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第七节多元函数微分学_图文


第七节 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、全微分的几何意义 四、梯度在场论中的意义

一、空间曲线的切线与法平面
1. 曲线方程为参数方程的情况

空间曲线切线:割线的极限位置.

法平面:过切点且垂直于过该点切线的平面.

?x ? ?(t)

设空间曲线?

的方程为:

? ?

y

?

?

(t

)

(1)

??z ? ?(t )

z

(1)式中的三个函数均可导.

?M

设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t ? t0;
M ( x0 ? ?x, y0 ? ?y, z0 ? ?z) 对应于 t ? t0 ? ?t.

?M0

xo

y

割线 M0M 的方程为

z

?M

x ? x0 ? y ? y0 ? z ? z0 ?x ?y ?z
x

?M0

o

y

考察割线趋近于极限位置——切线的过程

上式分母同除以 ?t,

x ? x0 ? y ? y0 ? z ? z0 ,

?x

?y

?z

?t

?t

?t

当M ? M0 , 即 ?t ? 0时 ,
曲线在M0 处的切线方程
x ? x0 ? y ? y0 ? z ? z0 .
??(t0 ) ? ?(t0 ) ??(t0 )
切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量.
?
? ? (??(t0 ),? ?(t0 ),??(t0 ))
法平面:过M0 点且与切线垂直的平面.
??(t0 )( x ? x0 ) ?? ?(t0 )( y ? y0 ) ? ??(t0 )(z ? z0 ) ? 0

例 1、求空间曲线? : x ? t ? sin t , y ? 1 ? cost , z ? 4sin t 在(? ? 1 , 1 , 2 2)处的切线和法平面方程.
22

例2

求曲线?

:x

?

?t eu 0

cos udu, y

?

2sin t

? cost,z ? 1 ? e3t 在t ? 0处的切线和法平面方程.

特殊地:若空间曲线方程为

?y ??z

? ?(x)
,
?? (x)

?
在M(x0, y0, z0 )处, ? ? (1 , ? ?( x0 ) ,? ?( x0 ) )

切线方程为 x ? x0 ? y ? y0 ? z ? z0 ,
1 ??( x0 ) ? ?( x0 )

法平面方程为

( x ? x0 ) ? ? ?( x0 )( y ? y0 ) ?? ?( x0 )(z ? z0 ) ? 0.

2.空间曲线为一般式的情况

设空间曲线?

方程为:

?F ( x, ??G( x,

y, z) y, z)

? ?

0 ,
0

点 M0( x0 , y0 , z0 ) ? ? , 且函数 F ( x, y, z) , G( x, y, z) 在点

M

0

(

x0

,

y0

,

z0

)

处有连

续偏

导数

,

若二阶

行列



?(F ,G) ?( y,z)

,

?(F ,G) ?(z, x)

,

?(F ,G) ?(x, y)



M0

处不全为零, 在曲线?

在点 M0

处有切向量

?
?

?

??

?(F,G) , ?(F,G) , ?(F,G)

??

? ?( y, z) ?(z, x) ?( x, y) ?( x0 , y0 ,z0 )

? ??

?i jk

? ? Fx Fy Fz

Gx Gy Gz
( x0 , y0 ,z0 )

2.空间曲线方程为

?F ( x, ??G( x,

y, z) y, z)

? ?

0 ,
0



?(F ,G) ?( y, z) M0

?

0时,

在M0近旁可唯一确定

y ? y(x) , z ? z(x) . 可按隐函数求导法求出

y?( x) , z?( x) .

?
? ? ? ? 1 , y?( x) , z?( x) ?( x0 , y0 ,z0 )

例 3 求曲线 x2 ? y2 ? z2 ? 6,x ? y ? z ? 0 在 点(1,?2, 1)处的切线及法平面方程.

解1 (直接利用公式 )



? (F ,G) ?( y,z)

?
M

2y 1

2z 1

? 2( y ? z)
M

? ?6;
M

切向量为

?
? ? ( ? 6, 0, 6) ? ?6(1, 0, ? 1)

切线方程为

法平面方程为 ( x ? 1) ? (z ? 1) ? 0, 即 x ? z ? 0 .

例 3 求曲线 x2 ? y2 ? z2 ? 6,x ? y ? z ? 0 在 点(1,?2, 1)处的切线及法平面方程.

解2 将所给方程的两边对x求导并移项 , 得

???? dyyddxy?

?z dz

dz ? dx ? ?1

?x

?

?dx dx

? ? ? ??

dy ? z ? x , dx y ? z dz ? x ? y , dx y ? z

? dy

? 0,

dx (1,?2, 1)

dz

? ?1,

dx (1,?2, 1)

?
由此得切向量 ? ? (1, 0,?1),

所求切线方程为 x ? 1 ? y ? 2 ? z ? 1,

1

0 ?1

法平面方程为 ( x ? 1) ? 0 ? ( y ? 2) ? (z ? 1) ? 0, 即 x?z?0.

