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2012届高考数学二轮复习精品课件(课标版)专题1 第3讲 函数与方程、函数的应用


第3讲

函数与方程、函数的应用

第3讲 函数与方程、函数 的应用

第3讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1.函数的零点 方程的根与函数的零点的关系:由函数的零点的定义可知, 函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实数根, 也就是函数 y=f(x) 的图象与 x 轴的交点的横坐标.所以,方程 f(x)=0 有实数根? 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. 2.二分法 用二分法求函数零点的一般步骤: 第一步:确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度 ε; 第二步:求区间[a,b]的中点 c;

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第三步:计算 f(c): (1)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; (2)若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); (3)若 f(c)· f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)); (4)判断是否达到精确度 ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似 值 a(或 b);否则重复(2)~(4). 3.函数模型 解决函数模型的实际应用题,首先考虑题目考查的函数模 型,并要注意定义域.其解题步骤是:(1)阅读理解,审清题意: 分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题;(2)数学 建模:弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式;(3) 解函数模型: 利用数学方法得出函数模型的数学结果;(4)实际问 题作答:将数学问题的结果转译成实际问题作出解答.

第3讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 函数的零点和方程根的分布
?a,a-b≤1, 例 1 (1)[2011· 天津卷] 对实数 a 和 b, 定义运算“?”: a?b=? ?b,a-b>1. 设函数 f(x)=(x2-2)?(x-x2),x∈R,若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公 共点,则实数 c 的取值范围是( ) ? 3? ? A.(-∞,-2]∪?-1, ? 2? ? ? ? 3? ? B.(-∞,-2]∪?-1,- ? 4? ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? C.?-1, ?∪? ,+∞ ? ? 4 ? ?4 ? ? ? ? ?1 ? 3? ? ? D.?-1,- ? ∪? ,+∞ ? ? 4? ?4 ? ? (2)[2011· 山东卷] 已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0,且 a≠1).当 2<a<3< b<4 时,函数 f(x)的零点 x0∈(n,n+1),n∈N*,则 n=________.

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(1)B (2)2

?x2-2,x2-2-?x-x2?≤1, ? ? 【解析】 (1)f(x)=? 2? 2 2 ? ?x-x ,x -2-?x-x ?>1 ?x2-2,-1≤x≤3, ? 2 =? 3 x-x2,x<-1,或x> , ? 2 ? 则 f(x)的图象如图.

∵y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, ∴y=f(x)与 y=c 的图象恰有两个公共点, 3 由图象知 c≤-2,或-1<c<- . 4

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(2)本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用.因为 2<a<3,所以 loga2<1=logaa<loga3, 因为 3<b<4, 所以 b-2>1>loga2, b-3<1<loga3, 所以 f(2)· f(3) =(loga2+2-b)(loga3+3-b)<0,所以函数的零点在(2,3)上,所以 n=2.
【点评】 函数的零点、方程的根,都可以转化为函数图象与 x 轴的交点,数形结 合法是解决函数零点、 方程根的分布、 零点个数、 方程根的个数的一个有效方法. 在 解决函数零点问题时,既要注意利用函数的图象,也要注意根据函数的零点存在 定理、函数的性质等进行相关的计算,把数与形紧密结合起来.

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1 已知函数 f(x)= x2-alnx(a∈R). 2 (1)若函数 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=x+b,求 a,b 的值; (2)讨论方程 f(x)=0 解的个数,并说明理由.

a 【解答】 (1)因为 f′(x)=x- (x>0), x 又 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=x+b, ?2-aln2=2+b, ? 所以? a 解得 a=2,b=-2ln2. ?2-2=1, ? (2)当 a=0 时,f(x)在定义域(0,+∞)上恒大于 0,此时方程无解. a 当 a<0 时,f′(x)=x- >0 在(0,+∞)上恒成立, x 所以 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数.

