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解析几何专题4:


圆锥曲线中的最值和范围问题(一)
★★★高考在考什么 【考题回放】

x2 y2 1. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的右焦点为 F, 若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交 a b
点,则此双曲线离心率的取值范围是(C ) A.( 1,2) B. (1,2) C. [2, ??) D.(2,+∞)

x2 y 2 ? ? 1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的 2. P 是双曲线 9 16
最大值为( D ) A. 6
2

B.7

C.8

D.9

3.抛物线 y=-x 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是( A ) A.

4 3

B.

7 5

C.

8 5

D. 3

x2 y 2 4.已知双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此 a b
双曲线的离心率 e 的最大值为: (B) (A)

4 3
2

(B)

5 3

(C) 2

(D)

7 3
2 2

5.已知抛物线 y =4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 y1 +y2 的最小值是 6.对于抛物线 y =4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则 a 的取值范围是( B ) (A) (-∞,0) (B) (-∞,2 ] (C) [0,2] (D) (0,2)
2

32

.

★★★高考要考什么 【热点透析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决: (1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系; (2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组) ,通过 解不等式组得出参数的变化范围; (3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函 数的值域来求参数的变化范围。 (4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构思; (5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个共同特点是均含有三角式。 因此,它们的应用价值在于: ① 通过参数 θ 简明地表示曲线上点的坐标; ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题; (6)构造一个二次方程,利用判别式??0。 ★★★突破重难点 【例 1】已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 .记动点 P 的轨迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA ? OB 的最小值. 解: (Ⅰ)依题意,点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支,
1/6

??? ? ??? ?

所求方程为:

x 2 y2 - =1 (x?0) 2 2
2

(Ⅱ)当直线 AB 的斜率不存在时,设直线 AB 的方程为 x=x0,

AO B ? 此时 A(x0, x 0-2 ) ,B(x0,- x 0-2 ) ,O
2

?? ?? ?

=2

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+b,

x 2 y2 1 中,得:(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0 代入双曲线方程 - = 2 2
依题意可知方程 1?有两个不相等的正数根,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

? ?? ? 4k 2b 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? (?b 2 ? 2) ? 0 ? 2kb ? 解得|k|?1, ?0 ? x1 ? x2 ? 2 1 ? k ? ? b2 ? 2 ?0 ? x1 x2 ? 2 k ?1 ? ??? ? ??? ? 又 OA ? OB =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b) (kx2+b) 2k 2+2 4 2 2 =2+ 2 ?2 =(1+k )x1x2+kb(x1+x2)+b = 2 k -1 k -1 ??? ? ??? ? 综上可知 OA ? OB 的最小值为 2
5 x2 y 2 ? ? 1 上的动点,F 是右焦点,当 AB ? BF 取得最小值时,试求 【例 2】给定点 A(-2,2),已知 B 是椭圆 3 25 16
B 点的坐标。
解:因为椭圆的 e ?

1 3 5 1 ,所以 AB ? BF ? AB ? BF ,而 BF 为动点 B 到左准线的距离。故本题可化为, e 5 3 e

在椭圆上求一点 B,使得它到 A 点和左准线的距离之和最小,过点 B 作 l 的垂线,垂点为 N,过 A 作此准线的垂线,垂 点为 M,由椭圆定义 | BF | | BF | 5 ? e ?| BN |? ? | BF | | BN | e 3 于是 AB ?

5 BF ?| AB | ? | BN |?| AN |? AM 为定值 3

其中,当且仅当 B 点 AM 与椭圆的定点时等点成立,此时 B 为 ( ? 所以,当 AB ?

