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高考数学典型易错题会诊(下)


高考数学
典型易错题会诊 (下)

命题角度 3 空间距离 1. (典型例题)在空间中,与一个△ABC 三边所在直线距离都相等的点的集合是 ( ) A.一条直线 B.两条直线 C.三条直线 D.四条直线 [考场错解]设该点为 P,且 P 在平面 ABC 上的射影为 O,因为 P 到△ABC 三边所在直 线距离都相等,所以 O 到△ABC 的三边直线的距离都相等,即 O 为△ABC 的内心, 所以本题中符合条件的点在过 0 且与平面 ABC 垂直的直线上,所以选 A。 [专家把脉] 在平面上与一个三角形三边所在直线等距离的点不只内心一个,实际任意 两个角的外角平分线的交点(我们称其为傍心)也符合到三角形三边所在 直线等距离 [对症下药] 设该点为 P, 且 P 在平面 ABC 上的射影为 O, 因为 P 到△ABC 三边所在直线距离都相等, 所以 O 到△ABC 的三边所在直线的距离都相等, 即 O 为△ABC 的内心或傍心, 所以本题中符合题意的点在过内心或傍心且与平面 ABC 垂直的直线上,这样的直线有 4 条,所以选 D。 2. (典型例题) 如图 10-15, 在棱长为 4 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, O 是正方形 A1B1C1D1 的中心,点 P 在棱 CC1 上,且 CC1=4CP。 (1)求直线 AP 与平面 BCC1B1 所成角的大小(结果用反三角表示) ; (2)设 O 点在平面 D1AP 上的射影为 H,求证:D1H⊥AP; (3)求点 P 到平面 ABD1 的距离。 [考场错解] 第(3)问:∵ABCD—A1B1C1D1 为正方体,∴AB⊥面 BCC1B1,∴BP⊥ AB,∴BP 即为 P 到平面 ABD1 的距离,在 Rt△BCP 中,BP= 17 [专家把脉] 线面垂直的判定有误, 错解中 BP⊥AB, 但 BP 与平面 ABD1 不垂直,所以 P 到平面 ABD1 的距离不是 BP。 正解一: (1)如图 10-16,连接 BP,∵AB⊥平面 BCC1B1,∴AP 与平 面 BCC1B1 所成的角就是∠APB。∵CC1=4CP,CC1=4,∴CP=1。在 Rt △APB 中,∠PCB 为直角,BC=4,CP=1,故 BP= 17 . 在 Rt△APB 中,∠APB 为直角, tan∠APB=
AB 4 17 4 17 . ? , ∴∠APB=arctan 17 BP 17

(2)连接 A1C1,B1D1,∵A1B1C1D1 为正方形,∴D1O⊥A1C1 又 AA1⊥底面 A1B1C1D1, ∴AA1⊥D1O,∴D1O⊥平面 A1APC1,由于 AP ? 平面 A1AOC1,∴D1O⊥AP。∵平面 D1AP 的斜线 D1O 在这个平面内的射影是 D1H,∴D1H⊥AP。 (3)连接 BC1,在平面 BCC1B1 中,过点 P 作 PQ⊥BC1 于点 Q。∵AB⊥平面 BCC1B1, PQ ? 平面 BCC1B1,∴PQ⊥AB,∴PQ⊥平面 ABC1D1,∴PQ 就是 P 到平面 ABD1 的距 离,在 Rt△C1PQ 中,∠C1QP=90°,∠PC1Q=45°,PC1=3,∴PQ= 面 ABD1 的距离为
3 2。 2 3 2 . 即点 P 到平 2

正解二: (1)以 DA 、 DC 、 DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间坐标系,∵ AB⊥平面 BCC1B1,∴AP 与平面 BCC1B1 所成的角为∠APB。∵CC1=4CP,CC1=4,∴ CP=1,A(4,0,0) 、P(0,4,1) 。B(4,4,0) 。∴ PA =(4,-4,-1) , PB ? (4,0,?1) ∴cos∠APB=
PA ? PB | PA | ? | PB | ? 561 561 ∴直线 AP 与平面 BCC1B1 所成的角为 arccos ;(2) 33 33

连接 D1O, 由 (1) 有 D1 (0, 0, 4) 、 O (2, 2, 4) , ∴ D1O = (2, 2, 0) ,PA ? D1O ? 0,? PA ? D1O 又因为 D1AP 的斜线 D1O 在这个平面内的射影是 D1H。 ∴D1H⊥AP; (3)由正方体的性质不难得出 B1C 为平面 ABD1 的一个法向量,B1(4,4,4) 、C(0, 4,0) 、P(0,4,1)∴
B1C =(-4,0,-4), BP =(-4,0,1), ? d ?
| B1C | ? | BP | | B1C | ? 12 4 2 ? 3 3 2 ? P到平面ABD1的距离为 2 2 2

3. (典型例题)如图 10-17,在三棱锥 V—ABC 中,底面△ABC 是以∠B 为直角的等腰直 角三角形,又 V 在底面 ABC 上的射影在线段 AC 上且靠近 C 点,且 AC=4,VA= 14 , VB 与底面 ABC 成 45°角。 (1)求 V 到底面 ABC 的距离; (2)求二面角 V—AB—C 的大小。 [考场错解](1)过 V 作 VD⊥AC,垂足为 D,连接 BD,由已 知有 VD⊥平面 ABC,在直角三角形 VBD 中,∠VBD 为直线 VB 与底面 ABC 所成的角, ∠VBD=45°, BD= 到底面 ABC 的距离等于 2。 [专家把脉] BD 与 AC 垂直是错误的,BD≠
2 2 ?2 2 ,错误的原因是缺少函数方程思 4 2 2 ?2 2 ? 2,?V 4

想,VD 直接计算在本题中做不到,而应设未知数,建立方程来求解。 [对症下药] (1)如图 10-18,在平面 VAC 中,过 V 作 VD⊥AC 于 D,连接 BD,由已 知 VD⊥平面 ABC,∠VBD 为 VB 与底面所成的角,∠VBD=45°,设 CD=x,则在 Rt △VAD 中,VD2=VA2-AD2=14-(x-2)2=-x2+8x-2,在直角三角形 VBD 中,∠VDB=90°, ∠VBD=45°,BD2=x2+8-4 2 x ?
2 =x2-4x+8.在直角三角形 VBD 中,∠VDB=90°,∠ 2

VBD=45°,∴VD=BD,即-x2+8x-2=x2-4x+8,解得 x=1 或 x=5,又由题意 x=5 应舍去,∴ x=1 此时 VD= ? (?1)2 ? 8 ?1 ? 2 ? 5 ,? V 到底面 ABC 的距离为 5 ;(2)过 D 作 OE⊥AB 于 E,连结 VE,∵VD⊥底面 ABC,DE⊥AB,∴VE⊥AB, ∴∠VED 为二面角 V—AB—C 的平 面角。在平面 ABC 中,CB⊥AB,DE⊥AB,∴DE∥BC,由(1)知
3 2 DE AD 3 3 3 2 ,∴tan ? ? ,? DE ? BC ? , 在 Rt△VDE 中,VD= 5 ,∠VDE=90°DE 2 BC AC 4 4 2

∠VED=

5 3 2 2

?

10 10 10 . , ?VED ? arctan . ∴二面角 V—AB—C 的大小为 arctan 3 3 3

专家会诊 空间中的距离以点到面的距离为中心内容,大多数距离问题都可以转化为点到面的距 离,求法比较灵活,主要有: (1)直接法。过该点作面的垂线,求出垂线段的长度,不 过不能只顾作, 计算不出来, 应先利用线面的位置关系判断垂足的位置; ( 2) 间接解法: 利用三棱锥的体积进行等积变换来求解; (3)利用空间向量求解,公式 是d ?
| a?n| ,其中 n 为平面的法向量,a 为过该点的平面的一条斜线段 |n|

所确定的一个向量。 考场思维训练 1 如图, 已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各条棱长都为 a, P 为 A1B 上的点。 (1)试确定
A1P 的值,使得 PC⊥AB; PB

答案:过 P 作 PM⊥AB 于 M,连结 CM,∵ABC-A1B1C1 为正三棱柱,∴PM⊥平面 ABC,∴PC 在下 底面上的射影为 CM,∵PC⊥AB,∴CM⊥AB,又△ABC 为等边三角形,∴M 为 AB 中点,即 P 为 A1B 的中点,
? A1 P PB ? 1时, PC ? AB.
A1P 2 ? ,求二面角 P—AC—B 的大小; PB 3

(2)若

答案:过 P 作 PM⊥AB 于 N,过 N 作 NQ⊥AC 于 Q,连结 PQ,根据三垂线定理 得∠PQN 为二面角 P—AC—B 的平角. PN= a, NQ ? ? tan∠PQN= a ?
3 5 10 2 3a

3 5

2 5

3 a ,在 Rt△PQN 中, 2

? 3 ,? ?PQN ? 60?. 即二面角P ? AC ? B的大小为60?

(3)在(2)的条件下,求 C1 到平面 PAC 的距离。 答案: Vc1? PAC ? h ? S?PAC ? VP? ACC1 ? ?
1 3 1 3 3 1 a a a ? a2 , 解得h ? ,? C1到平面PAC 的距离为 . 5 2 2 2

2

长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=9,AB=AC=6 3 ,N 为 BC 中点,M

为 A1B 的中点,P 为 C1D1 的中点,如图, (1)求点 P 到平面 B1MN 的距离; 答案:如图,平面 B1MN 截长方体所得的截面为 A1B1NR,∵C1D1//A1B1,∴C1D1// 平面 A1B1NR,∴P 到平面 B1MN 的距离等于 C1 到平面 B1MN 的距离,作 C1G⊥B1N 于 G,∵ABCD—A1B1C1D1 为长方体, ∴C1G⊥平面 B1MN,在距形 BCC1B1 中,BB1=AA1=9,B1C1=BC=6 3 ,B1N=6 3 ,∴∠ BB1N=30°,∠C1B1G=60°,C1G=6 3 ?
3 ? 9. ∴P 到平面 B1MN 的距离为 9. 2

(2)求 PC 与平面 B1MN 所成的角。 答案: ∵PC//MB, ∴PC 与平面 B1MN 所成的角等于 MB 与平面 B1MN 所成的角, 过 B 作 BH⊥B1N

于 H , 作
9 2

BH ⊥ 平 面

B1MN , ∠ BMH 为

MB

与 平 面

B1MN

所 成 的 角 ,

BH= , MB ? 6 3,? sin ?BMH ? 3

3 3 . ? PC与平面B1MN 所成的角为arc sin . 4 4

已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面, A1ACC1 与底面 ABC 垂直, ∠ABC=90°, BC=2, AC=2 3 ,且 AA1⊥A1C,AA1⊥A1C。如图所示。

(1)求侧棱 AA1 与底面 ABC 所成二面角的大小; 答案:取 AC 中点 D,连 A1D,∵AA1=AC,∴A1D⊥AC 又侧面 A1ACC1⊥平面 ABC, ∴A1D⊥平面 ABC, ∴∠A1AD 为 AA1 与平面 ABC 所成的角,由已知∠A1AD=45° (2)求侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成二面角的大小; 答案:作 DE⊥AB,由三垂线定理 AB⊥A1E,∴∠A1ED 为侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成二面角的 平面角.又 BC⊥AB,∴DE//BC,DE= BC ? 1, A1D ? 3 , ∴tan∠A1ED= 3 , ∴∠A1ED=60°. ∴侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成二面角为 60°. (3)求顶点 C 到侧面 A1ABB1 的距离。 答案: D 到平面 A1ABB1 的距离是 C 到该平面距离的一半,由(2)知平面 A1ED⊥平面 A1ABB1, 作 DF⊥A1E,则 DF⊥平面 A1ABB1,又 DF=
3 , ∴C 到平面 A1ABB1 的距离为 3 . 2
1 2

命题角度 4 简单几何体 1. (典型例题)如图 10-22,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=3,AA1=4,M 为 AA1 的中 点,P 是 BC 上一点,且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 的最短路线长 为 29 ,设这条最短路线与 CC1 的交点为 N。 求: (1)该三棱柱侧面展开图的对角线长; (2)PC 与 NC 的长; (3)平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示) 。 [考场错解] 第 (2) 问: 过 M 作 MN⊥CC1 于 N, 则由已知有 MN+NP=3+NP= 29 , NP= 29 -3, 此时 N 为 CC1 的中点,NC=2,PC= NP 2 ? NC 2 ? 36 ? 6 29 。 [专家把脉] 依题意是 MN+NP 的最小值为 29 ,而错解中认为 MN 最小,则 MN+NP 就最小, 这是错误的. [对症下药] (1)正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面展开图是一个长为 9,宽为 4 的矩形,其对角线长为 92 ? 42 ? 97 ; (2) 如图 10-23, 将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1 旋转 120°, 使其与侧面 AA1C1C 在同一平面上,点 P 运动到 P1 的位置,连接 MP1,则 MP1 就是由点 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到点 M 的最短路线。设 PC=x,则 P1C=x,在 Rt△MAP1 中,由

勾股定理得(3+x)2+22=29,求得 x=2, ∴PC=P1C=2,

NC P C 2 4 ? 1 ? ,? NC ? . MA P 5 5 1A

(3)解法一:连接 PP1,则 PP1 就是 MNP 与平面 ABC 的交线,作 NH⊥PP1 于 H,又 CC1 ⊥平面 ABC,连接 CH,由三垂线定理得,CH⊥PP1,∴∠NHC 就是平面 MNP 与平面 ABC 所成二面角的平面角(锐角) 。在 Rt△PHC 中,∵∠PCH= ∠PCP1=60°,∴ CH=
PC NC 4 4 ? 1 、在 Rt△NCH 中 tan∠NHC= ? , ∠NHC=arctan ∴平面 NMP 与平面 2 CH 5 5

1 2

ABC 所成二面角(锐角)的大小为 arctan 。 解法 2: ∵△MPN 在△ABC 上的射影为△APC, 设所求的角为θ 则 cosθ = 故平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小为 arccos
5 41 . 41
S ? APC 5 41 ? . S ?MNP 41

4 5

2. (典型例题)如图, 直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 为平行四边形, 其中 AB= 2 , BD=BC=1,AA1=2,E 为 DC 中点,点 F 在 DD1 上,且 DF= 。 (1)求异面直线 BD 与 A1D1 的距离; (2)EF 与 BC1 是否垂直?请说明理由; (3)求二面角 E—FB—D 的正切值。 [考场错解] 第(2)问:∵ABCD—A1B1C1D1 为直四棱柱,∴EF 在面 BCC1B1 上的射影为 CC1,而 BC1 与 BC1 不垂直,∴EF 与 BC1 不垂直。 [专家把脉] 把直四棱柱看成长方体了,实际上,长方体是底面为长方形的直四棱柱,本题 中的底面 ABCD 为平行四边形,所以 ABCD—A1B1C1D1 不是长方体,也就是说 EF 在面 BCC1B1 上的射影不是 CC1。 [对症下药] 正解一: (1)∵ABCD—A1B1C1D1 为直四棱柱,∴DD1⊥AD1,DD1⊥BD,∴ DD1 为 A1D1 与 BD 的公垂线段,DD1=2,∴A1D1 与 BD 的距离为 2; (2) ∵BD=BC=1, CD= 2 , ∴△BCD 为等腰直角三角形, E 为 CD 的中点, ∴BE⊥CD, 又 ABCD—A1B1C1D1 为直四棱柱,∴BE⊥面 CDD1C1,∴BE⊥EF,在 Rt△FDE 中,∠ FDE=90°,FD= ,DE= C1CE=90°,EC=
1 4 9 2 ,∴EF2= ,在 Rt△C1CE 中,∠ 16 2

1 4

9 7 2 ,CC1=AA1=2, ∴DE21= ,在 Rt△D1FC1 中,∠FD1C1=90°,D1F= , 2 4 2

D1C1= 2 ,∴ FC12 ?

81 ∴FC21=EF2+EC21,∴EF⊥EC1,得 EF⊥平面 BEC1∴FF⊥BC1 16

(3)如图 10-24,过 E 作 EO⊥BD,过 O 作 OM⊥BF 于 M,连接 EM,易证得 EO⊥平 面 BDF,∴∠EMO 为二在角 E—FB—D 的平面角,∵∠DBC=90°,EO⊥BD,∴EO∥ BC,又 E 为 CD 中点,∴EO= BC ? 在 Rt△EOM 中,tan∠EMO= 为 arctan 17 . (1) 同正解一;
1 2 1 1 ,在△BDF 中,△BOM~△BFD,∴OM= , 2 2 17

EO ? 17 ,∴∠EMO=arctan 17 ,∴二面角 E—FB—D 的大小 OM

(2) 由已知可得∠ADB=90°,DD1⊥平面 ABCD,∴以 DA 、 DB 、 DD1 分别为 x,轴 y 轴,z 轴的正方向,建立空间坐标系,F(0,0, ) 、E( ? , ,0 ) 、A(1,0,0) 、D1(0, 0,2) ,∴ EF = ( ,? , )
EF ? AD1 ? 1 2 1 1 2 4 1 4
1 1 2 2

AD1 =(-1,0,2)

1 1 1 ? (?1) ? 0 ? (? ) ? ? 2 ? 0,? EF ? AD1, 又 BC1∥AD1,∴EF⊥AD1。 2 2 4

(3) 可以得平面 BDF 的一个法向量为 AD, 而AD =(-1,0,0) ,B(0,1, 0) BE ? (? ,? ,0), EF ? ( ,? , ) ,设平面 BEF 的一个法向量为 n=(x,y,z)由 n⊥ BE, n ? EF得,? x ? y ? 0, x ? y ? z ? 0 ,令 x=1,得 y=-1,z=-4, ∴平面 BEF 的一个法向量为 n=(1,-1,-4) ,∴cosα = ∴所求二面角 E—FB—D 的大小为 arccos
2 . 6
| n ? AD | | n | ? | AD | ? 2 , 6

1 2

1 2

1 2

1 1 2 4 1 2

1 2

1 2

1 2

1 4

专家会诊 棱柱、棱锥、球是几何中的重要载体,学习中除了牢固掌握有关概念、性质、面积体积公 式之外,还要灵活运用有关知识进行位置益寿延年 判断与论证,进而达到计算的目的, 在计算时要注意把某些平面图形分离现来运用平面几何的知识来进行 计算,这是立体几何中计算问题的重要方法和技巧。 考场思维训练 1 如图,正四面体 ABCD 的棱长为 1,P、Q 分别为 AB、CD 上两点, 且 AP=CQ=λ ,求出正四面体侧面上从 P 到 Q 的最小距离。 答案:解析:由对称性知,在侧面上从 P 到 Q 只需考虑两种情形,即从 P 到 Q 经过棱 AC 或 经过棱 AD. ①当经过棱 AC 时,如图 1 沿 AD 把侧面展开,∵AP=CQ=λ ,且 AP//CQ. ∴四边形 APCQ 为平 行四边形,∴E 是 PQ 的中点,∴PQ=2PE,在△APE 中,∠PAE=60°,AP= λ ,AE= ,由余弦定理,有 PE= ?2 ? 1 ? 1 ? cos60? , 2 4 2 ∴PQ= 4?2 ? 2? ? 1; ② 当 经 过 棱
? 1

AD

时 , 如 图

2 , 沿

AC

展 开 , 此 时

PQ=1 , 又 ∵ λ

1 1 时, 4?2 ? 2? ? 1 ? 1,当? ? 时, 4?2 ? 2? ? 1 ? 1 2 2

1 ? 4?2 ? 2? ? 1, ? ? ? ? 2 ∴PQ 的最小值为 ? 1 ?1 ?? ? 2 ?

2 如图,已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=BC,D 为 AB 的中点, 平面 A1B1C1 平面 ABB1A1,异面直线 BC1 与 AB1 互相垂直。

(1)求证:AB1⊥平面 A1CD; 答案:取 A1B1 中点 D1,连结 BD1、C1D1,可证明 C1D1⊥平面 ABB1A1,从而 C1D1⊥AB1.又由垂 线定理可得 AB1⊥BD1,∵CD//C1D1,∴CD⊥AB1,A1C//BD1,∴A1C⊥AB1,∴AB1⊥平面 A1CD. (2) 若 CC1 与平面 ABB1A1 的距离为 1, A1C= 37 ,AB1=5,求三棱锥 A1—ACD 的体积。 答案:由(1)知 C1D1⊥平面 ABB1A1, ∴CD⊥平面 ABB0A1, ∵CC1 平面 ABB1A1,∴CC1 到平面 ABB1A1 的距离为 CD.即为 C-A1AD 的高. ∴CD=1,在 Rt△A1CD 中,A1C= 37 , ∴A1D= 37 ? 1 ? 6. 设 AB1 交 A1D、D1B 于点 E、F. ∵A1D//D1B,AD=DB, ∴AE=EF,同理 EF=FB1, ∴AE= AB1 ? , 又 ? AB1 ? A1D,
? S?A1 AD ? 1 A1D ? AE ? 5, 2 1 5 ? 5 ?1 ? . 3 3

1 3

5 3

? VA1 ? ACD ? VC ? A1 AD ?

3 如图所示,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱长为 2,底面边长为 1,M 是 BC 的中点, 在直线 CC1 上找一点 N,使 MN⊥AB1。 答案:解析:∵ABC—A1B1C1 为正三棱柱,M 为 BC 中点 ∴AM⊥BC,又侧面 BCC1B1⊥底面 ABC, ∴AM⊥平面 BCC1B1. ∴AB1 在平面 BCC1B1 上的射影为 B1M,要 MN⊥AB1,只须 MN⊥B1M 即可. 如图所示 建 立 直 角 坐 标 系 , M (
1 1 1 1 1 ,0), B1(0,2),设N (1, y),则由B1M ? MN有( ,?2) ? ( , y) ? 0, 得y ? . ? CN ? CC1. ? N 在CC1的一个等分点处. 2 2 2 8 16

) 探究开放题预测 预测角度 1 利用三垂线定理作二面角的平面角 1 如图 10-28,正三棱术 ABC—A1B1C1 的所有棱长均相等,D 是 BC 上一点,AD⊥C1D (1)求二面角 C—AC1—D 的大小; (2)若 AB=2,求直线 A1B 与截面 ADC1 的距离 [解题思路] 求二面角的大小,一般先利用三垂线定理作出二面角的平面 角,再通过解三角形得出结果,二面角有两个半平面,先要分析过哪个半 平面内有一点能方便地作出另外一个半平面的垂线,一般利用“有两个面 垂直,在一个面内作交线的垂线,则这条线垂直另外一个面”这个性质来 作。本题中可以先证平面 ADC1⊥平面 BCC1B1,再过 C 作 C1D 的垂线,则这条线与平面 ADC1 垂直,再利用三垂线定理作出平面角,第(2)问可求 B 到平面 ADC1 的距离。 [解答](1)如图 10-29,∵ABC—A1B1C1 为正三棱柱:CC1⊥AD,又 AD⊥C1D,∴AD ⊥平面 B1BCC1。∴平面 ADC1⊥平面 BCC1B1。过 C 作 CE⊥C1D 于 E,则 CE⊥平面 ADC1,过 E 作 EF⊥AC1,连接 FC,则由三垂线定理知∠CFE 为 二面角 C—AC1—D 的平面角。设 AB=a,D 是 BC 的中点,

CE=

CC1 ? CD 5 AC ? CC1 2 10 ? a, CF ? ? a, 在 Rt△EFC 中, sin∠EFC= ,∴二面角 C—AC1 C1D 5 AC1 2 5

—D 的大小为 arcsin

10 5

(1) 连接 A1C,设 A1C∩AC1=O,连接 DO,则 A1B∥DO,∴A1B∥平面 ADC1,∴A1B 到 截面 ADC1 的距离等于 B 到 ADC1 的距离,过 B 作 BH⊥C1D,交 C1D 的延长线于 H, 由(1)平面 ADC1⊥平面 BCC1B1 得 BH⊥平面 ADC1,即 BH 为 B 到面 ADC1 的距离 BH=EC= 2 ? 2
5 2 5 2 5 ? . ∴直线 A1B 与平面 ADC1 的距离为 5 5 5

如图 10-30,ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,M、N、R 分别是 AB、PC、CD 的中点, (1)求证:直线 AR∥平面 PMC; (2)求证:直线 MN⊥直线 AB; (3)若平面 PDC 与平面 ABCD 所成的二面角(锐角)为θ ,能束确定θ 使直线 MN 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线,若能确定,求出θ 的值;若不能确定,说明理由。 [解题思路] 证线面平行,先证线线平行,证线线垂直,通过线面垂直转换,这是一般的 解题思路,用这种解题思路证(1) 、 (2)问,第(3)问先作(或找)出这个二面角的 平面角,再通过解方程的方法求出θ 的值。 [解答](1)如图 10-30,∵ABCD 为矩形,M、R 分别为 AB、CD 的中点,∴AM ? CR, ∴四边形 ARCM 为平行四边形,∴AR∥CM,∴AR∥平面 PMC。 (2)由已知可得 AB⊥MR,AB⊥平面 PAD,∴AB⊥PD,又 RN 为△PCD 的中位线, ∴NR∥PD,得 AB⊥平面 MNR,∴AB⊥MN。 (3)∵PA⊥平面 ABCD,AD⊥DC,∴∠PDA 为平面 PDC 与平面 ABCD 所成的二面 角(锐角)的平面角,∴θ =∠PDA。由(2)知 MN⊥AB,AB∥CD,∴MN⊥CD,又 MN⊥PC, ∴MN⊥平面 PCD, ∴MN⊥NR, ∴∠MNR=90°, 在 Rt△PDA 中, 设 AD=a, PD=
a ,在 Rt△MNR 中, cos?
//

NR= PD=

1 2

a NR 1 2 ? , MR ? a, ?NRM ? ?PDA ? ? ,? cos? ? ? ,? cos? ? , 得? ? 时, 能 2 cos? MR 2 cos? 2 4

使直线 MN 是异面直线 AB、PC 的公垂线。 预测角度 2 求点到面的距离 1.如图,PA⊥平面 AC,四边形 ABCD 是矩形,E、F 分别是 AB、PD 的中点。 (1)求证:AF∥平面 PCE; (2)若二面角 P—CD—B 为 45°,AD=2,CD=3。 (i)求二面角 P—EC—A 的大小; (ii)求点 F 到平面 PCE 的距离。 [解题思路] 过 AF 作一个平面与平面 PEC 相交,证明 AF 与交线平行,由于 E、F 为中 点,所以取 PC 的中点即可;分别作出 P—CD—B 和 P—EC—A 的平面角,求点 F 到平 面 PCE 的距离可用直接法,也可以用间接解法。 [解答] (1)如图,取 PC 的中点 M,连接 ME、MF,∵FM∥CD,FM= CD,AE∥
1 2

CD,AE= CD,∴AE∥MF 且 AE=MF,∴四边形 AFME 是平行四边形。∴AF∥EM, ∵AF ? 平面 CPE,∴AF∥平面 PCE。 (2) (i)∵PA⊥平面 AC,CD⊥AD,根据三垂线定理知,CD⊥PD,∠ PDA 是二面角 P—CD—B 的平面角,则∠PDA=45°,于是△PAD 为等腰 直角三角形,过 A 作 CE 的垂线交 CE 的延长线于 G,连接 PG,根据三垂 线定理知∠PGA 为二面角 P—EC—A 的大小为 arctano . (ii)解法一: ∵AF⊥PD, 又 AF⊥CD, ∴AF⊥平面 PCD, 而 EM∥FA, ∴EM⊥平面 PCD, 又 EM ? 平面 PEC,∴平面 PEC⊥平面 PCD,在面 PCD 内过 F 作 FH⊥PC 于 H,则 FH 为点 F 到平面 PCE 的距离,由已知 PD=2 2 ,PF= PD= 2 ,PC= 17 ,知 FH= ∴F 到平面 PCE 的距离为
3 24 。 17
1 2

1 2

5 3

3 24 , 17

解法二: 由 EM∥FA, 知点 F 到平面 PCE 的距离可转化为点 A 到平面 PCE 的距离,过点 A 在面 PAG 内作 AN⊥PG,则 AN 为点 A 到平面 PCE 的距 离,可算得 AN=
3 24 。 17

2.如图 10-33,在棱长为 a 的正方体,ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AB 和 BC 的中点,EF 与 BD 相交于 H。 (1)求二面角 B1—EF—B 的大小; (2)试在棱 BB1 上找一点 M,使 D1M⊥平面 B1EF,并证明你的结论; (3)求 D1 到平面 B1EF 的距离。 [解题思路] 第(1)问二面角 B1—EF—B 的平面角为∠B1HB;由于面 D1DBB1⊥平面 B1EF,∴过 D1 作 D1N⊥B1H 并延长交 BB1 于 M,利用平 面几何的知识判断 M 的位置;第(3)问即求 D1N。 [解答] (1)由已知 EF∥AC,∵ABCD—A1B1C1D1 为正方体,∴AC⊥平 面 BDD1B1,∴EF⊥平面 BDD1B1,∴∠B1HB 为二面角 B1—EF—B 的平面角,在 Rt△ B1BH 中,B1B=a,BH=
BB 2 a, ∴tan∠B1HB= 1 ? 2 2 . ∴∠B1HB=arctan 2 .即二面角 BH 4

B1—EF—B 的大小为 arctan 2 . (2)由(1)知 EF⊥平面 BDD1B1,∴平面 B1EF⊥平面 BDD1B1,∴过 D1 作 D1N⊥B1H, 垂足为 N,延长 D1N 交 BB1 于 M,得,D1M⊥平面 B1EF,如图,建立坐标系,则 D(0, 0) 、D1(0,a) 、H(
a 3 2 a,0 ),设 M( 2 a,y0),由 D1M⊥B1H,得 y0= ,∴M 为 BB1 的中点。 2 4

(3)由(2)D1N 为 D1 到直线 B1H 的距离,由点到直线的距离可得 =D1N= a,∴D1 到面 B1EF 的距离为 a。 预测角度 3 折叠问题 1.如图 10-35,△BCD 内接于直角梯形 A1A2A3D,已知沿△BCD 三边 把△A1BD、△A2BC、△A3CD 翻折上去,恰好使 A1、A2、A3 重合于 A。 (1)求证:AB⊥CD; (2)若 A1D=10,A1A2=8,求二面角 A—CD—B 的大小。
4 3 4 3

