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解三角形知识点归纳


解三角形知识点归纳
一 正弦定理

正玄定理中已知两边和一角或已知两角和一边,可以求出其它所有的边和角。 注明:正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化,在变形中,注意三角形中其他条件 的应用: (1)三内角和为 180° (2)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 (3)面积公式:S=

1 abc absinC= =2R2sinAsinBsinC 2 4R A? B C C A? B =cos ,cos =sin 2 2 2 2

(4)三角函数的恒等变形。 sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC ,sin

(二)题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型 题型 1 利用正弦定理公式原型解三角形 题型 2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形: 关于边或角的齐次式可以直接边 角互化。 题型 3 三角形解的个数的讨论 方法一:画图看

方法二: 通过正弦定理解三角形, 利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果 是否符合实际意义,从而确定解的个数。 二 余弦定理 (一)知识与工具: a2=b2+c2﹣2bccosA cosA=

b2 ? c2 ? a 2 2bc

b2=a2+c2﹣2accosB

cosB=

a2 ? c2 ? b2 2ac a2 ? b2 ? c2 2ab

c2=a2+b2﹣2abcosC

cosC=

注明:余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化,当题中含有二次项时,常使用余弦 定理。在变形中,注意三角形中其他条件的应用: (1)三内角和为 180°;

(2)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。 (3)面积公式:S=

abc 1 absinC= =2R2sinAsinBsinC 4R 2

(4)三角函数的恒等变形。 (二)题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型 题型 1 利用余弦定理公式的原型解三角形 题型 2 利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形: 凡在同一式子中既有角又有边的 题,要将所有角转化成边或所有边转化成角,在转化过程中需要构造公式形式。 题型 3 判断三角形的形状 结论:根据余弦定理,当 a2+b2<c2、b2+c2<a2、c2+a2<b2 中有一个关系式成立时,该 三角形为钝角三角形,而当 a2+b2>c2、b2+c2>a2,c2+a2>b2 中有一种关系式成立时,并不 能得出该三角形为锐角三角形的结论。 判断三角形形状的方法: (1)将已知式所有的边和角转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系, 从而判断三角形的形状。 (2)将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系,通过三角恒等变形,得出内 角的关系,从而判断出三角形的形状,这时要注意使用 A+B+C=π 这个结论。 在两种解法的等式变形中, 一般两边不要约去公因式, 应移项提取出公因式, 以免漏解。 正余弦定理在实际中的应用 求 距 离 两点间不可通又不 可视 两点间可视但不可 达 两点都不可达

求 高 度

底部可达

底部不可达

练习题 1、 在 △ ABC 中 , BC = a , AC = b , a , b 是 方 程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的 两 个 根 , 且
2

2 cos? A ? B ? ? 1。求:(1)角 C 的度数; (2)AB 的长度。
2、 在△ABC 中,证明:

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 。 2 2 a b a b

2 3、 在△ABC 中, a ? b ? 10 ,cosC 是方程 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的一个根,求△ABC 周长的

最小值。 4、 在△ABC 中,若

cos A cos B sin C ? ? ,则△ABC 是( a b c



A.有一内角为 30°的直角三角形 B.等腰直角三角形 C.有一内角为 30°的等腰三角形 D.等边三角形 5、 已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( A. 1 ? x ? 5 B. 5 ? x ? 13 C. 0 ? x ?



5 D. 13 ? x ? 5


6、若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3 ,A=60°,则 BC 边的长是( A. 5 B.6 C.7 D.8 7、在△ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么△ABC 一定是 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形


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