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河北省邯郸市大名县第一中学2019届高三上学期第一次月考数学(理)试题


高三月考数学试题
命题范围:函数、三角函数、平面向量 出题人:赵瑞杰 (2019 年 8 月)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1、已知集合 A={x|x -3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A? C? B 的集合 C 的个数为( A.1 ) B.2 C.3 D.4 ( )
2

2、若 =1-bi,其中 a,b 都是实数,i 是虚数单位,则|a+bi|等于 1-i A. 5 B. 2
|x |

a

C. 3

D.1

3、 已知 0 ? a ? 1,则方程a A. 1 个
x

?|log a x| 的实根个数为 (
C. 3 个

)

B. 2 个

D. 1 个或 2 个或 3 个 ) D.(3,4)

4、函数 f(x)=2 -x- 2的一个零点所在的区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)

5、已知命题甲:a+b≠4,命题乙:a≠1 且 b≠3,则命题甲是命题乙的( )条件. A 充分不必要 B 必要不充分 C 充分必要 D 既不充分也不必要

π 6、将函数 y=cos2x 的图象向右平移 个单位,得到函数 y=f(x)·sinx 的图象,则 f(x)的表 4 达式可以是( ) B.f (x)=2cosx D.f(x)= 2 (sin2x+cos2x) 2 ) 3+ 39 4

A.f(x)=-2cosx C.f(x)= 2 sin2x 2

7、△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60°,则 BC 边上的高等于( A. 3 2
2

B.

3 3 2

C.

3+ 6 2

D. )

8、曲线 y ? x A 1

与直线 y ? x 所围成的封闭图形的面积为( B.

1 3

C

1 6

D

1 9

·1·

9、 O 是平面上一定点, A、 B、 C 是平面上不共线的三个点, 动点 P 满足 OP ? OA ? ? (

AB | AB |

?

AC | AC |

),

? ? ?0 , +? ? ,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A 外心 B 内心
2

C 重心

D 垂心 )

10、若 x ? (1, 2) 时,不等式 ( x ? 1) ? log a x 恒成立,则 a 的取值范围为( A. (0,1) B. (1,2) C. (1,2] D.

11、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间上是增函数,则 ( ) A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25)
?2x +3x +1 ? 12、若函数 f(x)=? ax ?e x>0 ?
3 2

B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

x≤0

在上的最大值为 2,则 a 的取值范围是(

)

?1 ? A.? ln 2,+∞? 2 ? ?
C.(-∞,0]

? 1 ? B.?0, ln 2? 2 ? ?
1 ? D.?-∞, ln 2 ? 2? ?

?

二 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13、已知 f(x+199)=4x +4x+3(x∈R),那么函数 f(x)的最小值为_ 量 m=(λ +1,1),n=(λ +2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ =_ _ 15、求值 cos a ? cos (a ? 120 ) ? cos (a ? 240 ) ?
2 2 ? 2 ?
2

_

14、已知向



1 1 16、给出定义:若 m- <x≤m+ (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作{x},即 2 2 {x}=m.在此基础上给出下列关于函数 f(x)=x-{x}的四个命题:

? 1 1? ①y=f(x)的定义域是 R,值域是?- , ?; ? 2 2?
②点(k,0)是 y=f(x)的图象的对称中心,其中 k∈Z; ③函数 y=f(x)的最小正周期为 1;

? 1 3? ④函数 y=f(x)在?- , ?上是增函数. ? 2 2?
则上述命题中真命题的序号是________.
·2·

三.解答题 17、 (本题 10 分)已知 z 是复数,z+2i、 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai) 在复 2-i 平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围.
x x x 18、 (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin 2 . 2 2 2

z

2

(Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期;

(Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上的最小值.

19、 (本题 12 分)已知函数 f(x)=x-alnx(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值. 20、 (本题 12 分) ???C 的内角 ? , ? , C 所对的边分别为 a , b , c . 向量 m ? a, 3b 与 n ? ? cos ?,sin ? ? 平行. (I)求 ? ; (II)若 a ?

?

?

7 , b ? 2 求 ???C 的面积.