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? 1? 1 2 1 因为 f(1)= >0,f?e ?= e -1<0,所以方程有唯一解. ? ? 2 ? a? 2 a a x2-a ?x+ a??x- a? 当 a>0 时,f′(x)=x- = = , x x x 因为当 x∈(0, a)时,f′(x)<0,f(x)在(0, a)内为减函数; 当 x∈( a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在( a,+∞)内为增函数. 1 1 所以当 x= a时,有极小值,即最小值 f( a)= a-aln a= a(1-lna), 2 2 1 当 a∈(0,e)时,f( a)= a(1-lna)>0,此方程无解; 2 1 当 a=e 时,f( a)= a(1-lna)=0.此方程有唯一解 x= a, 2 1 当 a∈(e,+∞)时,f( a)= a(1-lna)<0, 2 1 因为 f(1)= >0 且 1< a,所以方程 f(x)=0 在区间(0, a)上有唯一解, 2

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因为当 x>1 时,(x-lnx)′>0,所以 x-lnx>1, 1 1 所以 x>lnx,f(x)= x2-alnx> x2-ax. 2 2 1 因为 2a> a>1,所以 f(2a)> (2a)2-2a2=0, 2 所以方程 f(x)=0 在区间( a,+∞)上有唯一解. 所以方程 f(x)=0 在区间(0,+∞)上有两解. 综上所述:当 a∈[0,e)时,方程无解;当 a<0 或 a=e 时,方程有唯一解; 当 a>e 时方程有两解.

【点评】 含有参数的方程根的个数问题,需要重点研究三个方面的问题:一是 函数的单调性;二是函数极值点的值的正负;三是区间端点的值的正负.

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? 探究点二 二分法求方程的近似解

1 例 2 用二分法求方程 lnx= 在[1,2]上的近似解, 取中点 c=1.5, 则下一个有根 x 区间是________. 【分析】 只要计算三个点 x=1,1.5,2 的函数值,然后根据函数零点的存在定理 进行判断即可.

1 [1.5,2] 【解析】 令 f(x)=lnx- , x 1 2 2 1 f(1)=-1<0,f(2)=ln2- =ln >ln1=0,f(1.5)=ln1.5- = (ln1.53-2); 2 3 3 e 1 1 因为 1.53=3.375, 2>4>1.53, f(1.5)= (ln1.53-2)< (lne2-2)=0, e 故 f(1.5)· f(2)<0, 3 3 所以下一个有根区间是[1.5,2]. 【点评】 用二分法求方程近似解时,每一次取中点后,下一个有根区间的判断原则 是:若中点函数值为零,则这个中点就是方程的解,若中点函数值不等于零,则下一个 有根区间是和这个中点函数值异号的区间.在用二分法求方程的近似解时,有时需要根 据精确度确定近似解,如下面的变式.

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若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分 法计算,其参考数据如下: f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.4375)=0.162 f(1.40625)=-0.054 那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为( A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5

)

C 【解析】 由于 f(1.40625)=-0.054<0,f(1.4375) =0.162>0,精确到 0.1,所以函数的正数零点为 x= 1.40625≈1.4,故选 C.

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? 探究点三 函数模型及其应用(含导数解决实际问题)

例 3 [2011· 湖南卷] 如图 3-1,长方体物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直 方向作匀速移动,速度为 v(v>0),雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c∈R).E 移动 时单位时间内的淋雨量包括两部分:(1)P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨 .... 1 ;(2)其他面的淋雨量之和,其值 10 1 3 为 .记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量,当移动距离 d=100,面积 S= 时, 2 2 (1)写出 y 的表达式; (2)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v,使总淋 雨量 y 最少. 量,假设其值与|v-c|×S 成正比,比例系数为

图 3-1

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3 1 【解答】 (1)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为 |v-c|+ ,故 20 2 100? 3 1? 5 ? y= ? |v-c|+ ?= (3|v-c|+10). v ?20 2? v ? (2)由(1)知, 5?3c+10? 5 当 0<v≤c 时,y= (3c-3v+10)= -15; v v 3?10-3c? 5 当 c<v≤10 时,y= (3v-3c+10)= +15. v v

?5?3c+10?-15,0<v≤c, ? v 故 y=? 5?10-3c? ? v +15,c<v≤10. ?
3c 10 ①当 0<c≤ 时,y 是关于 v 的减函数.故当 v=10 时,ymin=20- . 3 2 10 ②当 <c≤5 时,在(0,c]上,y 是关于 v 的减函数;在(c,10]上,y 是关于 v 的 3 50 增函数.故当 v=c 时,ymin= . c

第3讲│ 要点热点探究

【点评】 本题考查函数建模、分段函数模拟的应用.解 决函数建模问题,首要的问题是弄清楚实际问题的意义,其 中变量是什么,求解目标是什么,为了表达求解目标需要解 决什么问题,这些问题清楚了就可以把求解目标使用一个变 量表达出来.在函数模型中,含有绝对值的函数本质上是分 段函数,解决分段函数问题时,要先解决函数在各个段上的 性质,然后把各段上的性质整合为函数在其整个定义域上的 性质.

