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福建省四地六校2016届高三第三次联考(12月)数学(理科)试卷


“四地六校”联考

2015-2016 学年上学期第三次月考 高三数学(理科)试题
(考试时间:120分钟 命题人:华安一中
题目要求) 1、已知集合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x log 2 x ? x ? 1 , 则A ? B = (
2 2

总分:150分) 审题人:华安一中

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合

?

?

?

?

? ?

)

A.

3? ? 2,
ix

B.

3? ? 2,

C.

? 2? ? ?3,

D.

? 2? ??3,

2. 欧拉公式 e ? cos x ? i sin x ( i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的 定义域扩大到复数, 建立了三角函数和指数函数的关系, 它在复变函数论里占有非常重要的地位, 被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知, e 表示的复数在复平面中位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知函数 f ( x) ? x ? ( )
4i

a ? 2 的值域为 ? -?,0? ? ?4, +?? ,则 a 的值是 x

A.

1 2

B.

3 2

C .1

D.2


4.在等比数列 ?an ? 中, a3a7 ? 8 , a4 ? a6 ? 6 ,则 a2 ? a8 ? (

A.-9 B. -6 C.6 D.9 5、 已知某几何体的三视图如右图所示, 则该几何体的外接球体积为 ( A.



8? 3

B.

8 2? 3

C.32?

D.8?

→ → 6、在矩形 ABCD 中,AB=2 2,BC=4,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若AB·AF=2 2, → → 则AE·BF的值是( ) A.2 2 C.0 B. 2 D.1 ) D. ? 0, ?? ?

7. 若函数 f ? x ? ? x ? a ln x 不是单调函数,则实数 a 的取值范围是( A. ? 0, ?? ? B. ? ??,0? C. ? ??,0 ?
·1·

8.若 a ? ln 2, b ? 5 A. a ? b ? c C. c ? b ? a

?

1 2

,c ?

1 ? a, b, c 的大小关系( sin x d ,则 x 4 ?0 B. b ? a ? c D. b ? c ? a

)

9、已知 ? >0,函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

)在( ,?) 上单调递减.则 ? 的取值范围是( 4 2

?



? 1? A. ?0, ? ? 2?

?1 3? B. ? , ? ?2 4?

?1 5? C. ? , ? ?2 4?

D.? 0, 2?

10.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差数列”的通项 公式为 2n,则数列{an}的前 2015 项和 S2015 =( )

A.22016 ? 2

B.22016 ? 1
a1 a2 a3 a4

C.22016

D.22016 ? 1
sin 2x 3 cos 2 x 1
的图象向左平移

11. 定义行列式运算:

? a1a4 ? a2 a3 . 若将函数 f ( x) ?

m (m ? 0) 个单位后,所得图象对应的函数为奇函数,则 m 的最小值是( )
A.

2? 3

B.

?
6

C. ?

5 6

D.

?
3
tanA 2c ? , tanB b

12.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且 b ? c ? 8,1 ? 则△ABC 的面积最大值为( )

A.4

B. 4 3

C.

2 3

D.

3 3

二、填空题:(本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡相应位置).

13.已知等差数列 ?an ? 中, a3 ?

? ,则 cos(a1 ? a2 ? a6 ) ? 4

14 直三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的正弦值为
?x ? 2 y ? 4 ? 0 x? y?3 ,则 的最大值为 x?2 ? x?2 ? x? y?2?0 ?

15. 已知变量 x, y 满足 ?

16. 在数列{an}中,a1=1,an+2+(-1)nan=1.记 Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S200=

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
·2·

17、 (本题满分 12 分) 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n , an , (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? log 2 an ? 2 ,设数列 ?

1 成等差数列. 2

? 1 ? 1 ? 的前 n 项和 T n ,证明 ? Tn ? 1 2 ? bn bn ?1 ?

18、 (本题满分 12 分) 如图, 多面体 ABCDEF 中, 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直, 已知 AB / / CD ,AD ? CD ,

AB ? 2 , CD ? 4 ,直线 BE 与平面 ABCD 所成的角的正切值等于
(1)求证:平面 BCE⊥平面 BDE; (2)求平面 BDF 与平面 CDE 所成锐二面角的余弦值.