5 3 , 2) 2

5 5 3 BF 取得最小值时,B 点坐标为 (? , 2) 3 2
2 2

x2 ? y 2 ? 1上移动,试求|PQ|的最大值。 【例 3】已知 P 点在圆 x +(y-2) =1 上移动,Q 点在椭圆 9
解:故先让 Q 点在椭圆上固定,显然当 PQ 通过圆心 O1 时|PQ|最大,因此要求|PQ|的最大值,只要求|O1Q|的最大 2 2 2 值.设 Q(x,y),则|O1Q| = x +(y-4) ① 2 2 因 Q 在椭圆上,则 x =9(1-y ) ②

1? ? 将②代入①得|O1Q| = 9(1-y )+(y-4) ? ?8 ? y ? ? ? 27 2? ? 1 因为 Q 在椭圆上移动,所以-1?y?1,故当 y ? 时, O1Q max ? 3 3 2 此时 PQ max ? 3 3 ? 1
2 2 2

2

【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关;
2/6

2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等,值得注意的是 ...... 函数自变量取值范围的考察不能被忽视 。 ................. 【例 4】已知椭圆的一个焦点为 F1(0,-2 2 ),对应的准线方程为 y ? ? 数列。 (1)求椭圆方程; (2)是否存在直线 l,使 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 恰被直线 x ? ? 斜角的范围;若不存在,请说明理由。 (1)解:依题意 e ?

2 4 9 2 ,且离心率 e 满足: , e, 成等差 3 3 4 1 平分,若存在,求出 l 的倾 2

2 2 a2 9 2 2 ,? ∴a=3,c=2 2 ,b=1, ?c ? ?2 2 ? 3 c 4 4 1 2 9 2 2 又 F1(0,-2 2 ),对应的准线方程为 y ? ? ∴椭圆中心在原点,所求方程为 x ? y ? 1 9 4 1 (2)假设存在直线 l,依题意 l 交椭圆所得弦 MN 被 x ? ? 平分 2

∴直线 l 的斜率存在。 设直线 l:y=kx+m

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? 2 y2 消去 y,整理得 (k +9)x +2kmx+m -9=0 ?1 ?x ? 9 ?
∵l 与椭圆交于不同的两点 M、N,∴Δ =4k m -4(k +9)(m -9)>0 即 m -k -9<0
2 2 2 2 2 2



x1 ? x2 ?km 1 k ?9 ? 2 ?? ?m ? 2 k ?9 2 2k 2 2 (k ? 9) ? (k 2 ? 9) ? 0 ,∴k> 3 或 k<- 3 把②代入①式中得 2 4k ? ? ? 2? ∴直线 l 倾斜角 ? ? ( , ) ? ( , ) 3 2 2 3
设 M(x1,y1),N(x2,y2) ?
2



圆锥曲线中的最值和范围问题(二)
??? ? ??? ? 【例 5】长度为 a ( a ? 0 )的线段 AB 的两个端点 A 、 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,点 P 在线段 AB 上,且 AP ? ? PB
( ? 为常数且 ? ? 0 ) . (1)求点 P 的轨迹方程 C ,并说明轨迹类型; (2)当 ? =2 时,已知直线 l1 与原点 O 的距离为

a ,且直线 l1 与轨迹 C 有公共点,求直线 l1 的斜率 k 的取值范围. 2

答案:(1)设 P ( x , y ) 、 A( x0 , 0) 、 B(0 , y0 ) ,则

? x0 ? (1 ? ? ) x ??? ? ??? ? ? x ? x0 ? ?? x ? 2 2 2 AP ? ? PB ? ? ?? 1 ? ? ,由此及 | AB |? a ? x0 ? y0 ? a ,得 y ? ? ( y ? y ) y ? y 0 ? 0 ? ? ?

? 1? ? ? ? y2 ? a ? 2 2 ,即 x ? ? y ? a ?(1 ? ? ) x? ? ?? ? (*) ? ? ? ?2 ? ?1? ? ? ?? ? ? ?
2

2

2

①当 0 ? ? ? 1 时,方程(*)的轨迹是焦点为 (?

2 1? ? a 的椭圆. a,0) ,长轴长为 1? ? 1? ? 2? ?1? ? a 的椭圆. a) ,长轴长为 1? ? 1? ?
3/6

②当 ? ? 1 时,方程(*)的轨迹是焦点为 (0,?