[解题思路] 这是一个折叠问题,解这一类题的关键是分析折叠前后不变的量,不变的位 置关系,利用这些不变来解题,第(1)问可证 AB⊥平面 ACD,由 AB⊥平面 ACD, 利用三垂线定理可作出二面角 A—CD—B 的平面角。 [解答](1)如图 10-36,由平面图形中 A1B⊥A1D,A1B⊥A2C 知,立体图形中 AB⊥AC, AB⊥AD,∴AB⊥平面 ACD,∴AB⊥CD (2)过 A 作 AE⊥CD 于 E,连接 BE,∴CD⊥平面 ABE,∴∠AEB=θ 为二面角 A— CD—B 的平面角,在平面图形中,A1B=A2B=4,A1D=A3D=10,过 D 作 DD1⊥A2A3, 在 Rt△A3DD1 中可得 A3D1=6,∴A2A3=16。A2C=A3C=8,CD= 64 ? 4 ? 2 17 。 在立体图形中,AC=8,AD=10,CD=2 17 ,
cos ?ACD ? 82 ? (2 17 ) 2 ? 102 2 ? 8 ? 2 17 ? 1 17 , sin ?ACD ? 4 17 . 在 Rt△AEC 中, AE=8? sin∠ACD=

32 17

,

在 Rt△BAE 中, tanθ =tan∠AEB= 为 arctan
17 . 8

AB 17 17 ? ,?? ? arctan , ∴二面角 A—CD—B 的大小 AE 8 8

2.如图 10-37,已知 ABCD 中,AD=BC,AD∥BC,且 AB=3 2 ,AD=2 3 ,BD= 6 ,沿 BD 将其折成一个二面角 A—BD—C,使得 AB⊥CD。 (Ⅰ)求二面角 A—BD—C 的大小; (Ⅱ)求折后点 A 到面 BCD 的距离。 [解题思路] 先将平面图形的性质研究清楚,在立体图形中将垂直关系进行转化,可以得 出结果。 [解答] (1)在平面图形中,AD2+BD2=AB2,∴AD⊥BD,BC⊥BD,在立体图形中, 如图 10-38,作 AH⊥平面 BCD 于 H,连 DH、BH,设 BH 交 CD 于 E。由 AD⊥BD 得 ∠ADH 为二面角 A—BD—C 的平面角。∵AB⊥CD,∴BH⊥CD,在 Rt△BCD 中, DE=
DB2 DH DE 1 1 DH 3 ? 2 , CE ? 3 2 ? 2 ? 2 2 , 又DH // BC ,? ? ? , DH ? CB ? 3 ,? 在Rt?ADH中, cos ?ADH ? ? DC CB CE 2 2 AD 2 3

DH DE 1 1 DH 3 1 ? ? , DH ? CB ? 3 ,? 在Rt?ADH中, cos ?ADH ? ? ? , CB CE 2 2 AD 2 3 2

∠ADH=60°,∴二面角 A—BD—C 的大小为 60°。 (2)由(1)知 AH=ADsin∠ADH=2 3 ?
3 ? 3. 2

考点高分解题综合训练 1 在斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面△ABC 中,∠A=90°,且 BC1⊥AC,过 C1 作 C1H⊥底面 ABC,则 H 在 ( ) A.直线 AC 上 B.直线 AB 上 C.直线 BC 上 D.△ABC 的内部 答案: B 解析:连 AC1,∵AC⊥AB,AC⊥BC1,且 BC1∩AB=B,∴AC⊥平面 ABC1,又 AC ? 平面

ABC,∴H 一定交线 AB 上. 2 正四面体内任意一点到各面的距离和为一个常量,这人常量是 ( ) A.正四面体的一条棱长 B.正四面体后条斜高的长 C.正四面体的高 D.以上结论都不对 答案: C 解析:正四面体的四个面都全等,设其面积都为 S,四面体的高为 h,并设正四面 体 内 任 一 点 到 四 个 面 的 距 离 分 别 为 h1 、 h2 、 h3 、 h4, 则 V 正 四 面 体 = S (h1 ? h2 ? h3 ? h4 )又 V正四面体 ? sh,? h1 ? h2 ? h3 ? h4 ? h. 3 设 O 是正三棱锥 P—ABC 底面 ABC 的中心,过 O 的动平面与 P—ABC 的三条侧棱或其 延长线的交点分别记为 Q、R、S,则和式
1 1 1 满足 ? ? PQ PR PS
1 3 1 3





A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.既有最大值又有最小值,最大值不等于最小值 D.是一具与平面 RS 位置无关的常量。 答案: D 解析:如图,四面体 PQRS 可以划分为 O 为公式共顶点,分别以△PQR、△PRS、△ PQS 为底面的三个三棱锥,由已知可设∠QPR=∠RPS=∠QPS=a,又是 O 是 P-ABC 底面△ABC 的 中 心 , O 点 到 三 个 侧 面 的 距 离 相 等 , 设 为 d, 则 VPQRS=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS= PQ ? PR ? sin ? d ? PR ? PS ? sin a ? PQ ? PS ? sin a ? d 设 PA 与平面 PBC 所成 的角为θ ,于是 VPQRS=VQ-PRS= 6 PR ? PS ? sin ? ? PQ ? sin ? ? PS ? PQ ? PR ? d 为常量 4 直线 AB 与直二面角α —l—β 的两个地平面分别相交于 A、B 两点,且 A、B ? l,如果 直线 AB 与α 、β 所成的角分别是θ 1 和θ 2,则θ 1+θ 2 ( ) A.0<θ 1+θ 2<π C.θ 1+θ 2>
? 2
1 1 1 1 sin ?
1 6 1 6 1 6

B.θ 1+θ 2=

? 2 ? 2

D.0<θ 1+θ 2≤

答案: D 解析:如图,过 A 作 AA1⊥l 于 A1,过 B 作 BB1⊥l 于 B1,连结 AB1、 A1B , 则 由 a ⊥ β , 可 得 AA ⊥ β , BB1 ⊥ a, 得 ∠ BAA1= θ 1 , 在 Rt △ AA1B 中 ,cos ∠ ABA1=
A1B BB1 ? 在Rt?ABB1中, sin ?BAB1 ? 又A1B ? B1B,? cos? 2 ? sin ?1, 又?1,? 2为锐角,? 0??1 ? ? 2 ? AB AB 2

5 已知 P 为锐二面角α —l—β 内一点,且 P 到α 、β 及棱 l 的距离之比为 1: 2 :2,则 此二面角的大小为____________. 答案:75° 解析:过 P 作 PA⊥ ? ,PB⊥β ,PA、PB 确定的平面与 l 交于 C, 则 l⊥平面 PAB, ∴l⊥PC, ∠PC, ∠BCA 为α -l-β 的平面角,分别算出∠PCA、∠PCB,得二面角的大小为 75°. 6 球面上有三点 A、B、C,每两点间的球面距离都等于
? R,其中 R 为球的半径,则过 A、 2

B、C 三点的截面圆的面积等于___________. 答案: ?R 2 . 的半径为
2 3

解析:由已知∠AOB=∠AOC=∠BOC=∠ , ∴AB=AC=BC= 2 R ,△ABC 的外接圆

? 2

6 6 2 2 2 ( R ,截面贺圆的面积等于π ? R ) = (π R ). 3 3 3

7 如图, 在正四棱锥 S—ABCD 中, E 是 BC 的中点, P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动,并且总有 PE⊥AC。 (1)证明 SB⊥AC; 答案:∵S-ABCD 为正四棱锥,O 为 ABCD 的中心,∴SO⊥平面 ABCD,OB 为 SB 在 ABCD 上的射 影, ∵AC⊥BD, ∴SB⊥AC. (2)指出动点 P 的轨迹,并证明你的结论; 答案:如图,N、G 分别为 SC、DC 的中点,则 P 的轨迹为△SCD 的中位线 GN 证 明:设 H 为 CD 的中点,则 GH∥SO,∴GH⊥平面 ABCD,GN,在下底央上的射出 影为 NE,∵ABCD 为正方形,∴NE⊥AC,由三垂线定理知 PE⊥AC. (3)以轨迹上的动点 P 为顶点的三棱锥 P—CDE 的最大体积为 V1,正四棱锥 S—ABCD 的体积为 V,则 V1:V 等于多少? 答案:△CDE 的面积为定值,当 P 在 G 处时,三棱锥 P-CDE 的体积最大,此 时 PH= SO, 又 S△CDE:S 正方形 ABCD=1:4,∴三棱锥 P-CDE 的最大体积 V1 是正四棱锥体 积 V 的 ,即 V1:V=1:8. 8 如图, 正三棱柱 ABC—A1B1C1 底面边长为 a, 侧棱长为
2 D 是 A1C1 a, 2
1 8 1 2

的中点。 (1)求证:BC1∥平面 B1DA; 答案:如图,连结 A1B 交 AB1 于 E,则 E 为 A1B 的中点,又 D 为 A1C1 的中点, ∴DE∥BC1 又 DE ? 面 AB1D,∴BC1∥平面 AB1D. (2)求证:平面 AB1D⊥平面 A1ACC1; 答案:∵△A1B1C1 为正三角形,D 为 A1C1 中点,∴B1D⊥A1C1,又 ABC-A1B1C1 为 正三棱柱,∴B1D⊥平面 A1C1CA,又 B1D ? 平面 AB1D⊥平面 A1ACC1 (3)求二面角 A1—AB1—D 的大小。 答案:过 A1 作 A1F⊥AD 于 F,由(2)知 A1F⊥平面 AB1D,过 F 作 FG⊥AB1 于 G,依据三垂线 定理,A1G⊥AB,∴∠A1GF 为二面角 A1-AB1-D 的平面角.在 RT△AA1D 中, A1F=
AF 2 AA1 ? A1B1 ? ∠A1GF=45°∴二面角 , 在 RT△A1FG 中,sin∠A1GF= 1 ? A1G 2 AB1

A1-AB1-D 为 45°. 9 菱形 ABCD 的边 AB=5,对角线 BD=6,沿 BD 折叠得四面体 ABCD, 已知该四面体积不小于 8,求二面角 A—BC—C 的取值范围。

答案: 解: 如图: 设 BD 的中点为 O, 连结 AO、 CO, 则 AO=OC= AB2 ? BO2 ? 4, 且 AO⊥BD,OC⊥BD ∴∠AOC=θ 为二面角 A-BO-C 的平面角. S△AOC= AO? OC?sin∠AOC= · 42sinθ =8 sinθ ,VABCD= S △AOC· BD=16 sinθ 依题意 16 sinθ ≥8,∴sinθ ≥ 又 0<θ <π , ∴θ ∈[ , ? ]故所求二面角的范围是
6 6

1 2

1 2

1 3

1 2

? 5

[ ,
6

? 5?
6

].

10 已知△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,∠ADB=60°E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且
AE AF ? ? (0<λ <1) , AC AD

如图。 (1)求证:不论λ 为何值,恒有平面 BEF⊥平面 ABC; 答案:∵AB⊥ 平面 BCD,∴AB⊥CD,∵CD⊥BC 且 AB∩BC=B,∴CD⊥平面 ABC.又∵
AE AE ? ? ? (0 ? ? ? 1) AC AD

∴不论λ 取何值,恒有 EF∥CD,∴EF⊥平面 ABCEF ? 平面 BEF,∴不论 λ 取何值,恒有平面 BEF⊥平面 ABC. (2)当λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD。 答案: 由 (1) 知, BE⊥EF, 又平面 BEF⊥平面 ADC∴BE⊥AC, ∵BC=CD=1, ∠BCD=90°, ∠AOB=60°,∴BD= 2 ,AB= 2 tan60°= 6 ,∴AC= 7 ,由 AB2=AE?AC 得 AE=
6 7 ,? ? ?
6 AE 6 ? ,故当λ = 时,平面 BEF⊥平面 ACD. 7 AC 7

11 如图, 直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形, AC=2a,BB=3a,Do A1C1 的中点。 (1)求 BE 与 A1C 所成的角; 答案: 如图, 取 A1B 的中点 M, 连结 MB, E 为 B1C 的中点, ∴EM∥A1C, EM= A1C ∴∠MEB(或补角)为直线 BE 与 A1C 所成的角.
EM ? 1 13 1 A1C ? a, BM ? 9a 2 ? a 2 ? 2 2 2 7 143 . 143 38 1 11 7 143 a, BE ? B1C ? a, 在?EMB中cos?BEM ? ? , 2 2 2 143

1 2

? BE与A1C所成的角为arc cos

(2)在线段 AA1 上是否存在点 F,使 CF⊥平面 B1DF,若存在,求出 AF;若不存在, 请说明理由。 答案:假若在 AA1 上存在点 F,使 CF⊥平面 B1DF,∵ABC-A1B1C1 为直棱柱,∴平面 A1B1C1⊥平 面 ACC1A,又 A1B1=B1C1,D 为 A1C1 的中点,∴B1D⊥A1C1,B1D⊥平面 A1ACC1,∴B1D⊥CF,所以只 2 2 2 2 2 2 2 2 需 CF⊥B1F 即可。设 AF=x,则 B1F =2a +(3a-x) ,CF =x +4a ,B1C =11a , ∴x=a,或 2a.

12 如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90°,BC=AC=2,AA1=4, D 为棱 CC1 上一动点,M、N 分别为△ABD、△A1B1R 的重心。 (1)求证:MN⊥BC; 答案:如图,连结 DM 并延长交 AB 于 E,则 E 为 AB 的中点,连结 DN 并延长交 A1B1 于 F,则 F 为 A1B1 的中点,且
DM 2 DN 2 ? , ? , ∴MN∥EF,又 EF∥BB1,BB1⊥BC,∴EF⊥BC,MN⊥ ME 1 NF 1

BC. (2)若二面角 C—AB—D 的大小为 arctan 2 ,求 C1 到平面 A1B1D 的距 离; 答案:∵BC=AC,E 为 AB 的中点,∴CE⊥AB,又 DC⊥平面 ABC,∴由三垂线定理知 DE⊥AB, ∴∠CED 为二面角 C-AB-D 的平面角, ∴tan∠CED= 2 又 CE= 2 , ∴CD=2, ∴D 为 CC1 的中点, ∴C1D=2 VD-A1B1C1=VC1-A1B1D= ·2· ·2·2= ·h·
1 3 1 2 1 3

3 2 3 2 ×(2 2 ) , ∴h= . 4 3

(3)若点 C 在平面 ABD 上的射影恰好为 M,试判断点 C1 在平面 A1B1D 上的射影是否 为 N?并说明理由。 答案:由已知 CM⊥平面 ABD,∴CM⊥DE,在 Rt△DCE 中,DM:ME=2:1,CE= 2 ,∴DE=2,∴ D 为 CC1 的中点,由对称性知 C1N⊥平面 A1B1D∴C1 在平面 A1B1D 上的射影是 N. 13 如图,在直三棱术 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90°,B1B=BC=CA=4, D1 是 A1B1 中点 E 是 BC1 的中点,BD1 交 AB1 于点 F (1)求证:AB1⊥BC1; 答案:解:∵ABC-A1B1C1 是直三棱柱,AC⊥BC,∴AC⊥平面 B1C1CB,∴AB1 在 平面 B1C1CB 上的射影为 B1C,又由已知 B1C1CB 为正方形,∴BC1⊥B1C 根据三 垂线定理,可得 AB1⊥BC1. (2)求二面角 B—AB1—C 的大小; 答案: 由 (1) BC1⊥AB1, 又 BC1⊥BC, ∴BC1⊥平面 AB1C 利用平面几何的知识知: 在平面 ABB1A1 内,AB1⊥BD1∴EF∴AB1,∴∠BFE 为二面角 B-AB1-C 的平面角.BE= BC1 ? ? 2 2 , 在 Rt△ABB1 中,BF=
AB ? BB1 4 2 ? 4 4 6 ? ? ,∴在 Rt△中,sin∠BFE= AB1 3 48

1 2

BE 3 ? , ∴∠BFE=60°,∴二面角 B-AB1-C 的大小为 60°. BF 2

(3)求点 C 到平面 BEF 的距离。 答案:(解法一) ∵E 为 B1C 的中点,∴C 到平面 BEF 的距离等于 B1 到平面 BEF 的距离,∵ ABC-A1B1C1 为直棱柱,A1C1=B1C1,D1 为中点,∴C1D1⊥A1B1,∴C1D1 平面 A1B1BA,∴CD1⊥B1F,又 由(2)知 B1F⊥BD1,∴B1F⊥平面 BEF,∴B1F 为 B1 到面 BEF 的距离,B1F= C 到平面 BEF 的距离为
4 3 . 3 4 3 ,∴C 到平面 BEF 3
4? 2 2 2 6 ? 4 3 ,∴ 3

(解法二)由(2)知 BC1⊥EF 于 M,得 CM⊥平面 BEF,可算得 CM=

的距离等于

4 3 . 3

14 如图,ABCD 是边长为 a 的正方体,M、N 分别在边 DA、BC 上滑动,且 MN∥AB, AC 与 MN 交于点 O, 现把平面 MNCD 沿 MN 折成 120°的二面角, 使它到平面 MNEF 位置。 (1)求证:不论 MN 怎样平行移动,∠AOE 的大小不变; 答案:设 BN=x,则 EN=a-x, 易知 MN⊥平面 BEN, 2 2 2 2 2 ∴∠ BNE=120 °,∴ BE =x +(a-x) +x(a-x)=x -ax+a , 又 AB ∥平面 BEN ,∴ AB ⊥ BE ,易得 AE =x -ax+2a ,而 AO= 2 x,EO= 2 (a-x),故 cos∠AOE=
AO2 ? EO2 ? AE 2 3 ? ? ,即不论 MN 怎样平行移动,∠AOE 的大小不变. 2 AO ? EO 4
a 2 7 2 a ) + a ,∴当 x= 时,AE 有最小值,此时 M、N 分别 AD、BC 2 4 2
2 2 2

(2)当 A、E 两点间的距离最小时,证明:平面 AOE⊥平面 ABE。 答案:∵AE =x -ax+2a =(x2 2 2

中点, ∵EN=BN=CN, ∴CE⊥BE, 又 AB⊥平面 ABE, 而 CE ? 平面 AOE, 故平面 AOE⊥平面 ABE. 考点 11 空间向量 ?求异面直线所成的角 ?求直线与平面所成的角 ?求二面角的大小 ?求距离 ?利用空间向量解立体几何中的探索问题 ?利用空间向量求角和距离 典型易错题会诊 命题角度 1 求异面直线所成的角 1. (典型例题Ⅰ) 如图 11-1, 四棱锥 P—ABCD 的底面为直角梯形, AB∥DC, ∠DAB=90°, PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=DC= AB=1,M 是 PB 的中点。 (1)证明:面 PAD⊥面 PCD; (2)求 AC 与 PB 所成的角; (3)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角 A-CM-B 的大小。 [考场错解] 第(2)问。∵PA⊥底面 ABCD,且∠DAB=90°∴AD、AB、AP 两两互相垂直, 建立如图所示的坐标系,则 A(0,0,0) ,C(1,1,0) ,B(0,2,0) ,P(0,0,1) , ∴ AC =(1,1,0) , PB =(0,-2,1) ,∴cosθ = 为 arccos(10 ). 5
AC ? PB | AC || PB | ?? 10 ∴AC 与 PB 所成的角 5

1 2

[专家把脉] 上述错解中有两个错误: (1) PB 的坐标应用 B 的坐标减 P 的坐标,∴ PB =(0, 2,-1) ; (2)异面直线所成角的范围不正确,公式记忆不准确,实际上异面直线所成的角 的范围不正确,公式记忆不准确,实际上异面直线所成的角的范围为(0°,90°) ,而

arccos(-

| AC ? PB | 10 . )为钝角,cosθ = 5 | AC | ? | PB |

[对症下药] (1)∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥CD,又 CD⊥AD,∴CD⊥平面 PAD,又 CD
? 平面 PCD,∴平面图 PAD⊥平面 PCD。

(2)∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥CD,PA⊥AB,又 AD⊥AB,∴可以建立如图所示空间坐 标系,则由已知 A(0,0,0) 、C(1,1,0) 、B(0,2,0) 、P(0,0,1)∴ AC =(1, 1,0) , PB =(0,2,-1) ,设 AC 与 PB 成角为θ ,则 cosθ =
10 . 5
1 2 1 2
| AC ? PB | | AC | | PB | ? 10 ,∴AC 与 PB 5

所成的角为 arccos

(3) ∵M 为 PB 的中点,∴M(0,1, ) ,∴ AM =(0,1, ) , AC =(1,1,0)设 n1=(x,y,z) 为平面 AMC 的法向量,则 n1⊥ AM ,n1⊥ AC ,∴y= z=0,x+y=0,令 x=1,得 y=-1,z=2, ∴ n1=(1,-1,2)为平面 AMC 的一个法向量,同理可求得 n2=(1,1,2)为平面 BMC 的一个法向 量,∴n1、n2 的夹角为 arccos ,而从图中可看出 A-MC-B 为钝角,∴二面角 A-CM-B 的大小为 ? ? arccos 。 2. (典型例题)如图 11-2,在直四棱术 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=2, DC=2 3 ,AA1= 3 ,AD⊥DC,AC⊥BD,垂足为 E。 (1)求证 BD⊥A1C; (2)求二面角 A1-BD-C1 的大小; (3)求异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小。 [考场错解]第(3)问,由已知 AD、DC、DD1 两两互相垂直,∴建立如图所示的空间直角 坐标系,∴A(2,0,0) 、D(0,0,0) 、B(2, 2 3, 0) C( 2 3,3) ∴ AD(-2, 0, 0) (-2, 0, 3 ) 。 cosθ = BC1 = 1 0, ∴AD 与 BC1 所成的角为 arccos
2 7 . 7
| AD ? BC1 | | AD | ? | BC1 |

1 2

2 3

2 3

=

4 2 7 ? , 2?7 7

[专家把脉] B 点坐标计算错误,其实质是位置关系未分析清楚,错误地认为 AB⊥AD,BC⊥CD, 本题还会出现以 BD 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴的建立坐标系的错误. [对症下药] (1) ∵ABCD—A1B1C1D1 为直四棱柱。 ∴AA1⊥底面 ABCD, ∴A1C 在底面 ABCD 上的射影为 AC,又由已知 AC⊥依三垂线定 理可得 BD⊥A1C。 (2)如图,以 D 为坐标原点,DA、DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系。

连接 A1E1、C1E1、AG1。与(1)同理可证,BD⊥A1E1,BD⊥C1E1,∴∠A1EC1 为二面角 A1-BD-C1 的平面角。 由 A1 ( 2 , 0
3

)、 C1 ( 0 , 2

3



3

)、 E (

3 3 , ,0 ), 得 2 2

1 3 3 3 3 3 9 EA , 3 ), EC1 ? (? , , 3 ),? EA 1 ? ( ,? 1 ? EC1 ? ? ? ? 3 ? 0,? EA 1 ? EC1, 2 2 2 2 4 4

即 EA1⊥EC1。∴二面角 A1-BD-C1 的大小为 90°。 (3)在平面 ABCD 中,过 A 作 BF⊥AD,交 DA 的延长线于 F,由 AD=2,CD=2 3 ,得 AC=4,∠DAE=60°,∴AE=1,在 Rt△AEB 中,AB=2,AE=1,∠BAE=60°,在 Rt△AFB 中 AB=2,∠BAF=60°,∴BF= 3 ,AF=1, DF=2+1=3,∴B 的坐标为(3, 3 ,0)由 D(0,0,0) 、A(2,0,0) 、 C1 ( 0 , 2 3 , 3 ) 、B(3, 3 ,0) ,得
AD ? (?2,0,0), BC1 ? (?3, 3 , 3 ),? AD ? BC1 ? 6. | AD |? 2,| BC1 |? 15 ,

∴ cos ( AD 、 BC1 ) = arccos
15 。 5

AD ? BC1 | AD || BC |

?

6 2 15

?

15 ,∴异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小为 5

本题还可以 E 为坐标原点,EB、EC 分别为 x 轴和 y 轴,则 z 轴与 AA1 平行,E(0,0,0) 、 A1(0,-1, 3 ) 、C1(0,3, 3 )B( 3 , ) 0,0) 、D( 3 -,0,0) 、A(0,-1,0) ,其中 A1、D、A 的坐标容易求错。 专家会诊 利用空间向量求异面直线所成的角, 公式为 cos ? ?
| a?b | , 关键是正确地建立坐标系进而写 |a|?|b|

出各有关点的坐标,建立坐标会出现用三条 两两不垂直的直线作 x 轴、y 轴、z 轴的错误,还会出现用三条两两互相垂直但不过同一点 的三条直线作 x 轴、y 轴、z 轴的错误。写点的 坐标也容易出现错误,学习时要掌握一些特殊点坐标的特点,如 x 轴上的点坐标为(a,0, 0) ,xoz 面上的点坐标为(a,0,b)等,其次还 应学会把某个平面单独分化出来,利用平面几何的知识求解,如本节的例 2,求 B 的坐标。 考场思维训练 1. 已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 2a,高为 b, 求异面直线 AC1 和 A1B 所成的角。 答案:如图:∵ABC-A1B1C1 为正三棱柱,∴AA1⊥平面空间直角坐标系.则 A(0,0,0) 、A1 (0,0,b) 、B(a, 3 a,0) 、C1(2a,0,b), ∴ AC1 ? (2a,0, b), A1B ? (a, 3a,?b)



cos θ =
2a2 ? b2 4a2 ? b2

| AC1 ? A1B | | AC1 || A1B |

?

| 2a 2 ? b2 | 4a ? b
2 2

,当a ?

2 b,时, AC1 与 A1B 所成的角为 arc 2

cos

;当a ?

2 b时, 2

AC1 与 A1Ba 所成的角为π -arc cos

2a 2 ? b 2 4a 2 ? b 2

.

2.如图 11-4,在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 D1D,BD 的中点, G 在 CD 上,且 CG= CD,H 为 C1G 的中 点。 (1)求证:EF⊥B1C; 答案:建立如图所示的空间直角坐标系,由已知有 E(0,0, ) 、F( ,
1 3 ,0) 、C(0,1,0) 、B1(1,1,1) 、G(0, ,0) 2 4 1 2 1 2 1 4

(1)∵ EF ? ( , ,? ) B1C ? (?1,0,?1).? EF ? B1C ? 0, 得 EF⊥B1C. (2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦; 答案: C1G ? (0, ,0)-(0,1,1)=(0,- ,-1), ∵ | C1G |?
17 3 3 ,| EF | ? , EF ? C1G ? , 4 2 8
3 8 17 3 ? 4 2 51 . 17

1 1 2 2

1 2

3 4

1 4

∴cosθ =

?

(3)求 FH 的长。 答案:由中点坐标公式,得 H 的坐标为(0,
FH ? (-

7 1 1 1 , )又 F( , ,0), ∴ 8 2 2 2

1 3 1 41 , , ),FH= | FH | ? . 2 8 2 8

3. 如图 11-5 四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是矩形, PA⊥底面 ABCD, PA=AB=1, BC=2。 (1)求证:平面 PAD⊥平面 PCD; 答案:由已知 PA⊥平面 ABCD,又 ABCD 为矩形, ∴CD⊥AD, ∴CD⊥平面 PAD,∴面 PAD⊥面 PCD. (2)若 E 是 PD 的中点,求异面直线 AE 与 PC 所成角的余弦值; 答案: A(0,0,0)、P(0,0,1) 、D(0,2,0) ,E 为 PD 中点,
1 1 ∴E(0,1, )、C(1,2,0) ,∴ AE ? (0,1, ), PC ? (1,2,?1),? cos?PC, AE ?? 2 2

2? 6?

1 2 5 2

?

30 , 10

∴AE 与 PC 所成角的余弦值为

30 10

(3)在 BC 边上是否存在一点 G,使得 D 点在平面 PAG 的距离为 1,如果存在,求出 BG 的值;如果不存在,请说明理由。 答案:假设 BC 边上存在一点 G 满足 D 到 PAG 的距离为 1,设 G(1,y ,0),则 AP =(0,0,1)
AG =(1,y,0),设 n=(a、b、c)为平面 PAG 的一个法向量,由 n⊥ AP ,得 c=0,由 n⊥ AG ,得

a+by=0,令 a=1,得 b=-

1 1 | n ? AD | ,∴n=(1, - ,0) 为平面 PAG 的一个法向量,∴d= ? 1 ,解得 y y |n|

y= 3 ,∴BC 上存在一点 G,BG= 3 ,使得 D 到平面 PAG 的距离为 1.