2 2

19. (本题满分 12 分) π 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω >0,0< ? < )的部分图象如图所示,P 是图象的最高点, 2 Q 为图象与 x 轴的交点,O 为坐标原点.若 OQ=4,OP= 5,PQ= 13. (1)求函数 y=f(x)的对称轴方程; (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 2 个单位后得到函数 y=g(x)的图象,当 x∈[0,3]时,求函数 h(x) =f(x)·g(x)的值域.

·3·

20. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 3 2 x ? x ? 2x ? 5 . 3 2

(1)求函数 f ( x ) 的图像在点(3,f (3)) 处的切线方程。 (2)若曲线 y ? f ( x) 与 y ? 2 x ? m 有三个不同的交点,求实数 m 的取值范围.

21. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? a2 ? ln x , g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 .

x

(1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)如果对于任意的 x1 , x2 ? ? 1 , 2 ? ,都有 x1 ? f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,试求 a 的取值范围.

? ?3

? ?

请考生从 22、23 两题任选 1 个小题作答,满分 10 分.如果多做,则按所做的第一题记分.作答时, 先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. 选修 4—4:坐标系与参数方程 22.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C:ρsin2θ =2cos

·4·

?x=-2+ 22t θ ,过点 P(-2,-4)的直线 l:? (t 为参数)与曲线 C 相交于 M,N 两点. 2 ?y=-4+ 2 t
(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)证明|PM|,|MN|,|PN|成等比数列.

选修 4—5:不等式选讲 23、设函数 f ( x) ? (1)求 a ; (2)已知两个正数 m, n 满足 m2 ? n2 ? a, 求

1 x ? 1 ? x ? 1 ( x ? R) 的最小值为 a . 2
1 1 ? 的最小值. m n

“四地六校”联考 2015-2016 学年上学期第三次月考 高三理科数学参考答案
一、选择题:1-12 ACCDB 二、填空题:13. ? ACDCA BB

5 2 70 14. 15. 2 2 10

16.5100

17.解: (1)由题意 S n , an ,

1 成等差数列, 2a ? S ? 1 , n n 2 2

当 n ? 1 时 2a ? S ? 1 ? a ? 1 ????????1 分 1 1 1

2 2 1 当 n ? 2 时 S ? 2a ? , S ? 2a ? 1 ????????2 分 n n n?1 n?1 2 2
两 式 相 减 得

an ? 2an ? 2an?1 ?an ? 2an?1 (n ? 2)
·5·



?an ?











an ? 0 ??

an ? 2(n ? 2) ,????????4 分 an?1

因此数列{an}是以

1 n?2 为首项,以 2 为公比的等比数列.即 an ? 2 ?????6 分 2
n ?2

(2)证明由(1)知 bn ? log2 an ? 2 ? log2 2

? 2 ? n ????????7 分

1 1 1 ? ? ????????8 分 bnbn ?1 n n ? 1
则 Tn ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? 1? ,????????11 分 2 2 3 n n ?1 n ?1



1 ? Tn ? 1 ????????12 分 2

18(1)证明:∵平面 ADEF ? 平面 ABCD, 平面 ADEF ? 平面 ABCD ? AD ,

ED ? AD , ED ? 平面ADEF ,∴ ED ? 平面 ABCD,????????1 分 又 BC ? 平面 ABCD,∴BC ? ED . ∵ED ? 平面 ABCD,∴?EBD 为 BE 与平面 ABCD 所成的角,
设 ED ? a ,则 AD ? a, DB ? 4 ? a2 , 在 Rt△ EDB 中, tan ?EBD ?
ED a 2 ? ? ,∴a ? 2 ,????????3 分 2 DB 2 4?a

