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2014年高考真题(新课标)文科数学(四川卷)解析版 Word版含答案


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)



学(文史类)

本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本 试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)
注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第Ⅰ卷共 10 小题。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的。 1、已知集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} ,集合 B 为整数集,则 A A、 {?1, 0} 【答案】D 【解析】 B、 {0,1} C、 {?2, ?1, 0,1}

B?(



D、 {?1, 0,1, 2}

? A = [-1 , 2], B = Z∴ A∩B = {-1 , 0,1,2}.选D.

2、在“世界读书日”前夕,为了了解某地 5000 名居民某天的阅读时间,从中抽取了 200 名 居民的阅读时间进行统计分析。在这个问题中, 5000 名居民的阅读时间的全体是( A、总体 C、样本的容量 【答案】A 【解析】 B、个体 D、从总体中抽取的一个样本
2 2 1 1 1 侧视图 2 俯视图 1 2



A与C容易混淆, A是时间 , C是人数.选A.

3、为了得到函数 y ? sin( x ? 1) 的图象,只需把函数 y ? sin x 的图象上所有的点( A、向左平行移动 1个单位长度 C、向左平行移动 ? 个单位长度 【答案】A 【解析】 B、向右平行移动 1个单位长度 D、向右平行移动 ? 个单位长度



把y = sin x左移动 1得到y = sin(x + 1).选A
4、 某三棱锥的侧视图、 俯视图如图所示, 则该三棱锥的体积是 ( (锥体体积公式: V ? )

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高) 3

A、 3 【答案】D 【解析】

B、 2

C、 3

D、 1

1 1 ?V = ? S 低 ? 高 = ( ? 1? 3) ? 3 = 1 ∴.选D 3 3
5、若 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ,则一定有(



a b ? d c a b C、 ? c d
A、 【答案】B 【解析】

a b ? d c a b D、 ? c d
B、

1 1 -1 -1 ? c < d < 0∴ < < 0∴ > > 0 d c d c -1 -1 -a -b a b ? a > b > 0, > > 0 ∴ > > 0 ∴ < < 0.选B d c d c d c

6、执行如图的程序框图,如果输入的 x, y ? R ,那么输出的 S 的最大值为( A、 0 【答案】C 【解析】 B、 1 C、 2 D、 3



相性规划问题 .限制条件为x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1, 求S = 2 x + y的最大值 . 画出可行区域为三角形 ,目标函数 S = 2 x + y在点(1,0)处取最大值2.选C.

7、已知 b ? 0 , log5 b ? a , lg b ? c , 5 ? 10 ,则下列等式一定成立的是(
d



A、 d ? ac 【答案】B 【解析】

B、 a ? cd

C、 c ? ad

D、 d ? a ? c

? 5d = 10 ∴lg 5d = lg10,即ad lg 5 = a.? log5 b = a,∴ ? lg b = c ∴d lg b = dc ∴a = dc, 选B

lg b = a,即d lg b = ad lg 5, lg 5

8、如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B , C 的俯角分别为 75 , 30 ,此时气球的

A

高是 60m ,则河流的宽度 BC 等于( A、 240( 3 ?1)m C、 120( 3 ?1)m 【答案】C 【解析】

) B、 180( 2 ?1)m

30° 60m B 75° C

D、 30( 3 ? 1)m

设A点的射影为O, ? OC = AO 3 = 60 3 , OB = AO tan15° ∴ BC = OC - OB = 60 3 - 60 tan15° = 60( 3 - tan15° ) 1 tan45° - tan30° 3 -1 4 - 2 3 3 ? tan15° = tan(45° - 30° )= = = = = 2- 3 1 1+ tan45° tan30° 2 3 + 1 1+ 3 1∴ BC = 120( 3 - 1),选C

9、设 m ? R ,过定点 A 的动直线 x ? my ? 0 和过定点 B 的动直线 mx ? y ? m ? 3 ? 0 交于点

P ( x, y ) ,则 | PA | ? | PB | 的取值范围是(
A、 [ 5, 2 5] 【答案】B 【解析】 B、 [ 10, 2 5]

) C、 [ 10, 4 5] D、 [2 5,4 5]