命题角度 2 求直线与平面所成的角 1. (典型例题)如图在三棱锥 P—ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=KPA,点 O、D 分别是 AC、 PC 的中点,OP⊥底面 ABC。 (1)当 k= 时,求直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小; (2)当 k 取何值时,O 在平面 PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心? [考场错解](1)∵PO⊥OC,PO⊥OB,又 AB=BC,O 为 AC 的中点,∴BO⊥OC,∴以 O 为坐标原点,OB、OC、OP 所在直线 x、y、z 轴建立穿间直角坐标系, 则O (0, 0, 0) 、 C (0, a,0) 其中设 AC=2a, A (0, -a,0) P(0,0, 7 a )、 B(a,0,0)∴ PA =(0,-a,- 7 a), PB = (a,0,- 7 a)
PC =(0,a,- 7 a),设 n= (x,y,z) 为平面 PBC 的一个法向量, 由 n⊥ PB ,得 ax- 7 az=0,由 n⊥ PC ,

1 2

得 ay- 7 az=0,令 x=1,得 z=

7 ,y=1, ∴n=(1,1, 7
210 . 30

| PA ? n | 7 ? )为平面 PBC 的一个法向量, 设 PA 与平面 PBC 所成的角为θ , 则 cosθ = 7 | PA | ? | n |

[专家把脉] 公式记忆错误,其实质是未能把直线与平面所成的角与向量的夹角联系上 , 线与平面所成角的正弦值. [对症下药](1)由错解和错因知,设 PA 与平面 PBC 所成的角为θ ,则 cosθ = ∴θ =arcsin
210 . 30 210 . 30
| PA ? n | | PA | ? | n | ? 210 , 30 | PA ? n | | PA | ? | n |

应为直

∴PA 与平面 PBC 所成的角为 arcsin

(2) 设 P(0,0,b), 则 PB =(a,0,-b), PC =(0,a,-b), 设 G 为△ PBC 的重 心 , 则 由穗主坐标 公式 得

G( , , ),由已知 OG⊥平面 PBC, ∴ 在 Rt△POA 中, PA= 2 a,又 AB= 2 a, ∴R=1, ∴当 k=1 OG ? PC, OG ? PB ,得 a=b,即 PO=a, 时 O 在平面 PBC 内的射影为△PBC 的重 心。 2. (典型例题Ⅱ)如图 11-7,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD⊥底面 ABCD,AD=PD,E、F 分别为 CD、PB 的中点。 (1)求证 EF⊥平面 PAB; (2)设 AB= 2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小。 [考场错解] 第(2)问,由已知 PD⊥CD,PD⊥AD,CD⊥AD,∴建立如图所示的空间直 角坐标系,设 BC=a,则 AB= 2 a,可得 D(0, 0,0) 、C( 2 a,0,0) 、A(0,a,0) 、B(a, 一个法向量的坐标,利用公式 sinθ =
2 a,0) ,以后算出 AC 的坐标,平面 AEF 的

a a b 3 3 3

| AC ? n | | AC | ? | n |

得出结果。 [专家把脉] B 的坐标写错,由于本题中所建坐标系与通常所建坐标系在直观上有所不同,其 实质还是求点的坐标不熟练所致。 [对症下药] (1)连接 PE、BE、CF、FD。在 Rt△PED 中,PE= ED2 ? PD2 ,在 Rt△BCE 中,BE= BC 2 ? CE 2 , 又由已知 AD=BC=PD, CD=ED,∴PE=BE,又 F 为 PB 中点,∴EF⊥PB ,又在 Rt△PBC 中,CF= PB,在 Rt△ PDB 中,DF= PB,∴CF=DF,∴EF⊥CD, 又 AB∥CD,∴EF⊥AB,∴EF⊥平面 PAB; (2)由已知 PD⊥CD,PD⊥AD,又 AD⊥CD,所以建立如图 11-8 所示的空间直角坐标系, 设 BC=a,则 AB= 2 BC= 2 a,得 D(0,0, 0) 、C( 2 a,0,0) 、A(0,a,0)B( 2 a,a,0) 、P(0,0,a) ,由中点坐标公式得 E( F(
2 a a a, , )∴ 2 2 2
2 , a,0,0 ) 2
1 2 1 2

a a 2 AC ? ( 2a,?a,0), EF ? (0, , ), AE ? ( a,?a,0) 设 n=(x,y,z)为平面 AEF 的一个法向量,由 n⊥ 2 2 2
EF ,得

a a 2 2 2 2 2 y ? z ? 0,由n ? AE, 得 ax ? ay ? 0, 令x ? 1, 得y ? ,z ? ? ,? n ? (1, ,? ) 为平面 AEF 的一 2 2 2 2 2 2 2

个法向量,设 AC 与平面 AEF 所成 的角为θ ,则 sinθ = [专家会诊]
| AC ? n | | AC | ? | n | ? 3 3 . ∴AC 与平面 AEF 所成的角为 arcsin . 6 6

求直线与平面所成角的公式为: sinθ =

| a?n| ,其中 a 为直线上某线段所确定的一个向量, n |a|?|n|

为平面的一个法向量,这个公式很容易记错, 关键是理解,有些学生从数形结合来看,认为 n 应过直线上某个点,如例 4 中 n 应过 C 点,这是错误的,这里 n 是平面的任意一个法向量, 再说一个向量过某一个具体的点这种说法也是错误的。 考场思维训练 1 如图 11-9,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90°AC=2,BC=6, D 为 A1B1 的中点,异面直线 CD 与 A1B 垂直。 (1)求直三棱术 ABC-A1B1C1 的高; 答案:以 CA、CB、CC1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标 系,则由已知有 A1(2,0,x) 、B(0,6,0) 、D(1,3,x) ,C(0,0,0) ,其 中 x 为直三棱柱, ∴ A1B ? (?25,6,? x),CD ? ( 1, 3, x) ,又 A1B⊥CD, ∴ A1B · CD =0, 得(-2)?1+6?3-x =0,解得 x=4 或 x=-4(舍去) ∴直三棱柱的高为 4. (2)求直线 A1B 与平面 CC1A1C 所成的角。 答案:由(1)知 A1B =(-2,6,-4),又 BC⊥平面 ACC1A1 ∴ BC 为平面 CC1A1C 的—个法向量,又 BC (0,-6,0) ∴sinθ =
| A1B ? BC | ? | A1B | ? | BC | 36 56 ? 6 ? 3 4 . 14
2

∴直线 A1B 与平面 CC1A1C 所成的角为 arc sin

3 4 . 14

2 如图,已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面边长 AB=2,侧棱 BB1 的长为 4,过点 B 作 B1C 的垂线交侧棱 CC1 于点 E,交 B1C 于点 F。 (1)求证:A1C⊥平面 BED; 答案:以 DA、DC、DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 D(0,0,0)、A(2, 0,0)、A1(2,0,4)、B(2,2,0),设 E(0,2,x)则 BE =(-2,0,x), B1C =(-2,0,-4), 由已知 BE ⊥ B1C ∴ BE · B1C =0,得 x=1,∴E(0,2,1),∴ BE = (-2,0,1), BD =(-2,-2, 0), A1C =(-2,2,-4),由 A1C · BE =0 知 A1C⊥BE, A1C ?BD=0 知 A1C⊥BD,∴A1C⊥平面 BED (2)求 A1B 与平面 BDE 所成的角是正弦值。 答案:由 (1) 知 A1C =(-2 , 2 , -4) 为平面 BED 的一个法向量, A1B =(0 , 2 , -4), ∴ sin θ =
| A1C ? A1B | A1C | A1 B | ? 30 , 6

∴θ =arc sin

30 . 6

∴A1B 与平面 BDE 所成的角为 arc sin

30 . 6

3 已知四棱锥 P-ABCD(如图) ,底面是边长为 2 的正方形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,M、N 别为 AD、BC 的中点,MQ⊥PD 于 Q,直线 PC 与平面 PBA 所成角的正弦值为
3 3

(1)求证:平面 PMN⊥平面 PAD; 答案:以 A 为坐标原点,分别以 AB、AD、AP 所在的直线为 x 轴、y 轴和 z 轴,建立空间直 角坐标系(图略). 设 PA=a,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2, 0),P(0,0,a),M(0,1, 0),N(2,1,0). ∴ MN =(2,0,0), AP =(0,0,a), AD =(0,2,0), ∴? ?
?MN ? AP ? 0 ? ?MN ? AD ? 0

,∴MN⊥平面 PAD.

∵MN ? 平面 PMN,∴平面 PMN⊥平面 PAD. (2)求 PA 的长; 答案: PC =(2,2,-a),平面 PBA 的一个法向量为 n= AM =(0,1,0) ∵直线 PC 与平面 PBA 成角的正弦值为 ∴|cos< PC ,n>|=
| 即 2 2 ? 2 ? (?a) ? 0 ? 1 ? 0
2 2 2 2 2

3 , 3

3 3
|= 3 , 3

2

∴a=2,即 PA=2. (3)求二面角 P-MN-Q 的余弦值。 答案:由(Ⅰ),MN⊥平面 PAD,知 MQ⊥MN,MP⊥MN, ∴∠PMQ 即为二面角 P—MN—Q 的平面角. 而 PM= 5 ,MQ=
2 2 ,MD= , 2 2

2 MQ 10 2 ? ? . ∴cosPMQ= PM 10 5

∴二面角 P-MN-Q 的余弦值为

10 . 10

命题角度 3 求二面角的大小 1. (典型例题)在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平 面 VAD⊥底面 ABCD,如图 11-12。 (1)证明:AB⊥平面 VAD; (2)求二面角 A-VD-B 的大小。

[考场错解( ] 2) 过 V 作 VO⊥AD 于 O, 由已知平面 VAD⊥底面 ABCD, ∴VO⊥底面 ABCD, ∴以 OA、OV 分别为 x、z 轴建立空间坐 标系, 则分别算出 VAD 与 VBD 的法向量 n1= (0, 1, 0) ,n2= (1, -1, ∴二面角 A-VD-B 的大小为 ? ? arccos
21 . 7
3 21 ) , ∴cos(n1? n2)=。 3 7

[专家把脉] 认为两平面的法微量是的夹角等于二面角的大小,这是错误的,实际上法向量 的夹角与二面角的平面角相等或互补。本题中 A-VD-B 为一锐二面角。 [对症下药](1)∵平面 VAD⊥平面 ABCD,AB⊥AD, ∴根据两面垂直的性质和 AB⊥平面 VAD。 (2) 过 V 作 VO⊥AD 于 O, 由平面 VAD⊥平面 ABCD, 得 VO⊥底面 ABCD, ∴可以建立如衅 11-13 所示的空间直角坐标系,设正方形的边长为 1,则 A ( ,0,0) 、B( ,1,0) 、C(- ,1,0) 、D(- ,0,0) 、V(0,0, 由(1)知 AB =(0,1,0)为平面 VAD 的一个法向量, VB ? ( ,1,? 设 n=(x,y,z)为平面 VDB 的一个法向量,由 n⊥ VB, 得 x ? y ? x=1,得 y=-1,z=AB ? n 21 3 ?? . 。∴cos< AB ,n>= 7 3 | AB | ? | n |

1 2

1 2

1 2

1 2

3 ) 2

1 2

3 , ), BD ? (-1,-1,0) 2

1 2

3 z ? 0,由n ? BD, 得,x+y=0,令 2

又由图形知二面角 A-VD-B 为锐二面角,∴二面角 A-VB-B 的大小为 arccos

21 . 7

2. (典型例题)如图 11-14,已知三棱锥 P-ABC 中,E、F 分别是 AC、AB 的中点,△ABC、 △PEF 都是正三角形,PF⊥AB。 (1)证明:PC⊥平面 PAB; (2)求二面角 P-AB-C 的平面角的余弦值; (3)若点 P、A、B、C 在一个表面积为 12π 的球面上,求△ABC 的边长。 [考场错解] 以 EB、EC、EP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系。 [专家把脉] 坐标系建立错误,实际上 BE⊥EC,PE⊥EC 都可以证得,但 PE 与 EB 不垂直, 本题用穿间向量来解没有用传统方法来解方便, 建立坐标系错误或不知息样建立坐标系的穿 间向量中的常见错误。 [对症下药] ∵F 为 AB 中点,PF⊥AB,∴PA=PB,又△PEF 为正三角形,∴PE=PF,在△ PAE 与△PAF 中,PE=PF,AE=AF,∴△PAE≌△PAF,∴∠PEA=∠PEF=90°,又 E 为 AC 中点,∴PA=PC,∴PA=PB=PC,∴P 在底面 ABC 上的射影为正△ABC 的中心,建立如图 11-14 所 示 的 空 间 坐 标 系 , 设 底 面 △ ABC 的 边 长 为 2a , 则 PA=PB=PC= 2 a , ∴ PO= 2a2 ? a2 ? ∴P(0,0, (1) PC ? (?
4 3 6 a, 3

6 2 3 3 2 3 3 a) ,C( ,A( a,?a 0) ,C( ? ,B( a, a, 0) 。 a, 0,0) a, 0,0) 3 3 3 3 3

2 3 6 3 6 a,0,? a), PA ? ( a,?a,? a) 由 PC ? PA ? 0, 知 PC⊥PA,同理 PC⊥BP,∴ 3 3 3 3

PC⊥平面 PAB。 (2)由(1)知 PC =( ?
2 3 6 6 a,0,? a )为平面 PAB 的一个法向量, OP =(0,0, a) 3 3 3

为平面 ABC 的一个法向量,cos< PC, OP >= 余弦值为
3 。 3

PC ? OP | PC | ? | OP |

?

3 . 又由图形知 P-AB-C 的平面角的 3

(3)由已知球半径为 3 ,又 PA、PB、PC 两两互相垂直,∴PA2+BP2+PC2=(2 3 )2,得 PA=2,∴AB=2 2 ,即正三角形的边长为 2 2 专家会诊 利用空间向量求二面角,先求两平面的法向量,利用向量的夹角公式求出两 法现量的夹角,二面角的平面角与法向量的夹角相等或互补,具体是哪一种, 一般有两种判断方法: (1)根据图形判断二面角是锐角还是钝角; (2)根据 两法向量的方向判断。实际上很多求二面角的题目,还是传统方法(如三垂 线定理作出二面角的平面角)简单,或传统方法与空间向量相结合来解。 考场思维训练 1 如图,在三棱锥 P-OAC 中,OP、OA、OC 两两互相垂直,且 OP=OA=1,OC=2,B 为 OC 的中点。 (1)求异面直线 PC 与 AB 所成角的余弦值; 答案:解:以 OA、OC、OP,所在直线为,x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐 标系.则 O(0,0,0)、P(0,0,1)、C(0,2,0)、B(0,1,0). (1) PC =(0,2,-1), AB =(-1,1,0),cos< PC , AB > PC 与 AB 所成角的余弦值为
10 . 5
PC ? AB | PC |? | AB ? 10 ,∴ 5

(2)求点 C 到平面 PAB 的距离; 答案: PA =(1,0,-1), AB =(-1,1,0),设 n1=(x,y,z)为平面 PAB 的一个法向量,则 x-z=0,x-y=0,令 x=1 得 n1=(1,1,1)为平面 PAB 的一个法向量.
CB =(0,-1,0),∴d=

| CB ? n1 | | n1 |

?

1 3

?

3 . 3

∴C 到平面 PAB 的距离为

3 . 3

(3)求二面角 C-PA-B 的大小(用反余弦表示) 。

答案: AC =(-1,2,0), PA =(1,0,-1),设 n2=(x,y,z)为平面 PAC 的一个法向量,由 2y-x=0,x-z=0,令 x=1,得 n2=(1, ,1)为平面 PAC 的一个法向量.∴cos∠n1,n2>= 又由图形知 C-PA-B 为锐二面角. ∴C-PA-B 的大小为
5 3 . 9
1 2

5 3 , 9

2 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=AD=2,点 M、N 分别在棱 PD、PC 上,且 PC⊥平面 AMN。 (1)求证:AM⊥PD;

答案:解析:(1)由已知 PC⊥平面 AMN,得 PC⊥AM,又可得 CD⊥平面 PAD,∴CD⊥AM,∴AMA ⊥平面 PCD, ∴AM⊥PD. (2)求二面角 P-AM-N 的大小; 答案:以 AB、AD、AP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则由已知 A(0,0,0),P(0, 0,2)C(2,2,0),可以算得 N 分 PC 的比为 ,∴N( , , )、M(0,1,1)、 PC =(2, 2,-2)为平面 AMN 的一个法向量, AB =(2,0, 0)为平面 PAM 的一个法向量,且 cos∠ AB ,
PC >

1 2

2 3

2 3

4 3

3 . 3 3 3

∴P——AM——N 的大小为 arc cos

.

(3)求直线 CD 与平面 AMN 所成角的大小。 答案: CD =(-2,0,0),sinθ =
| CD ? PC | | CD | ? | PC | ? 3 . 3

∴CD 与平面 AMN 所成角为 arcsin

3 . 3

3 如图所示,已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 4,AA1=6,Q 为 BB1 的中点, P∈DD1,M∈A1B1,N∈C1D1,AM=1,D1N=3。

(1)当 P 为 DD1 的中点时,求二面角 M-PN=D1 的大小; 以 A1D1 为 x 轴,D1C1 为 y 轴,DD1,为 z 轴,D1 为原点,建立空间直角坐标系则 D1(0,0,0)、 A1(4,0,0)、P(0,0,3)、M(4,1,0)、N(0,3,0) ∴ D1 A1 =(4,0,0), PN =(0,3,-3), PM =(4,1,-3) 显然 D1 A1 是面 PD1N 的法向量. 设面 PMN 的法向量为 n=(x,y,z)
?n ? PM ? 0 ? ? ? 则由 ? ? ? ? ?n ? PN ? 0

?4 x ? y ? 3 z ? 0 得? . ?3 y ? 3z ? 0

∴y=z=2x 不妨取 n=(1,2,2),设 D1 A1 与 n 成角θ 则 cosθ =
D1 A1 ? n | D1 A1 | ? | n | ? (4,0,0) ? (1,2,2) 4 ?0 ?0 ? 1 ?2 ?2
2 2 2 2 2 2

1 ? . 3

∴θ =arc cos .

1 3

由题知二面角 M--PN--D1 大小为 arccos . (2)在 DD1 上是否存在点 P,使 QD1⊥面 PMN?若存在,求出点 P 的位置;若不存在, 请说明理由; 答案: MN =(-4,2,0), QD1 =(-4,-4,-3) ∵ QD1 ? MN =(-4,-4,-3)?(-4,2,0)=8≠O ∴QD1 与 MN 不垂直. ∴不存在点 P 使 QD1⊥面 PMN. (3)若 P 为 DD1 中点,求三棱锥 Q=PMN 的体积。 答案: P(0,0,3)、M(4,1,0)、N(0,3,0)、 PM =(4,1,-3),
PN

1 3

=(0



3
PM



-3)

, |=

|

42 ? 12 ? (?3) 2 ? 26 | PN |? 02 ? 32 ? (?3) 2 ? 18 cos ? PM , PN ??

PM ? PN | PM | ? | PN |

?

3?9 26 ? 3 2

?

2 13

.

sin ?MPN ? 1 ? S?PMN ?

4 3 ? . 13 13

1 1 3 ? | PM |? | PN | ? sin ?MPN ? ? 26 ? 18 ? ? 9. 2 2 13

PQ ? (4,4,0)

由(1)取平面 PMN 的法向量 n=(1,2,2)则 Q 到平面 PNM 的距离 h=
1 3 1 3

| n ? PQ | | 4?8| ? ?4 |n| 1 ? 22 ? 22

∴VQ-PMN= ?S△PMN?h= ?9?4=12. 命题角度 4 求距离 1. (典型例题)如图 11-18,直二面角 D-AB-E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点且 BF⊥平面 ACE。 (1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求二面角 B-AC-E 的大小; (3)求点 D 到平面 ACE 的距离。 [考场错解] 第(3)问,以 A 为坐标原点,AB、AD 分别为 y 轴,z 轴建立空间坐标系,由 (1)知∠AEB=90°∴∠EAB=45°,可得 E(1,1,0) ,在 Rt△BCE 中,F 分 CE 的比为 2, ∴F( , , ) , BF ? ( ,? , ) 为平面 BCE 的一个法向量, DB ? (0,2,-2) ,∴D 到平面 ACE 的距离 d=
| DB ? BF | | DB | ? 2 2 . 3

2 4 2 3 3 3

2 3

2 2 3 3

[专家把脉] 点到面的公式用错,求 A 到平面α 的距离的公式为 d ?

| a?n| , 其中 a 为 A 且与 |n|

α 相交的线段所确定的向量,n 为平面的任一非零法向量。本题若用 D 到面 ACE 的距离等 于 B 到面 ACE 的距离,而后者即为 BF,将会更简单。 [对症下药] (1)∵BF⊥平面 ACE,∴BF⊥AE,又 D-AB-E 为直二面角,CB⊥AB,∴CB ⊥平面 AEB,∴CB⊥AE ,∴AE⊥平面 BCE。 (2)以 A 为坐标原点,AB、AD 分别为 y 轴、z 轴建立如衅 11-18 所示的空间坐标系,则 由∠AEB=90°,AE=EB,得∠EAB=45°,AE= 2 ,得 E(1,1,0) ,在 Rt△BCE 中,F 分 CB 的比为 2,∴F( , , ) , BF ? ( ,? , ) 为平面 ACE 的一个法向量,平面 ABC 的一 人法向量为 x 轴,取 n=(1,0,0), ∴cos(n, BF )= 的大小为 arccos
3 . 3
| DB ? BF | | BF | ? 2 2 . 3

2 4 2 3 3 3

2 3

2 2 3 3

3 ,又由图知 B-AC-E 为锐二面角。∴B-AC-E 3

(3) DB ? (0,2,-2), ∴D 到平面 ACE 的距离 d=

2. (典型例题)如图 11-19,在三棱锥 S-ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC ⊥平面 ABC,SA=SC= 2 3 ,M、N 分别为 AB、SB 的中点 (1)证明:AC⊥SB; (2)求二面角 N-CM-B 的大小。 (3)求点 B 到平面 CMN 的距离。 [考场错解] 因为平面 SAC⊥平面 ABC,∴SC⊥平面 ABC,∴C 为坐标原点,CB、CS 为 y 轴、z 轴建立空间坐标系。 [专家把脉] 坐标系建立错误,实质是对二面垂直的性质不熟悉所致,SC 与平面 ABC 不垂 直。 [对症下药] 取 AC 中点 O,连续 OS、OB,∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥OB,又 平面 SAC⊥平面 ABC,SO⊥AC, ∴SO⊥平面 ABC,∴SO⊥BO。以 OA、OB、OC 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建 立空间直角坐标系如下图。 (1)A(2,0,0) 、B(0,2 3 ,0) 、C(-2,0,0) 、S ( 0 , 0 , 2 2 ) 、M (1, 3 ,0) 、N(0, 3 , 2 )∴ AC =(-4,0,0) , SB =(0,2 3 ,-2 2 )∵ AC ? SB ? 0, ∴AC⊥SB。 (2)由(1)得 CM ? (3, 3 ,0), MN ? (?1,0, 2 ), 设 n=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,则
? ?CM ? n ? 3x ? 3 y ? 0 可得 n=( 2 ,? 6 ,1 )为平面 CMN 的一个法向量,又 OS =(0,0,2 2 ) ? ? ?MN ? n ? ? x ? 2 z ? 0,

为平面 ABC 的一个法向量,∴ cos<n, os >

=

| n ? OS | | n | ? | OS |

?

1 , 又由图知二面角 N-CM-B 的大小为锐角,∴二面角 N-CM-B 的大小为 3

arccos 。 (3)由(1) 、 (2)得 MB ? (?1, 3,0), n ? ( 2 ,? 6 ,1) 为平面 CMN 的一个法向量。 ∴点 B 到平面 CMN 的距离 d=
| n ? MB | 4 2 ? . |n| 3

1 3

专家会诊 立体几何中的距离以点到面的距离最为重要利用空间和量求点到面的距离关键是对公式 d=
|a?n| 的理解和记忆,其中 a 为过该点且与平面相交的线段确定的向量,n 为平面的任意 |n|

一个法向量, 这个任意给解题带来了很大的方便。 当然有些题目用空间向量来解可能没有传 统方法简单。 考场思维训练 1 已知 ABCD 是边长为 4 的正方形,E、F 分别是 AB、AD 的中点,PC 垂 直于 ABCD 所在的平面,且 PC=2。 求点 B 到平面 PEF 的距离。 答案:解:以 CD、CB、CP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 C(0,0,0)、P(0, 0,2)、F(4,2,0)、E(2,4,0)、B(4,4,0),∴ PE =(2,4,-2), DF =(4,2,-2),设 n=(x, y, z)为平面 PEF 的一个法向量, 则由 n⊥ PE ,得 2x+4y-2z=0, 由 n⊥ PE 得 4x+2y-2z=0, 令 x=1,得 y=1,z=3,∴n=(1,1,3)为平面 PEF 的一个法向量. ∴d=
| n ? BE | 2 ? 11. |n| 11

2 如图:正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面边长是 3 ,侧棱长是 3,点 E、F 分别在 BB1、 DD1 上,且 AE⊥A1B,AF⊥A2C。 (1)求证:A1C⊥平面 AEF; 答案:∵CB⊥平面 A1B,∴A1C 在平面 A1B 上的射影为 A1B,又 A1B⊥AE,AE ? 平面 A1B.∴A1C⊥AE.同理 A1C⊥AF,∴A1C⊥平面 AEF. (2)求二面角 A-EF-B 的大小; 答案:以 D 为坐标原点,以 DA、DC、DD1 在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则 D(0,0,0)、A( 3 ,0,0)、A1( 3 ,0,3)、C(0, 3 ,0),由(1)知 A1C =(- 3 , 3 , -3)为平面 AEF 的一个法向量, 设 n 为平面 AEB 的一个法向量, 可以算得 F(0, 0, 1)、 E( 3 ,
3 ,1),∴ BE =(0,0,1)、 EF (- 3 ,- 3 ,0),由 n⊥ BE ,得 z=0,n⊥ EF ,得 x+y=0,

令 x=1, 则 y=-1, ∴n=(1, -1, 0)为平面 BEF 的一个法向量. ∴cos∠n, A1C >= 又从图知 A—EF—B 为锐二面角,∴二面角 A—EF—B 的大小为 a1ccos

n ? A1C 10 ? , | n | ? | A1C | 5

10 . 5

(3)求点 B1 到平面 AEF 的距离。 答案: B1( 3 , 3 ,3)、 B1E (0,0,-2)、 A1C (- 3 , 3 ,-3)为平面 AEF 的一个法向量, ∴d=
| BE ? A1C | 2 ? 15 . | A1C | 5

3 在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=PC,BC=2a,AC=a,AB= 3 a,点 P 到平面 ABC 的距离 为 a (1)求二面角 P-AC-B 的大小; 答案: 设 O 为 BC 中点, 则可证明 PO⊥面 ABC, 建立如图 3 所示的空间直角坐标系, 则A ( a, 3 3 a,0 ) 、 B ( -a,0,0 ) 、 C(a,0,0) 、 P ( 0 , 0 , a ) , AC 中 点 D 2 2

3 2

1 2

( a,?

3 4

3 3 3 3 3 3 a,0), AB ? (? a, a,0), DP ? (? a; a, a) ,AB⊥AC,PA=PC,PD 4 2 2 4 4 2

⊥ AC , cos< AB, DP > 即 为 二 面 角 P-AC-B 的 余 弦 值 。 而
3 3 3 3 (? a)(? a) ? a? a?0 1 2 4 2 4 ? 2 9 2 3 2 9 2 3 2 9 2 a ? a ?0 ? a ? a ? a 4 4 16 16 4

cos< AB, DP >=

∴二面角 P-AC-B 的大小为 60° (2)求点 B’到平面 PAC 的距离。 答案:由(1)知 AP =( a, 则
AP, 得 ?

1 2

3 3 3 a, a),CP ? (?a,0, a)设 n=(x,y,z)为平面 PAC 的一个法向量, 2 2 2



n



1 3 3 3 2 3 ax ? ay ? az ? 0, n ? CP , 得 ? ax ? az ? 0, 令x ? 1, 得z ? , y ? ? , 2 2 2 2 3 3 3 2 | BC ? n | 3 , )为平面PAC的一个法向量, BC ? (2a,0,0),? d ? ? a. 3 3 2 |n|
3 2

? n ? (1,?

∴B’到平面 PAC 的距离为 a . 探究开放题预测 预测角度 1 利用空间向量解立几中的探索性问题 1.如图 11-23,PD⊥面 ABCD,ABCD 为正方形,AB=2,E 是 PB 的中点,且异面直线 DP 与 AE 所成的角的余弦为
3 。 3

试在平面 PAD 内求一点 F,使 EF⊥平面 PCB。 [解题思路] 建立空间坐标系,DP 与 AE 所成的角的余弦为
3 ,求出 E 的 3

坐标,再设 F 的坐标,得用 EF ? CB, EF ? PC 求解。 [解答] 以 DA、DC、DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图 11-24 所示的穿间直角坐 标系,则 A(2,0,0) 、B(2,2,0) 、C(0,2,0) ,设 P(0,0,2m)则 E(1,1,m) ,
? AE ? (?1,1, m), DP ? (0,0,2m)
2m 2 1 ? 1 ? m ? 2m
2

∴cos< AE, DP >= ∴P(0,0,2),E(1,1,1)

?

3 , 得 m=1. 3

∵F∈平面 PAD, ∴可设 F (x,0,z) , EF =(x-1,-1,z-1)、 EF⊥平面 PCB, ∴ EF ? CB , ∴ EF ? CB =0, 即(x-1,-1,z-1) ?(2,0,0)=0, ∴x=1,又由 EF ? FC ,得(x-1,-1,z-1) ?(0,z,-1)=0,得 z=0. ∴点 F 的坐标是(1,0,0) ,即点 F 是 AD 的中点时 EF⊥平面 PCB。 2.如图 11-25,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,面 ABCD 是一个直角梯形,AB、CD 为梯形

的两腰,且 AB=AD=AA1=a。 (Ⅰ)如果截面 ACD1 的面种为 S,求点 D 到平面 ACD1 的距离; (Ⅱ)当
AB 为何值时,平面 AB1C⊥平面 AB1D1。证明你的结论。 BC

[解答思路] 第(1)问用传统方法的等体积法求解较为方便,第(2)问是一个探索条件的 题目,在立体几何中这一类问题用空间向量是来解具有优越性。 [解答] (1)由 VD-ACD1=VC-ADD1,过 C 作 CE⊥AD。∵ABCD-A1B1C1D1 为直四棱柱。 ∴平面 ABCD⊥平面 AA1BD,∴CE⊥平面 ADD1A1,∴CE=a 是 C 到平面 ADD1 的距离。 ∴ sh= ? a2 ? a, 解得h ?
1 3

1 1 3 2

a3 a3 . ∴即点 D 到 ACD1 的距离为 . 2s 2s

(2)分别以 A1B1,A1D1,A1A 为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图 11-26 所示的 空间直角坐标系,则 A1(0,0,0) 、A(0,0,a) 、B1(a,0,0),设 c(a,b,a), 设 n1=(x,y,z)是平面 AB1C 的一个法向量, AB1 (a,0,-a), AC ? (a,b,0), ∴ n1? AB1 =0,n1? AC ? 0,得 ax-az=0,ax+by=0,令 x=1, ∴n1=(1,法向量 n2=(1,1,1). ∵平面 AB1C⊥平面 AB1D1,∴n1⊥n2,即 n1?n2=0 ∴1a a AB ? 2 时,平面 ABC⊥平面 AB1D1。 +1=0,解得 =2,即当 b b BC a ,1),同理算出平面 ABD1 的 b

预测角度 2 利用空间向量求角和距离 1.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=1,BC=a,AA1=1。 (1)棱 BC 上是否存在点 P,使 A1P⊥PD,说明理由;

(2)若 BC 上有且仅有一点 P,使 A1P⊥PD,试求此时的二面角 P-A1D-A 的大小。 [解答思路] 建立空间直角坐标系, 设出 P 的坐标, 将问题转化为方程是否有解来求解第 (1) 问,第(2)问利用公式求解。 [解答] 以 AB 、 AD 、 AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0, 0,0) 、A1(0,0,1) 、D(0,a,0) (1)假设存在这样的 P∈BC,使得 A1P⊥PD,设 P(1,y,0) ,则 A1P ? (1, y,?1), PD ? (?1, a ? y,0) ∴ A1P ? PD ? y ? y 2 ? 1 ? 0 ,∴y2-ay+1=0, △=a2-4,当 a>2 时,存在两点,使得 A1P⊥DP;当 a=2 时存在一点,使得 A1P⊥DP;当 0<a<2 时,不存在这样的 P 点。 (2)由题意得 a=2,此时 P(1,1,0) , A1P =(1,1,-1) , PD ? (-1,1,0) ,设 n1=(x,y,z) 为平面 PA1D 的一个法向量, 由 n1⊥A1P 及 n1⊥ PD 得: x+y-z=0,x-y=0,令 x=1,得 y=1,z=2, ∴ n1=(1,1,2)平面 A1DA 的法向量 n2=(1,0,0), ∴cos<n1,n2>= 面角。∴P-P1D-A 的大小为 arccos
6 . 6

1 6

?