21、 (本题 12 分)函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D.有 f(x1·x2)=

f(x1)+f(x2).
(1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围. 22、 (本题 12 分)已知函数 f(x)=ex﹣ax﹣2(e 是自然对数的底数 a∈R) . (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若 k 为整数,a=1,且当 x>0 时, 求 k 的最大值.

k?x f ?( x ) ? 1 恒成立,其中 f ?( x ) 为 f ( x) 的导函数, x ?1

·3·

高三月考理科数学答案(8 月 13 日) 1--6 13、2 DABBDB 14、-3 7--12 BCBCDD 16、

15、3/2

17、解析:设 z=x+yi(x,y∈R), ∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2. ∵

x-2i 1 = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5

z

1 1 = (2x+2)+ (x-4)i. 5 5 由题意得 x=4,∴z=4-2i. ∴(z+ai) =(12+4a-a )+8(a-2)i, 由于(z+ai) 在复平面上对应的点在第一象限,
?12+4a-a >0, ? ∴? ? a- >0, ?
2 2 2 2

解得 2<a<6,

∴实数 a 的取值范围是(2,6). 18、 【答案】 (1) 2? , (2) ?1 ?

2 2

【解析】 (Ⅰ) f (x ) ?

2 sin

x x x 1 1 ? cos x cos ? 2 sin2 ? 2 ? sin x ? 2 ? ? 2 2 2 2 2

?

2 2 2 ? 2 sin x ? cos x ? ? sin(x ? ) ? 2 2 2 4 2

(1) f (x )的最小正周期为T ?

2? ? 2? ; 1

(2)

?? ? x ? 0,? ?
2 2

3? ? ? ? ? 3? ? x ? ? ,当 x ? ? ? ,x ? ? 时, f (x )取 4 4 4 4 2 4

得最小值为: ?1 ?

19、解 函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1- . 2 (1)当 a=2 时,f(x)=x-2lnx,f′(x)=1- (x>0),

a x

x

·4·

因而 f(1)=1,f′(1)=-1, 所以曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y-1=-(x-1), 即 x+y-2=0. (2)由 f′(x)=1- =

a x-a ,x>0 知: x x

①当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值; ②当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a, 又当 x∈(0,a)时,f′(x)<0;当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0, 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a-alna,无极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a-alna,无极大值.

20、 【答案】 (I)

?
3

; (II)

3 3 . 2

【解析】 (I)因为 m //n ,所以 a sin B 由正弦定理,得 sinA sinB-

3b cos A = 0 ,

3 sinBcos A = 0

又 sin ? ? 0 ,从而 tan A = 3 ,

·5·

从而 sin B =

21 , 7 2 7 . 7

又由 a > b ,知 A > B ,所以 cos B =

故 sinC ? sin ? A ? B ? ? sin ? ? ?

? ?

??

? ? 3 21 ? ? sin B cos ? cos B sin ? 3? 3 3 14

所以 ???C 的面积为

1 3 3 . bc sinA = 2 2

21、解 (1)令 x1=x2=1, 有 f(1×1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0. (2)f(x)为偶函数,证明如下: 令 x1=x2=-1, 有 f=f(-1)+f(-1),解得 f(-1)=0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数. (3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2,

f(16×4)=f(16)+f(4)=3.
由 f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 变形为 f≤f(64).(*) ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴不等式(*)等价于 f≤f(64). 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴|(3x+1)(2x-6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0. 7 1 1 解得- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5. 3 3 3 7 1 1 ∴x 的取值范围是{x|- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5}. 3 3 3 22、分析: (1)求出导数,讨论 a≤0,a>0,求出函数的增区间; (2)运用参数分离可得 k< +x,令 g(x)= +x(x>0) ,求出导数,求单调区间,运用

零点存在定理,求得零点,即可得到 k 的最大值.
·6·

解答: 解: (1)f′(x)=e ﹣a. 若 a≤0,则 f′(x)>0 恒成立,所以 f(x)在区间(﹣∞,+∞)上单调递增, 若 a>0,当 x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(lna,+∞)上单调递增. 综上,当 a≤0 时,f(x)的增区间为(﹣∞,+∞) ;当 a>0 时,f(x)的增区间为(lna, +∞) ; (2)由于 a=1,所以
x

x

f′(x)<1?(k﹣x) (e ﹣1)<x+1,
x

x

当 x>0 时,e ﹣1>0,故(k﹣x) (e ﹣1)<x+1?k<

+x﹣﹣﹣﹣①,

令 g(x)=
x

+x(x>0) ,则 g′(x)=

+1=

函数 h(x)=e ﹣x﹣2 在(0,+∞)上单调递增,而 h(1)<0,h(2)>0, 所以 h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点, 即 g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点, 设此零点为 a,则 a∈(1,2) . 当 x∈(0,a)时,g′(x)<0;当 x∈(a,+∞)时,g′(x)>0; 所以,g(x)在(0,+∞)上的最小值为 g(a) .由 g′(a)=0 可得 e =a+2, 所以,g(a)=a+1∈(2,3)由于①式等价于 k<g(a) . 故整数 k 的最大值为 2.
a

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·7·


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