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?２ ４? 　 重 庆　

《 数学 教学 通 讯 ］ ￣ ２ ０ ０ １年 第 ３期 （ 总第 Ｊ ３ ６期 ） 　

切 割线定 理 叉一 推 论及 应 用 　
（ 云 南省 广 南 县 第 一 中学　 ６ ６ ３ ３ ０ ０ ） 　 王　 九 年制 义 务 教 育 教材 《 几 何 》第 三 册 Ｐ 　
介 绍 了切 割 线 定 理 及 推 论 ， 本人 对 推论进 行探　 究 可得如 下的一 个重要 推论． 　 推论： 如图 １ ， 已 知 ００ 的 半 径 为 ＇ Ｒ， 过 ００ 　

瑜　

（ ｃ） 　

２． 　

（ Ｄ ）— 　． 　

（ １ 　 ９ ９ ９年 河 北 省 初 中 数 学 竞 赛 试 题 ） 　 解 ：以 点 Ｐ 为 圆 心 ， ＰＢ 的 长 为 半 径作 ０ Ｐ 　
交 ＰＤ 于 Ｆ． 　

外 一 点 作 割 线 ＰＡＢ， 则 ＰＡ ? ＰＢ ＝ ＰＯ 　一 Ｒ 　
（＊ ） 　

由（ ＊） 式得： ＰＤ　一 ＰＢ 　＝ ＣＤ ? ＤＢ 　
一

证明： 延 长 ＰＯ交 ０ ０于 Ｅ， 则 ＰＥ— Ｐ Ｏ ＋　
Ｒ． Ｐ Ｆ — Ｐ ０ 一 Ｒ　

ｃ Ｄ ｚ 一 ２ Ｃ Ｄ ｚ ， 所 以 （ 器　 ３ 　
＝ 　

由切割线定 理 的推论 。 得： 　
Ｐ　 ? Ｐ Ｂ — ＰＦ ?ＰＥ 一 （ Ｐ０ 一 Ｒ ） （ Ｐ０ ＋ 　
Ｒ 、 ＝ Ｐ ０　 一 Ｒ　

所 以 ＰＤ 面

可（ 负值舍 去 ） 　

Ｂ　

（ ＊）式 是 切 割 线 定 理 的 幂 的 形 式 ， 更 具 有　
一

般性 ， 在很 多情 况 下 ， 使用 （ ＊）式 比 使 用 切　
幽 ３ 　 图４ 　

割 线 定 理 的 推 论 更 简捷 ． 更 明快 ． 下 面 举 例 说　
明． 　

例 ３ 　 在以 ０ 为 圆心的两 个 同心 圆中 ， Ａ、 　 Ｂ 为 大 圆 上 的 任意 两 点 ， 过　 、 Ｂ作 小 圆 的 剖线　
ＡＸＹ 和 Ｂ ＰＱ ， 求证 ： 　Ｘ ? ＡＹ — ＢＰ ? ＢＱ． 　

（ 《 几 何 》第 三 册 第 １ ２ ７页 第 二 题 ） 　
证明 ： 连 结 ＯＡ、 ＯＢ， 则 ＯＡ — ＯＢ． 　
圈 １ 　 ２ 　

由（ ＊） 式得： 　 Ｘ ? ＡＹ — ＯＡ 　一 ｒ ２ （ ｒ 是 小 圆半径 ） 　
ＢＰ ?ＢＱ ＝ ０ Ｂ　一 一　

倒 １ 　 如图２ ， 两个 同心 圆 ， 点　 在 大 圆上 ， 　

ＡＢ Ｃ为小 圆的割线 ， 若 ＡＢ ? ＡＣ 一 ８ ， 则 圆 环 的　
面积 为（ 　 ） 　
（ Ｂ）８ ｒ ｅ ． 　 （ Ｃ） ｌ ２ 　． 　 （ Ｄ ）１ ６ 　． 　 （ Ａ）４ ｎ ＂ ． 　