? 直线x + m y= 0过定点A∴ A(0, 0) ? 直线m x- y - m + 3 = m( x - 1) - y + 3 = 0过定点B ∴ B(1, 3) ? 两条直线垂直∴ AB为直径,P在圆周上, AB = 1+ 9 = 10.设a = PA, b = PB, 则a 2 + b 2 = 10 π π 令a = 10 sin θ, b = 10 cosθ, θ ∈[0, ],则a + b = 10 sin θ + 10 cosθ = 2 5 sin(θ + ) ∈[ 10,2 5 ] 2 4 所以,P A+ P B∈[ 10,2 5 ],选B

10、 已知 F 为抛物线 y ? x 的焦点, 点 A ,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,OA ? OB ? 2
2

(其中 O 为坐标原点) ,则 ?ABO 与 ?AFO 面积之和的最小值是( A、 2 【答案】B 【解析】 B、 3 C、

) D、 10

17 2 8

1 2 2 ? y 2 = x ∴ F ( ,0),设A( y1 , y1 ), B( y2 , y2 ), y1 > 0, y2 < 0, θ =< OA, OB > 4 ? OAOB = y1 y2 + y1 y2 = 2 ∴ (y1 y2 + 2) ( y1 y2 - 1) = 0,即y1 y2 = -2 ∴ S ΔAOF = ? cosθ = = 1 1 1 1 ? ? y1 , S ΔAOB = ? OA ? OB ? sin θ = ? OAOB ? tanθ = tanθ 2 4 2 2 OAOB | OA || OB | 1 y1 y2 + y1 + y2 + 1
2 2 2 2 2 2 2 2

=

2 y1 + y1 =
2 4 2

y2 + y2 1
2

4

2

=

2 2 ( y1 + 1)( y2 + 1)
2 2

y1 + y2 + 5 y1 + 4 y1 + 4 = y1
4 2

∴ tanθ =

y1 + y2 + 4 =

y1 + 4 y1 + 4 y12 + 2 2 = = y1 + y1 y1 y1

4

2

S ΔAOF + S ΔAOB =

y1 2 9y 2 9 y1 2 + y1 + = 1 + ≥ 2 ? = 3.选B 8 y1 8 y1 8 y1

第Ⅱ卷

(非选择题 共 100 分)

注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所示的答题区域内作答。 作图题可先用 铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 第Ⅱ卷共 11 小题。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11、双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的离心率等于____________。 4

5 【答案】 2
【解析】

c 5 5 ? a 2 = 4, b 2 = 1,∴ c 2 = a 2 + b 2 = 5, = .所以,离心率是 a 2 2
2 ? 2i ? ____________。 1? i

12、复数

【答案】 -2 i 【解析】

?

2 - 2i 2(1 - i) 2 = = -2i. ∴是 - 2i 1+ i 2

13 、 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 函 数 , 当 x ?[? 1 , 1 时) ,

??4 x 2 ? 2 ,? ? 1 x? 0 , 3 ,则 f ( ) ? ____________。 f ( x) ? ? 2 0 ? x ? 1, ? x,

【答案】1 【解析】

3 1 1 ? f ( x - 2) = f ( x) ∴ f ( ) = f (- ) = -4( ) 2 + 2 = 1∴ 是1 2 2 2
14、平面向量 a ? (1, 2) , b ? (4, 2) , c ? ma ? b ( m ? R ) ,且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹 角,则 m ? ____________。 【答案】2 【解析】

? a = (1,2), b = (4,2), c = ma + b,∴ c = (m + 4,2m + 2). m + 4 + 2(2m + 2) 4(m + 4) + 2(2m + 2) ? cos< a, c >= cos< b, c >∴ = 1+ 4 ? | c | 2 5 | ?c | 5m + 8 8m + 20 ∴ = ∴ m = 2. 5 2 5
15、以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合, B 表示具有如下性质的函数 ? ( x) 组成的集合:对 于函数 ? ( x) ,存在一个正数 M ,使得函数 ? ( x) 的值域包含于区间 [? M , M ] 。例如,当

?1 ( x) ? x3 , ?2 ( x) ? sin x 时, ?1 ( x) ? A , ?2 ( x) ? B 。现有如下命题: ①设函数 f ( x) 的定义域为 D , 则 “ f ( x) ? A ” 的充要条件是 “ ?b ? R ,?x ? R , f (a) ? b ” ;
②若函数 f ( x) ? B ,则 f ( x) 有最大值和最小值; ③若函数 f ( x) , g ( x) 的定义域相同,且 f ( x) ? A , g ( x) ? B ,则 f ( x) ? g ( x) ? B ; ④若函数 f ( x) ? a ln( x ? 2) ?