第3讲│ 要点热点探究
例 4 [2011· 山东卷] 某企业拟建造如图 3-2 所示的容器(不计厚度,长度单位: 米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积 80π 为 立方米, l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关. 且 已知圆柱形部分 3 每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元.设该 容器的建造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r.

图 3-2

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【解答】 (1)设容器的容积为 V, 4 80π 由题意知 V=πr2l+ πr3,又 V= , 3 3 4 V- πr3 3 80 4 4?20 ? 故 l= = 2- r= ? 2 -r? . 2 ? πr 3r 3 3? r ? ? 由于 l≥2r, 因此 0<r≤2. 4?20 ? 所以建造费用 y=2πrl×3+4πr c=2πr× ? 2 -r?×3+4πr2c, ? 3? r ? ? 160π 因此 y=4π(c-2)r2+ ,0<r≤2. r
2

第3讲│ 要点热点探究
160π 8π?c-2?? 3 20 ? ? ? (2)由(1)得 y′=8π(c-2)r- 2 = 2 ?r -c-2?,0<r≤2. r r ? ? 3 20 20 由于 c>3,所以 c-2>0,当 r - =0 时,r= . c-2 c-2
3

8π?c-2? 20 令 =m,则 m>0,所以 y′= (r-m)(r2+rm+m2). 2 r c-2 9 ① 当 0<m<2 即 c> 时,当 r=m 时,y′=0; 2 当 r∈(0,m)时,y′<0;当 r∈(m,2]时,y′>0. 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. 9 ②当 m≥2 即 3<c≤ 时,当 r∈(0,2]时,y′<0,函数单调递减, 2 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 9 综上所述,当 3<c≤ 时,建造费用最小时 r=2; 2 3 20 9 当 c> 时,建造费用最小时 r= . 2 c-2

3

第3讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.根据方程的解和函数零点的关系,可以把方程和函数联系 起来, 通过函数的零点研究方程根的分布以及采用逐步缩小方 程根所在区间的方法求方程的近似解(二分法),但在实际中我 们一般是求方程解的个数、 或者根据解的个数求方程中的字母 参数的范围, 这时数形结合是基本的解题方法, 即把方程分拆 为一个等式, 使两端都是我们所熟悉的函数的解析式, 然后构 造两个函数 f(x),g(x),即把方程写成 f(x)=g(x)的形式,这时 方程根的个数就是两个函数图象交点的个数, 可以根据图象的 变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.

第3讲│ 规律技巧提炼
2. 二分法求方程的近似解的依据是函数的零点存在定理, 当把方程的一个根锁定在区间(a,b)上时,取区间的中点 x= a+b , 则下一个有根的区间就是根据函数的零点存在定理进行 2 ?a+b ? ? 判断的,即在 f? ? 2 ?的符号与 f(a),f(b)的值异号的区间内. ? ? 3.函数模型是一种重要的数学模型,解决函数建模的关 键是找到一个影响求解目标的变量, 使用这个变量把求解目标 需要的量表达出来, 这样就建立起了函数模型, 然后通过研究 这个函数的性质(单调性、最值、特殊点的函数值)等,对实际 问题作出解释, 其中研究函数的性质可以采用导数的方法. 在 解决实际应用问题的函数建模时, 要注意根据问题的实际意义 确定函数的定义域.

第3讲 │ 教师备用例题
教师备用例题
备选理由:例 1 虽然难度不大,但很容易出错,就是忽 视了 x=6 也是函数的零点, 选此题的目的是考查学习思维的 缜密性;例 2 考查综合使用指数函数、对数函数图象分析问 题的能力,以及综合使用函数、不等式的知识解决问题的能 力;例 3 是建立一个分段函数模型,这是高考中重点考查的 一类函数建模,从 2011 年高考情况看,函数的实际应用问题 有成为命题热点的趋势,建议在二轮复习中加大函数建模和 解模的训练.