所 以 ４Ｘ ? 　 Ｙ＝ Ｂ Ｐ ? ＢＱ 　

例 ４ 　 如图 ５ ， ００ 的 弦 ＡＢ 的 延 长 线 和 切　
线 ＥＰ 相 交 于 点 Ｐ ， Ｅ为切点 ， 　 ＡＰＥ 的 平 分 线　

（ １ ９ ９ ５年 河 北 省 中 考 试 题 ） 　

解 ：连 结 ＯＡ， 设小 圆的半径 为 ｒ ， 则　
Ｓ目 　 — Ｓ＾ 一 Ｓ 　 一 ￣ ｒ （ ＯＡ　 一 一 ） 　

和 Ａ Ｅ、 ＢＥ 分 别相 交 于点 ｃ、 Ｄ． 求证 ： ＰＣ ? ＰＤ　
—

Ｐ Ｅ　 一 ＣＥ　

由（ ＊） 式得 ： ＡＢ ? ＾Ｃ ＝ ＯＡ 　一 ｒ 　 所 以 ＯＡ 　一 一 一 ８．故 Ｓ日 　一 ８ 　
例 ２
—

证明： 因 为 ＥＰ 为 ０ ０ 的 切 线 ． 　 所 以　 Ａ 一　 ３ ． 　 Ｐ Ｃ 平 分 　 ＡＰＥ ， 所 以　 １＝ Ｚ ２ ． 　 叉 因 为　 Ｅ ＤＣ 一　 ｌ ＋　 ３ ． 　
ＥＣＤ —　 Ａ ＋　 ２， 　

已知 ， 如图 ３ ， ＡＢ — ＢＣ — ＣＤ — ＰＢ　

Ｐｃ， 那 么Ｐ 　 Ｄ 的值 为 （ 　 万

） 　

（ Ａ ） 卑 ． 　

（ Ｂ ） 　

所 以　 ＥＤＣ —　 ＥＣＤ ， 即 Ｃ Ｅ — ＤＥ． 　

以 Ｅ 为 圆心 ， 以 ＣＥ 的 长 为 半 径 作 ０Ｅ． 由 　

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《 数学 教 学 通 讯　２ ∞ １年 第 ３期 （ 总第 １ ３ ６期 ） 　

重庆

?２ ５? 　

一

个 问 题 的 再 探 究　
（ 浙 江 省 永 康 第 一 中 学　 ３ ２ １ 　 ３ ０ ０ ） 　 李 康 海　

本刊 ２ ０ ０ ０年 第 ３期 《 争 鸣》 、 第 ９期 《 ． ． 争　 鸣” 在 续 》两 文 所 讨 论 的 是 如 下 问 题 ： 　 确定 ２ 　 ＋２ 　 ＋２ ‘ （ ｄ ， 　， ｒ∈ Ｚ 　） 为 完 全 平 方　 数的充 要条件 ． 　 经探 讨 ， 笔 者 找 到 了 充 要 条 件　 但 形 式较 复　 杂， 本文 只给 出较简 明的充分 条件． 　 不 妨 设 ｄ＞ ６ ＞ “则 ２ 　 ＋２ 　 ＋２ 　 一２ 　 （ ２ 一　 ＋ ２ 　 ＋ １ ） ． 易知 ２ 　 因此 ， 只需 讨论 ２ 　＋ ２ 　 ＋ １为 完 全 平 方 数 的 条 件 ． 　 结论 ： （ １ ）Ⅲ ＝ ｄ ． 　 一 ３时 ， ２ 　＋ ２ 　＋ １为　 完全 平 方 数 ． 　 （ ２ ） 　 一 ５或 ９ ． ＾＝ ４时 ， ２ 　＋ ２ 　＋ １为 完　 全 平方数 （ 即分 别为 ７ 　和 ２ ３ 　 ） ． 　
（ ３ ） 　 一２ ｋ一 ２ （ 　 ＞　 ≥ ３ ）时 ， ２ 　十 ２ 　＋　

十 １）， 　

由 ”一 １ Ｏ ０＝ ３ ， 得 ， 　一 １ ０ ３ ， 由 ＂一 １ ０ ０＝　 ５或 ９ ， 得 Ｎ＝ １ ０ ５ 　 一 １ ０ ９ ． 　
由 Ｎ～ １ ０ ０ ＝ ２ × ４～ ２ ， 得 Ｎ＝ １ ０ ６ ． 　

若 ｎ＜ １ ０ ０ ， 则 厂（ Ｈ）一 ２ 　 （ ２ 　
１） ． 　

＋２ 　一 　＋　

由 １ ０ ４一　 一 ２（ １ ? ） ０一　 ）～ ２， 得 ＂＝ ９ ４， 　 此时 ２ 　。＋ ２ 　‘＋ ２ 　 一 ２ 　 × １ ０ ８ ９＝ （ ２ 　 ×　
３３ ） 　． 　

