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北京市人大附中2012届高三数学 尖子生专题训练 概率 新人教版


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北京市人大附中 2012 届高三数学尖子生专题训练:概率

I卷

一、选择题

1. 抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷 1000 次,那么第 999 次出现正面朝上的概

率是

()

A. 1 999

B. 1 1000

C. 999 1000

D. 1 2

【答案】D

2.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球 3 次,一旦发球成功,则

停止发球,否则一直发到 3 次为止.设学生一次发球成功的概率为 p(p≠0),发球次

数为 X,若 X 的数学期望 E(X)>1.75,则 p 的取值范围是( )

A.(0,172)

B.(172,1)

1 C.(0,2)

1 D.(2,1)

【答案】C

3.一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形内爬行,某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超

过 1 的概率为( )

A.1-

3π 12

B.1-

3π 24

C.

3π 12

【答案】B

D.

3π 24

4. 数据 a1, a2 , a3,..., an 的方差为? 2 ,则数据 2a1, 2a2 , 2a3,..., 2an 的方差为( )

A. ? 2 2

B.? 2

C. 2? 2

D. 4? 2

【答案】D

5.在线段 0,3 上任取一点,则此点坐标大于 1 的概率是( )

A. 3 4

B. 2 3

C. 1 2

D. 1 3

【答案】B

6.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个数为 b,则 b>a 的概

率是( )

A.45

B.35

2 C.5

1 D.5

【答案】D

7.一台 X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 0.8,有 4 台这种型号的自 动机床各自独立工作,则在一小时内至多 2 台机床需要工人照看的概率是( )

A. 0.1536

B. 0.1808

C. 0.5632

D. 0.9728

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【答案】D

8.甲乙两人一起去游“2011 西安世园会”,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任

选 4 个进行游览,每个景点参加 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是

()

1 A.36

1 B.9

C.356

D.16

【答案】D

9.在 1 万平方公里的海域中有 40 平方公里的大陆架贮藏着石油,假若在海域中任意一点

钻探,那么钻到油层面的概率是

()

A. 1 40
【答案】C

B. 1 25

C. 1 250

D. 1 500

10.随机变量 Y~ B(n, p) ,且 E(Y ) ? 3.6 , D(Y ) ? 2.16 ,则此二项分布是 ( )

A. B(4, 0.9) B. B(9, 0.4)

C. B(18, 0.2) D. B(36, 0.1)

【答案】B

11.给出下列四个命题: ①15 秒内,通过某十字路口的汽车的数量是随机变量;

②在一段时间内,某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量;③一条河流每年的最大流

量是随机变量;④一个剧场共有三个出口,散场后某一出口退场的人数是随机变量.

其中正确的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】D

12. 某单位在一次春游踏青中,开展有奖答题活动.从 2 道文史题和 3 道理科题中不放

回依次抽取 2 道题,在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为( )

A. 9 25
【答案】D

B. 6 25

C. 3 10

D. 1 2

13.锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种汤圆的外部特

征完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆,则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为( )

A. 8 91
【答案】C

B. 25 91

C. 48 91

D. 60 91

14. 如图,在一个长为? ,宽为 2 的矩形 OABC 内,曲线 y ? sin x ?0 ? x ? ? ? 与 x 轴围

成如图所示的阴影部分,向矩形 OABC 内随机投一点(该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的),则所
在阴影部分的概率是( )

投的点落

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4 A. ?
【答案】B

3 B. ?

2 C. ?

1 D. ?

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II 卷

二、填空题

15.100 件产品中有 5 件次品,不放回地抽取 2 次,每次抽 1 件.已知第 1 次抽出的是次

品,则第 2 次抽出正品的概率是

.

【答案】 95 99
16.边长为 2a 的正方形及其内切圆,随机向正方形内丢一粒豆子,则豆子落在圆及正方

形夹的部分的概率是___________________。

【答案】 (4 ? ? )a2

17.已知函数 f(x)=x2+bx+c,其中 0≤b≤4,0≤c≤4,记函数 f(x)满足条件

?f(2)≤12 ??f(-2)≤4

为事件 A,则事件 A 发生的概率为________.