6 ,又由图知 P-A1D-A 为锐二 6

考点高分解题综合训练 1 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 AA1 和 BB1 的中点,则 CM 与 D1N 夹角 的正弦值为 ( )
A. 1 9 B. 4 5 5 C. 2 5 9 D. 2 3

答案: B 解析:以 DA、DC、DD1 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,设正方体边长为 2, 则 M (2, 0,1 ) 、N (2,2 ,1 ) 、C( 0,2 ,0) 、 D1 ( 0 , 0 , 2 ) ,∴ CM = ( 2 , -2 , 2 ) ,
D1N (2,2,?1),? s o c ? CM , D1N ?? | CM ? D1N | | CM | ? | D1N | 1 ?? , 9

∴CM 与 D1N 所成角的正弦值为

4 5 ,∴选 B 9 4 3 ,则二面角 A-BD-P 5

2 矩形 ABCD 的两边 AB=3,AD=4,PA⊥平面 ABCD,且 PA=

的度数为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 答案: A 解析:以 AB、AD、AP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则平面 ABCD 的法向 量 n1=(0,0,
4 3 3 ),平面 BDP 的一个法向量为(4,3, 5 3 ) ,∴二面角的余弦值为 ,∴ 5 2

二面角的大小为 30° ∴选 A。 3 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中点,M、N 分别是棱 DD1、D1C1 的中点,则直线 OM A.是 AC 和 MN 的公垂线

B.垂直于 AC,但不垂直于 MN C.垂直于 MN,但不垂直于 AC D.与 AC、MN 都不垂直 答案: B 解析:以 DA, DC, DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 D(0,0,0) 、D1(0,0,2a) 、M(0,0,a)A(2a,0,0)、C(0,2a,0) 、O(a,a,0)、 N(0,a,2a), ∴ OM ? (?a,?a, a), MN ? (0, a, a), AC ? (?2a,2a,0),? OM ? AC ? 0, MN ? OM ? ?a2 ? 0, ∴OM ⊥AC,OM 与 MN 不垂直. ∴选 B. 4 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, D 是 AC 的中点, AB1⊥BC1, 则平面 DBC1 积与平面 CBC1 所成的角为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案: B 解析:以 A 为坐标原点,AC、AA1 所在的直线分别为 y 轴和 z 轴建立空间坐标系, 设底面边长为 2a,侧棱长为 2b,则 A(0,0,0)C(0,2a,0) 、D(0,a,0) 、B( 3 a ,a,0) 、 C1(0,2a,2b) 、B1( 3 a ,a,2b)由 AB1 ? BC1, 得AB1 ? BC1 ? 0 ,即 2b =a ,分别算出 DBC1 与平面 CBC1 的一个法向量,利用公式 cosθ =
n1 ? n2 , 得θ =45°。 | n1 || n2 |
2 2

∴选 B。 5 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,BC=AC=2,AA1=4,D 为棱 CC1 上的 一动点,M、N 分别为△ABD、△A1B1D 的重心。 (1)求证:MN⊥BC; 答案:设 C1D=a(0≤a≤4),依题意有:D(0,0,a) 、A(2,0,4) 、B(0,2,4) 、C(0,0, 4) 、C2(0,0,0) ,因为 M、N 分别为△ABC、△A1B1D 的重心。 所以 M( , ,
2 2 8?a 2 2 a 8 8 )) ,N( , , ) ? NM ? (0,0, ),? NM ? CB ? (0,0, ) ? (0,1,0) ? 0,? MN ? BC. 3 3 3 3 3 3 3 3

(2)若二面角 C-AB-D 的大小为 arctan 2 ,求点 C1 到平面 A1B1D 的距离; 答案:因为平面 ABC 的法向量 n1(0,0,-1),设平面 ABD 的法向量 n2(x1,y1,z1),
? AD ? n ? 0 2 ? ? ? ? ? ? ? ? AB ? n2 ? 0

?(?2,0, a ? 4) ? ( x1, y1, z1 ) ? 0 ?? ?(?2,2,0) ? ( x1, y1, z1 ) ? 0

? n2 ? ( x1, x1,

2 2 x1),令x1 ? 1 ? n2 ? (1,1, ), 4?a 4?a

设二面角 C-AB-D 为θ ,则由 tanθ = 2 ? cos? ?
n1 ? n2 cos? ?| |?| | n1 | ? | n2 | 2 a?4 |?| 2 2 2?( ) 4?a

3 , 因此 3
3 ? a ? 2, 设 平 面 A1B1D 的 法 向 量 为 3

2 2a ? 16a ? 36
2

|?

n3(x,y,z),

?A D ? n ? 0 ?(?2,0,2) ? ( x, y, z ) ? 0 1 3 则 ? ?? ? n3 ? ( x, x, x),令x ? 1 ? ? ?A1B1 ? n3 ? 0 ?(?2,0,2) ? ( x, y, z ) ? 0
| A1D ? n3 | 2 3 ? . | n3 | 3

有 n3=(1,1,1),设 C1 到平面 A1B1D 的距离为 d,则 d=

(3)若点 C 在△ABD 上的射影正好为 M,试判断点 C1 在△A1B1D 的射影是否为 N?并说 明理由。 答案: 若点 C 在平面 ABD 上的射影正好为 M, 则 CM ⊥ AD ? CM ? AD ? 0 ,即( , , 0,0,a-4) =0 ?
2 2 a?4 )? (-2, 3 3 3

(a ? 4)2 4 ? ? a ? 2 ,a=6(舍),因此 D 为 CC1 的中点,根据对称性可知 Cl 在 3 3

平面 A1B1D 的射影正好为 N. 6 四棱锥 P=ABCD 中,AB⊥CD,CD⊥AD,PA⊥底面 ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M 为 PC 的中点。 (1)求证 BM∥平面 PAD; 答案:取 PD 的中点 E,连结 AE、ME,∵M 为 PC 的中点,∴EM AB
1 CD,∴ME 2 1 CD,又 2

AB,四边形 ABME 是平行四边形,∴BM∥EA,BM ? 平面

PAD, ∴BM∥平面 PAD. (2)在△PAD 内找一点 N,使 MN⊥平面 PBD; 答案:以 A 为坐标原点,以 AB、AD、AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 则 B(1,1,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、M(1,1,1)、E(0,1,1)在平面 PAD 内设 N(0, y,z),则 MN =(-1,x-1,z-1), PB =(1,0,-2), DB (1,-2,0),由 MN ⊥ PB , MN ⊥ DB , 有-1-2(z-1)=0,-1-1(y-1)=0,∴y= ,z= ,即 N(0, , ),∴当 N 为△PAD 边 PD 中线的 中点时 MN⊥面 PBD. (3)求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦值。 答案:设 PC 与平面 PBD 所成的角为θ ,∵ PC =(2,2,-2), MN =(-1,- ,- ),∴sinθ =
2 2 ,∴直线 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值为 . 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

7 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1 在底面上的射影在线段 AC 上,底面△ABC 是以∠B 为 直角的等腰三角形,M 为 AC 的中点,又 AB=AA1=a (1)求证:BM⊥AA1; 答案: 在三棱柱 ABC--A1BC1 中, A1 在底面的射影落在线段 AC 上, 因此平面 A1ACC1⊥底面 ABC, 又底面△ABC 是以 AC 为底的等腰三角形,M 为 AC 的中点, ∴BM⊥AC. ∴BM⊥平面 A1ACC1,从而 BM⊥A1A. (2)若 A1C⊥平面 BMC1,求证:三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱。 答案:以 M 为坐标原点,MB、MC 所在的直线分别为 x 轴、y 轴建立空间直角坐标系,则 M(0,

0,0)、B(

2 2 2 2 a,0,0),设 C1(0, a+b,c)则 A1(0,a+b,c),∴ C1M =(0,a-b, 2 2 2 2 2 2 a, a+b,c) A1C =(0, 2 2
2 a-b,-c)由 A1C ? C1M =0,得-a +b 2 2

-c), BC1 =(又 c =a -b , ∴
2 2 2

2 2 ab+c =0, 2

2 2 ab=0,得 b=0,即 A1(0,a,c) 2 2

∴ AA1 =(0,0,c), ∴ AA1 ⊥底面 ABC. ∴ 三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱.
AB ? (2,?1,?4), AD ? (4,2,0), AP ? (?1,2,?1). 8 四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是一个平行四边形,

(1)求证:PA⊥底面 ABCD; 答案:∵ AP ? AB ? 0, AP ? AD ? 0, ∴AP⊥PB,AP⊥AD, ∴AP⊥底面 ABCD. (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积; 答案:设∠BAD=θ ,∴cosθ = ∴sinθ = ∴VP-ABCD=
4 2 35
| AB ? AD | | AB | ? | AD | ? 3 105 ,

,S ABCD=| AB |?| AD |?sinθ =8 6 .

1 S ABCD?| AP |=16. 3

( 3 ) 对 于 向 量

a= ( x1,y1,z1 ) .b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3) 定 义 一 种 运 算 :

(a× b) ?c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1 试计算( AB ? AD ) ? AP 的绝对值的值; 说明其与四棱锥 P-ABCD 体积的关系,并同此猜想这一运算( AB ? AD ) ? AP 的绝对值的几 何意义。 答案:|( AB ? AD )? AP |=48,它是 P-ABCD 体积的 3 倍,可以猜想|( AB ? AD )? AP | 在几何上表示以 AB、AD,AP 为棱的平行六面体的体积. 考点 12 排列、组合、二项式定理 ?正确运用两个基本原理 ?排列组合 ?二项式定理 ?在等可能性事件的概率中考查排列、组合 ?利用二项式定理解决三项以上的展开式问题 ?利用二项式定理证明不等式 典型易错题会诊

命题角度 1 正确运用两个基本原理 1. (典型例题)已知集合 A=B={1,2,3,4,5,6,7},映射 f:A→B 满足 f(1)<f(2)<f(3)<f(4), 则这样的映射 f 的个数为 ( ) A.C47A33 B.C47 C.77 D.C7473 [考场错解] ∵f(1)<f(2)<f(3)<f(4),且 f(1)<f(2)<f(3)<f(4)的值为{1,2,3,4,5,6,7}中的 某 4 个,∴这样的映射有 C47 个,∴选 B [专家把脉] C47 中的任何一种方法都没有完成组成映射这件事情,因为只找到 1、2、3、4 的 象,而 5、6、7 的象还没有确定。 [对症下药] 由映射的定义 f(1) f(2) f(3) f(4)的值应为{1,2,3,4,5,6,7}中的某 4 个,又 f(1)<f(2)<f(3)<f(4) ∴f(1) f(2) f(3) f(4)的大小已定,∴1、2、3、4 的象的可能为 C47,5、6、 7 三个元素的象每一个都有 7 种可能,∴有 73 种可能。根据分肯计数原理,这样的映射共有 C47?73 个。∴选 D。 2. (典型例题)8 人进行乒乓球单打比赛,水平高的总能胜水平低的,欲选出水平最高的两 人,至少需要比赛的场数为__________(用数字作答) [考场错解] 每两人之间比赛一场,需要比赛 C28=28 场,填 28 场; 或第一轮分成 4 对进行比赛,负者被淘汰,胜者进入第二轮,需 4 场比赛;第二轮分成 2 对进行比赛,胜者为水平最高的两人,需 2 场比赛。∴至少需要比赛 6 场,填 6。 [专家把脉] 前一种解法的错误是没有看清题意, “至少”没有理解好;后一种解法的错误是 没有选出水平最高的两人, 错误地认为这种淘汰赛最后的两人就是水平最高的两人, 实际上 第二名有可能在第一轮或第二轮就被第一名淘汰了。 [对症下药] 先将 8 人分成 4 对进行比赛,胜者进入第二轮,需要 4 场比赛,将进入第二轮 的四人分成 2 对进行比赛,胜者进入第三桦,需要 2 场比赛,进入第三轮的 2 人进行比赛, 胜者为第一名,需一场比赛;将第一轮、第二轮、第三轮被第一名淘汰的选手共 3 人决出第 一名,需 2 场比赛。∴至少需要 4+2+1+2=9 场比赛。 3. (典型例题)设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿 x 轴跳动,每次向正方向或负方向 跳 1 个单位,经过 5 次跳动质点落在点(3,0) (允许重复过此点)处,则质点不同的运动 方法共有_________种(用数字作答) 。 [考场错解] 因为每一步都有两种可能,所以共有 25=32 种方法,又由于这 32 种方法中质点 落在(3,0)与不在(3,0)的可能相同,∴质点不同的运动方法共有 16 种,填 16。 [专家把脉] 质点落在(3,0)与不在(3,0)的可能相同是错误的,错误的原因是分析问 题的能力较差,没有转化的思想,也没有分类讨论的思想。 [对症下药] 解法一:如图 12-1,A(1,0) 、B(2,0) 、C(3,0) 、D(4,0) 、E(-1,0) , 依题意跳动 4 次后,只有在 B 点或 D 点可跳到 C 点,画出树图,可得结果为 5。 解法二:设向右跳一次记为+1,向左跳一次记为-1,需要其和为+3,那么应为 4 个+1,1 个 -1,∴质点不同的运动方法共有 C15=5 种。 4. (典型例题)从 1、3、5、7 中任取 2 个数字,从 0、2、4、6、8 中任取 2 个数字,组成 没有重复数字的四位数,其中能被 5 整除的四位数共有__________个(用数字作答) 。 2 [考场错解] 从难从 1、3、5、7 中任取两个数字有 C 4 种方法,从 0、2、4、6、8 中任取两 个数字有 C25 种方法,能被 5 带队的数有两类: (1)0 在末位,有 A33 种排法; (2)5 在末 位,有 C12?A22=4 种排法,依据分步和分类计数原理,共有(C24+C25) ? (A33+4)=160。∴ 填 160。 [专家把脉] 将问题分成两步,这是不错的,但第 2 步认为 5 和 0 一定被选出来了这是错误 的,没有分类讨论的思想是错误的根源。

[对症下药] 将问题分成三类: (1)含数字 5,不含数字 0,则选元素的过程有 C13?C24 种方 法,将 5 排在末位,则组数的过程有 A33 种方法,依据分步计数原理得这一类共有 C13?C24?A33=108 个; (2)含数字 0,不含数字 5,则选元素的过程有 C23?C14 种方法,将 0 排在末位,则组数过程有 A33 种方法,这一类共有 C23C14?A33=72 个; (3)含数字 0,也 1 1 3 含数字 5,则选元素的过程有 C 3?C 4,若 0 在末位,则组数过程有 A 3 种方法,若 0 不在 末位,则组数过程有 C12?A22 种∴种这类共有 C13C14(A33+C12A22)=120 个。根据分类计数 原理,其中能被 5 整除的四位数共有 108+72+120=300 个。 专家会诊 两个基本原理是学习排列、 组合的重要基础, 解决两个原理的应用问题首先要明确所完成的 事情是什么,然后再分析每一种做法,事情是否完成,从而区分分类计数原理和分步计数原 理,运用分类计数原理时,要恰当分类,做到不重复,又不遗漏;运用分步计数原理时,关 键是分好步, 需要分析要分几步才能完成。 一个比较复杂的问题一般遵循先分类后分步的解 题步骤,平时应注意养成一题从多角度来解的习惯。 考场思维训练 1 设集合 P={x,1},Q={y,1,2},其中 x,y∈{1,2,3?,9},且 P ? Q。把满足上述条件的一对 有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点个数是( ) A.9 个 B.14 个 C.15 个 D.21 个 答案: B 解析:∵P ? Q,∴x=2 或 x=y,当 x=2 时,y 有 3,4,?,9 等 7 个值,此时点 的个数是 7 个;当 x=y 时,x=y 有 3,4,?9 等 7 个值,此时点的个数是 7 个,∴这样的点 的个数是 14 个,∴选 B 2 用五个数字 0、1、1、2、2 组成的五位数总共有 ( ) A.12 个 B.24 个 C.30 个 D.48 个 答案: B 解析:分三步:(1)确定首位,1 或 2,共有两种方法;(2)将两个相同的元素安
2 2 排位置有 C4 种;(3)第三步排剩下的两个元素,有 A2 种. 2 2 ∴共有 2? C4 ×A2 =24.

3 6 个同学报考 3 所院校,每人只报考一所,每所院校至少报 1 人,则不同的报考方法为 __________。 (用数字作答) 答案:540 解析:不管限制条件,每人都有 3 种报法,共有 36 种,其中只报考了两所院校
2 和只报考了一所院校不符合题意,只报考了两所院校的可能有 C3 (26 -2),只报考了一所院校 2 的可能有 3,∴不同的报考方法数为 36- C3 (26 -2)-3=540.或第一步将 6 人分成三部分,有

三种情况: (1)1, 1, 4, 方法数为 ∴这一步的方法数为

1 1 C6 C5 C 2C 2 1 2 C5 ;(3)2, ; (2)1, 2, 3, 方法数为 C6 2, 2 方法数为 6 4 . 2! 3!

1 1 C6 C5 C 2C 2 1 2 3 C5 + 6 4 =90;第二步将这三部分人分到 3 所院校有 A3 + C6 ,∴ 2! 3!

3 不同的报考方法数为 90? A3 =540.

命题角度 2 1. (典型例题)用 0,1,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数 数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是______________. [考场错解] 将两个奇数数字排好有 A22 种方法,有三个空档,由于 0 不能在首位,∴偶数数 字的排法有 2A22 种,∴不同的五位数有 2A22?A22=8 个∴填 8。 [专家把脉] 对相邻问题的一般解法不熟悉,错解中的 8 个符合题意,但是遗漏了很多情况。 [对症下药] 分两种情况: (1)若 0 夹在两个奇数之间,将这三个数字看成一个整体与剩下 的两个偶数一起排列有 A33 种,考虑到 1 与 3 可以互换位置所以这种情况有 A33?A22 =12 个; (2)若 2、4 中一个夹在两个奇数数字之间,同上的想法,共有 C12?C12?A22?A22=16 个,∴满足条件的五个数的个数是 12+16=28 个。 2. (典型例题)将标号为 1、2,? 10 的 10 个数放入标号为 1,2,?10 的 10 个盒子内, 每一个盒内放一个球茎, 恰在此时好有 3 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方 法种数为 ( ) A.120 B.240 C.360 D.720 [考场错解] 第一步考虑哪三个球的标号与其所在盒子的标号不一致,有 C310=120 种;第二 步选出来的 3 个球与其盒子的标号不一致,用间接解法,总数 A33,不符合题意的有三个 盒子与其球的标号一致,有 1 种可能,两个盒子与其球的标号一致,有 1 种可能,一个盒 子与其球的标号一致,有 3 种可能,∴这一步的方法数为 A33-1-1-3=1,根据分步计数原 理,放入方法种数为 120?1=120。选 A。 [专家把脉] 第二步中有错误,实际上两个盒子的标号与球的标号一致,就一定是三个盒子 的标号与球的标号一致,用间接解法时多减了。 [对症下药] 第一步确定是哪三个球的标号与其盒子的标号不一致,有 C310=120 种方法,第 二步:选出来的三个球的标号与其盒了的标号不一致,只有 2 种方法。根据分步计数原理 放入方法种数为 120?2=240。∴选 B。 3. (典型例题)已知集合 A 有 4 个元素,集合 B 有 3 个元素,集合 A 到 B 的映射中,满足 集合 B 的元素都有原象的有多少个? [考场错解] 将 A 中 4 个元素用隔板法分成三部分,有 C23 种方法,再将这三部分与 B 中元 素对应有 A33 种方法。∴满足条件的映射有 C23?A33=18 个;或先在 A 中选 3 个元素与集 合 B 中的元素对应有 A34 种方法, 剩下的一个元素有 3 种对应方法。 ∴满足条件的映射有 3 A 4?3=72 个。 [专家把脉] 前一种解法错在将不同的东西用隔板法分组,实际上只有分相同的东西才能用 陋板法。如若将 A 中 4 个元素记为 a、b、c、d 、B 中的 3 个元素记为 A、B、C,某一个映射中 a,d 都与 A 对应,用隔板法是做不到的。 后一种解法的错误是重复,如 a,d 都与 A 对应,b,c 分别与 B、C 对应这个映射算了两次。 [对症下药] 依题意,A 中肯定有某两元素与 B 中的一个元素对应,先在 4 个元素中选 2 个, 当作一整体与其他两元素一起看作 3 个元素与 B 中的元素对应,∴满足条件的映射有 C24?A34=36 个。 4. . (典型例题)4 名男同学排好有 A44 种方法,再在 5 个空档处将 4 名女生插进去,有 A45 种方法。∴不同的排法数为 A44?A45=2880 [专家把脉] 这 2880 种排法中有的排法男生是相邻的。如女、男、女、男、男、女、男、女 是 2880 中的一种,但其中有两男生相邻。 [对症下药] 先将 4 名男同学排好有 A44 种方法,再将女生插进去,有 2A44 种方法,所以不 同的排法种数为 A44?2A44=1152 种。 考场思维训练

1 集合 A=B={1,2,3,4,5},从 A 到 B 的映射,满足: (1)f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5);(2)f 的象只有 2 个。则这样的映射有_______个.
2 答案:40 解析:第一步从 1,2,3,4,5 中选 2 个元素作为 f 的象,有 C5 种;第二步将

选出的元素与 1,2,3,4,5 对应,∵f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5),∴有 C1 4 种对应方
2 法.∴不同的映射有 C1 4 C5 =40 个.

2 (1)将 10 个相同的小球装入 3 个编号为 1、2、3 的盒子,要求每个盒子里球的个数不少 于盒子的编号数,这样的装法种数为__________. 答案:解析:15(1)15 先在 2 号盒子中放一个球,在 3 号盒子中放 2 个球,剩下的 7 个球之
2 间有 6 个空档,放 2 个隔板,有 C6 =15 种方法,上面 15 种方法都能使盒子里球的个数不少

于盒子里的编号数.∴填 15. (2)方程 x+y+z=10(x,y,z∈N)的解有________组。
2 答案:66 在排好的 13 个 1 的 12 个空档中放人两个隔板,有 C12 =66 种方法,将 x、y 、z

分到的 1 的个数分别减去 1 个,这样 x+y+z=10,且 x、y、z∈N.∴方程的解有 66 组.∴填 66. 3 已知 m、n∈{0,1,2,3,4,5,6},则方程 C6mx2+Cn6y2=1 表示不同的椭圆的个数是__________.
m n 答案:12 解析:∵ C6 x + C6 y2=1 表示椭圆,∵m≠n,且 m+n≠6.∴将 0,1,2,3,4,5,
2

6 分成(0,6),(1,5),(2,

4),3,四组.m,n 的取值相当于从 4 个不同的元素中选 2

2 个.∴不同的椭圆的个数是 A4 =12.∴填 12.

命题角度 3 二项式定理 1. (典型例题)在(x-a)10 的展开式中,x7 的系数是 15,则实数 a=_____________。 [考场错解] ∵(x-a)10 的展开式中 x7 的系数为 C710? (-a)7,依题意,∴有 C710(-a)7=15, 即 a7=- ,∴a= ?7
1 8

1 1 .填 ?7 . 8 8

[专家把脉] 二项式展开式的通项理解记忆有错误, (x-a)10 的展开式中 x7 的系数应为 C310? (-a) 3 . [对症下药] (x-a)10 的展开式中 x7 的系数为 C310? (-a)3,依题意有 C310(-a)3=15,即 a3=- , ∴a=- . ∴本题答案为 a=- . 2. (典型例题)在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8 的展开式中,含 x3 的项的系数是 ( ) A.74 B.121 C.-74 D.-121 5 6 7 8 [考场错解] ∵(1-x) 、(1-x) 、(1-x) 、(1-x) 的展开式中,含 x3 的项的系数分别为 C35、C36、 C37、C38, 5 ∴ (1-x) +(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8 的展开式中含 x3 的项的系数为 C35+C36+C37+C38=121。 ∴选 B。
1 2

1 8

1 2

[专家把脉] 在求某特定项的系数时,没有注意符号,实际上(1-x)5、(1-x)6、(1-x)7、(1-x)8 的展开式子中含 x3 的项的系数分别为-C35、-C36、-C37、-C38,∴(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8 的展开式中含 x3 的项的系数为-(C35+C36+C37+C38)=-121。 ∴选 D。 [正解二] ∴(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8=
(1 ? x)5[1 ? ( x ? 1)4 ] (1 ? x)5 ? (1 ? x)9 ∴展开式中含 x3 ? x x

的项的系数为(1-x)5,(1-x)9 的展开式中含 x4 的项的系数,为 C45-C49=-121。∴选 D。 3. (典型例题Ⅰ) (2x[考场错解] (2x1 x

1 x

)9 的展开式中,常数项为____________(用数字作答)
1 x )r ,

1 x
9?

r 9?r )9 的展开式的通项为 C9 x ?(

∵ x9? r ? ?(

)r ? x

3 2 , 令9 ?

3 r ? 0 ,解得 r=6。 2

∴常数项为第 7 项,常数项为 C69=C39=84。∴填 84。 [专家把脉] 在写二项式的展开式的通项时,疏忽了系数和符号。实际上, (2xr 开式中,通项应为 C9 ? (2 x)9? r ? (?

1 x

)9 的展

1 x

)r .
1 x

[









]



2x9?



9

















r C9 ( 2 x )9 ? r ? ( ?

1 x

r )r ? 29? r ? (?1)r ? C9 x

3 2 , 令9 ?

3 r ? 0, 解得r ? 6. 2

∴常数为第 7 项,为 23? (-1)6?C69=8C39=672。∴填 672。 4. (典型例题)设 n∈N*,则 C1n+C2n6+C3n?62+?+Cnn6n-1=____________. [考场错解] C1n+C2n6+C3n?62+?+Cnn6n-1 为(1+6)n 的展开式,缺少 C0n 这一项,∴原式为 7n-1. ∴填 7n-1. [专家把脉] (1+6)n 的展开式应为 C0n+C1n?6+C2n?62+?+Cnn6n,原式中 6 的次数与之不相 应。 [ 对 症 下 药 ] C1n+C2n6+C3n ? 62+ ? +Cnn6n-1= = [(1 ? 6)n ? 1] ? (7n ? 1).? 填 (7n ? 1). 专家会诊 二项式定理的核心是通项公式, 求二项展开式中的特定项或特定项的系数通常中从通项公式 入手的,所以对通项的理解、记忆和应用是重点,二项式定理是一个恒等式,对待恒等式通 常有两种思路:一是利用恒等的多项式对应的系数相等;二是赋值。事实上,二项式定理结 合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解,近几年高 考二项式定理的考查一般为选择、 填空题, 便我们在复习时应有主动应用二项式定理解题的 意识,因为二项式定理在证明带队不等式组合等式中有很好的应用。 考场思维训练 1 若 ( 1-2x ) 2006=a0+a1x+a2x2+ ? a2006x2006(x ∈ R), 则 (a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+ ? +(a0+a2006)=__________(用数字作答) 。
1 6 1 6 1 6 1 n 2 n n ( C1 n ? 6 ? C2 ? 6 ? ? ? Cn ? ?6 ) 6

答案:2006 解析:令 x=0,得 a0=1,令 x=1,得 a0+a1+?+a2006=1,∴a1+a2+?+a2006=0,原式 =2006a0+(a1+a2+?+a2006)=2006.∴填 2006. 2 已知 n≤10(n∈N*),若(x3答案:解析:(x 5 3
3

1 x
2

)n 的异开式中含有常数项,则这样的 n 有___________个。
3 n-r

1 x
2

r )n 的展开式的通项为 Tr+1= Cn (x ) ?(-

1 x
2

r ) =(-1) ? Cn ?x

r

r

3n-5r

,令

3n-5r=0,得 n= r, ∵n 为正整数,r 为非负整数, ∴当 r=3 时,n=5,r=6 时,n=10, ∴这样的 n 有两个.∴填 2.
n 3 设 (1+ 3 ) =an+ 3 bn,(n,an,bn∈N*),记 Cn=a2n-3b2n(n∈N*),则数列{Cn}的通项 Cn=________.

答案: (-2) 解析:∵ (1+ 3 ) =an+ 3 bn , (n , an , bn ∈ N*) ,∴ (1- 3 ) =an- 3 bn ,∴ Cn=an -3bn =(an+ 3 bn)?(an- 3 bn)=(-2) . ∴填(-2)n. 4 在 等 比 数 列 {an} 中 , 已 知 a1=2,an=486,a1+a2+ ? an=728, 求 a1C0n-a2C1n+a3C2n-a4C3n+ ? +(-1)nan+1Cnn 的值。
?2 ? q n ?1 ? 486, ? 答案:解:由题设知 q≠1,依题意得 ? ( 2 1 ? q n) ? 728. ? ? 1? q
2 2 n

n

n

n

解之得 n=6,q=3,≠an=2?3 (n=1,2,3,4,5,6)
0 2 3 n ∴a1 Cn -a2 C1 n +a3 Cn -a4 Cn +?+(-1) an+1 Cn
0 1 2 6 =2?3 ? C6 -2?3 C6 +2?3 ? C6 -?+(-1) ?2?3 ? C6 0 -3 1 +32 2 -?+36 6 )=2(1-3)6=128. =2( C6 C6 C6 C6
0 2 6 6 n

n-1

5 求证:3n>2n-3(n2+3n+8)(n<2,n∈N)
n 2 3 n ?1 答案:解:证明:3 =(2+1) =2n+ C1 2 + Cn ?2 + Cn 2 +?+ Cn ?2+ Cn >2 +n?2 + n?
n n n-1 n-2 n-3 n n-1

n(n ? 1) . 2

2n-2=2n-3[8+4n+n2-n]=2n-3(n2+3n+8). 探究开放题预测 预测角度 1 在等可能性事件的概率中考查排列、组合 1 A、B、C、D、E 五人站成一圈传球,每人只能把球传给他的邻人,A 传出(算第一次) 后经 10 次传球又回到 A 的概率为 ( )
A. 1 256 B. 3 1024 C. 127 512 D. 63 256

[解题思路] 本题的概率是一个等可能性事件的概率,基本事件总数为 210, (因为每一次传 球都有两种可能) ,经 10 次传球又回到 A 这个事件,应考虑传球的方向。

[解答] 因为每一次传球都有两种可能,∴传球 10 次的可能结果为 210,即基本事件总数为 210,传球 10 次又回到 A 应分两种情况: (1)一直是顺时针或逆时针传球,有 2 种可能; (2) 有逆时针又有顺时针传,则应是顺时针、逆时针各传次,问题即为 10 次传球中,哪 5 次是 逆时针传,共有 C510 种可能,由于上述两种情况互斥。 ∴传球 10 次又回到 A 的可能有 C510+2=254。 ∴所求事件的概率为
254 210 ? 127 . 521

∴选 C。 2 某校高三年级举行一次演讲比赛共有 10 位同学参赛,其中一班有 3 位,二班有 2 位,其 他班有 5 位,若采用抽签方式确定他们的演讲顺序,则一班有 3 位同学恰好被排在一起,而 二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为 ( )
A. 1 10 B. 1 20 C. 1 40 D. 1 120

[解题思路] 基本事件总数为 A1010,而事件 A 包括的可能实际上就是排列中的相邻与不相邻 问题,按“捆绑法”与“插空法”求解。 [解答] 10 个人的演讲顺序有 A1010 种可能,即基本事件总数为 A1010,一班同学被排在一起, 二班的同学没有被排在一起这样来考虑: 将一班的 3 位同学当作一个元素与其他班的 5 位同 6 学一起排列有 A 6 种,考虑这 3 位同学之间的顺序,∴不同的排法有 A66?A33?A27 种。∴ 所求概率为
6 3 7 A6 ? A3 ? A2 10 A10

?

