P( A3
)
?
n
(I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件"? ? 0" 是对立的，所以该
生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是
1 ? P(? ? 0) ? 1 ? 6 ? 119 125 125
(II）由题意可知， P(?
?
0)
?
_
P( A1?
_
A2 ?
_
A3 )
?
(1 ?
4)(1 ? 5
m)(1 ?
n)
?
6 125
；
P(?
?
3)
?
P( A1
?
A2
?
A3 )
?
4 5
mn
?
24 125
；
解得 m ? 3 ， n ? 2 (m ? n) 。
5
5
__ _
_ __
P(? ? 1) ? P( A1 ? A2 ? A3 ? A1? A2 ? A3 ? A1? A2 ? A3 )
? 4 (1 ? m)(1 ? n) ? 1 m(1 ? n) ? 1 (1 ? m)n ? 37
5
5
5
125
P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? 58 ； 125
? ? 的分布列为
?
0
1
2
3
P
6
37
58
24
125
125
125
125
所以数学期望
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓
▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
E? ? 0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? 2 ? P(? ? 2) ? 3? P(? ? 3) ? 9 5
24．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有 10 个不同的题目，其中选择题 6 个，判断题 4 个，甲、乙二人依次各抽一题，计算： (1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ (2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
P( A) ? C61 ? C41 ? 4
【答案】（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率
A120
15 ；
(2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率
P(B)
?
A62
? C61 ? C41 ? C41 ? C61 A120
? 13 15
25．有编号为 A1，A2，…，A10 的 10 个零件，测量其直径（单位：cm)，得到
(1)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (2)从一等品零件中,随机抽取 2 个. (ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ⅱ)求这 2 个零件直径相等的概率. 【答案】(1)由所给数据可知,一等品零件共有 6 个. 设“从 10 个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件 A， 则 P（A）= 6 ? 3 .
10 5 (2)(ⅰ)一等品零件的编号为 A1，A2，A3，A4，A5，A6.从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个，所有可能的结果有： {A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4}, {A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共有 15 种. (ⅱ)“从一等品零件中，随机抽取的 2 个零件直径相等”（记为事件 B）的所有可能 结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5},{A3,A5},共有 6 种. 所以 P（B）= 6 ? 2 .
15 5 26．有两个不透明的箱子，每个箱子里都装有 4 个完全相同的小球，球上分别标有数字
1，2，3，4 (1）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球， 谁摸出的球上标的数字大谁获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；
(2）摸球方法与（1）相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标 数字不同则乙获胜，这样规定公平吗？
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓
▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
【答案】（1）用 (x, y) （ x 表示甲摸到的数字， y 表示乙摸到的数字）表示甲乙各摸
到一球构成的基本事件有：（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（2,1）（2,2）（2,3）（2,4） （3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（4,1）
(4,2）（4,3）（4,4）共有 16 个 设甲获胜的事件为 A ，则事件 A 包括的基本事件为（2,1）（3,1）（3,2）（4,1） (4,2）（4,3）共有 6 个，
P( A) ? 6 ? 3
3
16 8 答：甲获胜的概率为 8
(2）设甲获胜的事件为 B ，乙获胜的事件为 C ，事件 B 所包含的基本事件为（1,1）
（2,2）（3,3）（4,4）共有 4 个，
P(B) ? 4 ? 1 P(C) ? 1 ? 4 ? 3
则
16 4 ，
16 4 ，
P(B) ? P(C) ，所以不公平
2 7 ．我校开设甲、乙、丙三门校本选修课程，学生是否选修哪门课互不影响.己知某学生选修 甲而不选修乙和丙的概率为 0.08,选修甲和乙而不选修丙的概率是 0.12,至少选修一门的 概率是 0. 88.
(2) 求学生李华选甲校本课程的概率；
(3) 用 表示该学生选修的校本课程门数和没有选修的校本课程门数的乘积，求 的分布列和
数学期望. 【答案】
28．已知向量 a＝(2,1)，b＝(x，y)． (1)若 x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量 a∥b 的概率； (2)若 x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量 a，b 的夹角是钝角的概率． 【答案】(1)设“a∥b”为事件 A，由 a∥b，得 x＝2y.
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓
▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
基本事件空间为Ω ＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)， (1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含 12 个基本事件；
其中 A＝{(0,0)，(2,1)}，包含 2 个基本事件．
则
P(A)＝122＝16，即向量
a∥b
1 的概率为6．
(2)设“a，b 的夹角是钝角”为事件 B，由 a，b 的夹角是钝角，可得 a·b<0，即 2x
＋y<0，且 x≠2y.
基本事件空间为Ω ＝{(x，y)|???－－11≤≤xy≤ ≤21 }，
??－－11≤≤yx≤≤12
B＝{(x，y)|???x2≠x＋2yy<0
}，
1 13
则
P(B)＝ μ μ
B Ω
＝2×(23＋×22)×2＝13，即向量
a，b
的夹角是钝角的概率是13．
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