【答案】12

18. 在第 1,3,5,8 路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车),有 1

位乘客等候第 1 路或第 3 路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,求首先

到站正好是这位乘客所要乘的汽车的概率为________.

【答案】

1 2

19.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率

是________.

【答案】13

20.在平面区域中任取一点,记事件“该点落在其内部一个区域 d 内”为事件 A,则事件

A

P( A) 发生的概率为

?

d的面积 D的面积

。在边长为

2

的正方形

ABCD

内任取一点,使得

?APB ? 90? 的概率为



8?? 【答案】 8

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三、解答题 21.如图,在边长为 25cm 的正方形中挖去边长为 23cm 的两个等腰直角三角形,现有均匀
的粒子散落在正方形中,问粒子落在中间带形区域的概率是多少?
【答案】因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的 所以符合几何概型的条件。 设 A=“粒子落在中间带形区域”则依题意得 正方形面积为:25×25=625 两个等腰直角三角形的面积为:2× 1 ×23×23=529
2 带形区域的面积为:625-529=96 ∴ P(A)= 96
625 22.某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系,随机抽取高二年级
20 名学生某次考试成绩(百分制)如下表所示:
某数学成绩 90 分(含 90 分)以上为优秀,物理成绩 85 分(含 85 分)以上为优秀. (1) 根据上表完成下面的 2×2 列联表:
(2)根据题(1)中表格的数据计算,有多少的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间 有关系?
(3)若按下面的方法从这 20 人中抽取 1 人来了解有关情况:将一个标有数字 1,2,3,4,5,6 的正六面体骰子连续投掷两次,记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序 号.试求:①抽到 12 号的概率;②抽到“无效序号(序号大于 20)”的概率.
【答案】(1)表格为
(2)提出假设 H0:学生的数学成绩与物理成绩之间没有关系.
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根据上述列联表求得 k=206(×5×141×2-7×1×132)2≈8.802.

当 H0 成立时,K2(χ 2)>6.635 的概率约为 0.01,而这里 8.802>6.635, 所以我们有 99%的把握认为:学生的数学成绩与物理成绩之间有关系.

(3)①抽到 12 号的概率为 P1=346=19;

②抽到“无效序号”的概率为 P2=366=16.

23.某同学参加语文、数学、英语 3 门课程的考试。假设该同学语文课程取得优秀成绩

的概率为 4 ,数学、英语课程取得优秀成绩的概率分别为 m, n(m ? n) ,且该同学 3 5

门课程都获得优秀的概率为 24 ,该同学 3 门课程都未获得优秀的概率为 6 ,且不

125

125

同课程是否取得优秀成绩相互独立.

(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率;

(Ⅱ) 记? 为该生取得优秀成绩的课程门数,求? 的分布列及数学期望 E? .

【答案】设事件 Ai 表示:该生语文、数学、英语课程取得优异成绩, i ? 1,2,3 。

由题意可知

P( A1 )

?

4 5



P( A2

)

?

m



P( A3

)

?

n

(I)由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件"? ? 0" 是对立的,所以该

生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是

1 ? P(? ? 0) ? 1 ? 6 ? 119 125 125

(II)由题意可知, P(?

?

0)

?

_
P( A1?

_
A2 ?

_
A3 )

?

(1 ?

4)(1 ? 5

m)(1 ?

n)

?

6 125



P(?

?

3)

?

P( A1

?

A2

?

A3 )

?

4 5

mn

?

24 125



解得 m ? 3 , n ? 2 (m ? n) 。

5

5

__ _

_ __

P(? ? 1) ? P( A1 ? A2 ? A3 ? A1? A2 ? A3 ? A1? A2 ? A3 )

? 4 (1 ? m)(1 ? n) ? 1 m(1 ? n) ? 1 (1 ? m)n ? 37

5

5

5

125

P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? 58 ; 125

? ? 的分布列为

?