1 。∴选 B。 20

3 9 支足球队参加一地区性足球预选赛, 将这 9 支球队任意地均分为 3 组, 则 A、 B 两个 “冤 家队”恰好分在同一组的概率为 ( )
A. 1 3 B. 1 4 C. 1 6 D. 2 9

[解题思路] 可以选将 3 组取名为甲、乙、丙加以区分,后用排列、组合、概率的知识解之, 也可以先锋将 A 安排好,再安排 B 来解。 [解答] 解法一 将 9 支球队任意地均分为甲、乙、丙 3 组有 C39C36?C33 种分法,而 A、B 两 队可在 3 组之一,选定某组后再从其它 7 队中任选 1 队到该组,剩下的两组还有 C36?C33 种配合法,故 A、B 同组的可能有 3C17C36C33。 ∴所求事件的概率为
7 6 3 3C1 C3 C3 6 6 3 C3 C3 C3

?

1 ∴选 B。 4

解法二 9 支球队可分为 3 组,每组 3 队,视作 3 个空位,A 队先占其中一组的一个空位, 现在让 B 队在余下的 8 个位置任选其一,有 8 种选法,而其中只有 2 种选法属于 A、B 同 组。 ∴选求概率为
2 1 ? . ∴选 B。 8 4

预测角度 2 利用二项式定理解决三项以上的展开式问题 1. (1-3x+2y)n 的展开式中不含 y 的项的系数和为 ( ) A.2n B.-2n C.(-2)n D.1 [解题思路] 将(1-3x+2y)看作(1-3x)+2y 两项,利用二项式定理的有关知识解之。 n [解答] (1-3x+3y) =[(1-3x)+2y]n,而[(1-3x)+2y]n 的展开式中不含 y 的项为 C0n(1-3x)n=(1-3x)n, 而(1-3x)n 的展开式中各项的系数和为(-2)n(令 x=1 即可)。∴选 C。 2. (1+2x-3x2)6 展开式中的 x5 项的系数为 ( )

A.86 B.168 C.-168 D.-8748 [解题思路] 可以将其中两项当作一项,再利用二项式定理求解。但若注意 1+2x-3x2 可以分 解因式,将(1+2x-3x2)6 分成两个项式的乘积来求解将会更方便简捷。 [解答] ∵(1+2x-3x2)6=(1+3x)6(1-x)6, ∴展开式中的 x5 项的系数由 6 部分组成: (1)前 6 6 5 5 次方,后 0 次方法[将(1+3x) 称为“前” , (1-x) 称为“后”]。系数为 C 6? (3)5;(2) 4 前 4 次方, 后 1 次方, 系数为 C46? (3) ? (-C16) ; (3) 前 3 次方, 后 2 次方, 系数为 C36? 33 ? C26 ; (4)前 2 次方,后 3 次方,系数为 C26? (3)2? (-C36) ; (5)前 1 次方,后 4 次方,系数 1 4 为 C 6? 3?C 6 ; ( 6 )前 0 次方,后 5 次方,系数为 -C56 。∴展开式中 x5 项的系数为 C56?35+C46?34? (-C16)+C36?33?C26+C26?32? (-C36)+C16?3?C46-C56=-168。∴选 C。 预测角度 3 利用二项式定理证明不等式 1 过点 P(1,0)作曲线 C:y=xk,[x∈(0,+∞),k∈N*,k>1]的切线,切点为 Q1,设 Q1 在 x 轴上的投影是点 P1;又过点 P1 作曲线 C 的切线,切点为 Q2,设 Q2 在 x 轴上投影为点 P2,? 如此继续下去得到一系列点 Q1,Q2,?,Qn,?,设点 Qn 的横坐标为 an. (1)求证: an ? (
k n ) ; k ?1 n ; k ?1
2

(2)求证: an ? 1 ?
n

(3)求证:

?a ? k
i
i ?1

? k.

[解题思路] 利用已知条件,找到 an 的递推式,再求通项;第(2)问的证明可用二项式定理; 第(3)问可用错位相减法。 [解答] (1) y’=kxk-1,过点 Qn(an,akn)的切线方程为 y-akn=kak-1n(x-an),当 n=1 时, 切线过点 p(1,0), ∴0-ak1=kak-11(1-a1),得 a1=
k ;当 n>1 时,切线过点 Pn-1(an-1,0),即有 0-akn=kak-1n(an-1-an)得 k ?1

k k k n an k ∴数列{an}是首项为 ,公比为 的等比数列。∴an=( ); ? k ?1 k ?1 k ?1 an ?1 k ? 1

(2) 由 ( 1 ) 知 an=( C0n+C1n? (3)记 Sn ? 则

k k k k k )n=(1+ )n=C0n+C1n ? +C2n· ( )2+ ? +Cnn( )n ≥ k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

k n =1+ ; k ?1 k ?1

1 2 n ?1 n ? ? ?? ? . a1 a2 an?1 an

k ?1 1 2 n ?1 n , Sn ? ? ? ?? ? k a2 a3 an an?1
1 1 1 1 n 1 1 1 Sn ? ? ??? ? ? ? ??? k a1 a2 an an ?1 a1 a2 an

两式相减得

k ?1 k ?1 n k ?1 [1 ? ( ) ] k ? k ? k ? k ? 1,? Sn ? k 2 ? k . k ?1 1 1? k k

(第(2)问也可以用数学归纳法加以证明) 考点高分解题综合训练 1 将 1, 2, 3?, 9 这 9 个数字填在 3?3 的正方形方格中, 要求每一列从上到下的依次增大,

每一行从左到右均依次增大,当 4 固定在中心位置时,则填写空茖的方法有 ( ) A.6 种 B.12 种 C.18 种 D.24 种 答案: B 解析:首先确定 1、9 分别在左上角和右下角,2、3 只能在 4 的上方和左方,有
2 2 2 种填方,5,6,7,8 填在其它位置有 C4 =6 种方法.依分步计数原理有 2 C4 =12 种填法,

所以选 B. 2 某重点中学要把 9 台相同的电脑送给农村三所希望小学, 每个小学到少 2 台电脑, 不同的 送法种数为( ) A.10 种 B.9 种 C.8 种 D.6 种 答案: A 解析:先每所学校送 1 台电脑,剩下 6 台电脑分给三所学校,每校至少 1 台,
2 2 3 4 用隔板法,有 C5 =10 种.∴选 A. 3.B 解析:基本事件总数为 C1 4 + C4 + C4 + C4 =15,而倒

3 出奇数粒的可能是 C1 4 + C4 =8,∴倒出奇数粒玻璃球的概率为

8 ,倒出偶数粒玻璃球的概率 15



7 ,∴选 B. 15

3 从装有 4 粒大小、形状相同,颜色不同的玻璃球的的瓶中,随意一次倒出若干粒玻璃球茎 (至少一粒) ,则倒出奇数粒玻璃球的概率比例出偶数粒玻璃球的概率 ( ) A.小 B.大 C.相等 D.大小不能确定 4 将二项式( x ?
1 2
4

x

)n 的展开式按 x 降幂排列,若前三项系数成等数列,则该展开式中 ( ) C.5 项

x 的幂指数是整数的项共有 A.1 项 B.3 项 答案: B 解析: ( x?
1 24 x

D.7 项
2
4

1 n 0 1 2 1 ) 的展开式按 x 的降幂排列, 前三项的系数为 Cn , Cn ? ,Cn ?

0 2 1 由已知有= C1 n = Cn , Cn ? ,解得 n=8 或 1,舍去 n=1.∴n=8,( x ?

1 24 x

4

) 的展开式的通项为

8

8?r r 16 ? 3r 1 r 1 r r 16 ? 3r r C8 ·x 2 ·( ) ?x 4 =( ) C8 ?x 4 ,当 r=0,4,8 时 为整数,∴x 的幂指数是 4 2 2

整数的项共有 3 项,∴选 B. 5 已知 f(n)=3n-C1n3n-1+C2n? 3n-2-?+(-1)n+log2n(n∈N*),当 n=________时,|f(n)-2005|取得最小 值。 答 案 : 11
n

解 析

f(n)=3 - C1 n 3 + ? +(-1) +log2n=(3-1) +log2n=2 +log2n , ∴
n

n

n-1

n

n

n

|f(n)-2005|=|2 +log2n-2005|当 n=11 时,|2 +log2n-2005|取最小值.∴填 11. 6 用五个数字 0,1,1,2,2 组成的五位数总共有____________。 答案: B 解析:将 0 放在不是首位的其它 4 个位置上有 C1 4 种方法,再在剩下的 4 个位置
2 选 2 个位置放 1,剩下 2 个位置放 2,有 C4 种方法,依分步计数原理,共有这样的五位数共 2 有 C1 4 C4 =24 个.∴选 B.

7 在(4x2+3x+2)5 的展开式中,分别求: (1)x 的系数;
r 答案:(4x +3x+2) =[4x +2]+3x] ,∴Tr+1= C5 (4x +2) ?(3x) ,求 x 的系数,只有 r=1,x 1 的系数为 C5 ?3?2 =240.
4 2 5 2 5 2 5-r r

(2)x2 的系数;
r (4x2+3x+2)5=[4x2+(3x+2)]5,∴Tr+1= C5 (4x2)5-r(3x+2)r,要求 x2 的系数,r=4 或 r=5 才有可能,
2 3 4 5 3 当 r=4 时,x2 的系数为 C5 ?4?24=320,当 r=5 时,x2 的系数为 C5 C5 ?3 ?2 =720.当 r=4

时 x2 的系数为 320∴展开式中 x2 的系数为 320+720=1040. (3)常数项 答案:常数项为 25=32. 8 若 n∈N*,n<100,且二项式(x3+ 和。 答案:解:(x +
r x = Cn x
-2r 3n-5r 3

1 x
2

)n 的展开式中存在常数项,求所有满足条件的 n 的值的

1 x2

r ) 的展开式的通项为 Tr+1= Cn ?x

n

3(n-r)

?

,∵存在常数项,∴3n-5r=0 r= n,∴n 为 5 的倍数,∴满足条件的 n 的值的

3 5

和为

19(5 ? 5) ? 950. 2

9 一条走廊宽 2m,长 6m,现用 6 种不同颜色,大小均为 1?1m2 的整块单色地板砖来铺设, 要求相邻的两块地砖颜色不同,假定每种颜色的地砖都足够多,那么不同的铺设方法有多 少?
3 答案:解析:将走廊看作 6 列 1?2m 的图案,先铺第一列,有 A6 =30 种方法,再铺第二列, 2 分三类:(1)与第一列两块颜色均不相同,有 A4 =12 种(2)与第一列仅有一块相同,有 2 A1 4 =8
2

种;(3)与第一列两块颜色均相同,仅有 1 种,故铺第二列共有 12+8+1=21 种方法,同理以 5 后各列均有 21 种方法,故不同的铺设方法共有 30?21 种. 10 若(x+1)+(x+1)2+?+(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+?+an(x-1)n,求 a0+a1+?+an. 答案:解:令 x=2,得 a0+a1+?+an=3+3 +?+3 =
2 n

3(1 ? 3n ) 3 n ? (3 ? 1) 1? 3 2

11 从集合{1,2,3,?,20}中选 3 不同的数使这 3 个数成递增的等差数列,则这样的数 列共有多少个? 答案: 解: (解法一)公差为 1 的等差数列有 18 个; 公差为 2 的等差数列有 16 个; 依此类推, 公差为 9 的等差数列有 2 个.∴这样的等差数列共有 2+4+?+16+18=90 个. (解法 2)取出三个数 a、b、c 要构成等差数列,则 2b=a+c,因此 a+c 必须为偶数,则 a 与
2 2 C10 =90 个. c 同为奇数或同为偶数.∴这样的等差数列共有 C10

12 将一个四棱锥的每个顶点染上颜色, 使同一条棱上的两端点异色, 如果有 5 种颜色或供 使用,那么不同的染色方法总数有多少种?
3 ?5 答案:解:将四棱锥记为 S--ABCD,先染 S、A、B 由于颜色各不相同,∴有 A =60 种方法;

再染 C、D,若 C 的颜色与 A 相同,则 D 的染色方法数为 3 种,若 C 的颜色与 A 不相同,则
3 ?5 C 的染色方法有 2 种, D 的染色方法为 2 种, 依两个基本原理, 不同的染色方法数为 A ?(3+2

?2)=420 种. 13 两条异面直线称为“一对” ,连结正方体的八个顶点的所有直线中,异面直线共有多少 对? 答案:解:一对异面直线需要 4 个不共面的点,而 4 个点每两点连线中可得 3 对异面直线,
4 现在只要求出从这 8 个点中选 4 个不共面的点方法数,用间接解法,总数 有 C8 种,其中共

面的四个点有两类,一类是共于表面的有 6 种,另一类为共面于对角面的有 6 种,∴选 4
4 个不共面的点方法数为 C8 -6-6=58 种.用此可得异面直线的对数为 3?58=174.

14 已知函数 f(x)=

a( x ? 1)2 ? 1 (a, b, c ? N ), f(2)=2f(3)<3,且 f(x)的图像按向量 e=(-1,0)平移后得到 bx ? c ? b

的图像关于原点成中心对称图形。 (1)求 a、b、c 的值; 答案: f(x)的图象按向量 e=(-1,0)平移后得到函数 y=
ax2 ? 1 ,由已知该函数为奇函数, bx ? c

∴c=0,又 f(2)=2,∴a+1=2b,f(3)<3,∴4a+1<6b.得 a<2,又 a∈N,∴a=0 或 a=1,若 a=0, 此时 b= 与 b∈N 矛盾,∴a=1,b=1, f(x)=
( x ? 1)2 ? 1 . x ?1
1 2

(2)设 0<|x|<1,0<|t|≤1,求证:|t+x|+|t-x|<|f(tx+1); 答案:|t+x|+|t-x|= ? 而|f(tx+1)|= |
?2 | t | ?2 | x | ((t ? x) ? (t ? x) ? 0) ((t ? x) ? (t ? x)) ? 0

(tx )2 ? 1 1 |?| tx ? |? 2 tx tx

(∵tx≠±1). |t+x|+|t-x|<2,∴原不等式成立. (3)设 x 是正实数,求证[f(x+1)]n-f(xn+1)≥2n-2.] 答案:[f(x+1)]n=(x+
1 n n 1 1 n n n?2 2 x?4 n ?1 2-n ) =x + n ? C1 x ,f(x +1)=x + n ; ? Cn x ? ? ? Cn nx x x x

记 n n Tn=[f(x+1)] -f(x +1)=
n ?2 n ?2 2 n ?4 n?1 2?n 2 n?1 n C1 ? ? ? C n?1nx2?n ,? 2Tn ? C1 ? x2?n ) ? Cn (x ? x4?n ) ? ? ? Cn (x ? xn?2 ) ? 2(C1 nx n (x n ? Cn ? ? ? Cn ) ? 2(2 ? 2)

∴Tn≥2 -2.∴原不等式成立. (第(3)问可以用数学归纳法加以证明) 考点 13 概率与统计 ?求某事件的概率 ?离散型承受机变量的分存列、期望与方差

n

?统计 ?与比赛有关的概率问题 ?以概率与统计为背景的数列题 ?利用期望与方差解决实际问题 典型易错题会诊 命题角度 1 求某事件的概率 1. (典型例题Ⅰ)从数字 1,2,3,4,5 中,随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位 数,其各位数字之和等于 9 的概率为 ( )
13 125 18 C. 125 A. 16 125 19 D. 125 B.

[考场错解] 基本事件总数为 53=125,而各位数字之和等于 9 的情况有: (1)这三个数字为 1,3,5; (2)这三个数字为 2,3,4; (3)这三个数字都为 3。第(1)种情况有 A33 个, 第(2)种情况有 A33 个,第(3)种情况只有 1 个。∴各位数字之各等于 9 的概率为
13 。 125

选A [专家把脉]考虑问题不全面,各位数字之和等于 9 的情况不只三种情况,应该有五种情况, 考虑问题的分类情况,应有一个标准,本题应这样来划分: (1)三人数字都不相同; (2)三 个数字有两个相同; (3)三个数字都相同。这样就不会出现错解中考虑不全面的错误。 [对症下药] 基本事件总数为 5?5?5=125,而各位数字之和等于 9 分三类: (1)三个数字都 3 不相同,有(1,3,5) , (2,3,4) ;共 2A 3=12 个; (2)三个数字有两个相同,有(2,2, 1 5) , (4,4,1) ,共 2C 3 个三位数; (3)三个数字都相同,有(3,3,3) ,共 1 个三位数。 ∴所求概率为
12 ? 6 ? 1 19 ? 。选 D。 125 125

2. (典型例题)甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对 其中的 6 题,乙能答对其中的 8 题,规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至 少答对 2 题才算合格。 (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率; (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。 [考场错解] (1)由已知从 10 道题中,任选一道,甲答对的概率为 ,那么选 3 道题甲至少 答对 2 道相当于三次独立重复试验发生两次或三次.∴甲合格的概率为
3 2 4 112 3 3 C2 ? ( )2 ? ? C3 ? ( )3 ? . 5 5 5 125 3 5

[专家把脉] 相互独立事件的概念理解错误,只有当事件 A 发生与否对事伯 B 没有任何影响时, 才能说 A 与 B 相互独立.而错解中,答对第一题这个事件发生与不发生对 “答对第二题” 这人 事件有影响。所以它们之间不独立。 [对症下药] (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B,那么对于 A:基本事件总数为 3 2 1 3 C 10,而考试合格的可能有: (1)答对 2 题,共 C 6C 4; (2)答对 3 题,共 C 6。
? P( A) ?
6 6 4 C3 ? C2 C1 10 C3

?

2 14 .同理P( B) ? . 3 15

( 2 )由( 1 )知 A 与 B 相互独立,∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P ( A ? B )

= P( A) P( B) ? (1 ? )(1 ? P=1-P ( A ? B ) =1-

2 3

14 1 )? , ∴ 甲 、 乙 两 人 至 少 有 一 人 考 试 合 格 的 概 率 为 15 45

1 44 ? . 45 45

3. (典型例题)某人有 5 把钥匙,其中有 1 把可以打开房门,但忘记了开门的是哪一把,于 是他逐把不重复地试开,那么恰好第三次打开房门的概率是____________. 5 2 [考场错解] 基本事件总数为 A 5=120,而恰好第三次打开房门的可能为 A 4=12,故所求概率 为
1 . 10 m 时,分子、分母的标准不一致,分母 n

[专家把脉] 在利用等可能事件的概率公式 P(A)=

是将五把钥匙全排列,而分子只考虑前三次,导致错误。正确的想法是:要么分子分母都考 虑 5 次,要么都只考虑前三次,或者干脆都只考虑第三次。 [对诊下药] (方法一)5 把钥匙的次序共有 A55 种等可能结果。第三次打开房门,看作正 确的钥匙恰好放在第三的位置,有 A 4 种,∴概率 P= (方法二)只考虑前 3 把的次序,概率 P= (方法三)只考虑第 3 把钥匙,概率 P= . 4. (典型例题)20 典型例题)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 和 。假设 两人射击中目标,相互之间没有影响;每次射击是否击中目标,相互之间没有影响。 (1)求甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标的概率; (2)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率; (3)假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击。问:乙恰好射击 5 次后,被中止射击的 概率是多少? [考场错解] 第(3)问,乙恰好射击 5 次后,被中止,则乙前 3 次都击中,4、5 次未击中, ∴所求概率为
3 1 1 27 ( )3 ? ? ? . 4 4 4 1024
2 3 3 4 1 5
4 A2 5 A5
4

4 A4 5 A5

?

1 . 5

?

1 . 5

[专家把脉] 乙恰好射击 5 次后, 被中止射击, 则 4、 5 次未击中, 但前 3 次不一定全部击中, 可能有 1 次未击中,也可能有 2 次未击中。 [对症下药( ] 1) 甲射击 4 次, 全部击中的概率为 ( ) 4 , 则至少 1 次未击中的概率为 1 ? ( ) 4 ?
2 3 1 3 3 4 1 4
2 3

2 3

65 . 81

2 3 ( ) 2 ? ( ) 2 乙恰好击中目标 3 次的概率为 C4 ? ( ) ? ( )1, ∴ (2) 甲恰好击中目标 2 次的概率为 C4 2 4 ? ( )2 ? ( )2 ? C3 ? ( )3 ? ? . 甲恰好击中 2 次且乙恰好击中 3 次的概率为 C4

2 3

1 3

3 4

1 4

1 8

(3)依题意,乙恰好射击 5 次后,被中止射击,则 4、5 两次一定未击中,前 3 次若有 1 次未 击中,则一定是 1、2 两次中的某一次;前 3 次若有 2 次未击中,则一定是 1、3 两次,但此 时第 4 次也未中, 那么射击 4 次后就被停止, ∴这种情况不可能; 前三次都击中也符合题意。 ∴所求事件的概率为

1 1 3 2 3 3 45 ( )2 ? [C1 . 2 ? ?( ) ?( ) ] ? 4 4 4 4 1024

考场思维训练 1 (典型例题)掷三枚骰子,求所得点数中最大点数是最小点数两倍的概率是
A. 1 3
5

( )

B.

2 3
5

C.

1 6
3

D.

1 3

答案: C 解析:基本事件总数是:6 ,而这数点数是最小数点数的两倍包括:(1,1,2), (1,2,2),(2,2,4),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,6),(3,4,6),(3,5,6),(3, 6,6).其中(1,1,2),(1,2,2),(2,2,4),(2,4,4),(3,3,6),(3,6,6)各包
1 1 3 含 C3 种结果,共有 6 C3 种结果;(2,3,4),(3,4,6),(3,5,6)各包含 A3 种结果,共有 3 3 A3 种结果.∴所求概率为

1 3 6C3 ? 3 A3

63

?

1 6

∴选 C 2 (典型例题)同时抛掷 3 枚均匀硬币 16 次,则这三枚硬币至少出现一次两个正面一个反 而的概率__________(用式子作答) 。
2 ( )3 ? , 则p( A) ? ,而 答案:1-( ) 解析:事件 A:出现两个正面一个反面的概率为 C3

5 8

16

1 2

3 8

5 8

事件 B:“至少出现一次两个正面一个反面”的对立事件 B : “没有一次出现两个正面一个反 面”的概率 P( B )=( ) . ∴所求事件的概率为 1-( )16. 3 (典型例题) 设棋子在正四面体 ABCD 的表面从一个顶点向另外三个顶点移动是等可能的, 现抛掷骰子根据其点数决定棋子是否移动,若抛出的点数是奇数,则棋子不动;若抛出的点 数是偶数,棋子移动到另一顶点,若棋子的初始位置为 A,则: (1)投掷 2 次骰子,棋子才到达顶点 BA 的概率; 答案: “棋子才到达顶点 B” 包括两种可能:(1)第一次掷出奇数,第二次掷出偶数;(2)第 一次掷出偶数,第二次掷出偶数.它们的概率分别为 P1= ? ? , P2 ? ? ? ? . ∴所求事 件的概率为 P=Pl+P2=
5 . 36

5 8

16

5 8

1 2

1 2

1 3

1 2

2 3

1 3

1 2

(2)投掷次骰子,棋子恰巧在顶点 B 的概率是多少? 答案:设 Pn 表示掷 n 次骰子,棋子恰巧在顶点 B 的概率,Pn-1 表示掷 n-1 次骰子,棋子恰巧 在顶点 B 的概率,掷 n 次骰子, “棋子恰巧在顶点 B”包括两种可能:①掷 n-1 次骰子,棋 子恰巧在顶点 B,第 n 次掷出奇数,棋子在 B 处不动;②掷 n-1 次骰子,棋子不在 B,第 n 次掷出偶数, 棋子从别的顶点移向 B. ∴Pn= ? pn-1+(1-Pn-1)? ? ? Pn ?1 ? ,而 P1= ? ? ∴P2= , P3 ?
2 9 13 13 ∴所求事件的概率为: . 54 54 1 2 1 1 2 3 1 3 1 6 1 1 2 3 1 . 6

专家会诊 对于等可能性事件的概率,一定要注意分子分母算法要一致,如分母考虑了顺序,则分子也 应考虑顺序等;将一个较复杂的事件进行分解时,一定要注意各事件之间是否互斥,还要注 意有无考虑全面;有时正面情况较多,应考虑利用公式 P(A)=1-P( A ) ;对于 A、B 是否

独立,应充分利用相互独立的定义,只有 A、B 相互独立,才能利用公式 P(A?B)=P(A) ?P (B) ,还应注意独立与互斥的区别,不要两者混淆。 命题角度 2 离散型随机变量的分布列、期望与方差 1. (典型例题)盒子中有大小相同的球 10 个,其中标号为 1 的球 3 个,标号为 2 的球 4 个, 标号为 5 的球 3 个。第一次从盒子中任取 1 个球,放回后第二次再任取 1 个球(假设取到每 个球的可能性都相同) 。记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ 。 (1)求随机变量ξ 的分布列; (2)求随机变量ξ 的期望。 [考场错解] (1)依题意,ξ 的取值是 3,6,7,它们所对应的概率分别为 0.24,0.18,0.24, 故随机变量ξ 的分布列如下: ξ P 3 0.24 6 0.18 7 0.24

[专家把脉] 随机变量ξ 的取值不正确,当然随之概率之和不等于 1,由于两次可能取到同 标号的球,所以承受机变量ξ 的取值应为 2,3,4,6,7,10。 [对症下药] (1)由题意可得,随机变量ξ 的取值是 2,3,4,6,7,10。且 P(ξ =2)=0.3 ? 0.3=0.09,P( ξ =3)=C12× 0.3× 0.4=0.24,P( ξ =4)=0.4× 0.4=0.16,P( ξ =6)=2× 0.3× 0.3=0.18,P( ξ =7)2× 0.4× 0.3=0.24,P( ξ =10)=0.3× 0.3=0.09. 故随机变量 ξ 的 分布列如下: ξ P 2 0.09 3 0.24 4 0.16 5 0.18 7 0.24 10 0.09

(2)随机变量ξ 的数学期望 Eξ =2?0.09+3× 0.24+4× 0.16+6× 0.18+7× 0.24+10× 0.09=5.2. 2. (典型例题Ⅱ)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题竞赛规则规定:每题回答正确 得 100 分,回答不正确得-100 分,假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8,且各题回答 正确与否相互之间没有影响。 (1)求这名同学回答这三个问题的总得分ξ 的概率分布和数学期望; (2)求这名同学总得分不为负分(即ξ ≥0)的概率。 [考场错解] (1)由于这名同学每题回答正确的概率均为 0.8,且各题回答正确与否相互之 间没有影响,∴ξ 服从二项分布。∴Eξ =100?0.8。 [专家把脉] 二项分布的概念理解错误,把 n 次独立重复试验事件 A 发生的次数作为随机变 量,则这个随机变量服从二项分布,而本题中的得分不是这种随机变量,所以不服从二项分 布,实际上本题中回答正确的个数服从二项分布。 [对症下药] (1)设这名同学回答正确的个数为随机变量η ,则依题意η ~B(3,0.8), ∴ Eη =2.4,又ξ =-300=180. η =0 时,ξ =-300; η =1 时,ξ =-100; η =2 时,ξ =100; η =3 时,ξ =300.所以ξ 的分布列如下表所示: ξ P -300 0.008 -100 0.096 100 0.384 300 0.512

(2)这名同学总得分不为负分的概率为 P(ξ ≥0)=0.384+0.512=0.986. 3. (典型例题) 某电器商经过多年经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ξ 是一个随机变 量,它的分布列如下: ξ P 1
1 12

2
1 12

3
1 12

? ?

12
1 12

设每售出一台电冰箱,电器商获利 300 元,如销售不出而囤积于仓库,则每台每月需花保养 费 100 元,问电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己平均收益最大? [考场错解] (解答 1)由题意,ξ 的期望 Eξ =
13 1 (1+2+?+12)= ,由期望的意义知: 2 12

电器商月初购进 6 台或 7 台电冰箱才能使自己平均收益最大。 (解答 2)设月初购进 x 台电冰箱,则获利也是随机变量,取值为 300-(x-1) ?100,600( x-2 )? 100, ? , 300x , 它 们 的 概 率 均 为
x ? (400 ? 100 x ? 300 x) 1 25 2 ? ? ( x ? 2 x), ∵1≤x≤2. 2 12 3
1 , ∴ 获 利 的 期 望 为 12

∴x=12 时期望最大,∴月初购进 12 台电冰箱。 [专家把脉] 解答 1,错把期望当作与实际等同,Eξ =
13 13 表示平均能卖 台,不是一定能卖 2 2

13 1 台,总之是期望理解错误;解答 2 中当获利的取值为 300x 时,概率也为 是错误的, 2 12

错误认为只有 x 台, 卖出比 x 大的台数不可能。 实际上获利的取值为 300x 时, 概率应为

13 ? x 。 12

[ 对症下药 ] 设月初进 x 台,则获利 η 是一个随机变量取值为 300- ( x-1 ) ? 100 , 600(x-2) ?100,?300x,共 x 个值,它的分布列如下: η P ∴Eη = 300-(x-1) ?100
1 12

600-(x-2)· 100
1 12

?

