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【状元之路】2014-2015学年冬新课标A版数学必修二单元测评三 直线与方程


新课标 A 版 高中数学 必修 2

单元测评(三)

直线与方程

(时间:90 分钟 满分:120 分) 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,共 50 分. 1.若直线 mx+ny+3=0 在 y 轴上的截距为-3,且它的倾斜角是直线 3x-y=3 3的倾斜角的 2 倍,则( A.m=- 3,n=1 C.m= 3,n=-3 ) B.m=- 3,n=-3 D.m= 3,n=1

3 m 解析:依题意得-n=-3,- n =tan120° =- 3,∴m= 3,n=1. 答案:D 2.直线 2x+3y-k=0 和直线 x-ky+12=0 的交点在 x 轴上,则 k 的 值为( ) B.24 D.± 6
? ?

A.-24 C.6

?k ? 解析:直线 2x+3y-k=0 与 x 轴的交点为?2,0?.直线 x-ky+12=0 与

x 轴的交点为(-12,0). k ∵直线 2x+3y-k=0 和直线 x-ky+12=0 的交点在 x 轴上,∴2=- 12,即 k=-24. 答案:A 3.直线 y=mx+(2m+1)恒过一定点,则此点是( A.(1,2) C.(1,-2) B.(2,1) D.(-2,1) )

解析:y=mx+(2m+1)=m(x+2)+1,
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新课标 A 版 高中数学 必修 2 ∴当 x=-2 时,不论 m 取何值,y 恒等于 1. ∴恒过定点(-2,1). 答案:D 4.已知直线 l1:ax+2y-1=0,直线 l2:8x+ay+2-a=0,若 l1∥l2, 则实数 a 的值为( A.± 4 C.4 ) B.-4 D.± 2

解析:由 a2-2×8=0,得 a=± 4. 当 a=4 时,l1:4x+2y-1=0,l2:8x+4y-2=0,l1 与 l2 重合. 当 a=-4 时,l1:-4x+2y-1=0,l2:8x-4y+6=0,l1∥l2. 综上所述,a=-4. 答案:B 5.与直线 2x+y-3=0 平行,且距离为 5的直线方程是( A.2x+y+2=0 B.2x+y-8=0 C.2x+y+2=0 或 2x+y-8=0 D.2x+y-2=0 或 2x+y+8=0 解析:设所求直线方程为 2x+y+C=0, |C+3| 则 = 5,∴|C+3|=5,C=2 或 C=-8. 5 所以所求直线方程为 2x+y+2=0 或 2x+y-8=0. 答案:C 6.直线 l 过点 A(3,4),且与点 B(-3,2)的距离最远,则直线 l 的方程为 ( ) A.3x-y-5=0
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)

B.3x-y+5=0

新课标 A 版 高中数学 必修 2 C.3x+y+13=0 D.3x+y-13=0

4-2 1 解析:当 l⊥AB 时,符合要求,∵kAB= = ,∴l 的斜率为-3.∴ 3+3 3 直线 l 的方程为 y-4=-3(x-3),即 3x+y-13=0. 答案:D 7.与直线 2x+3y-6=0 关于点 A(1,-1)对称的直线为( A.3x-2y-6=0 C.3x-2y-12=0 B.2x+3y+7=0 D.2x+3y+8=0 )

解析:设直线上点 P(x0,y0)关于点(1,-1)对称的点为 P′(x,y),则 x ?x+ 2 =1, ?y+y ? 2 =-1,
0 0

?x0=2-x, ? ? ? ?y0=-2-y.

代入 2x0+3y0-6=0 得 2(2-x)+3(-2-y)-6=0,得 2x+3y+8=0. 答案:D 8.已知直线 l 的方程是 y=2x+3,则 l 关于 y=-x 对称的直线方程是 ( ) A.x-2y+3=0 C.x-2y-3=0 B.x-2y=0 D.2x-y=0

解析:在直线 l 上取两点 A(0,3),B(-2,-1),则点 A,B 关于直线 y y x+3 =-x 的对称点为 A′(-3,0),B′(1,2),所以所求直线的方程是2= , 1+3 即 x-2y+3=0. 答案:A 9.(2012· 许昌高一检测)如图,在同一直角坐标系中,表示直线 y=ax 与 y=x+a 正确的是( )
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新课标 A 版 高中数学 必修 2

A.

B.

C. 解析:当 a>0 时,A、B、C、D 均不成立; 当 a<0 时,只有 C 成立. 答案:C

D.

10.等腰直角三角形 ABC 的直角顶点为 C(3,3),若点 A(0,4),则点 B 的坐标可能是( ) B.(2,0)或(6,4) D.(0,2)

A.(2,0)或(4,6) C.(4,6) 解析:设 B 点坐标为(x,y),
? kBC=-1, ?kAC· 根据题意知? ?|BC|=|AC|, ?

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新课标 A 版 高中数学 必修 2 3-4 y-3 ? ?3-0×x-3=-1, ∴? ? ? ?x-3?2+?y-3?2=

?0-3?2+?4-3?2,

? ? ?x=2, ?x=4, 解之,得? 或? ?y=0, ?y=6. ? ?