在直角梯形 ABCD 中, BC ? AD2 ? (CD ? AB)2 ? 2 2 , 在 △ DBC 中, BD ? 2 2, BC ? 2 2, CD ? 4 ,
∴BD2 ? BC 2 ? CD2 ,∴ BC ? BD ,????????4 分 又 BD ? ED ? D ,∴ BC⊥ 平面 BDE,

又 BC ? 平面BCE ,∴平面 BCE⊥ 平面 BDE .????????6 分 (2)解:由题知,DA,DC,DE 两两垂直,如图,以 D 为原点,DA,DC,DE 所在直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系 D ? xyz ,????????7 分

·6·

0, 0),A(2, 0, 0), B(2, 2, 0),F (2, 0, 2), C (0, 4, 0),E (0, 0, 2) , 则 D(0, ??? ? 取平面 CDE 的一个法向量 DA ? (2, 0, 0) ,????????8 分

设平面 BDF 的一个法向量 n ? ( x,y,z ) , ??? ? ? ?n ? DB ? 0, ? x ? y ? 0, 则 ? ???? 即? 令 x ? 1 ,则 y ? z ? ?1 , x ? z ? 0 , ? n ? DF ? 0 , ? ? 所以 n ? (1,? 1,? 1) .??????10 分、 设平面 BDF 与平面 CDE 所成锐二面角的大小为 ? ,
??? ? 1 3 ? 则 cos ? ?| cos? DA,n? |? ,????????11 分 3 3

所以平面 BDF 与平面 CDE 所成锐二面角的余弦值是
2 2

3 .????????12 分 3
2

4 +( 5) -( 13) 5 19.解:(1)由条件,cos∠POQ= = ,????????1 分 5 2×4× 5 2π π 所以 P(1,2).所以 A=2,周期 T=4×(4-1)=12,又 =12,则 ω = .将点 P(1,2)代入 f(x) ω 6 =2sin?

?π x+φ ?,得 sin?π +φ ?=1,????????3 分 ? ?6 ? ?6 ? ? ?

π? π π ?π 因为 0<φ < ,所以 φ = ,所以 f(x)=2sin? x+ ?.????????4 分 3? 2 3 ?6 函数 y=f(x)的对称轴方程为

?
6

x?

?
3

?

?
2

? k?

即对称轴方程是 x ? 1 ? 6k ( k ? z )????????6 分 π (2)由题意,可得 g(x)=2sin x. ???????7 分 6 π? π ?π 所以 h(x)=f(x)·g(x)=4sin? x+ ?·sin x 3? 6 ?6 =2sin
2

π π π x+2 3sin x·cos x 6 6 6
·7·

=1-cos

π π x+ 3sin x 3 3

π? ?π =1+2sin? x- ?.????????9 分 3 6? ? π π ? π 5π ? 当 x∈[0,3]时, x- ∈?- , ?, 6 ? 3 6 ? 6 π? ? 1 ? ?π 所以 sin? x- ?∈?- ,1?.????????11 分 6? ? 2 ? ?3 所以函数 h(x)的值域为[0,3].????????12 分 20 解: (Ⅰ)∵函数
2



∴f'(x)=x ﹣3x+2,????????1 分 f'(3)=2, f (3) ?

13 ????????3 分 2 13 ? 2( x ? 3), ???????4 分 2

f ( x) 在 (3, f (3)) 处的切线方程是 y ?

即 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 ???????5 分 (Ⅱ)令 f(x)=2x+m,即 ∴ 设 g(x)= , ,????????7 分 ,

∵曲线 y=f(x)与 y=2x+m 有三个不同的交点, ∴函数 y=g(x)与 y=m 有三个不同的交点, 令 g'(x)=0,解得 x=0 或 x=3, 当 x<0 或 x>3 时,g'(x)>0, 当 0<x<3 时,g'(x)<0, ∴g(x)在(﹣∞,0) , (3,+∞)单调递增,在(0,3)单调递减,???9 分





即 g ( x)极大值 =5,g ( x)极小值 = , ????????11 分

1 2

画出函数 g(x)的大值图象如右图,

·8·

∴实数 m 的取值范围为 21.(Ⅰ)

.????????12 分

2 函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? ? a3 ? 1 ? x ?32a ,??????1 分

x

x

x

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增;????2 分 当 a>0 时,若 x ? 若0 ? x ?