300x
13 ? x 12

13 ? x 50 2 1 (400-100x+800-100x+?+300x-400)+300x· = ? (x -19x).当 x=9 或 x=10 12 3 12

时,Eη 最大,即月平均收益最大。 ∴月初购进 9 台或 10 台电冰箱才能使月平均收益最大。 4. (典型例题Ⅰ)一接等中心有 A、B、C、D 四部热线电话,已知某一时刻电话 A、B 占线的 概率为 0.5,电话 C、D 战线的概率为 0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响,假设该时 刻有ξ 部电话占线,试求随机变量ξ 的概率分布和它的期望。 2 2 [考场错解] 由已知得,ξ 的取值为 0,1,2,3,4。且 P(ξ =0)=0.5 × 0.6 =0.09,P(ξ 2 2 2 2 2 2 2 2 =1)=0.5 × 0.6 +0.5 × 0.4× 0.6=0.15,P(ξ =2)=0.5 × 0.6 +0.5 × 0.4× 0.6+0.5 × 0.4 =0.23,P(ξ 2 2 =4)=0.5 × 0.4 =0.04,P(ξ =3)1-0.09-0.15-0.23-0.04=0.49. Eξ =1× 0.15+2× 0.23+4× 0.04+3× 0.49=2.4 [专家把脉] P(ξ =1) ,P(ξ =2) ,P(ξ =3)的计算有错误。P(ξ =1)表示一部电话占线 的概率,它有两种情况: (1)A、B 当中有一部占线,C、D 都不占线; (2)A、B 都不占线, C、D 当中有一部占线,而对于(1) ,A、B 当中有一部占线应为两次独立重复试验发生一次 1 2 2 的概率,ξ (1)的概率应为 C 2?0.5 ?0.6 ; 1 2 1 2 2 1 2 同理 (2) 的概率应为 C 2?0.5 ?0.4?0.6. ∴P(ξ =1)=C +× 0.5 × 0.6 +C 2× 0.5 × 0.4× 0.6=0.3. 同理可求 P(ξ =2) ,P(ξ =3) 。 2 2 [对症下药] 由题意知ξ 的取值为 0, 1, 2, 3, 4, 它们的概率分别是: P (ξ =0) =0.5 × 0.6 =0.09, 1 2 2 1 2 P(ξ =1)=C 2× 0.5 × 0.6 +C 2× 0.5 × 0.4× 0.6=0.3, 2 2 1 1 2 2 2 P(ξ =2)=0.5 × 0.6 +C 2C 2× 0.5 × 0.4× 0.6+0.5 × 0.4 =0.37, 1 2 1 2 2 P(ξ =3)=C 2× 0.5 × 0.4× 0.6+C 2× 0.5 × 0.4 =0.2, 2 2 P(ξ =4)=0.5 × 0.4 =0.04。

∴ξ 的概率分布如下: ξ P 0 0.09 1 0.3 2 0.37 3 0.2 4 0.04

∴Eξ =0?0.09+1?0.3+2?0.37+3?0.2+4?0.04=1.8. 5. (典型例题)某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位客人浏览这三个景点的概率分别为 0.4,0.5,0.6,且客人是否浏览哪个景点互不影响, 设ξ 表示客人离开该城市时浏览的景点数 与没有浏览的景点数之差的绝对值。 (1)求ξ 的分布及数学期望; 2 (2)记“函数 f(x)=x -3ξ x+1,在区间[2,+∞]上单调递增”为事件 A,求事件 A 的概率。 [ 考 场 错 解 ] ( 1 ) ξ 的 取 值 为 1 , 3 , ξ =3 表 示 客 人 浏 览 了 3 个 景 点 , ∴ P( ξ =3)=0.4× 0.5× 0.6=0.12. ∴P(ξ =1)=1-0.12=0.88,Eξ =0.36+0.88=1.24. [专家把脉] ξ =3 表示的事件应为两个互斥事件, 而错解中的ξ =3 表示一个事件, 所以错误, 这是很容易出现的错误,所以在做概率分布的题目时,特别应分析随机变量取某个值,对应 哪些事件。 [对症下药] (1)客人浏览的景点数的可能取值为 0,1,2,3,相应地,客人没有浏览的 景点数的可能取值为 3,2,1,0,所以ξ 的取值为 1,3.P(ξ =3)=0.4?0.5?0.6+0.6? 0.5?0.4=0.24,P(ξ =1)=1-0.24, ∴Eξ =1?0.76+3?0.24=1.48. 2 2 (2)当ξ =1 时,函数 f(x)=x -3x+1 在区间上单调递增;当ξ =2 时,函数 f(x)=x -9x+1 在区 间[2,+∞]上不单调递增。∵P(A)=P(ξ =1)=0.76。 考场思维训练 1.某商店搞促销活动规则如下:木箱内放有 5 枚白棋子和 5 枚黑棋子,顾客从中一次性任 意取出 5 枚棋子, 如果取出的 5 枚棋子中恰有 5 枚白棋子或 4 枚白棋子或 3 枚白棋子, 则有 奖品,奖励办法如下表: 取出的棋子 5 枚白棋子 4 枚白棋子 3 枚白棋子 如果取出的不是上述三种情况,则顾客需用 50 元购买商品。 (1)求获得价值 50 元的商品的概率;
5 答案:解: (1)依题意,基本事件总数为 C10 ,而取到 5 枚白棋子的可能只有一种.

奖品 价值 50 元的商品 价值 30 元的商品 价值 10 元的商品

∴获得价值 50 元的商品的概率为 (2)求获得奖品的概率;

1
5 C10

?

1 252.

答案:获得奖品有三种情况:①摸到 5 枚白棋子,概率为 棋子,概率为
4 1 C5 ? C5 5 C10

1 ;②摸到 4 枚白棋子、1 枚黑 252 .

?

25 C 3 ? C1 100 ; ③摸到 3 枚白棋子, , 由于互斥, 2 枚黑棋子,概率为 5 5 5 ? 252 252 C10

所以获得奖品的概率为 P=

1 25 100 1 ? ? . + 252 . 252 252 2

(3)如果顾客所买商品成本价为 10 元,假设有 10000 人次参加这项促销活动,同商家可以 获得的利润大约是多少(精确到元) 。 答案:设商家在某顾客处获得的利润为随机变量ξ ,则ξ 的取值为:-50,-30,-10,40,

它们所对应的概率分别为 ξ P

1 25 100 1 , , , .∴ξ 的分布列如下所示: 252 252 252 2

-50
1 252

-30
1 252

-10
100 252

40
1 2

∴Eξ =-52×

1 1 100 1 90 +(-30)× +(-10)× +40× = . 252 252 252 2 7 90 × 10000=128571 元. 7

∴10000 人参加这项促销活动,则商家可以获得的利润大约为

2.A、B 两地之间有 6 条网线并联,它们能通过的信息量分别为:1,1,2,2,3, 3,现 从中任取三条网线,设可通过的信息量为 x,当可通过的信息量 x≥6 时,则保证信息畅通。 (1)求线路信息畅通的概率; 答案:解: (1)线路信息畅通包括三种情况,且它们彼此互斥:①x=6; ②x=7;③x=8.由已 知 P(x=6)=
1 1 C1 2 ? C2 ? C 2 3 C6

?

2 C1 ? C1 1 C1 1 , p ( x ? 7) ? 2 3 2 ? , p ( x ? 8) ? 2 ? . ∴ 线 路 信 息 畅 通 的 概 率 3 5 5 10 C6 C6

P= ? ?

2 5

1 5

1 7 ? . 10 10

(2)求任取三条网线所通过信息量的数学期望。 答案:任取三条网线所通过的信息量 为随机变量 x,且 x 的取值为:4,5,6,7,8。它们 所对应的概率分别为 x P
C1 2
3 C6

?

1 2C1 2 2 1 1 , 32 ? , , , ,? x 的分布列如下: 10 C6 10 5 5 10

4
1 10

5
1 5

6
2 5

7
1 5

8
1 10

∴Ex=4?

1 1 2 1 1 +5? +6? +7? +8? =6. 10 5 5 5 10

∴任取三条网线所通过信息量的数学期望为 6。 3.袋中放 2 个白球和 3 个黑球,每次从中取一个球,直到取到白球为止,若每次取出的球 不再放回去,求取球次数ξ 的概率分布及数学期望。 答案:解:∵袋中放 2 个白球和 3 个黑球,每次从中取一球,直至取到白球为止,∴取球次 数ξ 的取值为 1,2,3,4,它们所对应的概率分别为 P(ξ =1)= ,P(ξ =2) ? ? P(ξ =3)= ? × ξ p
2 5
3 5 2 4 3 2 1 1 2 1 ? , P(? ? 4) ? = ? × ? 1 ? . 故ξ 的分布列为: 5 4 3 10 3 5

2 5

3 5

2 4

3 , 10

1
2 5 3 1 1 +3? +4? =2. 10 5 10

2
3 10

3
1 5

4
1 10

∴Eξ =1? +2?

专家会诊 离散型随机变量的分布列, 期望与方差是概率统计的重点内容, 对离散型随机变量及分布列, 期望与方差的概念的关键。求离散型随机变量的分布列的步骤是: (1)根据问题实际找出随 机变量ξ 的所有可能值 xi;(2)求出各个取值的概率 P(ξ =xi)=Pi;(3)画表填入相应数字,

其中随机变量ξ 的取值很容易出现错误, 解题时应认真推敲, 对于概率通常利用所有概率之 和是否等于 1 来进行检验。 期望与方差的计算公式尤其是方差的计算公式较为复杂, 要在理 解的基础上进行记忆。 命题角度 3 统计 1. (典型例题)样本总体中有 100 个个体,随机编号为 0,1,2,?,99,依编号顺序平均 分成 10 个小组,组号依次为 1,2,3,?,10,现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样 本, 规定如果在第一组抽取的号码为 m 那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位数 字相同,若 m=6,则在第 7 组中抽取的号码是____________. [考场错解] 由于 m=6,k=7,∵m+k=13,它的个位数字是 3,∴在经 7 组中抽取的号码是 73。 或这样解答:由于第一组抽取的为 6 号,则第二组抽取的为 16 号,?第 7 组抽取的为 66 号。 [专家把脉] 答案为 73 的错因是:第 7 组中个体的号码错误,第 7 组应为 61,62,?69。 答案为 66 的错因是:死套课本上介绍的方法不管问题实际。 [对症下药] ∵m=6,k=7,∴m+k=13,它的个位为 3,依题意第 7 组的号码为 61,62,?,69。 ∴第 7 组抽取的号码应为 63。 2. (典型例题)某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了 50 名学 生得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用图 13-1 所示 的条形图表示,根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读 时间为 ( ) A.0.6 B.0.9 C.1.0 D.1.5 [考场错解] 由图可以盾出用时间为 0.5 的人数最多,∴选 A。 [专家把脉] 对条形图理解错误,实际上条形图应是一个离散型随机变量的期望的问题。 [对症下药] 设每人阅读的时间为ξ ,则ξ =0,0.5,1.0,1.5,2.0.且 P(ξ =0)= =0.5 ) = =0×
2 5 1 ,P(ξ 10

,P( ξ

=1.0)=

1 5

,P( ξ

=1.5)=

1 5

,P( ξ

=2.0)=

1 10

.

∴ E ξ

5 20 10 10 5 ? 0.5 ? ? 1.0 ? ? 1.5 ? ? 2.0 ? ? 0.9 . 50 50 50 50 50

∴这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 0.9 小时。∴选 B。 3. (典型例题)若随机变量ξ 、η 都服从正态分布,并且ξ ~N(3,2) ,η = 变量η 的期望是_________。 [考场错解] ∵ξ ~N(3,2) ,∴μ =3,σ =2,σ = 2 , ∴Eξ =μ =3,又η =
? ?3
2
2

? ?3
2

,则随机

,∴Eη =(

? ?3
2

)=

1 2

(Eξ -3)=0。

∴η 的期望为 0。 4. (典型例题)设随机变量服从正态分布 N(0,1) ,记φ (x)=P(ξ <x),则下列结论不正 确的是 ( ) A.φ (0) ?
1 2

B.φ (x)=1-φ (-x)

C.P(|ξ |<a)=2φ (a)-1(a>0) D.P(|ξ |>a)=1-φ (a)(a>0) [考场错解] 由于φ (a)可能小于 ,即 2φ (a)-1 可能小于 0,∴选 C。 [专家把脉] 对正态分布不熟悉导致错误,实际上φ (a)>φ (0)= . [对症下药] 由玤态函数的图像知;φ (0)= ,φ (x)=1-φ (-x),P(|ξ |<a)=P(-a<ξ <a)= φ (a)- φ (-a)=2 φ (a)-1,而 P(|ξ |>a)=P( ξ >a)+P(ξ <-a)=1-φ (a)+ φ (-a)=1-2φ (a). ∴不正确的为 D。∴选 D。 考场思维训练 1 某厂生产的零件外径ξ ~N(10,0.04) ,今从该厂上午生产的零件中各取一件,测得外径 分别为 9.9cm,9.3cm,则可认为 ( ) A.上午生产情况正常,下午生产情况异常 B.上午生产情况异常,下午生产情况正常 C.上、下午生产情况均正常 D.上、下午生产情况均不正常 A 解析:由已知μ =10,σ =0.2,∴9.9∈(9.4,10.6) ,9.3 ? (9.4,10.6). ∴ 选 A. 2 2 设随机变量ξ ~N(μ ,σ ) ,且 P(ξ ≤c)=P(ξ >Ac),则 c 等于 A.0 B.6 C.-μ D.μ 答案: D 解析:由正态分布的知识知:C 应为正态函数的对称轴,∴C=μ ,选 D. 3 从某社区家庭中按分层抽样的方法,抽取 100 户高、中、低收入家庭调查社会购买力的某 项指标,若抽出的家庭中有 56 户中等收入户和 19 户低收入户,已知该社区高收入家庭有 125 户,则该社区家庭总户数为__________. 答案: 3.500 解析: ∵分层抽样是按比例抽取, 而高收入家庭有 125 户, 抽取了 100(56+19) =25 户,所以抽取的比例为 ,∴中等收入家庭有 280 户,低收入家庭有 95 户,∴该社区 家庭总户数为 280+95+125=500. 专家会诊 对抽样方法, 总体分布的估计, 正态分布及线性回归近几年高考要求都不高, 有的尚未考查, 但作为新的知识点,高考也不会完全放弃,所以平时学习应以基础知识为主,重点学习抽样 方法,正态分布的基础知识。抽样方法主要是概念的理解,正态分布主要是图像的性质。 探究开放题预测 预测角度 1 与比赛有关的概率问题 1.甲、乙两个围棋队各 5 名队员按事先排好的顺序进行擂台赛,双方 1 号队员选赛,负者 被淘汰, 然后负方的 2 号队员再与对方的获胜队员再赛, 负者又被淘汰, 一直这样进行下去, 直到有一方队员全被淘汰时,另一方获胜。假设每个队员实力相当,则甲方有 4 名队员被淘 汰且最后占胜乙方的概率是____________。 [解题思路] 假设第一个被淘汰的队员站在第一个位置,第二个被淘汰的队员站在第二个位 置,依此类推,最后获胜队员站在第十个位置,考虑双方队员的位置可得解。 [解答] 基本事件总数为:从 10 个位置中选 5 个位置给甲方队员,剩下 5 个给乙方队员,∴ 5 基本事件总数为 C 10,依题意甲方有 4 名队员被淘汰且最后战胜乙方就是说甲方前 4 个人应
1 5 1 2 1 2 1 2

排在前 8 个位置中的 4 个,原因是第 9 应是乙方的第 5 人,第 10 应是甲方的第 5 人,∴事 件包含的可能有 C 8,且每种可能等可能性。∴所求事件的概率为
4

8 C4 10 C5

?

5 . 18

2.某种比赛的规则是 5 局 3 胜制,甲、乙两人在比赛中获胜的概率分别是 和 。 (1)若有 3 局中乙以 2:1 领先,求乙获胜的概率; (2)若胜一局得 2 分,负一局得分,求甲得分ξ 的数学期望。 [解题思路] 乙获胜的可能有两种: (1)3:1,乙只需用胜第 4 场即可; (2)3:2,乙需第 4 场失败,第 5 场获胜,第(2)问先分析ξ 的取值,注意在计算各种情况的得分时要将正 分加上负分。 [解答] (1)依题意,前三局乙以 2:1 领先,∴乙获用的可能有两种: (1)乙在第 4 局获 胜,概率为 ; (2)乙在第 4 局失败,在第 5 局获胜,概率为 ? ? , 而这两种情况互斥, ∴乙获胜的概率为 ?
1 3 2 5 ? . 9 9 1 3 2 3 1 3 2 9

2 3

1 3

(2)将甲获胜的场数写在前面,则比赛结果有以下几种: (1)0:3; (2)1:3; (3)2:3; (4)3:0; (5)3:1; (6)3:2。 (1)中ξ =-3, (2)中=-1, (3)中ξ =1, (4)中ξ =6, ) (5)中ξ =5, (6)中ξ =4。∴ξ 的 取值为-3,-1,1,4,5,6。P(ξ =-3)= ( )3 ? P(ξ =-1)=C 3? ( )2 ?
1 3 2 3
1

1 3

1 27

2 1 3 3

2 2 1 8 1 2 16 ,P(ξ =1)=C24?( )2 ? ( )3 ? , P(ξ =4)=C24?( ) 2 ? ( )3 ? , 3 3 81 27 3 3 81 2 8 8 ,P(ξ =6)= ( )3 ? . ∴ξ 的分布列如下所示: 3 27 27

P(ξ =5)=C13 ? ? ( )3 ? ξ P -3
1 27

-1
2 27

1
8 81

4
16 81

5
8 27

6
8 27

∴Eξ =-3?

1 2 8 16 8 8 +(-1)? +1? +4? +5? +6? 。 27 27 27 27 81 81

∴甲得分ξ 的数学期望为

107 . 27

预测角度 2 以概率与统计为背景的数列题 1.从原点出发的某质点 M,按向量 a=(0,1)移动的概率为 ,按向量 b=(0,2)移动的概 率为 ,设 M 到达点(0,n)的概率为 Pn,求 Pn [解题思路] 引进数列{Pn},再根据题意,找到递推关系,再求 Pn,注意 Pn 的实际意义,M 到达点(0,n)的概率为 Pn,那么到达(0,n-1)的概率为 Pn-1。 [解答] 依题意,M 到达点(0,n)有两种情形: (1)从点(0,n-1)按向量 a=(0,1)移动到 点(0,n) ,由于 M 到达点(0,n-1)的概率为 Pn-1,按 a=(0,1)移动的概率为 。∴这种情 形的概率为 Pn ?1 ; (2)从点(0,n-2)按向量 b=(0,2)移动到点(0,n) ,依(1)同样想
2 3

2 3

1 3

2 3

法,得这种情形的概率为 Pn ? 2 . 由
2 3

1 3




1 3

1






1 3

2








2 3


2 3


2 3 1 3


7 9





Pn= Pn?1 ? Pn?2 (n ? 3).? Pn ? Pn?1 ? ? ( Pn?1 ? Pn?2 )(n ? 3),又易得P 1 ? ,P 2 ? ? ? ? . ∴{Pn-Pn-1}是以 P2-P1= 为首项,- 为公比的等比数列,于是 Pn-Pn-1= ? (- ) =(- ) (n ≥2). ∴
1 9 1 3 1 9 1 3
n-2

1 3

n

Pn=P1+(P2-P1)+(P3-P2)+

?

2 1 1 1 2 +(Pn-Pn-1)= ? (? ) 2 ? (? )3 ? ? ? (? )n ? ? 3 3 3 3 3

1 1 (? ) 2 [1 ? (? ) n ?1 ] 2 1 1 3 1 1 3 3 ? ? [1 ? (? ) n ?1 ] ? ? ? (? ) n . 1 3 12 3 4 4 3 1 ? (? ) 3

∴质点能达(0,n)的概率为 ? (? )n . 2.一个口袋中放有若干个球,每一球上标有 1 至 n 中某一个整数,设标有数 k 的球有 k 个, 现从中任取一球。ξ 为取的球上所标数字,求ξ 的期望与方差。 [解题思路] 先求ξ 的分布列,再利用数列求和的知识求 Eξ 和 Dξ 。 [解答] 依题意袋中共有球 1+2+?+n= =
n(n ? 1) 个。由于标有数字 k 的球有 k 个,∴P(ξ =k) 2

3 4

1 4

1 3

k 2k ? , ∴ξ 的分布列如下所示 n(n ? 1) n(n ? 1) 2

ξ P
1?

1
2 n(n ? 1)

2
4 n(n ? 1)

? ?

k
2k n(n ? 1)

?

n

2 n?

2 4 2k 2 2n 2 ? 2? ??? ?? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) 2 ? (12 ? 22 ? ? ? n 2 ) n(n ? 1) 2 n(n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 ? ? ? . n ( n ? 1 ) 6 3 ∴Eξ = 2k 2n k2 ? ? ? ? n2 ? n(n ? 1) n(n ? 1) 2 n(n ? 1) ? (13 ? 23 ? ? ? n3 ) ? . n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2n ? 1 2 1 2 ? D? ? E? 2 ? ( E? ) 2 ? ?( ) ? (n ? n ? 2). 2 3 18

预测角度 3 利用期望与方差解决实际问题 1.四位母亲带领自己的孩子参加电视台“我爱妈妈”综艺节目,其中有一环节,先把四位 小孩的眼睛蒙上,然后四位母亲分开站,而且站眘不许动、不许出声,最后让蒙上眼睛的小 朋友找自己的妈妈,一位母亲的身边只许站一位小朋友,站对一对后亮起两盏红灯,站错不 亮灯,求所亮灯数的期望值。 [解题思路] 先求灯数的分布列,再求期望。

[解答]设所亮灯数为ξ ,则ξ 的取值为 0,2,4,8,且 P(ξ =0)= P(ξ =2)= P(ξ =4)= P(ξ =8)=
1 C1 4C 2 4 A4
4 C2 4 A4

1 1 C3 C3 4 A4

?

3 , 8

?
1 , 4

1 , 3

?

1
4 A4

?

1 . 24

∴亮灯数ξ 的分布列如下: ξ P 0
3 8

2
1 3

4
1 4

8
1 24

3 1 1 1 0? ? 2? ? 4? ? 8? ? 2. 8 3 4 24 ∴Eξ =

(注意:ξ 不可能等于 6,因为有 3 人站对后,第 4 人一定站对) 。 2.某商场根据天气预报来决定节目节日在商场内还有在商场外开展促销活动,统计资料表 明, 每一年五一节商场内的促销活动可获得经济效益 2.5 万元, 商场外的促销活动如果不遇 害到有雨天可获得经济效益 12 万元,如果促销活动遇到雨天则带来经济损失 5 万元,4 月 30 日气象台报五一节当地有雨的概率是 40%,问商场应该采用哪种促销方式? [解题思路] 计算出商场外的促销活动可获得经济效益的期望值, 将这个值与 2.5 万元比较。 [解答] 设五一节商场外促销收益为ξ (万元) ,则依题意,ξ 的分布列如下: ξ P 12 0.6 -5 0.4

∴Eξ =12?0.6+(-0.4× 5)=5.2 万元,又 5.2>2.5, ∴商场应采用在商场外的促销活动。 考点高分解题综合训练 1 一个盒子里装有相同大小的黑球 10 个,红球 12 个,白球 4 个,从中任取两个,其中白 球的个数记为ξ ,则下列算式中等于 A.P(0<ξ ≤2) C.Eξ B.P(ξ ≤1) D.Dξ
2 C22 2 C26 1 2 C1 22C4 ? C22 2 C26

的是

( )

B 解析:P(ξ ≤1)=P(ξ =0)+P(ξ =1)=

?

1 C1 22C4 2 C26

?

1 2 C1 22C4 ? C22 2 C26

. ∴选 B.

2 袋中有红、黄、绿色球各 1 个,每次任取一球,又放回地抽取三次,球颜色全不相同的 概率是 ( )
1 27 2 C. 9 A. 1 9 2 D. 27 B.
3

3 答案: C 解析:基本事件总数为 3 =27,而球颜色全不相同的可能有 A3 种,∴所求概率为

3 A3

33

?

2 ,? 选C. 9

3 在独立重复的射击试验中,某射手击中目标的概率为 0.4,则他在射击时击中目标所需

要的射击次数的数学期望,方差分别为 ( ) A.2.5,4 B.2.5,3.75 C.0.24,3.75 D.25,37.5 答案:B 解析: 依题意他射击中目标所需要的射击次数服从几何分布, P=0.4,q=1-P=0.6, ∴ Eξ =
1 1 q ? ? 2.5, D? ? 2 ? 3.75,? 选B P 0.4 p

4 袋中有红球 3 个,白球 3 个,任抽取一球确认颜色后放入袋中,最多可以取 3 次,但是 取到红球后就不能再取了, 若每取一次可以得到 10 元, 那么可得金额的期望值为 ( ) A.30 元 B.20 元 C.17.5 元 D.13.75 元 答 案 : C 解 析 : 依 题 意 摸 球 次 数 ξ 的 取 值 为 1 , 2 , 3 , 且 P ( ξ =1 ) = ? ? , P(? ? 3) ? 1 ? ? ? ,? E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ,? 可 得金额的期望值为
1 2 1 2 1 4 1 2 1 4 1 4 1 2 1 4 1 4 7 4
70 =17.5 4

元. 2 5 若ξ ~N(2,σ ) ,且 P(2<ξ <4)=0.4,则 P(ξ <0)的值为___________. 答案: 0.1 解析:由正态分布的密度函数图像的意义及其对称性知 P(ξ <0) =P(ξ >4)=
1 1 1 [1-P(0<ξ <4)]= [1-2P(2<ξ <4)]= (1-2×0.4)=0.1, 2 2 2

∴填 0.1 6 甲、乙二人各拿两骰子做抛掷游戏,规则如下:若掷出的点数之 和为 3 的倍数,该掷骰子的人再继续掷;若掷出的点数之和不是 3 的倍数时,就由对方接着掷,第一次由 A 掷,若第 n 次由 A 掷的概率为 Pn, 则 Pn=__________. 答案:
1 1 1 n-1 + ×(- ) 解析:第 n 次由 A 掷的概率为 P,则第 n 次由 B 搓的概率为 1-Pn 2 2 3

则第 n+1 次由 A 掷的可能有两种: (1)第 n 次由 A 掷,掷出的点数和为 3 倍数,第 n+1 次由 A 掷,概率为 Pn ; (2)第 n 次 B 掷,掷出的点数和不为 3 的倍数,第 n+1 次由 A 掷,概率 为
1

1 3

2 3
Pn ?



1-Pn



,

























Pn+1= 3

2 1 2 1 1 1 1 1 n ?1 (1 ? Pn ) ? ? Pn ? ,? Pn ? ? ? ( Pn ? ),? Pn ? ( P , 又P 1 ? ) ? (? ) 1 ?1 3 3 3 2 3 2 2 3

∴Pn= ? ? (? )n?1. 7 某电路图如图 13-2 所示,在某段时间内,开关 A、B、C、D 能合(接通)的概率为 P, 且互不影响,计算这段时间内电灯不亮的概率。 答案:解析:先求电灯亮的概率,电灯亮包括以下几种情形: (1)AD BC ; (2)ABC D ; (3)ABCD.(其中 D 表示 D 能合, D 表示 D 不能合)。且三种情形 互 斥
2

1 2

1 2

1 3



P(AD BC )=P(A)·P(D)·[1-P(B)P(C)]=P·P(1-P )P(ABC D )=P(A)·P(B)·P(C)·(1-P(D))=P·P 4 ·P(1-P),P(ABCD)=P , 2 3 4 ∴灯亮的概率为 P +P -P 。

∴灯不亮的概率为 1-P2+P4-P3 8 美国 DBA 总决赛采用七局四胜制,预计 2006 年比赛,两队实力相当,且每场比赛组织者 可获得 200 万美元,问: (1)组织者在本次比赛中获得 800 万美元的概率是多少? 答案:依题意,组织者在本次比赛中获利 800 万美元,则比赛结果应是某队以 4:0 获胜。 其概率为 P=2? ( )4 ? . (2)组织者在本次比赛中获利不低于 1200 万美元的概率是多少 答案:组织者在本次比赛中获利不低于 1200 万美元,则至少打 6 场,分两种情况: (1)只
2 打 6 场,则比赛结果应是某队以 4:2 获得胜利,其概率为 P1=0? C5 · ( )5 ? ?
3 7 则比赛结果应是某队以 4:3 获得胜利,其概率为 P2= C1 2C6 ? ( ) ?

1 2

1 8

1 2

1 2

5 ; (2)打7场 , 16

1 2

5 , 由于两种情况互斥,∴ 16

P=P1+P2= ,∴获利不低于 1200 万美元的概率为 . 9 已知方程 ax +2bx+c=0 的系数可以随机地取 1,2,3,4,5 中三个数字(不许重复) ,试 求方程有实数解的概率。
3 答案:解:由已知基本事件总数为 A5 =60,方程有实数解的充要条件是△=4b -4c ≥0,即 b
2 2 2 2 2

5 8

5 8

≥ ac, ∵ ac ≥ 2, ∴ 2 ≤ b ≤ 5. 当 b ≥ 4 时, ac ≤ 3×5=15,b ≥ ac 总成立,这样的选法有
2 2 C1 1,3或1,4中取值, 这样的选法有2 A2 ? 4种 ;当 b=3 时,a、c 在 1、2 或 1、 2 ? A4 ? 24种;当b ? 2时, a, c在
2 4 或 1、 5 或 2、 4 中取值, 这样的行选法有 4 4 A2 ∴方程有实数解的可能有 24+4+8=36 ? 8 种,

种. ∴所求概率为
36 3 ? . 60 5

10 一个工人看管三台机床,在一小时内机床不需要工人照顾的概率第一台是 0.9,第二台 是 0.8,第三台是 0.85,求在一小时的过程中不需要工作照顾的台数ξ 的期望。 答案:解:依题意ξ 的取值为 0,1,2,3. P(ξ =0)=(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.85)=0.003, P(ξ =1)=0.9×(1-0.8)(1-0.85)+(1-0.9)×(1-0.8)×0.55+(1-0.9)×(1-0.85)×0.8=0.056, P(ξ =2)=0.9×0.8×(1-0.85)+0.9×(1-0.8)×0.85+(1-0.9)×0.8×0.85=0.329, P(ξ =3)=0.9×0.8×0.85=0.612 ∴Eξ =0× 0.003+1× 0.056+2× 0.329+3× 0.612=2.55(台). 11 冰箱中放有甲、乙两种饮料各 5 瓶,每次饮用时从中任取一瓶,取用甲或乙种饮料的概 率相同 (1)求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下 3 瓶的概率; 答案: 由题意知, 甲种饮料已饮用 5 瓶,乙种饮料已被饮用 2 瓶,记“次饮用的是甲种饮料”
5 ? ( )7 ? 为事件 A,则即求 7 次独立重复试验事件 A 发生 5 次的概率 P= C7

1 2

21 . 128

(2)求甲种饮料饮用瓶数比乙种饮料饮用数至少多 4 的概率。
5 ? ( ) 6 ? ( )5 ? ( ) 4 ? 答案:依题意,有三种情形:①甲 5 瓶,乙 1 瓶,概率为 C6

1 2

1 2

1 2

3 . 16

12 一块电路板上有 16 个焊点,其中有 2 个不合格的虚焊点,但不知道是哪两个,现要逐 个进行检查, 直到查出所有的虚焊点为止, 设ξ 是检查出两个虚焊点时已查焊点的个数。 答案: 解: (1) 依题意, ξ 的取值为 2, 3?16, 且P (ξ =k) = ∴ξ 的分布列如下: ξ P
16
k ?1 C1 2 ? Ck ?1 k A16

?

k ?1 (2 ? k ? 16, k ? N *), 120

2
1 120

3
2 120

? ?

k
k ?1 120

? ?