x ( x ? ?2 , a ? R )有最大值,则 f ( x) ? B 。 x ?1
2

其中的真命题有____________。 (写出所有真命题的序号) 。 【答案】 (1)(3) (4) 【解析】

对(1), 若? b ∈ R, 则? a ∈ D, 使得f (a) = b. ? f ( x) ∈ R.是充分条件 若f ( x) ∈ R,则? b ∈ R,? a ∈ D, 使得f (a ) = b.是必要条件 ∴ 是充分必要条件,正确 对(2), 若f ( x)有最大和最小值? f ( x)是B类函数.是充分条件 若f ( x)是B类函数即有界,则 f ( x)不一定有最大和最小值 ,如y = x在(0,1)区间上 ∴ 不是必要条件∴ 不是充分必要条件,错 误 对(3), 若f ( x)是A类函数,g ( x)是B类函数? f ( x) + g ( x)一定不是B类函数. 正确 x 在R上是奇函数, 且当x > 0时,由对勾函数知, y= x +1
2

对(4),? y =

1 ∈ (0, ] 1 2 x+ x

1

x 1 1 ∈[- , ], 有最大值. x +1 2 2 1 1 ∴当a = 0时,f ( x) =∈[- , ];当a ≠ 0时, ? y = a ln(x + 2) ∈ R ∴ f ( x)无最大值. 2 2 x 综上,若f ( x) = a ln(x + 2) + 2 ( x > -2)有最大值,则a = 0,f ( x)是有界函数, f ( x) ∈ B x +1 正确. ∴当x > -2时,y =
2

所以, (1)(3)(4)正确

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分 12 分) 一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1, 2 , 3 ,这三张卡片除标记的数字外完全 相同。随机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1张,将抽取的卡片上的数字依次记为 a , b , c 。 (Ⅰ)求“抽取的卡片上的数字满足 a ? b ? c ”的概率; (Ⅱ)求“抽取的卡片上的数字 a , b , c 不完全相同”的概率。

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

1 8 (Ⅰ) 9 (Ⅱ )9

有放回问题, 有顺序问题. 若a + b = c, 则有1+ 1 = 2,1+ 2 = 3,2 + 1 = 3共3种情况,每种情况概率 相同. 1 在每种情况中,取 3个数的概率也是一样的 ,都是 . 3 1 1 1 1 所以每种情况出现的概 率为 ? ? = 3 3 3 27 1 1 1 1 故, 3种情况出现的概率为 + + = . 27 27 27 8 1 所以,出现a + b = c的概率为 9
(Ⅲ)

考虑所求事件A的对立事件B:a, b, c完全相同 . 则事件B有3种情况: 1, 1,1;或2, 2,2;或3,3,3,每种情况发生的概率 相同. 1 在每种情况中,取 3个数的概率也是一样的 ,都是 . 3 1 1 1 1 所以每种情况出现的概 率为 ? ? = 3 3 3 27 1 1 1 1 1 故, 3种情况出现的概率为 + + = ,即p ( B) = 27 27 27 9 9 8 所以,p ( A) = 1 - p ( B) = 9

17、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(3 x ?

?
4

)

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ )若 ? 是第二象限角, f ( ) ?

?

3

4 ? cos(? ? ) cos 2? ,求 cos ? ? sin ? 的值。 5 4

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

2kπ π 2kπ π 5 - , + ], k ∈ Z - 2,或 12 2 (Ⅰ) 3 4 3 (Ⅱ ) [

π π π π 2kπ π 2kπ π ? f ( x) = sin(3x + ) ∴单调递增区间是 2kπ - ≤3x + ≤2kπ + ,解得 - ≤x ≤ + . 4 2 4 2 3 4 3 12 2kπ π 2kπ π 所以,单调递增区间是 [ - , + ], k ∈ Z 3 4 3 12
(Ⅱ )

π α 4 π ? f ( x) = sin(3x + ), α在第二象限∴ cosα - sin α < 0 ? f ( ) = cos(α + ) cos 2α 4 3 5 4 π 2 4 2 即sin(α + ) = (sin α + cosαo= ? (cosα - sin α)(cos2 α - sin 2 α) 4 2 5 2 ∴ 5(sin α + cosα) = 4(cosα - sin α)2 (sin α + cosα) 当 sin α + cosα = 0时, sin α = -cosα = 所以,cosα - sin α = - 2,或 5 2 2 5 ,cosα - sin α = - 2;当sin α + cosα ≠ 0时, cosα - sin α = 2 2