0

1

2

3

P

6

37

58

24

125

125

125

125

所以数学期望

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E? ? 0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? 2 ? P(? ? 2) ? 3? P(? ? 3) ? 9 5
24.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共设有 10 个不同的题目,其中选择题 6 个,判断题 4 个,甲、乙二人依次各抽一题,计算: (1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少? (2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?

P( A) ? C61 ? C41 ? 4

【答案】(1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率

A120

15 ;

(2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率

P(B)

?

A62

? C61 ? C41 ? C41 ? C61 A120

? 13 15

25.有编号为 A1,A2,…,A10 的 10 个零件,测量其直径(单位:cm),得到

(1)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (2)从一等品零件中,随机抽取 2 个. (ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ⅱ)求这 2 个零件直径相等的概率. 【答案】(1)由所给数据可知,一等品零件共有 6 个. 设“从 10 个零件中,随机抽取一个为一等品”为事件 A, 则 P(A)= 6 ? 3 .
10 5 (2)(ⅰ)一等品零件的编号为 A1,A2,A3,A4,A5,A6.从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个,所有可能的结果有: {A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4}, {A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共有 15 种. (ⅱ)“从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等”(记为事件 B)的所有可能 结果有:{A1,A4},{A1,A6},{A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共有 6 种. 所以 P(B)= 6 ? 2 .
15 5 26.有两个不透明的箱子,每个箱子里都装有 4 个完全相同的小球,球上分别标有数字
1,2,3,4 (1)甲从其中一个箱子中摸出一个球,乙从另一个箱子中摸出一个球, 谁摸出的球上标的数字大谁获胜(若数字相同则为平局),求甲获胜的概率;
(2)摸球方法与(1)相同,若规定:两人摸到的球上所标数字相同甲获胜,所标 数字不同则乙获胜,这样规定公平吗?
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【答案】(1)用 (x, y) ( x 表示甲摸到的数字, y 表示乙摸到的数字)表示甲乙各摸

到一球构成的基本事件有:(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4) (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)
(4,2)(4,3)(4,4)共有 16 个 设甲获胜的事件为 A ,则事件 A 包括的基本事件为(2,1)(3,1)(3,2)(4,1) (4,2)(4,3)共有 6 个,

P( A) ? 6 ? 3

3

16 8 答:甲获胜的概率为 8

(2)设甲获胜的事件为 B ,乙获胜的事件为 C ,事件 B 所包含的基本事件为(1,1)

(2,2)(3,3)(4,4)共有 4 个,

P(B) ? 4 ? 1 P(C) ? 1 ? 4 ? 3



16 4 ,

16 4 ,

P(B) ? P(C) ,所以不公平
2 7 .我校开设甲、乙、丙三门校本选修课程,学生是否选修哪门课互不影响.己知某学生选修 甲而不选修乙和丙的概率为 0.08,选修甲和乙而不选修丙的概率是 0.12,至少选修一门的 概率是 0. 88.
(2) 求学生李华选甲校本课程的概率;
(3) 用 表示该学生选修的校本课程门数和没有选修的校本课程门数的乘积,求 的分布列和
数学期望. 【答案】

28.已知向量 a=(2,1),b=(x,y). (1)若 x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量 a∥b 的概率; (2)若 x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量 a,b 的夹角是钝角的概率. 【答案】(1)设“a∥b”为事件 A,由 a∥b,得 x=2y.
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基本事件空间为Ω ={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1), (1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1)},共包含 12 个基本事件;

其中 A={(0,0),(2,1)},包含 2 个基本事件.



P(A)=122=16,即向量

a∥b

1 的概率为6.

(2)设“a,b 的夹角是钝角”为事件 B,由 a,b 的夹角是钝角,可得 a·b<0,即 2x

+y<0,且 x≠2y.

基本事件空间为Ω ={(x,y)|???--11≤≤xy≤ ≤21 },

??--11≤≤yx≤≤12

B={(x,y)|???x2≠x+2yy<0

},

1 13



P(B)= μ μ

B Ω

=2×(23+×22)×2=13,即向量

a,b

的夹角是钝角的概率是13.

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