二、曲面的切平面与法线

设曲面? 方程为 F ( x, y, z) ? 0

M0 ? ? , F ( x, y, z)在M0

可微 , 且Fx , Fy , Fz在M0

处不全为零.

1.

?

上过

M

的曲线在
0

M

0的

切线在同一平面上——切平面.

在曲面上任取一条通

过点

M

的曲线
0

?:

?x ? ?(t)

? ?

y

?

?

(t

),

??z ? ?(t)

n?

? T

M0

? :F ( x , y , z ) = 0
在 ? 上, ? F (? (t),? (t), ? (t)) ? 0 两边在 t ? t0 处求导, 注意 t ? t0 对应点M , 得 Fx ( x0 , y0 , z0 ) ? ?(t0 ) ? Fy ( x0 , y0 , z0 ) ? ?(t0 )
? Fz ( x0 , y0 , z0 ) ??(t0 ) ? 0

?
曲线在M0处的切向量 T ? (??(t0 ),? ?(t0 ), ??(t0 )),



?
n ? ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 ) )

??
则 n ?T,

由于曲线是曲面上通过 M0 的任意一

?
条曲线,它们在 M0 的切线都与同一向量 n 垂直,

故曲面上通过 M0 的一切曲线在点 M0 的切线都在

同一平面上,这个平面称为曲面在点 M0 的切平面. 切平面方程为

Fx ( x0 , y0 , z0 )( x ? x0 ) ? Fy ( x0 , y0 , z0 )( y ? y0 ) ? Fz ( x0 , y0 , z0 )(z ? z0 ) ? 0

通过点 M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线. 法线方程为
x ? x0 ? y ? y0 ? z ? z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.
曲面在M处的法向量即 n? ? ( Fx ( x0 , y0 , z0 ),Fy ( x0 , y0 , z0 ),Fz ( x0 , y0 , z0 ) )

例 1 求曲面 z ? ez ? 2 xy ? 3 在点M (1,2,0) 处 的切平面及法线方程. 解 令 F( x, y, z) ? z ? ez ? 2xy ? 3,
Fx? M ? 2 y M ? 4, Fy? M ? 2x M ? 2, Fz? M ? 1 ? ez M ? 0, ? n? ? (4,2,0),

切平面方程 4( x ? 1) ? 2( y ? 2) ? 0 ? (z ? 0) ? 0,

即 2x ? y ? 4 ? 0,

法线方程

x ?1 ? y ? 2 ? z ?0.

2

1

0

2、空间曲面方程形为 z ? f ( x, y)
令 F(x, y,z) ? f (x, y) ? z, 曲面在M处的切平面方程为
fx ( x0 , y0 )(x ? x0 ) ? f y ( x0 , y0 )( y ? y0 ) ? z ? z0 , 曲面在M处的法线方程为
x ? x0 ? y ? y0 ? z ? z0 . f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) ? 1

例 2 求旋转抛物面z ? x2 ? y2 ? 1在点(2,1,4)
处的切平面及法线方程.

解 f ( x, y) ? x2 ? y2 ? 1,

? n (2,1,4)

?

(2 x, 2 y, ? 1) (2,1,4)

?

(4, 2,?1),

切平面方程为 4( x ? 2) ? 2( y ? 1) ? (z ? 4) ? 0,

? 4x ? 2 y ? z ? 6 ? 0,

法线方程为 x ? 2 ? y ? 1 ? z ? 4 .

4

2 ?1

例 3 求曲面 x2 ? 2 y2 ? 3z2 ? 21 平行于平面 x ? 4 y ? 6z ? 0的切平面方程.

解 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点,
n? ? (2x0 ,4 y0 ,6z0 ),
切平面方程为

2x0( x ? x0 ) ? 4 y0( y ? y0 ) ? 6z0(z ? z0 ) ? 0
依题意,切平面方程平行于已知平面,得 n? //(1,4,6),

即有 2x0 ? 4 y0 ? 6z0 , 1 46

? 2 x0 ? y0 ? z0 .

因为 ( x0 , y0 , z0 )是曲面上的切点,
满足方程 ? x0 ? ? 1 ,
所求切点为 (1,2,2), (?1,?2,?2), 切平面方程(1)
2( x ? 1) ? 8( y ? 2) ? 12(z ? 2) ? 0 ? x ? 4 y ? 6z ? 21
切平面方程(2)
? 2( x ? 1) ? 8( y ? 2) ? 12(z ? 2) ? 0 ? x ? 4 y ? 6z ? ?21

*三、全微分的几何意义
曲面 z ? f ( x, y) 在 M ( x0 , y0 , z0 )处的切平面方程为:
z ? z0 ? f x ( x0 , y0 )( x ? x0 ) ? f y ( x0 , y0 )( y ? y0 )

切平面 上点的 竖坐标 的增量

函数z ? f ( x, y)在点( x0 , y0 )的全微分
z ? f ( x, y)在( x0 , y0 )的全微分,表示 曲面 z ? f ( x, y) 在点( x0 , y0 , z0 ) 处的
切平面上的点的竖坐标的增量.