A1
18、(本小题满分 12 分) 在如图所示的多面体中,四边形 ABB1 A 1 和 ACC1 A 1 都为矩形。 (Ⅰ )若 AC ? BC ,证明:直线 BC ? 平面 ACC1 A 1;

C1 B1 E

CC1 的中点, (Ⅱ ) 设D, 在线段 AB 上是否存在一点 M , E 分别是线段 BC ,
使直线 DE / / 平面 A1MC ?请证明你的结论。

A D B

C

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

(Ⅰ)省略 (Ⅱ ) 存在,点 M 为 AB 中点

?四边形A1 ABB1为矩形∴ A1 A ⊥ AB ? A1 A // CC1 ∴ CC1 ⊥ AB ?四边形A1 ACC1为矩形∴ CC1 ⊥ AC ? CC1 ⊥ AB,CC1 ⊥ AC,AB ∩AC = A∴ CC1 ⊥ 面ABC ∴ CC1 ⊥ BC ? CC1 ⊥ BC, AC ⊥ BC,CC1 ∩AC = C ∴ BC ⊥ 面A1 ACC1

(Ⅱ )
设F , G分别为A1C,AB中点,连接FE, GD, 则 1 1 AC, FE = A1C1 2 2 ∴ FEDG为平行四边形,即 ED//FG ∴ ED//面A1GCF GD // AC, FE // A1C1 , 且GD = ∴, 当点M与点G重合时,ED//面A1MC 所以, 存在点M,当M为AB中点时,ED//面A1MC

19、(本小题满分 12 分) 设等差数列 {an } 的公差为 d ,点 (an , bn ) 在函数 f ( x) ? 2x 的图象上( n ? N ) 。 (Ⅰ )证明:数列 {bn } 为等差数列; (Ⅱ )若 a1 ? 1 ,函数 f ( x) 的图象在点 (a2 , b2 ) 处的切线在 x 轴上的截距为 2 ?
2 {anbn } 的前 n 项和 Sn 。
?

1 ,求数列 ln 2

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

(3n - 1) 4 n+1 + 4 , n ∈ N+ 9 (Ⅰ) (Ⅱ )

设公差为 d ?点(an , bn )在f ( x) = 2 x ∴ bn = 2 an ,b1 = 2 a1 ∴ bn+1 = 2 an+1 = 2 an + d = 2 d ? 2 an = 2 d ? bn ∴{bn }首相为 2 a1 , 公比为 2 d 的等比数列 .

(Ⅱ )
? a1 = 1, f ( x) = 2 x ∴ f ′( x) = 2 x ln2,函数在点(a2 , b2 )处的切线方程为: y - b2 = f ′(a2 )(x - a2 ) 切线与x轴的交点x = a2 b2 b 1 = a2 - a 2 2 = 2 ,又b2 = 2 a2 ∴ 解得a2 = 2 f ′(a2 ) 2 ln2 ln2
2

∴ an = n ? bn = 2 an ∴ bn = 2 n , an ? bn = n ? 2 2 n = n ? 4 n ? Tn = 41 + 2 ? 4 2 + 3 ? 43 + ?+ n ? 4 n ,4Tn = 4 2 + 2 ? 43 + 3 ? 4 4 + ?+ n ? 4 n+1 , 两式相减得: - 3Tn = 41 + 4 2 + 43 + ?+ 4 n - n ? 4 n+1 = 4 ? 所以, Tn = (3n - 1)4 n+1 + 4 , n ∈ N+ 9 1 - 4n 4 n+1 - 4 (1- 3n)4 n+1 - 4 - n ? 4 n+1 = - n ? 4 n+1 = 1- 4 3 3

20、(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 F (?2, 0) ,离心率为 。 2 a b 3

(Ⅰ )求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ )设 O 为坐标原点, T 为直线 x ? ?3 上一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P , Q 。当四 边形 OPTQ 是平行四边形时,求四边形 OPTQ 的面积。

