伤城文章网 > 数学 > 数学:1.1.3《变化率与导数-导数的几何意义》PPT课件(新人教A版-选修2-2)

数学:1.1.3《变化率与导数-导数的几何意义》PPT课件(新人教A版-选修2-2)


新课标人教版课件系列

《高中数学》
选修2-2

1.1.3《变化率与导数 -导数的几何意义》

教学目标
? 了解函数的平均变化率

教学重点: ? 函数的平均变化率
?

回顾
①平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为:

?f ? ?x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1
y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y

Y=f(x)

②割线的斜率

?f k? ? ?x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

B

f(x1)
O

A x2-x1=△x x x1 x2

回顾
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
f ( x 0 ?? x) ? f ( x 0) ?x ? lim
? x ?0

lim
? x ?0

?f , ?x

我们称它为函数y=f(x)

在x=x0处的导数,记作f′ (x0)或y′|x→x0即
f '( x 0) ? lim
? x ?0

f ( x 0 ?? x) ? f ( x 0) ?x

?f ? lim , ? x ?0 ? x

以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限, 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的 导数的基本方法是:

(1)求函数的增量?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ); 回 (2)求平均变化率 ?y ? f ( x 0 ??x) ? f ( x0 ) ; 顾 ?x ?x
?y (3)取极限,得导数f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.

应用:
?

例1 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品,需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h) 时,原油的温度(单位:0C)为 f(x)=x27x+15(0≤x≤8).计算第2(h) 和第6(h)时,原 由温度的瞬时变化率,并说明它们的意义。
?f ? 2 x ?? x ? 7 ??fx

关键是求出:

再求出lim
? x ?0

?x

? 2x ? 7

它说明在第2(h)附近,原油 温度大约以3 0C/h的速度下降; 在第6(h)附近,原油温度大 约以5 0C/H的速度上升。

导数的几何意义:
y
y=f(x)

Q

割 线

T 切线

P

?

o

x 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即 Δ x→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我 们把直线PT称为曲线在点P处的切线.

设切线的倾斜角为α ,那 么当Δx→0时,割线PQ的斜 率,称为曲线在点P处的切 线的斜率.
'

y

y= Q f( x) P
?

割 线 T 切 线 x

o

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim 即: k切线 ? f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数. 要注意,曲线在某点处的切线: 1) 与该点的位置有关; 2) 要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在 此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3) 曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个.

例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) 解 : k ? lim y ?x ? 0 Q ?x (1 ? ?x ) 2 ? 1 ? (1 ? 1) ? lim 2 ?x ? 0 ?x y = x +1 2 ?x ? ( ?x ) 2 ? lim ? 2. ?x ? 0 ?x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), ?x 即y=2x.
1

?y

M

求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求 出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程.

j

x

-1 O

1

1 3 8 y ? x 上 一 点 ( 2, ) P 练习:如图已知曲线 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 1 3 3 ( x ? ?x ) ? x 1 3 ?y 3 解 : ) y ? x ,? y? ? lim (1 ? lim 3 ?x ? 0 ? x ?x ? 0 y 3 ?x 1 y? x 3 4 1 3 x 2 ?x ? 3 x ( ?x ) 2 ? ( ?x ) 3 ? lim 3 3 ?x ? 0 ?x 2 1 2 2 2 ? lim[3 x ? 3 x?x ? ( ?x ) ] ? x . 1 3 ?x ? 0

3

P

? y? |x?2 ? 22 ? 4.

x

-2 -1

即点P处的切线的斜率等于4.

O -1 -2

1

2

(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.

函数导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?( x) ? y? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.

函数y ? f ( x)在点x0处的导数f ?( x0 ) 等于函数f ( x)的导(函)数f ?( x)在点x0处的 函数值.

如何求函数y=f(x)的导数?

(1)求函数的增量?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ; ?x ?x

?y (3)求极限,得导函数y? ? f ?( x) ? lim . ?x ?0 ?x

看一个例子:
例4.已知y ? x,求y?.
解:?y ? x ? ?x ? x ?
?y ? ?x 1 x ? ?x ?

?x x ? ?x ? x

x

?y 1 1 ? y? ? lim ? lim ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x

下面把前面知识小结:
a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念,要从它的几何意义和物 理意义认识这一概念的实质,学会用事物在全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 b.要切实掌握求导数的三个步骤: (1)求函数的增 量; (2)求平均变化率; (3)取极限,得导数。

小结:
c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、 “导数” 之间的区别与联系。 (1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个 常数,不是变数。 (2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f ?( x ) 。 (3)函数f(x)在点x0处的导数 f ?( x0 ) 就是导函数 f ?( x ) 在x=x0处的函数值,即 f ?( x0 ) ? f ?( x) |x? x 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。
0

小结:
求切线方程的步骤:
(1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) ,得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想,丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。


搜索更多“数学:1.1.3《变化率与导数-导数的几何意义》PPT课件(新人教A版-选修2-2)”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com