16
15 120

∴Eξ =

? 120 ? k ? 120 ?(k
1
k ?2 k ?2

k ?1

16

2

? k) ?

34 . 3

由(1)得 P(ξ ≤8)=

1 2 7 28 7 ? ??? ? ? 120 120 120 120 30

13 A 有一只放有 x 个红球,y 个白球,z 个黄球的箱子(x,y,z≥0,x+y+z=6),B 有一只放 有 3 个红球,2 个白球,1 个黄球的箱子,两人各自从自己的臬子中任取一球,规定两 球同色时为 A 胜,异色时为 B 胜。 (1)用 x、y、z 表示 A 胜的概率; 答 案 : 解 : ( 1 ) A 、 B 都 取 红 球 的 概 率 为
x 1 x y 1 y z 1 z ? ? ; A, B都取白球的概率为 ? ? ; A, B都取黄球的概率为 ? ? . ∴ A 6 2 12 6 3 18 6 6 36 x y z 1 ? ? ? (3x ? 2 y ? z ). 12 18 36 36

胜 的 概 率 为

(2)若又规定当 A 取红、白、黄而胜的得分分别为 1,2,3,负则得 0 分,求使 A 得到 最大值的 x、y、z 答案:13. (2)令ξ 表示 A 的分数,则ξ 的取值为 0,1,2,3,由(1)得ξ 的分布列如下: ξ P
1?

0
3x ? 2 y ? z 36

1
3x 36

2
2b 36

3
z 36

于是 Eξ =

1 2 (18+y),又 0≤y≤6.故当 y=6,x=z=0 时,Eξ 的最大值为 . 36 3
2

14 已知从某批材料中任取一件时,取得的材料的强度ξ ~N(200,18 ) (1)计算这件材料强度不低于 180 的概率; 答案:解: (1)P(ξ ≥180)=1-P(ξ <180)=1-φ (
180 ? 200 ) ? 1 ? ? (?1,11) ? 08665; 18

(2)如果所用材料的强度不低于 150 的概率要求为 99%,问这些材料是否符合要求。
180 ? 200 ) =1-φ (-2.78)=0.9973 18

答案: P(ξ ≥150)=1-P(ξ <150)=-φ ( ∴这批材料符合要求.

考点 14 极限 ?数学归纳法

?数列的极限 ?函数的极限 ?函数的连续性 ?数学归纳法在数列中的应用 ?数列的极限 ?函数的极限 ?函数的连续性 典型易错题会诊 命题角度 1 数学归纳法 1. (典型例题)已知 a>0,数列{an}满足 a1=a,an+1=a+
1 ,n=1,2,?. an

(Ⅰ)已知数列{an}极限存在且大于零,求 A= lim an (将 A 用 a 表示);
n ??

(Ⅱ)设 bn=an-A,n=1,2?,证明:bn+1=(Ⅲ)若|bn|≤
1 2n

bn ; A(bn ? A)

, 对 n=1,2?都成立,求 a 的取值范围。
1 1 两边取极限得, A=a+ . A an

[考场错解] (Ⅰ)由 lim an , 存在, 且 A= lim an(A>0) ,对 aa+1=a+
n ?? n ??

解得 A=

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 . 又 A>0, ∴A= . 2 2

(Ⅱ)由 an+bn+A,an+1=a+ ∴ bn?1 ? a ? A ? 即 bn ?1 ? ?

1 1 得 bn+1+A=a+ . an bn ? A

1 1 1 bn ?? ? ?? . bn ? A A bn ? A A(bn ? A)

bn 对 n=1,2?都成立。 A(bn ? A)
1 2n

(Ⅲ)∵对 n=1,2,?|bn|≤
1 2 1 2

,则取 n=1 时, | b1 |?

1 1 1 ,得 | a ? (a ? a 2 ? 4 |? . 2 2 2

∴ | ( a 2 ? 4 ? a) |? . ? a2 ? 4 ? a ? 1 ,解得 a ?

3 。 2

[专家把脉] 第Ⅲ问中以特值代替一般,而且不知{bn}数列的增减性,更不能以 b1 取代 bn. [对症下药] (Ⅰ) (Ⅱ)同上。 (Ⅲ)令|b1|≤ ,得 | a ? (a ? a 2 ? 4) |? . ∴|
1 2 1 a ? 4 ? a |? . 2 2 3 2 1 2 1 2 1 2

∴ a 2 ? 4 ? a ? 1, 解得a ? . 现证明当 a ?
3 1 时, | bn |? n 对 n=1,2,?都成立。 2 2

(i)当 n=1 时结论成立(已验证) 。

(ii)假设当 n=k(k≥1)时结论成立,即 | bk |?
1 1 ? A | bk ? A | 2

1 2
k

,那么 | bk ?1 |?

| bk | 1 1 ? ? k. | A(bk ? A) | A | bk ? A | 2

故只须证明

,即证 A|bk+A|≥2 对 a≥ 成立
2

3 2

由于 A ?

a ? a2 ? 4 ? 2
3 2

a ?4 ?a
3 2

2

,

而当a≥ 时,而当a≥ 时, a2 ? 4 ? a ? 1,? A ? 2. ∴ | bk ? A |? A? | bk |? 2 ?
3 2

1 2k

? 1, 即A|bk+A|≥2.

故当a≥ 时, | bk ?1 |? ?

1 2

1 2
k

?

1 2
k ?1

.

即n=k+1时结论成立。 根据(i)和(ii),可知结论对一切正整数都成立。 故|bn|≤
1 2n

对n=1,2,?都成立的a的取值范围为[ ,?? ]

3 2

2.(典型例题)已知数列{an}中,a1=3,前 n 项和 Sn 满足条件 Sn=6-2an+1.计算 a2、a3、a4,然后猜 想 an 的表达式。并证明你的结论。 [考场错解] 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1= an.因为 a1=3,所以 a2= a1= ,a3= a2= ,a4= a3= . 由此猜想 an= ① 当 n=1 时,a1=
3 2
1?1

1 2

1 2

3 2

1 2

3 4

1 2

3 8

3 2
n ?1

(n ? N * )

=3,结论成立;
3 2k ?1

② 假设当 n=k(k≥1)时结论成立,即 ak=

成立,则当 n=k+1 时,因为 ak+1= ak,所以

1 2

1 1 ak ?1 1 ( ) ? , 又 a1=3,所以{an}是首项为 3 公比为 的等比数列。由此得 ak+1=3? 2 2 ak 2
k+1-1

=

3 2
k ?1?1

,这表明,当 n=k+1 时结论也成立。

由①、②可知,猜想对任意 n∈N*都成立。 [专家把脉] ①应由 a1=S1=6-2a2,求得 a2= ,再由 an+1= an(n≥2)求得 a3= ,a4= ,进而由此猜 想 an=
3 2n ?1
3 2 1 2 3 4 3 8

(n∈E*).
3 2k ?1

②用数学归纳法证明猜想时,没有利用归纳假设 ak ? ak+1=
3 2 k ?1?1

,而是根据等比列的通项公式求得

.这种证明不属于数学归纳法。
3 2

[对症下药] 由 a1=S1=6-2a2,a1=3,得 a2= . 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,

即 an+1= an.将 a2= 代入得 a3= a2= ,a4= a3= ,由此猜想 an= 法证明猜想成立。 ①当 n=1 时,a1=
3 a
1?1

1 2

3 2

1 2

3 4

1 2

3 8

3 2
n ?1

(n ? N *). 下面用数学归纳

? 3 ,猜想成立;
3 2k ?1

②假设当 n=k(k≥1)时结论成立,即 ak= ak+1= ?
1 2

成立,则当 n=k+1 时,因为 ak+1= ak,所以

1 2

3 2k ?1

=

3 2k

?

3 2k ?1?1

这表明,当 n=k+1 时结论也成立。

由①,②可知,猜想对 n∈N*都成立。 3. (典型例题)已知不等式 + +?+
1 2 1 3
1 1 > [log2n],其中 n 为大于 2 的整数,[log2n]表示不超 n 2

过 log2n 的最大整数。设数列{an}的各项为正,且满足 a1=b(b>0),an≤ (Ⅰ)证明:an≤
2b ,n=2,3,4,5,?; 2 ? b[log2 n]

nan ? 1 ,n=2,3,4,?. n ? an ? 1

(Ⅱ)猜测数列{an}是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明) ; (Ⅲ)试确定一个正整数 N,使得当 n>N 时,对任意 b>0,都有 an< . [考场错解] (1)利用数学归纳法证明不等式: an ? 1)当 a=3 时, an ?
b . 1 ? f (n) ? b
1 5

3a2 3 3 b 知不等式成立。 ? ? ? 3 2 ? a1 3 ? a2 1 ? f (3) ? b ?1 ?1 a2 2a1

2)假设 n=k(k≤3)时,ak≤

b (k ? 1)ak k ?1 b , 则 ak ?1 ? ? ? . 即 n=k+1 时, k ? 1 1 ? f (k )b (k ? 1) ? ak 1 ? 1 ? f (k ? 1) ? b ak

不等式成立。 (Ⅱ)有极限,且 linan an ? 0.
n??

(Ⅲ) ?

2b 2 2 1 ? ,令 ? . 2 ? b[log2 n] [log2 n] [log2 n] 5
1 5

解得 n>10=1024.取 N=1024,有 an< . [专家把脉] (1)在运用数学归纳证明时,第 n-k+1 步时,一定要运用归纳假设进行不等式 放缩与转化,不能去拼凑。 [对症下药] (Ⅰ)证法 1:∵当 n≥2 时,0<an≤
1 n ? an ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ,即 ? ? ,于是有 an nan ? 1 an ? 1 n an an ? 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? ,?, ? ? ,所有不等式两边相加可得 ? ? ? ??? . a a 2 3 n a2 a1 2 a3 a2 3 an an ? 1 n n 1
man ? 1 ,∴ n ? an ? 1

由已知不等式知,当 n≥3 时有, ∵a1<b,∴ ∴an<

1 1 1 ? ? [log2 n]. an a1 2

1 1 1 2 ? b[log2 n] ? ? [log2 n] ? . an b 2 2b

2b . 2 ? b[log2 n]
1 2 1 3 1 n

证法 2:设 f(n)= ? ? ? ? ,首先利用数学归纳法证不等式 an ? (i)当 n=3 时,由 a3 ?

b , n=3,4,5,?. 1 ? f (n)b

3a2 3 3 b ? ? ? . 知不等式成立。 3 2 ? a1 3 ? a2 1 ? f (3)b ?1 ?1 a2 2a1
b , 1 ? f (k )b

(ii)假设当 n=k(k≥3)时,不等式成立,即 ak≤ 则 ak+1≤

(k ? 1)ak k ?1 k ?1 (k ? 1)b b b ? ? ? ? ? , k ? 1 1 ? f ( k ) b 1 (k ? 1) ? ak ? 1 ( k ? 1) ? ? 1 (k ? 1) ? ( k ? 1) f (k )b ? b 1 ? [ f (k ) ? ]b 1 ? f ( k ? 1)b ak b k ?1

即当 n=k+1 时,不等式也成立。 由(i) 、 (ii)知,an≤ 又由已知不等式得
an ? b 2b ? , n=3,4,5,?. 1 2 ? b [ bog2n] 1 ? [log2 n]b 2

b n=3,4,5,?. 1 ? f (n)b

(Ⅱ)有极限,且 lim an ? 0 ,
n??

(Ⅲ) ∵

2b 2 2 1 10 ? ,令 ? ,则有 log2n≥[log2n]>10, ? n>2 =1024,故取 2 ? b[log2 n] [log2 n] [log2 n] 5
1 5

N=1024,可使当 n>N 时 ,都有 an<

专家会诊 1.一般与自然数相关的命题,或有关代数恒等式的证明,三角恒等式、三角不等式、整除 性、与数列有关的问题和有关几何问题都可用数学归纳法。 2.运用数学归纳法证明时,第二步是关键、必须用到归纳假设,否则就不是数学归纳法的 证明。 考场思维训练 1 用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)?(n+n)=2n?1?3? 5?(2n-1)(n∈N+)”时,从 n=k 到 n=k+1,给等式的左边需要增乘的代数式是 ( )
A. 2k ? 1 C. (2k ? 1)(2k ? 2) k ?1 B. 2k ? 1 k ?1 2k ? 3 D. k ?1

答案: C 解析:略 2 曲线 C:xy=1(x>0)与直线 l:y=x 相交于 A1,作 A1B1⊥l 交 x 轴于 B1,作 B1A2∥l 交曲线 C 于

A2?依此类推。 (1)求点 A1、A2、A3 和 B1、B2、B3 的坐标; 答案: A1(1,1)、A2( 2 +1, (2 3 ,0) (2)猜想 An 的坐标,并加以证明; 答案: An( n ? n ? 1, n ? n ? 1) ,证明略. (3) lim
| Bn Bn ?1 | . n?? Bn ?1Bn 1 , an ), Bn (bn ,0). an
2 -1) 、A3( 3 + 2 , 3 - 2 ) 、B1(2,0) 、B2(2 2 ,0) 、B3

答案:设 An(

由题图:A1(1,1) ,B1(2,0) ∵a1=1,b1=2 且
1 ? ?bn ? a ? an ? n ? 1 ?a ? ? bn ? 1(? An在直线y ? x ? bn ?1上) n ? an ?

∴ lim

n ?? |

| Bn Bn ? 1 | 2an ?1 n ?1 ? n ? lim ? lim ,分子分母乘以( n ? 1 ? n )( n ? n ? 1) ) n ?? n ? n ? 1 Bn ? 1Bn | n ?? 2an

及 lim

n ? n ?1 n ?1 ? n

1 ? 1? ? lim
n ??

n ??

1?

1 ? 1 n

1 n ?1

3 设数列 a1,a2,?,an,?的前 n 项的和 Sn 和 an 的关系是 Sn=1-ban无关的常数,且 b≠-1。 (1)求 an 和 an-1 的关系式; 答案: an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)解得 an=
1 (1 ? b)
n

1 , 其中 b 是与 n (1 ? b)n

?

1 (1 ? b)
n?1

? ?b(an ? an?1) ?

b (1 ? b)n

(n ? 2)

b b an ? 1 ? (n ? 2) 1? b (1 ? b)n?1 1 b ,? a1 ? 1? b (1 ? b)2

(2)猜想 an 的表达式(用 n 和 b 表示) ; 答案:∵a=S1=1-ba1? an ?

b b b b [ an ? 2 ? ]? 1? b 1? b (1 ? b) n (1 ? b) n ?1 b 2 b2 ? b ?( ) an ? 2 ? 1? b (1 ? b)n ? 1 ?( ?( b 2 b b b ? b2 ) [ an ?3 ? ]? n ? 1 1? b 1? b (1 ? b) (1 ? b) n ?1 b 2 b ? b 2 ? b3 ) an ?3 ? ,? 1? b (1 ? b) n ?1

由此猜想 an= ( 把 a1=
b (1 ? b)2

b n ?1 b ? b 2 ? b3 ? ? ? b n ?1 ) a1 ? 1? b (1 ? b) n ?1

代入上式得

? b ? b n ?1 (b ? 1) ? b ? b2 ? ? ? b ? (1 ? b)(1 ? b) n ?1 ? an= ? (1 ? b) n ?1 ? n ? n ?1 (b ? 1) ?2
n

(3)当 0<b<1 时,求极限 lim Sn .
n??

(3).S n ? 1 ? ban ?

1 (1 ? b)
n

? 1? b ?

b ? b n ?1 (1 ? b)(1 ? b) n ?1

?

1 (1 ? b) n

答案: ? 1 ?

1 (1 ? b) n

?

b(b ? b n ?1 ) 1 n ?1 ( ) (b ? 1), 1? b 1? b
n ??

? 0 ? b ? 1时, lim b n ? 0, lim (
n ??

1 n ) ? 0,? lim Sn ? 1. n ?? 1? b

命题角度 2 数列的极限 1. (典型例题)已知数列{xn}满足 x2= ( A. )
3 2
x1 1 , xn= (xn-1+xn-2),n=3,4,?.若 lim xn . =2,则 x1= 2 2 n??

B.3

C.4
1 2

D.5
1 2 5 2 1 2 5 2
11 ,?.当 4

[考场错解] C. ∵x1=4.∴x2=2,x3= (x1+x2)=3,x4= (2+3)= ,x5= (3+ )= n ? ? ,由趋势可知 xn ? 2 ,故选 C [专家把脉] 通过有限项看趋势,并不能准确描述极限。

[对症下药] B 由 xn= (xn-1+xn-2)可得 2x3=x2+x1,2x4=x3+x2,2x5=x4+x3,?,2xn=xn-1+xn-2,两边相加 得:2xn+xn-1=2x2+x1,两边取极限,2x1=4+2, ∴x1=3. 2.(05,浙江高考卷) lim A.2 B.4
1? 2 ? 3 ??? n n2
1 2
n??
n ??

1 2

= D.0





C.

[考场错解] D lim

1? 2 ? 3 ??? n n2

n ??

= lim (

1 n2

?

2 n2

?

3 n2

1 1 2 1 ? ? ? ) ? lim 2 ? lim 2 ? ? ? lim ? 0. n?? n n?? n n?? n n

[专家把脉] 无穷数列的和的极限不能求极限的和。 [对症下药] lim
(1 ? n)n 2n 2
n??

? lim

n??

n ?1 1 ? . 2n 2

3. (典型例题)已知数列{log2(an-1)}(n∈N*) 为等差数列,且 a1=3,a2=5,则
n ??

lim (

1 1 1 ? ? ?? )= a2 ? a1 a3 ? a2 an?1 ? an

( )

A.2

B.

3 2

C.1

D.

1 2

[考场错解] D ∵a1=3,a2=5. ∴log2(a1-1)=1.log2(a2-1)=2. ∴an-1=2n.an=2an+1. ∴

n ??

lim

1 an ?1 ? a .
1 1 1 1 1 ? ? ?? )? ? a2 ? a1 a3 ? a2 an?1an a2 ? a1 2

故 lim (
n??

[专家把脉] 无限项数列和的极限应变成有限项数列的极限,不能求极限的和。 [对症下药] C ∵a1=3,a2=5.∴log2(a1-1)=1,log2(a2-1)=2. ∴an-1=2n,an=2n+1.
1 1 1 ? ??? a2 ? 1 a3 ? a2 an ?1 ? an

∴?

1 22 ? 21

2n ?1 ? 2n 1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 2 2 ? ? 2 ??? n ? 1 2 2 2 1? 2 2 ? 22

?

1

???

1

∴ lim (
n ??

1 1 1 ? ? ?? ) a2 ? a1 a3 ? a2 an?1 ? an

1 1 [1 ? ( ) n ] 2 2 = lim =1 1 n ?? 1? 2

4 (典型例题) 计算: lim

3n?1 ? 2n 3n ? 2n?1

n ??

=___________。

[考场错解]

n ??

lim

3n?1 ? 2n 3n ? 2n?1

2 3 ? ( )n 3 = lim =1 2 n ?? 1 ? 2 ? ( )n 3

[专家把脉]

n ??

2 lim ( ) n ? 0 ,而不是 1。 3

[对症下药]

n ??

lim

3n?1 ? 2n 3n ? 2n?1

1 2 1 ? ? ( )n 3 3 =3 = lim 2 n ?? 1 ? ( ) n ?1 3 3

5 (典型例题)已知 un=an-1b+an-2b2+?+abn-1+bn(n∈N*,a>0,b>0). (Ⅰ)当 a=b 时,求数列{un}的前项 n 项和 Sn。 (Ⅱ)求 lim
n ??

un 。 un?1
n 2 3 n-1 n

[ 考 场 错 解 ] ( Ⅰ ) 当 a+b 时 , rn=(n+1)a . ∴ Sn=2a+3a +4a + ? +na +(n+1)a . 则 2 3 4 n n+1 aSn=2a +3a +4a +?+na +(n+1)a .两式相减: Sn=
( n ? 1) a n ? 2 ? ( n ? 2) a n ?1 ? a 2 ? 2a (1 ? a ) 2

(Ⅱ) lim

n ??

a(n ? 1) un (n ? 1)a n = lim = lim =a. n n ?? un?1 n ?? ua n ?1

[专家把脉] (Ⅰ)问运用错位相减时忽视 a=1 的情况。 (Ⅱ)a=b 是(Ⅰ)的条件,当 a≠b 时,极限显然不一定是 a. [对症下药] (Ⅰ)当 a=b 时,un=(n+1)an.这时数列{un}的前 n 项和 2 3 n-1 n Sn=2a+3a +4a +?+na +(n+1)a .① 2 3 4 n n+1 ①式两边同乘以 a,得 aSn=2a +3a +4a +?+na +(n+1)a ② 2 3 n n+1 ①式减去②式,得(1-a)Sn=2a+a +a +?+a -(n+1)a 若 a≠1,(1-a)Sn=
a(1 ? a n )
2

a(1 ? a n ) -(n+1)an+1+a 1? a

Sn=

(1 ? a) ?

?

a ? (an ? 1)a n ?1 1? a (1 ? a)2
n(n ? 3) 2
a(n ? 1) un (n ? 1)a n = lim = lim =a. n n ?? un?1 n ?? ua n ?1

(n ? 1)a n ? 2 ? (n ? 2)n ?1 ? a 2 ? 2a

若 a=1,Sn=2+3+?+n+(n+1)=

(Ⅱ)由(Ⅰ) ,当 a=b 时,un=(n+1)an,则 lim
n n-1 n-1 n n

n ??

当 a≠b 时,un=a +a b+?+ab +b =a [1+ ? ( )2 ? ? ? ( )n ]
b 1 ? ( ) n ?1 1 u a n ?1 ? b n ?1 a ? ( a n ?1 ? b n ?1 )此时, n ? . =a b a?b un ?1 a n ? bn 1? a
n

b a

b a

b a

b a ? b( ) n un a n ?1 ? b n ?1 a ? a. 或 a>b>0, lim = lim = lim b n n ? ? un ?1 n ?? n ?? a n ? bn 1? ( ) a a a( ) n ? b b ? b. a ( )n ? 1 b

u 若 b>a>0, lim n = lim n ? ? un ?1 n ??

专家会诊 1. 充分运用数列的极限的四则运算及几个重要极限① lim C=C.(C 为常数). ② lim
n ?? n ??

1 =0. n

③ lim qn=0,|q|<1.
n ??

2.对于

? 型的数列极限,分子分母同除以最大数的最高次项,然后分别求极限。 ?

3.运算法则中各个极限都应存在,都可推广到任意有限个极限的情况,不能推广到无 限个。 考场思维训练 1 若 q 为二项式( ?
x 2 1
3

x

) 的展开式的常数项,则 lim

8

qn ? 1 q n ?1 ? 1

n ??

=___________.

答案:1/7 解析:可求得 q=7, lim 2 已知点 A(0, ) 、B(0,2 n

7n ? 1 7n ?1 ? 1

n ??

?

1 . 7

2 2 ) 、C(4+ ,0)其中 n 为正整数,设 Sn 为三角形 ABC 外接 n n

圆的面积,则 lim Sn=_________.
n ??

答案:4π Rn=
1 2n2 ? n ?

解 析 ; 设 外 接 圆 的 半 径 为 Rn, 则 (

2 2 2 2 2 ) + ( 4+ -Rn ) =Rn , ∴ n n

1 ? 2所以 lim Rn ? 2, 所以 lim Sn ? 4? n?? n?? n

3 已知等比数列{xn}的各项为不等于 1 的正数,数到{yn}满足 yn=2logaxn(a>0,a≠1),设 y4=17,y7=11. (1)求数列{yn}的前多少项最大,最大为多少? 答案:由已知得,数列为关数列,y4=17,y7=11, ∴公差 d=
11 ? 17 ? ?2,? yn ? y 4 ? (n ? 4)d ? 25 ? 2n,?当1 ? n ? 12时, yn ? 0,当n ? 13时, yn ? 0,? 数列{ yn} 3

的前 12 项最大,最大为 144. (2)设 bn=2yn,sn=b1+b2+?+bn,求 lim
sn 2 25
n ??

的值。

答案: ∵bn=2yn,Sn=b1+b2+?bn, ∴{bn}为等比数列.
1 4
S1 2 23 2 25 ? ? 3 1? q 3 4

且公比为 q= ,∴ lim Sn=
n ??

∴ lim

Sn 2
25

n ??

1 ? . 3
2 n-1 1 2 n

4 设 an=1+q+q +?+q (n∈N+,q≠±),An=C na1+C na+?+C nan (1)用 q 和 n 表示 An; 答案:∵q≠1, ∴an=
? An ? ?

1 ? qn 1? q

1 ? q 1 1 ? q2 2 1 ? qn n Cn ? Cn ? ? ? Cn 1? q 1? q 1? q

1 2 n 1 2 2 n n [(C1 n ? Cn ? ? ? Cn ) ? ( qCn ? q Cn ? ? ? q Cn )] 1? q 1 0 n 0 1 2 2 n n ? [(Cn ? C1 n ? ? ? Cn ) ? (Cn ? qCn ? q Cn ? ? q Cn )] 1? q 1 ? [2n ? (1 ? q ) n ](q ? 1) 1? q

(2)当-3<q<1 时,求 lim

An 的值; 2n

答案:

An 1 1? q n ? [1 ? ( ) ],? ?3 ? q ? 1, 2n 1 ? q 2

∴|

1? q |<1, 2
x ??

∴ lim

An 1 = 2n 1 ? q

命题角度 3 函数的极限 1. (典型例题)若 lim (
x ?1

a b )=1,则常数 a,b 的值为 ? 1 ? x 1 ? x2

( )

A.a=-2,b=4 C.a=-1,b=-4 [考场错解] A ∵ lim
x ?1

B.a=2,b=-4 D.a=2,b=4
a (1 ? x) ? b 1? x
2

= lim

x ?1

ax ? a ? b ? 1. 故能约去(1-x), ∴a=-2,b=4. (1 ? x)(1 ? x)

[专家把脉] (ax+a-b)中有在式(1-x)的求解中,注意 a、b 的符号。 [对症下药] C ∵ lim
a (1 ? x) ? b 1? x
2

x ?1

= lim

x ?1

ax ? a ? b ? 1. (1 ? x)(1 ? x)

故 ax+a-b 中必有因式(1-x) ,且极限为 1。故 a=-2,b=-4. 2. (典型例题)若 lim A.-1 C.1 2
x ?1

f ( x ? 1) x ?1 ? 1, 则 lim ? x ?1 x ?1 f (2 ? 2 x)

( )

B.1 D.
1 2
f ( x ? 1) x ?1 x ?1 1 ? 1, 则 lim ? lim ? . x ?1 x ?1 f (2 ? 2 x) x ?1 f [2( x ? 1)] 2

[考场错解] D lim

x ?1

[考场把脉] 错误理解极限存在的条件。函数 f(x)中必有因式(x-1) 。 [对症下药] C∵ lim ∴f(x)=x. ∴ lim
x ?1

f ( x ? 1) ? 1, 故 f(x-1)=x-1. x ?1

x ?1

x ?1 1 ?? . 2 ? 2x 2

3. (典型例题) lim (
x ?1

1 x 2 ? 3x ? 2

?

2 x2 ? 4x ? 3
1 6

)=

( D.
1 6



A.-

1 2

B.

1 2

C.-

[考场错解] B 原式= lim

x ?1

1? x 1 1 = lim ? . ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3) x ?1 ( x ? 2)(x ? 3) 2

[专家把脉] 在运算中注意符号的变化。 [对症下药] A lim
x ?1

x ? 3 ? 2( x ? 2) 1? x ?1 1 = lim = lim ?? . ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3) x ?1 ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3) x ?1 ( x ? 2)(x ? 3) 2
x?3 ?9

4. (典型例题) lim A.1 6

x ??3 x 2

=

( ) C.
1 6

B.0

D. =0。

1 3

[考场错解] B 当 x→-3,x+3=0,故 lim

x?3 ?9

x ??3 x 2

[专家把脉] 求函数极限时,分母为 0 的因式应约去才可代入。

[对诊下药]A lim

1

x ??3 x ? 3

??

1 6

专家会诊 1.求函数的极限时,如果 x→x0 即 x0 是连续的点。即使函数 f(x)有意义的点,只需求 f(x0) 的值。就是函数的极限值。 2.当 f(x)在 x0 处不连续时,即 x=x0 代入后使式子 f(x)无意义,应考虑约去此因式,使之有 意义时再求 f(x0)的值,即为极限值。 3.已知函数的极限,求出函数中的系数时,应满足两个条件,即存在性与极限值同时考虑。 考场思维训练 1 设 f(x)在 x0 处可导,f(x0)=0 则 lim nf(x0n???

1 )=___________. n

答案:-f’(x0) 解析: lim nf ( x0 ? )
n???

1 n

1 f ( x0 ? ) ? f ( x0 ) n ? ? f ' ( x0 ). = ? lim 1 x ? ?? ? n

2 lim A.
1 2

x2 ? 1 ? x ?1

n?1 2 x2

?
2 3

( C.0

) D.2

B.