③当 ? ? 1 时,方程(*)的轨迹是焦点为以 O 点为圆心,

a 为半径的圆. 2

(2)设直线 l1 的方程: y ? kx ? h ,据题意有

h 1? k 2

?

a a 1? k 2 . ,即 h ? 2 2

? y ? kx ? h k2 2 9 9 ? 9 ( 1 ? ) x ? khx ? h 2 ? a 2 ? 0 . 由? 2 9 2 得 2 4 2 4 9x ? y ? a ? 4 ?
因为直线 l1 与椭圆 9 x ?
2

9 2 y ? a 2 有公共点,所以 ? ? 9(4 ? k 2 )a 2 ? 81h 2 ? 0, 4

又把 h ?

a 7 35 35 1 ? k 2 代入上式得 : k 2 ? ,? ? . ?k? 2 5 5 5

【例 6】椭圆 E 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,其离心率 e ? 两点,且满足点 C 分向量 AB 的比为 2.

2 , 过点 C(-1,0)的直线 l 与椭圆 E 相交于 A、B 3

(1)用直线 l 的斜率 k ( k≠0 ) 表示△OAB 的面积; (2)当△OAB 的面积最大时,求椭圆 E 的方程。 解: (1)设椭圆 E 的方程为 ∴a =3b
2 2

x2 y2 c 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0 ),由 e = ? 2 a b a 3
2 2 2

故椭圆方程 x + 3y = 3b

设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点 C(-1,0)分向量 AB 的比为 2,

? x1 ? 2 x 2 ? ?1 ① ? 3 ∴? ? ? y1 ? 2 y 2 ? 0 ② ? 3 ?
由?

即?

? x1 ? 1 ? ?2( x2 ? 1) ? y1 ? ?2 y 2

? x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 消去 y 整理并化简得 y ? k ( x ? 1 ) ?

(3k +1)x +6k x+3k -3b =0

2

2

2

2

2

由直线 l 与椭圆 E 相交于 A(x1,y1), B(x2,y2)两点得:

? ?? ? 0恒成立(点C是 AB的内分点) ? 6k 2 ? ③ ? x1 ? x 2 ? ? 2 3 k ? 1 ? ? 3k 2 ? 3b 2 x x ? ? 1 2 ④ 3k 2 ? 1 ?
而 S△OAB ?

1 1 3 3 3 | y1 ? y 2 |? | ?2 y 2 ? y 2 |? | y 2 |? | k ( x2 ? 1) |? | k || x2 ? 1 | 2 2 2 2 2

4/6



由①③得:x2+1=-

2 3k ? 1
2

,代入⑤得:S△OAB =

3| k | (k ? 0) 3k 2 ? 1

(2)因 S△OAB=

3| k | ? 3k 2 ? 1

3 3| k | ? 1 |k|

?

3 2 3

?

3 , 2

当且仅当 k ? ? 将 x1,x2 及 k =
2

x ? 2 x2 3 =-1 , S△OAB 取得最大值此时 x1 + x2 =-1, 又∵ 1 3 3

∴x1=1,x2 =-2

1 2 2 2 代入④得 3b = 5 ∴椭圆方程 x + 3y = 5 3

??? ? ??? ? x2 y2 【例 7】设直线 l 过点 P(0,3) ,和椭圆 ? ? 1 顺次交于 A、B 两点,若 AP ? ? PB 试求?的取值范围. 9 4
解:当直线 l 垂直于 x 轴时,可求得 ? ? ?

1 ; 5

当 l 与 x 轴不垂直时,设 A?x1 , y1 ?, B( x2,y2 ) ,直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 ,代入椭圆方程,消去 y 得

?9k
解之得

2

? 4 x 2 ? 54kx ? 45 ? 0

?

x1, 2 ?

? 27k ? 6 9k 2 ? 5 . 9k 2 ? 4

因为椭圆关于 y 轴对称,点 P 在 y 轴上,所以只需考虑 k ? 0 的情形. 当 k ? 0 时, x1 ?

? 27k ? 6 9k 2 ? 5 ? 27k ? 6 9k 2 ? 5 , , x ? 2 9k 2 ? 4 9k 2 ? 4
.

所以 ? ? ?

