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磨课同角的三角函数的基本关系教案


1. 2.2 同角的三角函数的基本关系(教案)
一、教学目标: ⒈掌握同角三角函数的基本关系式,理解同角公式都是恒等式的特定意义; 2 通过运用公式的训练过程,培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题 技能,提高运用公式的灵活性; 3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题;在解决三角函数化简问题过程中,注 意培养学生思维的灵活性及思维的深化; 在恒等式证明的教学过程中, 注意培养学生分析问 题的能力,从而提高逻辑推理能力. 二、教学重、难点
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

重点:公式 sin ? ? cos ? ? 1 及
2 2

sin ? ? tan ? 的推导及运用: (1)已知某任意角的 cos ?

正弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个; (2)化简三角函数式; (3)证明简单的三角恒 等式. 难点: 根据角α 终边所在象限求出其三角函数值;选择适当的方法证明三角恒等式. 三、学法与教学用具

sin ? ? tan ? ,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等. cos ?

利用三角函数线的定义 , 推导同角三角函数的基本关系式 : sin ? ? cos ? ? 1 及
2 2

教学用具:圆规、三角板、投影 四、教学过程 【创设情境】 西方有一首著名的民谣 丢失一个钉子,坏了一只蹄铁; 坏了一只蹄铁,折了一匹战马; 折了一匹战马,伤了一位骑士; 伤了一位骑士,输了一场战斗; 输了一场战斗,亡了一个帝国。 两个似乎毫不相干的事物, 却有着这样的联系, 那么我们来看看前些天我们学习的三角 函数,在三个式子中有着“同一个角” ,其中的联系应该更为紧密! 【探究新知】 一、思考 1:如图,设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P,那么,正弦线 MP 和余弦线 OM 的长度有什么内在联系?由此能得到什么结论? y

MP 2 ? OM 2 ? 1

P 1 M O x

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

思考 2:上述关系反映了角α 的正弦和余弦之间的内在联 系,根据等式的特点,将它称为平方关系.那么当角α 的终边在坐标轴上时,上述关系成立 吗?

1

思考 3:设角α 的终边与单位圆交于点 P(x,y) ,根据三角函数定义,有 sin

??y

cos? ? x ,
关系?

tan ? ?

y ( x ? 0) x

, 由此可得 sinα ,cosα ,tanα 满足什么

sin ? ? tan ? cos ?
思考 4:上述关系称为商数关系,那么商数关系成立的条件是多么?

a ? k? ?

?
2

(k ? Z )

思考 5:平方关系和商数关系是反映同一个角的三角函数之间的两个基本关系,它们都 是恒等式,如何用文字语言描述这两个关系?

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

sin ? ? tan ? cos ?
sin 4? ? cos 4? ? 1 等;
可作 哪些变形?

同一个角的正弦、余弦的平方和等于 1,商等于这个角的正切. 说明: 2 2 1、注意“同角” ,至于角的形式无关紧要,如 2、注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言; 二、 思考 1:对于平方关系 思考 2:对于商数关系

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

sin ? ? tan ? 可作哪些变形? cos ?

思考 3:结合平方关系和商数关系,可得到哪些新的恒等式? 【例题讲评】 3 例 1、已知 sin ? ? ? ,求

5

cos?

,tan

?

的值.

例 2 求证:

cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

分析:思路 1:把左边分子、分母同乘以(1+sinx)先满足右式分子的要求;思路 2:用 作差法,不管分母,只需将分子转化为零;思路 3:用作商法,但先要确定一边不为零;

2

证法 1:左边=

(1 ? sin x) ? cos x (1 ? sin x) ? cos x = 1 ? sin 2 x (1 ? sin x)(1 ? sin x)
王新敞
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?
证法 2:

(1 ? sin x) ? cos x 1 ? sin x ? 右边 = cos 2 x cos x

cos x 1 ? sin x cos2 x ? (1 ? sin 2 x) cos2 x ? cos2 x ∵ ? ? ? ?0, 1 ? sin x cos x (1 ? sin x) ? cos x (1 ? sin x) ? cos x


cos x 1 ? sin x ? 1 ? sin x cos x

王新敞
奎屯

新疆

证法 3:∵cosx≠0,∴1+sinx≠0,∴

1 ? sin x ≠0, cos x

cos x cos2 x cos2 x 1 ? sin x ∴ = = =1, 1 ? sin x ?1 ? sin x ??1 ? sin x ? 1 ? sin 2 x cos x cos x 1 ? sin x ? ∴ . 1 ? sin x cos x
【课堂练习】 课本 P20 练习 1、2、3、4、5 【学习小结】

tan? ? (1) 同角三角函数的关系式的前提是 “同角” , 因此 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,

sin ? . cos?

(2)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角所在象限确定符号,即要就角所 在象限进行分类讨论. (1) 作业:习题 1.2A 组第 10(1) (2),11、12 题. 【板书设计】略 【教学反思】

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