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

x2 y2 + =1 2 (Ⅰ) 6 (Ⅱ ) 2 3

c 6 2 ? c = 2, = , a = b 2 + c 2 ∴ 解得c 2 = 6, a 2 = 9, b 2 = 2 a 3 x2 y2 所以,椭圆方程为 + =1 6 2

(Ⅱ -1)
3 m 设T (-3, m), F (-2,0),显然m ≠ 0.据题知,线段OT的中点(- , )即线段PQ的中点. 2 2 1 ? kTF = -m ∴ 设过F且垂直FT的直线方程为y = ( x + 2), P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) m x2 y2 与椭圆方程 + = 1联立得完成时间 20140614 qq373780592 6 2 x2 x2 + 4x + 4 - 12 12 - 6m 2 2 2 2 + = 1 ,即 ( m + 3 ) x + 12 x + 12 6 m = 0 ∴ x + x = , x x = 1 2 6 2m 2 m2 + 3 1 2 m2 + 3 x +x -6 3 3 ? 1 2= 2 = - ∴ m = ±1, x1 + x2 = 3, x1 x2 = , PQ直线方程为y = ±( x + 2). 2 m +3 2 2 1 由弦长公式得PQ2 = (1+ 2 )[(x1 + x2 ) 2 - 4 x1 x2 ] = 2(9 - 6) = 6 m ? T (-3,±1), F (-2,0),TF ⊥ PQ, PQ = 6 , TF = 2 ∴ 平行四边形OPTQ的面积S = TF ? PQ = 2 3. 所以,四边形OPTQ的面积为2 3.

21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? bx ?1,其中 a, b ? R , e ? 2.71828 ??? 为自然对数的底数。
x 2

(Ⅰ )设 g ( x) 是函数 f ( x) 的导函数,求函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值; (Ⅱ )若 f (1) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,证明: e ? 2 ? a ? 1 。 【答案】

1 1 e e 1 - b,a ∈ (-∞ , ]; 2a - 2a ln 2a - b,a ∈ ( , ); e - 2a - b,a ∈[ ,+ ∞) 2 2 2 2 (Ⅰ)
(Ⅱ ) 省略 【解析】 (Ⅰ)

? f ( x) = e x - ax2 - bx - 1∴ g ( x) = f ′( x) = e x - 2ax - b ? g ( x) = e x - 2ax - b ∴ g ′( x) = e x - 2a.讨论如下. ( 1)当g ′( x) ≥ 0在区间 [0,1]上恒成立时,g ( x)递增,最小值为 g ( 0) = 1 - b ? g ′( x) = e x - 2a递增, 且g ′( x) ≥ 0在区间 [0,1]上恒成立 1 ∴ g ′(0) ≥ 0,解得a ≤ 2 (2)当g ′( x) ≤ 0在区间 [0,1]上恒成立时,g ( x)递减,最小值为 g (1) = e - 2a - b ? g ′( x) = e x - 2a递增, 且g ′( x) ≤ 0在区间 [0,1]上恒成立 e ∴ g ′(1) ≤ 0,解得a ≥ 2 1 e (3)最后,当a ∈ ( , )时, 2 2 ? g ′( x) = e x - 2a递增∴ g ′( x)在区间 [0,1]上先负后正, g ( x)在区间 [0,1]上先减后增,有最小值 . 令g ′( x) = e x - 2a = 0, 则e x - 2a = 0,即当x = ln 2a时,g ( x)取最小值, g (ln 2a ) = 2a - 2a ln 2a - b 综上,在[0,1]上,f ( x)导数的最小值是: 1 1 e e 1 - b,a ∈ (-∞ , ];2a - 2a ln 2a - b,a ∈ ( , ); e - 2a - b,a ∈[ ,+ ∞) 2 2 2 2

(Ⅱ )

? f ( x) = e x - ax2 - bx - 1,f (1) = 0 ∴ e - a - b - 1 = 0,f ′( x) = e x - 2ax+ a + 1 - e ? f (0) = f (1) = 0,且f ( x)在(0,1)上存在零点完成时间 20140615 qq373780592 ∴ f ( x)在(0,1)上单调性是:增减增, 或减增减 ? f ( x)单调性是增减增,或减 增减∴ f ′( x)有2个零点, 且f ′( x)的导数f ′′( x)有1个零点 由上知,f ′(0) f ′(1) > 0,即(1 - a)(a + 2 - e) > 0,解得a ∈ (e - 2,1) 所以, a ∈ (e - 2,1)

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