第3讲 │ 教师备用例题
例 1 [2011· 山东卷] 已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期 函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间 [0,6]上与 x 轴的交点的个数为( ) A.6 B.7 C.8 D.9

【解析】 B 当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x=x(x2-1)=0, 所以当 0≤x<2 时,f(x)与 x 轴交点的横坐标为 x1=0,x2=1. 当 2≤x<4 时,0≤x-2<2,则 f(x-2)=(x-2)3-(x-2),又周 期为 2,所以 f(x-2)=f(x),所以 f(x)=(x-2)(x-1)(x-3), 所以当 2≤x<4 时,f(x)与 x 轴交点的横坐标为 x3=2,x4=3; 同理当 4≤x≤6 时,f(x)与 x 轴交点的横坐标分别为 x5=4,x6 =5,x7=6,所以共有 7 个交点.

第3讲 │ 教师备用例题

若 a>1, 设函数 f(x)=ax+x-4 的零点为 m, g(x)=logax 1 1 +x-4 的零点为 n,则m+n的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.[1,+∞) ?9 ? C.(4,+∞) D.?2,+∞? ? ? 例2

第3讲 │ 教师备用例题
【解析】 B 如图所示,函数 f(x)=ax+x-4 的零点是函数 y=ax 与函数 y=4-x 图象交点 A 的横坐标, 函数 g(x)=logax+x-4 的零点是 函数 y=logax 与函数 y=4-x 图象交点 B 的横坐标,由于指数函数与对 数函数互为反函数,其图象关于直线 y=x 对称,直线 y=4-x 与直线 y =x 垂直,故直线 y=4-x 与直线 y=x 的交点为(2,2),即是 A,B 的中 ? 1 1 ? 1? m n? 1 1 1 点,所以 m+n=4,所以m+n= (m+n)?m+n?= ?2+ n +m?≥1,当且 4 ? ? ? 4? 仅当 m=n=2 时等号成立,此时只要 a= 2即可.故所求式子的取值范 围是[1,+∞).

第3讲 │ 教师备用例题

某商场预计 2011 年 1 月份起前 x 个月,顾客对某商品的需求 1 总量 p(x)(单位:件)与 x 的关系近似地满足 p(x)= x(x+1)· (39-2x)(x∈ 2 N*,且 x≤12).该商品第 x 月的进货单价 q(x)(单位:元)与 x 的近似关

例3

?150+2x?x∈N ,且1≤x≤6?, ? 系是 q(x)=? 160 185- x ?x∈N*,且7≤x≤12?. ? ?
*

(1)写出 2011 年第 x 月的需求量 f(x)(单位:件)与 x 的函数关系式; (2)该商品每件的售价为 185 元,若不计其他费用且每月都能满足市场需 求, 试问商场 2011 年第几月销售该商品的月利润最大, 最大月利润为多 少元?

第3讲 │ 教师备用例题
【解答】 (1)当 x=1 时,f(1)=p(1)=37,当 2≤x≤12,且 x∈N*时, 1 1 f(x)=p(x)-p(x-1)= x(x+1)(39-2x)- (x-1)x(41-2x)=-3x2+40x. 2 2 验证 x=1 符合,∴f(x)=-3x2+40x(x∈N*,且 1≤x≤12). (2)该商场预计第 x 月销售该商品的月利润为 ??-3x2+40x??35-2x??x∈N*,且1≤x≤6?, ? g(x)=? 160 2 * ??-3x +40x?·x ?x∈N ,且7≤x≤12?, ?

?6x3-185x2+1400x?x∈N*,且1≤x≤6?, 即 g(x)=? ?-480x+6400?x∈N,且7≤x≤12?. 当 1≤x≤6,且 x∈N*时,g′(x)=18x2-370x+1400, 140 令 g′(x)=0,解得 x=5 或 x= (舍去). 9 当 1≤x<5 时, g′(x)>0, 5<x≤6 时, 当 g′(x)<0, ∴当 x=5 时, max=g(5)=3125(元). g(x) * 当 7≤x≤12,且 x∈N 时,g(x)=-480x+6400 是减函数, ∴当 x=7 时,g(x)max=g(7)=3040(元). 综上,商场 2011 年第 5 月份的月利润最大,最大利润为 3125 元.


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