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18学年高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1.1实数指数幂及其运算学案新人教B版必修1


3.1.1 实数指数幂及其运算 [学习目标] 1.理解有理指数幂的含义,会用幂的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数 幂的意义. [知识链接] 1.4 的平方根为±2,8 的立方根为 2. 2 3 2 2 2 2 2.2 ·2 =32,(2 ) =16,(2·3) =36, 3=4. 2 [预习导引] 1.基本概念 整数指数 5 n 次方根 分数指数 1 如果存在实数 x,使得 x = n a n = a; n a= a0=1(a≠0) a-n= n(a≠0) a 1 n a(a∈R,n>1 且 n∈N+),则 x 叫做 a 的 n 次方根, a叫做把 a 开 n 次方,称作开方运算. a = am; a ? m n m n n n = 1 n am (a>0,n,m∈N+) 2.根式的性质 (1)( a) =a(n>1 且 n∈N+); ?a ?n为奇数且n>1,n∈N+?, n n ? (2) a =? ?|a| ?n为偶数且n>1,n∈N+?. ? n n 3.有理指数幂的运算法则 若 a>0,b>0,则有任意有理数 α ,β 有如下运算法则: (1)a a =a α β α β α +β ; ; α (2)(a ) =a α α ·β (3)(ab) =a ·b . 解决学生疑难点 α 1 要点一 根式的运算 例 1 求下列各式的值: (1) (4) 3 ?-2? ;(2) 3 4 ?-3? ;(3) 2 8 ?3-π ? ; 8 x2-2x+1- 3 3 x2+6x+9,x∈(-3,3) 解 (1) (2) (3) 4 8 ?-2? =-2. 4 2 2 ?-3? = 3 = 3. ?3-π ? =|3-π |=π -3. ?x-1? - 2 8 (4)原式= ?x+3? =|x-1|-|x+3|, 2 当-3<x≤1 时,原式=1-x-(x+3)=-2x-2. 当 1<x<3 时,原式=x-1-(x+3)=-4. ? ?-2x-2,-3<x≤1, 因此,原式=? ?-4,1<x<3. ? 规律方法 1.解决根式的化简或求值问题, 首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式, 然后 运用根式的性质进行化简或求值. 2.开偶次方根时,先用绝对值表示开方的结果,再去掉绝对值符号化简,化简时要结合条件 或分类讨论. 跟踪演练 1 化简下列各式: (1) 5 ?-2? ;(2) 5 5 5 4 ?-10? ;(3) 4 4 ?a-b? . 4 解 (1) (2) (3) 4 4 ?-2? =-2. 4 ?-10? =|-10|=10. ?a-b? =|a-b|=? 4 ? ?a-b?a≥b?, ?b-a?a<b?. ? 要点二 根式与分数指数幂的互化 例 2 将下列根式化成分数指数幂形式: (1) 3 a· a; (2) 4 a a a; 2 3 2 3 (3) a · a ; 3 2 3 (4)( a) · ab . 1 1 7 3 4 解 (1) a· a= a 3 · a 4 = a 12 ; (2)原式= 2 3 a· a = 3 2 13 6 1 2 a· a · a = a · a · b = a ; 1 2 1 4 1 2 1 4 1 8 7 8 (3)原式= a · a = a ; (4)原式=( a ) · a · b = a b . 规律方法 在解决根式与分数指数幂互化的问题时, 关键是熟记根式与分数指数幂的转化式 子: a = a 和 a m n 1 3 2 1 2 3 2 7 6 3 2 n m ? m n = 1 a m n = 1 ,其中字母 a 要使式子有意义. m n a 跟踪演练 2 用分数指数幂表示下列各式: (1) (2) 3 3 a· -a(a<0); ab2? ab?3(a,b>0); 2 2 6 (3) ( b 3 ) 3 (b<0); (4) 3 1 (x≠0). 4 x? x2?2 解 (1)原式= a · (?a) 6 =- (?a) 3 · (?a) 6 =- (?a) 2 (a<0); (2)原式= 5 1 1 1 5 1 3 1 3 3 3 ab2 ? a 2 b 2 = a 2 b 2 5 7 3 5 7 = (a 2 ? b 2 ) 3 = a 6 b 6 (a,b>0); (3)原式= ( ( ?b ) 3 ) 3 = (?b) 3 (4)原式= 4 2 2 7 1 2 1 2 ? ? 4 3 3 5 = (?b) 9 (b<0); . 1 1 x ? x 1 3 4 1 ? 5 3 = 1 x 1 3 3 5 =x ? 要点三 分数指数幂的运算 例 3 (1)计算: 0.064 ? 4 1 ? ? 7?0 -0.75 -?- ? + [(?2)3 ] 3 +16 +|-0.01| 2 ; ? 8? 3 (2)化简: 3 a 9 2 a ?3 ÷ 3 3 a ?7 ? 3 a13 (a>0). -4 4 -0.75 解 (1)原式=(0.4 ) (2)原式=[ a =a 9 3 7 13 ? ? ? 6 6 6 6 1 9 ? 3 2 ? 1 3 -1+(-2) +(2 ) ]÷[ a 1 7 ? (- ) 2 3 1 1 143 2 -1 +(0.1 ) 2 =0.4 -1+ + +0.1= . 16 8 80 1 ?a 0 1 3 ? (- ) 3 2 ?a 1 13 ? ( ) 2 3 ] =a =1. 规律方法 指数幂的一般运算步骤是:有括号先算括号里的;无括号先做指数运算.负指数 幂化为正指数幂的倒数.底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底

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