18k 18 x1 ? 9k ? 2 9k 2 ? 5 = =1 ? =1 ? 2 2 x2 9k ? 2 9k ? 5 9k ? 2 9 k ? 5 9?2 9? 5

k2

由 所以

? ? (?54k ) 2 ? 180 9k 2 ? 4 ? 0 , 解得 k 2 ?
?1 ? 1? 18 9?2 9? 5 k2 1 ?? , 5

?

?

5 , 9

综上

1 ?1 ? ? ? ? . 5

【例 8 】我们把由半椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( x ≥ 0 ) 与半椭圆 a2 b2
2 2 2

y
B2

y2 x2 ? ?1 b2 c2
b ? c ? 0.
A2

( x ≤ 0 ) 合成的曲线称作 “果圆” , 其中 a ? b ? c ,a ? 0 ,

如图,设点 F0 , F1 , F2 是相应椭圆的焦点, A1 , A2 和 与 x , y 轴的交点, M 是线段 A1 A2 的中点.
5/6

A1

.F . . O M . F
2

x

0

B1 ,B2 是 “果圆”

F1

B1

(1) 若 △F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形,求该“果圆”的方程; (2)设 P 是“果圆”的半椭圆

y2 x2 ? ? 1 ( x ≤ 0 ) 上任意一点.求证:当 PM 取得最小值时, P 在点 B1,B2 或 b2 c2

A1 处;
(3)若 P 是“果圆”上任意一点,求 PM 取得最小值时点 P 的横坐标. 解: (1)? F0 ( c, 0), F1 0, ? b2 ? c 2 , F2 0, b2 ? c2 ,
? F0 F2 ?

?

?

?

?

?b

2

3 7 ? c 2 ? ? c 2 ? b ? 1, F1 F2 ? 2 b 2 ? c 2 ? 1 ,于是 c2 ? , a2 ? b2 ? c2 ? , 4 4

4 4 所求“果圆”方程为 x2 ? y 2 ? 1 ( x ≥ 0) , y 2 ? x2 ? 1 ( x ≤ 0) . 7 3 y ) ,则 (2)设 P ( x,

a?c? ? b2 ? 2 | PM | ? ? x ? ? ? y ? ? 1? 2 c 2 ? ? ?
2

2

? 2 ( a ? c )2 x ? ( a ? c ) x ? ? b2, ? c ≤ x ≤ 0 , ? 4 ?

b2 ? 1 ? 2 ? 0 ,? | PM | 2 的最小值只能在 x ? 0 或 x ? ?c 处取到. c
即当 PM 取得最小值时, P 在点 B1,B2 或 A1 处. (3) 且 B1 和 B2 同时位于 “果圆” 的半椭圆 ? | A1 M |?| MA2 | , 上,所以,由(2)知,只需研究 P 位于“果圆”的半椭圆
2
2

x2 y 2 y 2 x2 和半椭圆 ? ? 1 ( x ≥ 0) ? ? 1 ( x ≤ 0) a 2 b2 b2 c 2

x2 y 2 ? ? 1( x ≥ 0) 上的情形即可. a 2 b2

c2 ? a 2 (a ? c) ? (a ? c) 2 a 2 (a ? c) 2 a?c? ? 2 2 ? . | PM | ? ? x ? ? ? y ? 2 ?x? ? ?b ? 4 a ? 2c 2 ? 4c 2 2 ? ?
2

a (a ? c) a 2 ( a ? c) 2 当x? 时取到, ≤ a ,即 a ≤ 2c 时, | PM | 的最小值在 x ? 2 2c 2c 2
2

此时 P 的横坐标是

a 2 (a ? c) . 2c 2

当x ?

a 2 (a ? c) ? a ,即 a ? 2c 时,由于 | PM | 2 在 x ? a 时是递减的,| PM | 2 的最小值在 x ? a 时取到,此时 P 2c 2

的横坐标是 a . 综上所述,若 a ≤ 2c ,当 | PM | 取得最小值时,点 P 的横坐标是 若 a ? 2c ,当 | PM | 取得最小值时,点 P 的横坐标是 a 或 ? c .

a 2 (a ? c) ; 2c 2

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