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【创新设计】2015高考数学(苏教理)一轮配套课件15-3坐标系与曲线的极坐标方程


第3讲 坐标系与曲线的极坐标方程 1.极坐标系 (1)极坐标系的建立:在平面内取一个定点O,叫做 极点 ,从 O点引一条射线Ox,叫做 极轴 ,再选定一个长度单位、一个 角度单位 ( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方向 ) ,这 样就确定了一个极坐标系. 设M是平面内一点,极点O与点M的距离 OM 叫做点M的极径, 记为ρ,以极轴Ox为始边, 射线OM 为终边的角叫做点M的极 角,记为θ.有序数对 (ρ,θ) 叫做点M的极坐标,记作M(ρ, θ). (2)极坐标与直角坐标的互化:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ), ,y= ρsinθ y 2 2 又可得到关系式:ρ2= x +y ,tan θ= x . 则它们之间的关系为 x= ρcos θ . 2.直线的极坐标方程 (1)若直线过点 M(ρ0,θ0),且极轴到此 直线的角为 α, 则它的方程为: ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α). 推导如下:如图所示,设直线 l 上任意一点为 P(ρ,θ),在△POM OP OM 中,由正弦定理,得 = . sin∠OMP sin∠OPM 因为∠OMP=π-α+θ0,∠OPM=α-θ, 所以直线 l 的极坐标方程是 ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).(*) (2)几个特殊位置的直线的极坐标方程 θ=α (ρ∈R)表示过极点且与极轴成 α 角的直线(如图①); ρcos θ= a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线(如图②); ? ? ? π? b ρsin θ= 表示过?b,2?且平行于极轴的直线(如图③). 3.圆的极坐标方程 (1)若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r的圆方程为 ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0. 推导如下: 如图所示,设圆上任意一点为P(ρ,θ), 在△POM 中,由余弦定理,得 PM2=OM2+OP2-2OM· OPcos∠POM, 故圆的极坐标方程是 2 ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ2 0-r =0. (2)几个特殊位置的圆的极坐标方程 ρ= r 表示圆心在极点,半径为 r 的圆(如图①). ρ= 2rcos θ ρ= 2rsin θ 表示圆心在(r,0),半径为 r 的圆(如图②); ? π? ? 表示圆心在?r,2? ?,半径为 ? ? r 的圆(如图③). 诊断自测 1.(2011·西安五校一模)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲线 ρ=2sin θ与ρcos θ=-1的交点的极坐标. 解 ρ=2sin θ 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,ρcos θ=-1 的直角坐标方程为 ? ?x=-1, 得? ? ?y=1, 2 2 ? ?x +y -2y=0, x=-1,联立方程,得? ? ?x=-1, 解 即两曲线的交点为(-1,1), 又 0≤θ<2π, 因此这两 3π? 2, 4 ?. ? ? 条曲线的交点的极坐标为? ? 2.(2011·镇江调研)若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ= 2sin θ,它们相交于A、B两点,求线段AB的长. 解 法一 由 ρ=1,得 x2+y2=1.又 ρ=2sin θ, 所以 ρ2=2ρsin θ.所以 x2+y2-2y=0. 2 2 ? ?x +y =1, 由? 2 2 ? ?x +y -2y=0, 得 ? A? ? ? ? 3 1? 3

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