由 １ ０ ０一 Ｎ一 ３或 １ ０ ０一　 ＝ ４ ， 均无 解 ． 　 故 Ｎ一 ９ ４或 １ ０ ３或 １ ０ ５或 １ ０ ６或 １ Ｏ ９ ． 　 侧２ 　 是否 存在 ”∈ ｚ 　， 使， （ Ｎ ）一 ２ 　 。 ＋　 ２ ” 　＋ ２ 　是 一 个 完 全 平 方 数 ？ 　
解 ： ｆ（ ｎ）一 ２ ¨ 。 （ ｛ ： 　。＋ ２ 一　。＋ １ ） 　 由 ９ ５ ０： ２ （ ”～ １ ０ ０ ）一 ２， 得 ｎ一 ５ ７ ６ ． 　 由 Ｎ一 １ ０ ０— ２ ： 《９ ５ ０～ ２， 得 Ｈ一 １ ９ ９ ８ ． 　

１＝ （ ２ 　

＋ １ ） 　为 完 全 平 方 数 ． 　

结 论较 易证 明 ， 本文 从略． 下 面 用 此 结 论 试　
解上 述两文 中的问题 ． 　

故 ”一 ５ ７ ６或 １ ９ 　 ９ ８ ． 　

倒 １ 是 否存 在 Ｉ １ ∈ｚ 　， 使 ｆ （ ｎ ）一 ２ 　 。 ＋　
２ 　 ‘ ＋ ２ 　是 完 全 平 方 数 ？ 　

编者 按 ： 此 类 问趣 的 讨 论 就 此 结 束 ， 感 谢 广　

解： 若　 ＞ 】 Ｏ Ｏ ， 则　 （ Ｎ ） 　 ２ 　 。 （ ２ 　＋ ２ 　ｎ 。 　
（ ＊ ）式 得 ： Ｐｃ －， Ｊ ， ］ ＝ ＰＥ 　一 Ｃ Ｅ 　

大 作者 和读 者 对本 刊 的厚爱 ， 若 对 此 问 题 仍 有　 兴趣 的读者 ， 请 与本 ： 乏作 者 联 系 ． 　
ｖ ｖ ｖ Ｖ Ｖ 、 ，ｖ ｖ ｖ 　ｖ 　

从 而　 Ｍ ＡＦ ＝ ； 　 ＡＭ Ｆ ， 　 即 有 ＡＦ ＝ ＦＭ — Ｃ Ｍ ， 　

设 Ｃ Ｄ一 ７ ２ ， 则 ＣＭ 一 、 　＝ ｒ干　 ， 　
ＡＣ 一　 一 十 Ｚ ５ ， 由（ ＊） 式得 ： 　
＾ Ｆ —Ａ Ｃ — Ａ Ｍ 　 一 ＣＭ 　 ． 　

干１
图ｓ 　 图６ 　

?、 　

一 （ ５— １ ） 　

（ 、 　 了 １） 　 ． 　

例 ５

在 △ ＡＢＣ 中 ， ＡＢ： ＡＣ， Ｂ Ｃ上 的 高　

ＡＤ 一 ５ ， Ｍ 在 ＡＤ 上 一 点 ， ＭＤ — ｌ ， 且 　 ＢＭ Ｃ 　 ＝ ３ 　 ＢＡ Ｃ。 试 求 △ ＡＢＣ 的 周 长 （ １ ９ ９ ５年 四 Ｊ Ｉ 『 　 省联 赛试题 ） 　

解之 得 ： 　 ＝ 导　 丁 （ 负根 舍去） ． 　
所　 Ａ Ｃ一 、 　 Ｆ西 一　 ／再 。 　

解 ：以 Ｍ 为 圆 心 ． 以 Ｍ Ｃ为 半 径 作 ０Ｍ 交　 ＡＣ 于 Ｆ， 交 ＡＤ 于 Ｅ． 连结 ＭＩ ， 　 ， 由　 ＤＭＣ ＝　
３ 　 ＤＡＣ ， 目 ＣＭ ＝ ＦＭ 知 　
Ｍ Ｃ Ｆ ＝　 Ｍ Ｆｃ ： ｚ 　 Ｄ Ａｃ ． 　

所 以 Ｃ△ ＾ 　 月＊ 一 ２ （ ＣＤ ＋ ＡＣ）一　

２ （ 喜 　

＋ 　
（ ２ 　

） 一 　
＋ １）