2a ,则 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增;?????3 分

2a ,则 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减;??????4 分

所以,函数 f ( x) 在区间 (0, 2a ) 上单调递减,在区间 ( 2a , ??) 上单调递增.??????5 分 (Ⅱ) g ?( x) ? 3 x 2 ? 2 x ? 3 x( x ? 2 ) , x ? ? 1 , 2 ? ,

3

?3 ?

? ?

可见,当 x ? ? 2 , 2 ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 ? 2 , 2 ? 单调递增,??6 分

?3 ?

? ?

?3 ?

? ?

当 x ? ? 1 , 2 ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 ? 1 , 2 ? 单调递减,??7 分

?3 3? ? ?

?3 3? ? ? ? ?3 ? ?

而 g ( 1 ) ? ? 83 ? g (2) ? 1 ,所以, g ( x) 在区间 ? 1 , 2 ? 上的最大值是 1,

3

27

依题意,只需当 x ? ? 1 , 2 ? 时, xf ( x) ? 1 恒成立,

? ?3

? ?

即 a ? x ln x ? 1 恒成立,亦即 a ? x ? x 2 ln x ;??8 分

x

令 h( x) ? x ? x 2 ln x ( x ? ? 1 , 2 ? ) ,

?3 ?

? ?

则 h?( x) ? 1 ? x ? 2 x ln x ,显然 h?(1) ? 0 ,

·9·

当 x ? ? 1 ,1 时, 1 ? x ? 0 , x ln x ? 0 , h?( x) ? 0 ,

? ?3

?

即 h( x) 在区间 ? 1 ,1 上单调递增;??10 分

? ?3

?

当 x ? ?1, 2? 时, 1 ? x ? 0 , x ln x ? 0 , h?( x) ? 0 , ?1, 2? 上单调递减; 所以,当 x=1 时,函数 h( x) 取得最大值 h(1) ? 1 ,??11 分 故 a ? 1 ,即实数 a 的取值范围是 ?1, ?? ? ??12 分 22.解:(1)把?
?x=ρ cos θ ? ?y=ρ sin θ ?

代入 ρ sin θ =2cos θ ,得 y =2x??2 分

2

2

2 ? ?x=-2+ 2 t 由? (t 为参数),消去 t 得 x-y-2=0,??4 分 2 ? ?y=-4+ 2 t ∴曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程分别是 y =2x,x-y-2=0. ?5 分 2 ? ?x=-2+ 2 t (2)证明将? (t 为参数)代入 y =2x, 2 ? ?y=-4+ 2 t
2 2

整理得 t -10 2t+40=0. ??7 分 设 t1,t2 是该方程的两根, 则 t1+t2=10 2,t1·t2=40, 2 2 2 ∵|MN| =(t1-t2) =(t1+t2) -4t1·t2=40??8 分 |PM|·|PN|= t1·t2=40,∴|MN| =PM|·|PN|??9 分 ∴|PM|,|MN|,|PN|成等比数列??10 分
2=

2

? 3 ? - 2 x , x ? ?2 ? 1 ? 1 23 解: (I)函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x ? 1 = ? ? x ? 2, ?2 ? x ? 1 ,??3 分 2 ? 2 ?3 ? 2 x, x ? 1 ?
当 x∈(﹣∞,1]时,f(x)单调递减; 当 x∈[1,+∞)时,f(x)单调递增,??4 分
·10·

所以当 x=1 时,f(x)的最小值 a= (Ⅱ)由(Ⅰ)知 m +n =
2 2

3 .??5 分 2


3 3 2 2 ,由 m +n ≥2mn,得 mn≤ ,∴ 2 4

4 ??7 分 3

故有

+ ≥2



4 3 3 ,当且仅当 m=n= 时取等号.??9 分 3 2 4 3 .??10 分 3
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所以 + 的最小值为

·11·


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