答案:A 第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.a、b、c 是两两不等的实数,则经过 P(b,b+c)、C(a,c+a)两点 的直线的倾斜角为__________. c+a-?b+c? a-b 解析:k= = =1, a-b a-b ∴直线的倾斜角为 45° . 答案:45° 12 .已知点 (m,3) 到直线 x + y - 4 = 0 的距离等于 2 ,则 m 的值为 __________. |m+3-4| 解析:由点到直线的距离得 = 2. 2 解得 m=-1,或 m=3. 答案:-1 或 3 13.已知直线 l 在 y 轴上的截距是-3,它被两坐标轴截得的线段的长 为 5,则此直线的方程为__________. 解析:设直线在 x 轴上的截距为 a,则 a2+32=5, 解得 a=4 或-4,所求直线方程为 3x-4y-12=0 或 3x+4y+12=0. 答案:3x-4y-12=0 或 3x+4y+12=0

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新课标 A 版 高中数学 必修 2 14.直线 l 和两条直线 l1:x-3y+10=0,及 l2:2x+y-8=0 都相交, 且这两个交点所成的线段的中点是 P(0,1),则直线 l 的方程是__________. 解析:设两交点坐标分别为 A(3y1-10,y1)、B(x2,-2x2+8),
? ?x2+3y1-10=0, ∵AB 的中点是 P(0,1),得? ?-2x2+y1+8=2, ?

解得 y1=2,x2=4. ∴A,B 两点坐标分别为 A(-4,2),B(4,0). ∴过 A,B 两点的直线方程是 x+4y-4=0. 答案:x+4y-4=0 三、解答题:本大题共 4 小题,满分 50 分. 15. (12 分)求经过两直线 2x-3y-3=0 和 x+y+2=0 的交点且与直线 3x+y-1=0 平行的直线方程.
? ?2x-3y-3=0, 解:由? ? ?x+y+2=0,

3 ? x =- ? 5, 得? 7 ? y =- ? 5.

(6 分)

7 又因为所求直线与直线 3x+y-1=0 平行,所以所求直线为 y+5=- 3? ? 3?x+5?.(10 分)
? ?

16 化简得:3x+y+ 5 =0.(12 分) 16.(12 分)(1)求与直线 3x+4y-7=0 垂直,且与原点的距离为 6 的直 线方程; (2)求经过直线 l1:2x+3y-5=0 与 l2:7x+15y+1=0 的交点,且平行 于直线 x+2y-3=0 的直线方程. 解:(1)设所求的直线方程为 4x-3y+c=0.
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新课标 A 版 高中数学 必修 2 由已知 |c| =6,解得 c=± 30, 4 +32
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故所求的直线方程为 4x-3y± 30=0.(6 分) (2)设所求的直线方程为 2x+3y-5+λ(7x+15y+1)=0, 即(2+7λ)x+(3+15λ)y+λ-5=0. 2+7λ 1 由已知- =-2,解得 λ=1. 3+15λ 故所求的直线方程为 9x+18y-4=0.(12 分) 17.(12 分)直线 l 过点(1,0)且被两条平行直线 l1:3x+y-6=0 和 l2: 9 3x+y+3=0 所截得的线段长为10 10,求直线 l 的方程.
? ?x=1, 解: 方法一: 当直线 l 与 x 轴垂直时, 方程为 x=1, 由? ?3x+y-6=0, ?

得 l 与 l1 的交点为(1,3).
? ?x=1, 由? 得 l 与 l2 的交点为(1,-6), ? ?3x+y+3=0,

9 此时两交点间的距离 d=|-6-3|=9≠10 10. ∴直线 l 与 x 轴不垂直.(4 分) 设 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠-3),
? ?k+6 ?y=k?x-1?, 3k ? ?, , 解方程组? 得 l 与 l1 交点的坐标为? ?3x+y-6=0, ?k+3 k+3? ? ?y=k?x-1?, ? 同理,由? ? ?3x+y+3=0,

得 l 与 l2 的交点坐标为?

?k-3

-6k? ?.(8 分) , ?k+3 k+3?
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新课标 A 版 高中数学 必修 2 由题意及两点间距离公式得 9 10 10=
?k-3 k+6?2 ?-6k 3k ?2 ? ? +? ?, - - ?k+3 k+3? ?k+3 k+3?

1 即 9k2-6k+1=0,∴k=3, 1 ∴直线 l 的方程为 y=3(x-1), 即 x-3y-1=0.(12 分) |-6-3| 9 方法二: 由两平行线间的距离公式可得 l1 与 l2 间的距离 d= 2 2=10 3 +1 10.(4 分) 9 而 l 被 l1,l2 截得的线段长恰为10 10.(6 分) 1 ∴l 与 l1 垂直,由 l1 的斜率 k1=-3 知,l 的斜率 k=3,(10 分) 1 ∴l 的方程为 y=3(x-1), 即 x-3y-1=0.(12 分) 18.(14 分)在△ABC 中,BC 边上的高所在直线的方程为 x-2y+1=0, ∠A 的平分线所在的直线方程为 y=0.若点 B 的坐标为(1,2),求点 A 和点 C 的坐标.
? ?x-2y+1=0, 解:由方程组? 解得点 A 的坐标为(-1,0).(2 分) ? ?y=0,

又直线 AB 的斜率 kAB=1,x 轴是∠A 的平分线, 所以 kAC=-1,则 AC 边所在的直线方程为 y=-(x+1).① 又已知 BC 边上的高所在直线的方程为 x-2y+1=0, 故直线 BC 的斜率 kBC=-2,(8 分)

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新课标 A 版 高中数学 必修 2 所以 BC 边所在的直线方程为 y-2=-2(x-1).②
? ?x=5, 解①②组成的方程组得? (12 分) ? ?y=-6,

即顶点 C 的坐标为(5,-6).(14 分)

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