答案: B.解析:略 3 已知 lim
b x2 ? cx ? 2 2 =a,且函数 y=aln x+ +c 在[1,e]上存在反函数,则 x x ?2 x?2

( )

A.b∈(-∞,0) B.b∈(2e,+∞) C.b∈(-∞,0) ∪(2e,+∞) D.b∈(0,2e) 答案: C.解析:略 4 设 f(x)是 x 的三次多项式,已知 lim 零常数). 答案:解:由于 lim 同理 f(4a)=0
f ( x) ? 1, 可知 f(2a)=0 x ? 2a
x ?2 a

f ( x) f ( x) f ( x) = lim =1,试求 lim 的值。 (a 为非 x ?3a x ? 3a x ? 2a x ? 4 a x ? 4a

x?2a





①②可知 f(x)必含有(x-2a)与(x-4a)有因式, 由于 f(x)是 x 的三次多项式,故可设 f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C), 这里 A、C 均为选定的常数,

由 lim

x?2a

f ( x) A( x ? 2a)(x ? 4a)(x ? C ) ? 1, 即 lim ? lim A( x ? 4a)(x ? C ) ? 1, 得(2a ? 4a)(2a ? C ) ? 1, 即 x ?2 a x ?2 a x ? 2a x ? 2a

4a2A-2aCA=-1 同理,由于 lim


f ( x) ? 1, 得A(4a ? 2a)(4a ? C ) ? 1, x ? 4a

x ?4 a

即 8a2A-2Aca=1 由③④得 C=3a,A= ∴ lim
1


,因而f ( x) ? 1 2a 2 ( x ? 2a)(x ? 4a)(x ? 3a),

2a 2

x?3a

f ( x) 1 1 1 ? lim ( x ? 2a)(x ? 4a) ? 2 ? a ? (?a) ? ? x ? 3a x?3a 2a2 2 2a

命题角度 4 函数的连续性 1. (典型例题)极限 lim f(x)存在是函数 f(x)在点 x=x0 处连续的
x?x0

( )

A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 [考场错解] C lim f(x)存在 ? f(x)在点 x=x0 处连续。
x?x0

[专家把脉] lim f(x)≠f(x0)时,则 f(x)在点 x=x0 处不连续。
x?x0

[对症下药] B ∵ lim f(x)不一定等于函数值 f(x0),而 f(x)在点 x=x0 处连续。则有
x?x0

x?x0

lim f(x)=f(x0)
xn

2. (典型例题)已知函数 f(x)= lim

n ?? 4 ? x n

,试判别 f(x)在定义域内是否连续,若不连续,

求出其不连续点。 [考场错解] ∵4-nx≠0, ∴xn≠4,x≠-2. ∴f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞) 。 当 x=0 时,f(x)=0,f(0)=0.故连续。故函数 f(x)在定义域内连续。 [专家把脉] 错把函数 f(x)= lim
xn
n n ?? 4 ? x

当作函数 f(x)=
xn

xn 4 ? xn

.

[对症下药] (1)当|x|<1 时,f(x)= lim (2)当 x=-1 时,f(x)= lim (3)当 x>1 时,f(x)= lim (4)当 x=1 时 f(x)= lim
xn xn

n ?? 4 ? x n

=0;

n ?? 4 ? x n

不存在;
1 3

n ?? 4 ? x n

= .

xn

n ?? 4 ? x n

=-1。

?0 ? ?1 ? f ( x) ? ? ?3 ? ?? 1

?1 ? x ? 1 x ?1 x ? ?1或x ? 1

∴f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞) 。 而在定域内,x=1 时。
x ?1?

lim f(x)=0.

x ?1?

lim f(x)=-1. ∴ lim f(x)不存在。
x ?1?

故 f(x)在 x=1 处不连续。∴f(x)在定义域内不连续。 专家会诊 1.在判断函数的连续性时,充分运用它的重要条件,即 lim f(x)=f(x0).前提是 f(x)在 x0
x?x0

处的极限要存在。 2.在求函数的不连续点时,或不连续区间。首先是定义之外的点或区域一定不连续。往往 只须考虑定义域内的不连续部分。 考场思维训练 1 f(x)在 x=1 处连续,且 lim A.-1 B.0 C.1
x ?1

f ( x) =2,则 f(1)等于 x ?1

( )

D.2

答案: B.解析:略 2 lim
x ?1

x 2 ? ln( 2 ? x) =____________. 4 arctanx
1 ?

答案: ∴ lim

解析:利用函数的连续性,即 lim f ( x) ? f ( x0 ),
x?x0

x2 ? sin( 2 ? x) 12 ? sin( 2 ? 1) 1 ? ? x? x1 4 arctanl 4 arctan 1 ?

?x ? 1 3 设 f(x)= ? ? ?2 ? ?1

0 ? x ?1 x ?1 1? x ? 2 则f ( x)的连续区间为 ( )

A. (0,2) C. (0,1)∪(1,2)

B. (0,1) D. (1,2)

答案: C.解析: lim f ( x) ? lim1 ? 1
x?1? x?1?

x ?1?

lim f ( x) ? lim ? 1,
x ?1?

x ?1

lim f ( x) ? 1 ? f (1) ?

1 2

即 f(x)D x=1 点不连续,显知 f(x)在(0,1)和(1,2)连续。

4 求函数 f(x)= ?

?x ? 1 ?log 2 ( x ? 2 ) ?

( x ? 1) ( x ? 1)

的不连续点和连续区间

答案:解:不连续点是 x=1,连续区间是(-∞,1)∪(1 +∞) . 探究开放题预测 预测角度 1 数学归纳法在数列中的应用 1.已知数列{an}满足条件(n-1)an+1=(n+1)(an-1)且 a2=6,设 bn=an+n(n∈N*), (1)求{bn}的通项公式; (2)求 lim (
n ??

1 1 1 1 )的值。 ? ? ? ?? b 2 ? 2 b3 ? 2 b4 ? 2 bn ? 2

[解题思路] (1)运用归纳—猜想—证明。 (2)裂项法先求数列的和,再求和的极限。 [解答] 1.(1)当 n=1 时,代入已知式子中,得 a1=1,当 n=2 时,得 a3=6,同理可得 a4=28, 再代入 bn=an+n,得 b1=2,b2=8,b3=18, ∴猜想 bn=2n2,用数学归纳法证明:1°当 n=1 时, b1=a1+1=2.显然成立。n=2 时,.结论成立。2°假设 n=k(k≥2)时命题成立,即 bk=2k2,即 ak+k=2k2,ak=2k2-k,则 n=k+1 时, bk+1=ak+1+k+1=
2

k ?1 k ?1 (ak ? 1) +k+1= (2k2-k-1)+k+1=(k+1)(2k+1)+(k+1)=(k+1)(2k+2)=2(k+1) k ?1 k ?1

∴当 n=k+1 时,结论成立。 由 1°、2°可知 bn=2n2. (2)原式= lim ( ?
n ??

1 6

1 1 ) ??? 2 16 2n ? 2

n ??

lim

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )] ? lim [ (1 ? ? ? ? ? ? ? ? [ ? ?? ]? 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 4 2 1? 3 2 ? 4 (n ? 1)(n ? 1) 2 n ?? 2

n ??

lim (1 ?

1 1 1 3 ? ? )? . 2 n n ?1 8
n , 证明:对所有正整数 k 有 m

2.设函数 f(x)对所有的有理数 m、n 都有|f(m+n)-f(m)| ≤

?
i ?1

k

|f(2k)-f(2 )| ≤

i

k (k ? 1) . 2

[解题思路] 运用数学归纳法证明。 [解答] 1°当 k=1 时,左=0=右,命题成立。2°假设 k=n 时,不等式成立,即

?
i ?1

n

|f(2 )-f(2 )| ≤

k

i

n( n ? 1) , 则 k=n+1 时, 2
n ?1 i ?1

?
i ?1
k+1

n ?1

|f(2 )-f(2 )|=

k+1

i

?
i ?1

n ?1

|f(2 )-f(2 )+f(2 )-f(2 )| ≤

k+1

i

n

i

?

|f(2 )-f(2 )|+

i

n( n ? 1) ,= 2

?
i ?1

n

|f(2 +2 )-f(2 )|+

k

n

i

n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) =n+ = . 2 2 2

故当 k=n+1 时,命题也成立。 由 1°,2°可知原不等式成立。

预测角度 2 数列的极限 1.已知(x x ?
1 15 6 ) 的展开式的第五项等于 ,则 lim (x-1+x-2+?+x-n)等于 x 2 n ??

A.0 B.1 C.2 D.-1 [ 解题思路] 利用二项式的通项公式求出 x 的值,再求数列和的极限。
3

[解答] B T5=C46(x-1)4( x 2 )2=15x-1=

15 2

1 1 1 1 1 1 -1 -2 -n ∴x = ,∴lim(x +x +?+x )=lim( ? ? ? ? ? n )= 2 ? 1 . 1 2 2 4 8 2 1? 2
-1

∴选 B 2.设 xn= n ( n ? 1 ? n ) ,求数列{xn}的极限。 [解题思路] 由于 n , n ? 1) 的极限都不存在,所以应先将 xn 变形,使之变成极限可求的数 列。 [解答] 因为 xn= n ( n ? 1 ? n ) = n 得 xn=
1? 1 1 ?1 n
( n ? 1 ? n )( n ? 1 ? n ) n ?1 ? n ? n n ?1 ? n

用 n 除分子和分母,

,而 1< 1 ?

1 1 ? 1? , n n

由 1+

1 1 ? 1 得知 1 ? ? 1(n ? ?), 再应用除法运算,即求得 lim xn= lim n n ?? n ?? n

1 1 1? ?1 n

?

1 . 2

*3.已知 a、b 是不相等的正数,若 lim A.0<b≤2 C.b≥2 B.0<b<2 D.b>2

a n ?1 ? b n ?1 a n ? bn

n ??

=2,则 b 的取值范围是

( )

[解题思路] B 讨论 a 与 b 的大小后,分子、分母同除以 a n ?1或b n ?1 ,后再求由极限值求范围。 [解答] 当 a>b 时, lim
a a ?1 ? bn ?1 a n ? bn
b 1 ? ( ) n ?1 a ? lim ? a ? 2. 1 b n n ?? 1 ? ?( ) a a a

n ??

∴0<b<2.
a a ?1 ? bn ?1 a n ? bn
a ( ) n ?1 ? 1 b =-b<0 不可能为 2,故 a<b 不成立。 ? lim a 1 n ?? 1 ? ( )n ? b b b

当 a<b 时, lim

n ??

∴b 的范围是(0,2) 。故选 B 预测角度 3 函数的极限

1. lim

sin 3 x ? 2 sin x ? 1 ? lim (sin 2 x ? sin x ? 1) ? 1 ? ? sin x ? 1 n? n?
2 2

2.求 lim

n?4

x ?2 . x?4
( x ? 2)( x ? 2) x?4 x ?2 ? lim ? = lim x ? 4 ( x ? 4)( x ? 2) x ? 4 x ?4 ( x ? 4)( x ? 2) 1 x ?2 1 。 4

[解题思路] 将分子有理化,使分子分母极限存在。 [解答] lim ?
x ?4

?

预测角度 4 函数的连续性 1.函数 f(x)在 x0 处有定义是 lim (fx)存在的 (
x?x0



A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解题思路] 利用极限在某点存在性判断 [解答] D ∵函数在 x0 处有定义,但在此点处极限不一定存在,反 之也不一定,如图(1) (2) 。 2.设 f(x)= ? ?
?1 ? 1 ? x ( x ? 0) 当 a 取何值时,函数 f(x)是连续的? x ?a ? bx( x ? 0) ?
x?x0

[解题思路] 利用连续的存在性的充要条件,即 lim (x)=f(x0),以及连续的定义。 [解答] ∵x<0 连续,x>0 连续,只须判断,当 x=0 时,函数也连续时,从而求 a 的值。 ∵f(x)在 x=0 处有定义,且 lim? f(x)=
x?0

1 2

x?0?

lim f(x)=a.
1 2

∴只有当 a= 时。 lim f(x)才存在,且值为 。
x?x0

1 2

又∵f(0)=a

∴当 a= 时。f(x)是连续函数。

1 2

专家会诊 1.深刻理解函数 f(x)在 x0 处连续的概念,即函数 f(x)在 x0 处有定义。f(x)在 x0 处有极限。
x?x0

lim f(x)=f(x0).函数 f(x)在 x0 处连续反映在图像上是 f(x)在 x0 处是不间断的。

2. 由连续的定义,可以得到计算极限的一种方法: 如果 f(x)在定义区间内是连续的, 则 lim

x?x0

f(x)=f(x0),只要求出函数值 f(x0)即可。 考点高分解题综合训练 1 已知 f(n)=(2n+7)?3n+9,存在自然数 m,使得对任意 n∈N,都能使 m 整除 f(n),则最大的 m 的值为 ( ) A.30 B.26 C.36 D.6 答案: C.解析:∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1)、f(2)、f(3)能被 36 整除,猜想 f(n)能被 36 整流器除。

证明:n=1、2 时,由上得证,设 n=k(kl≥2)时,f(k)=(2k+7)·3 +9 能被 36 整除,则 n=k+1 k+1 k 时,f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3 -(2k+7)·3
k k k k-2 =(6k+27)·3 -(2k+7)·3 =(4k+20)·3 =36(k+5)·3 (k≥2) ? f ( k ? 1) 能被 36 整除

k

∵f(1)不能被大于 36 的数整除,∴,所求最大的 m 的值等于 36. 2 记二项式(1+2x)n 展开式的各系数和为 an,其二项系数为 b,则 lim A.1 B.-1 C.0 D. 不存在
bn n?? bn ? an 等于 ? an

( )

2 ( )n ? 1 bn ? an 2n ? 3n ? lim n ? lim 3 ? ?1, 所以选B. 答案: B 解析:an=3 ,bn=2 , ∴ lim n ?? bn ? an n ?? 2 ? 3n n ?? 2 n ( ) ?1 3
n n

3 ( x x ? )6 的展开式中的第五项是 A.1 B.
1 2

1 x

15 , Sn ? x ?1 ? x ? 2 ? ? ? x ? n ,则 lim Sn 等于 2 n ??

( )

C.

1 4

D.

1 6

答案: A 解析:略 4 已知 a、b∈R,|a|>|b|,又 lim A.a>1 B.1-<a<1 答案: B 解析:略 5 若 f(x)= A.
3 2

a n ?1 ? bn an

n ??

? lim

an?1 ? bn an

n ??

,则 a 的取值范围是

( )

C.|a|>1

D.-1<a<0 或 a>1

1? x ?1
3

1? x ?1

在点 x=0 处连续,则 f(0)等于 C.1
?

(

)

B.

2 3

D.0

( 1 ? x ? 1)( 1 ? x ? 1)[3 (1 ? x) 2 ? 3 1 ? x ? 1] ( 1 ? x ? 1)[3 (1 ? x) 2 ? 3 1 ? x ? 1][3 x ? 1 ? 1] (3 1 ? x ) 2 ? 3 1 ? x ? 1

答案: A 解析:略 f(x) ?

1? x ?1 1?1?1 3 f (0) ? ? 1?1 2

6 观察下列式子: 1 ? ? ,1 ?

1 2

3 2

1 2
2

?

1 3
2

?

5 1 1 1 7 ?则可归纳出_________. ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 4 2 3 4

答案::1+

3 1 2 ?1 ? 1 ? 即1 ? ? 2 2 1?1 2 (1 ? 1) 1
2

1?

1 22

?

1 32

? ??

1 (n ? 1)2

?

1 (2 ? 1)2

?

2 ? 2 ?1 2 ?1

归纳为 1+ 7 lim
x?

1 2
2

?

1 3
2

? ??

1 (n ? 1)
2

?

* 2n ? 1 (n ? N ) n ?1

?
2

1 ? sin x =____________. cos x

答案:0 解析:略 8 an 是 (3- x ) n 的展开式中 x 项的系数 (n=2, 3, 4, ?) 则 lim(
n ??

32 a
2

?

33 a
3

???

3n an

) =________。

答案:18 解析:略 9 lim (
n ??

n2 ? 1 +an+b)=3 则 a+b=__________. n ?1

答案:3 解析:略 10 已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+?+b10=145 (1)求数列{an}的通项公式 bn; 答案:解:设数列为{bn}的公差为 d 由题意知
?b1 ? 1 ?b1 ? 1 ? ?? ,? bn ? 3n ? 2 ? 10(10 ? 1) d ? 145 ?d ? 3 ?10b1 ? 2 ?

(2)设数列{an}的通项 an=loga(1+
1 3

1 )(其中 a>0 且 a≠1)记 Sn 是数列{an}的前 n 项和,试比 bn

较 Sn 与 logabn+1 的大小,并证明你的结论。 答案:证明:由 bn=3n-2 知 Sn=loga(1+1)+loga(1+ )+?+loga(1+
1 4
1 ) 3n ? 2

=loga[(1+1)(1+ )?(1+ 而

1 4

1 )] 3n ? 2

1 1 1 1 log a bn ?1 ? log a 3 3n ? 1, 于是比较Sn与 log a bn ?1的大小 ? 比较(1 ? 1)(1 ? )?(1 ? )与3 3n ? 1的大小. 3 3 4 3n ? 2

取 n=1,有(1+1)= 3 8 ? 3 4 ? 3 3 ? 1 ? 1

取 n=2,有(1+1) (1+ )> 3 8 ? 3 7 ? 3 3 ? 2 ? 1

1 4

推测: (1+1) (1+ )?()1+

1 4

1 ? 3 3n ? 1(*) 3n ? 2

①当 n=1 时,已验证(*)式成立. ②假设 n=k(k≥1 时(*)式成立,即(1+1) (1+ )?(1+
1 4 1 ? 3 3k ? 1 ) 3k ? 2

则当 n=k+1 时, (1+1) (1+ )?(1+

1 4

1 1 1 )(1 ? ) ? 3 3k ? 1(1 ? ) 3k ? 2 3(k ? 1) ? 2 3k ? 1

=

3k ? 2 3 3k ? 1 3k ? 1

(

3k ? 2 3 ? 3k ? 1 )3 ? (3 3k ? 4 )3 3k ? 1 (3k ? 1)
2

(3k ? 2)3 ? (3k ? 4)(3k ? 1) 2

?

9k ? 1 (3k ? 1) 2

?0


?= 3k ? 1 (3k ? 2) ? 3 3k ? 4 ? 3 3(k ? 1) ? 1 3k ? 1 1 1 1 从而(1 ? 1)(1 ? )?(1 ? )(1 ? ) ? 3 3(k ? 1) ? 1, 4 3k ? 2 3k ? 1
3

即当 n=k+1 时, (*)式成立由①②知, (*)式任意正整数 n 都成立. 于是,当 a>1 时,Sn> logabn+1,当 0<a<1 时,Sn< logabn+1 11 已知函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),若数列:2,f(a1),f(2),?,f(an),2n+4(n∈N*)成等差数列。 (1)求数列{an}的通项 an; 答案:2n+4=2+(n+2-1)d, ∴d=2, ∴f(an)=2+(n+1-1)· 2=2n+2, ∴an=a2n+2 (2)若 0<a<1,数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 lim Sn;
n ??

1 3

1 3

答案: lim Sn ? lim
m ??

a 4 (1 ? a 2n) 1 ? a2

2

m ??

?

a4 1 ? a2

.

(3)若 a=2,令 bn=an?f(an),对任意 n∈N*,都有 bn>f-1(t),求实数 t 的取值范围。 答案: bn=an·f(an)=(2n+2)a =(n+1)·2
2n+3 2n+2

=(2n+2)·2

2n+2

·

bn ? 1 n ? 2 ? ? 4 ? 1 ? bn ? 1 ? bn . bn n ?1

∴{bn}为递增数列 ∴bn 中最小的项为 b1=2·2 =2 f-1(t)2t, ∴26>2t, ∴t<6
5 6

12 设实数 q 满足|q|<1,数列{an}满足: a1=2,a2≠0,an? an+1=-q ,求 an 表达式, 又如果 lim S2n<3,
n ??

n

求 q 的取值范围。 答案:解:∵a1?a2=-q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=- , ∵anan+1=-q ,an+1·a =q·an 于是,a1=2,a3=2·q,a =2·q ?猜想:
nn n+2

9 2

a2n+1=- qn(n ? 1,2,3,?) 综合①②,猜想通项公式为
?2 ? qk ? 1n2k ? 1时(k ? N ) ? an ? 1 ?? qkn ? 2k时(k ? N ) ? 2

1 2

下证: (1)当 n=1,2 时猜想成立 (2)设 n=2k-1 时,a2k-1=2·q 则 n=2k+1 时,由于 a2k+1=q·a2k-1 ∴a2k+1=2·q 即 n=2k-1 成立. 可推知 n=2k+1 也成立. 设 n=2k 时,a2k=- q ,则 n=2k+2 时,由于 a2k+2=q·a2k,所以,a2k+2=- q +1,这说明 n=2k 成立, 可推知 n=2k+2 也成立. 综合所述,对一切自然数 n,猜想都成立. 这样所求通项公式为
?2 ? qk ? 1当n ? 2k ? 1时(k ? N ) ? an ? 1 ?? qkn当n ? 2k时(k ? N ) ? 2
k k-1

1 2

k

1 2

k

S2n=(a1+a3?a2n-1)+(a2+a4+?+a2n) =2(1+q+q2+?+qn-1)- (q+q2+?+qn)
2(1 ? qn) 1 q(1 ? qn) 1 ? 9n 4 ? q ? ? )?( )( ) 1? q 2 (1 ? q) 1? 2 1 ? qn 4 ? q )( ) 1? q 2
1 2

=

由于|q|<1, ∴ lim qn ? 0, 故 lim S2n ? (
n?? n??

依题意知

2 4?q ? 3 ,并注意 1-q>0,|q|<1 解得-1<q<0 或 0<q< 5 2(1 ? q)

13 若 Sn 和 Tn 分别表示数列{an}和{bn}的前 n 项和,对任意正整数 an=-2(n+1),Tn-3S=4n. (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式; 答案:∵an=-2(n+1) ∴a1=4 d=-2 Sn=-n -3n ∴Tn=3Sn+4n=-3n -5n
2 2

当 n=1 时,T1=b1=-3-5=-8 当 n≥2 时,bn=Tn -Tn-1=-6n-2 ∴bn=-6n-2. 2 (Ⅱ)在平面直角坐标系内,直线 ln 的斜率为 bn.且与曲线 y=x 有且仅一个交点,与 y 轴交 于 Dn,记 dn= | Dn ?1Dn | -(2n+7)求 dn;
1 3

答案:设 ln:y=bnx+m.由 ? ?

? y ? bn x ? m 2 得x ? bn x ? m ? 0由于仅有一个公共点. 2 ? ?y ? x

2 ∴△= bn ? 4m ? 0. ? m ? ?
2

2 bn (6n ? 2)2 ?? ? ?(3n ? 1)2 ? ln : y ? (?6n ? 2) x ? (3n ? 1)2 , 令 x=0 得 4 4
2 2

y=-(3n+1) ∴ Dn(0,-3(n+1) )Dn+1 (0,-3,(n+4) ∴ | Dn Dn ?1 |? [(3n ? 4)2 ? (3n ? 1)2 ] ? 6n ? 5 ∴dn= |DnDn+1|-(2n+7)=4n-2 (Ⅲ)若 xn=
2 2 dn ?1 ? d n (n∈N)求证 lim (x +x +?+x -n)=1. 1 2 n n ?? 2d n ?1d n
2 2 2 dn 2 1 1 ?1 ? d n ? ( d n ?1 ? d n ) ? ?1 ? 1? ( ? ) 2d n d n ?1 2d n d n ?1 ( 2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

1 3

1 3

1 3

答案: xn=

∴x1+x2+?+xn-n=(1- ) ? ( ? ) ? ? ? (
n??

1 3

1 3

1 5

1 1 1 ? ) ? 1? 2 n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

lim ( x1 ? x2 ? ?xn ? n) ? 1

14 某学生在体育训练时弄伤了膝关节,医生给开了一些消炎药,并嘱咐每天早晚 8 点各服 用一片药片,已知该药品每征 220mg,他的贤脏每次 12 小时从体内滤出这种药的 60%,如果 这种药在体内残留超过 386mg,将产生副作用。 请问: (1)该同学上午 8 时第一次服药后,到第二天早晨服药后,药在体内还残留多少? 答案:设该生第 n 次服药后,药在体内的残留量为 anmg,由题意得 a1=220, 且 an+1=0.4an+220,n∈N* ∴a2=308,a3=343.2 故到第二天早晨服药后,药在体内还残留 343.2mg (2)该同学若长期服用该药,会不会产生副作用? 答案:∵an+1=0.4an+220 ∴an+1∴{an ∴an 1100 1100 ? 0.4(an ? ) 3 3
1100 }是公比为 0.4 的等比数列, 3 1100 1100 =(220)× 0.4n-1 3 3

∴an=(220lim an ?

1100 1100 )× 0.4n-1+ 3 3

n??

1100 ? 386 3

故长期服用此药不会产生副作用, 15 已知点集 L={(x,y)|y=m?n},其中 m=(2x-b,1),n=(1,b+1),点列 Pn(an,bn)在 L 中,P1 为 L 与 y 轴的交点,等差数列{an}的公差为 1,n∈N+. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; 答案:由 ? ?m ? (2 x ? b,1),得y ? 2 x ? 1
?n ? (1, b ? 1) ? ?y ? m ? n

∴L:y=2x+1, ∴P1(0,1),则 a1=0,b1=1, ∴an=n-1(n∈N+),b=2n-1(n∈N+) (2)若 Cn=
5 ( n ? 2), 求 lim (c1+c2+?+cn); n? | p1 pn | n ??

答案:当 n≥2 时,Pn(n-1,2n-1),|P1Pn|= 5 (n-1)
Cn ? 5 1 1 1 ? ? ? n|P P | n ( n ? 1 ) n ? 1 n 1 n

n ??

1 1 1 1 1 1 lim (c1 ? c2 ? ? ? cn ) ? lim (1 ? ) ? ( ? ) ? ?( ? )] ? lim (1 ? ) ? 1 n ?? n ?? 2 2 3 n ?1 n n
1 2

16 已知数列{an}中,a1=1,an+1= (an+

4 )(n∈N*),且{an}存在极限。 an

(1)证明:{an}时先增后减数列,并求 an 的最大值; 答案:证明:∵a1=1,a2= (a1+
? 当n ? 2 时an ?
1 2

4 5 )? ?0 a1 2

1 4 1 4 (an ?1 ? ) ? ? 2 an ?1 ? ? 2,当且仅当an ?1 ? 2时取等号.但若存在某一个n ? N * 2 an ?1 2 an ?1 1 4 (an ? 1 ? )(n ? 2) 2 an ?1

当n ? 2时有, 则由an ?

得 an=an-1=?=an=a1=2,这与条件矛盾,因此,an≠2 对 n∈N*恒成立. ∴当 n≥2 时,an>2. 又 n≥2 时, an-an+1=an- (an ?
1 2 4 1 4 1 1 2 ) ? (an ? ) ? (an ? 4) ? (22 ? 4) ? 0, an 2 an 2an 2an
5 2

∴a1,<a2,a2<a3>?an>an+1>?>2,即{an}是行列增后减数列, (an)max=a2= . (2)已知圆锥曲线 Cn 的方程为: 并求曲线 C 的面积。
2 2 ? an 答案:由上可知, an ?1, 所以圆锥曲线 Cn 为椭圆.

( x ? an ) 2
2 an

?

( y ? an ?1 )
2 an ?1

? 1( n ? N *) 设 lim Cn=C,求曲线 C 的方程
n ??

由于{an} 存在极限,所以可设 lim an ? A, 则 lim an ? 1 ? lim an ? A.
n?? n ?1? n n??

又由 an>0 得 A>0,从而 A= ( A ? ) ? A ? 2.即 lim an ? 2.
n??

1 2

4 A

由 此 可 得 曲 线
( x ? 2)2 2
2

C

的 方 程 即 是

n → ∞ 时 曲 线

Cn 的 方 程 为 :

?

( y ? 2)2 22

2 ? 1,即 为 (2 以 ,2)为 圆 ,2 心 为 半 径 的 : (x ? 圆 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4, 从 而 C 圆 的 面 积 ?R为 ? 4? .

考点 15 导数及其应用 ?导数的概念与运算 ?导数几何意义的运用 ?导数的应用 ?利用导数的几何意义 ?利用导数探讨函数的单调性 ?利用导数求函数的极值勤最值 典型易错题会诊 命题角度 1 导数的概念与运算 1. (典型例题)设 f0(x)=sinx,f1(x)=f’0(x),f2(x)=f’1(x),?,fn+1(x)=f’n(x),n∈N,则 f2005(x) ( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx [考场错解] 选 A [ 专 家 把 脉 ] 由 f’1(x)=f’0(x)=(sinx)’=cosx,f2(x)=(cosx)’=-sinx,f3(x)=(-sinx)’=-cosx,f4(x)=(-cosx)’=sinx, ? ,f200 5(x)=f’2004(x)= ? =f0(x0=sinx 前 面 解 答 思 路 是 正 确 的 , 但 在 归 纳 时 发 生 了 错 误 。 因 f4(x)=f0(x)=f8(x0=?=f2004(x),所以 f2005(x)=f1(x)=cosx. [对症下药] 选 C 2. (典型例题)已知函数 f(x)在 x=1 处的导数为 3,f(x)的解析式可能为 ( ) A . f ( x ) =(x-1)3+32(x-1) B . f(x)=2x+1 C . f()=2(x-1)2 D.f(x)-x+3 [考场错解] 选 B ∵f(x)=2x+1,∴f’(x)=(2x+1)’=2x+1|x=1=3. [专家把脉] 上面解答错误原因是导数公式不熟悉, 认为 (2x+1) ’=2x+1.正确的是 (2x+1) ’=2, 所以 x=1 时的导数是 2,不是 3。 [对症下药] 选 A ∵f(x)=(x-1)3+3(x-1)f’(x)=3(x-1)2+3,当 x=1 时,f’(1)=3 3.(典型例题) 已知 f(3)=2f’(3)=-2,则 lim A.-4 B.0 C.8
x ?3

2 x ? 3 f ( x) 的值为 x ?3 x?3





D.不存在
2 x ? 3 f ( x) 不存在。 x?3 0 0

[考场错解] 选 D ∵x→3,x-3→0 ∴ lim

[专家把脉] 限不存在是

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