四、曲面z=f(x,y)在点M处的法向量的方向余弦

曲面在M处的法向量:M处切平面的法线方向

1. n? 方向向上 (与 z 轴夹角为锐角) ,设其方向角

为? , ? , ? , 则 cos? ? 0 , 取 n? ? (? fx ,? f y ,1)

cos? ?

? fx

,

1?

f

2 x

?

f

2 y

cos ? ?

? fy

,

1?

f

2 x

?

f

2 y

cos? ?

1

.

1?

f

2 x

?

f

2 y

其中
f x ? f x ( x0 , y0 ) f y ? f y ( x0 , y0 )

2. n? 方向向下(与 z 轴夹角为钝角) ,设其方向角
为? , ? , ? , 则 cos? ? 0 , 取 n? ? ( fx , f y ,?1)

cos? ?

fx

,

1?

f

2 x

?

f

2 y

cos ? ?

fy

,

1?

f

2 x

?

f

2 y

cos? ?

?1 .

1?

f

2 x

?

f

2 y

其中
f x ? f x ( x0 , y0 ) f y ? f y ( x0 , y0 )

例5、设曲面为 F(2x ? z, x ? y) ? 0 ,求证:曲面 上任一点的切平面平行于一定直线.
其中F (u, v )可微 .
证: 曲面上任一点的法向量
?
n ? ( 2F1? ? F2? , F2? , ? F1? ) ,
?
取定直线的方向向量为 s ? (1,? 1,2) (定向量)
??
则 n? s ? 0 , 故结论成立 .

? x ? x(u,v),

*3.空间曲面方程形为

? ?

y

?

y(u, v ),

??z ? z(u, v),

曲面在M处的切平面的法向量为:

? ??
i jk
?
n ? xu yu zu
xv yv zv
(u0 ,v0 )

五、梯度在场论中的意义: 等量面与等高线
1.三元函数 F ( x, y, z) —— 确定空间的数量场
F ( x, y, z) ? C 表示等量面. 若 F ? C (1) , ?F ( x0 , y0 , z0 ) ? 0 时 , ?F (M ) 为等量面 F ( x, y, z) ? F ( x0 , y0 , z0 ) 在 ( x0 , y0 , z0 ) 的法向量 , 方向指向高值方向.

2. 二元函数 F ( x, y) —— 确定平面数量场 F ( x, y, z) ? C 表示等量线 (等高线).
若 F ? C (1) , ?F ( x0 , y0 ) ? 0 时 , ?F (M ) 为等高线 F ( x, y) ? F ( x0 , y0 ) 在 ( x0 , y0 ) 的法向量 , 方向指向高值方向.

y f (x, y) ? c2 gradf ( x, y)
P 梯度为等高线上的法向量

f (x, y) ? c 等高线

f (x, y) ? c1

o

x

等高线的画法
播放

例如, 函数 z ? sin xy 图形及其等高线图形.

例:

x2 a2

?

y2 b2

?1

— 椭圆,

指向外侧的法向量,

指向内侧的法向量,

五、小结
一、曲面的切平面与法线
(求法向量的方向余弦时注意符号)
二、空间曲线的切线与法平面
(当空间曲线方程为一般式时,求切向 量注意采用推导法)

思考题 如果平面 3x ? ?y ? 3z ? 16 ? 0 与 椭球面3x2 ? y2 ? z2 ? 16相切,求? .

思考题解答
设切点 ( x0 , y0 , z0 ), n? ? (6 x0 , 2 y0 , 2z0 ),

依题意知切向量为 (3, ? ,?3)

6x0 ? 2 y0 ? 2z0
3 ? ?3

? y0 ? ?x0 , z0 ? ?3 x0 ,

切点满足曲面和平面方程

? ? ?

3 3

x0 x02

? ?

?2 ?2

x0 x02

? ?

9 x0 9 x02

? 16 ? 16

? ?

0 ,
0

? ? ? ?2.

练习题

一、填空题:

1、曲线 x ? t , y ? 1 ? t , z ? t 2 再对应于t ? 1 的点

1? t

t

处切线方程为________________;

法平面方程为________________.

2、曲面e z ? z ? xy ? 3 在点(2,1,0) 处的切平面方程为 __________________; 法线方程为__________________.
二、求出曲线 x ? t, y ? t 2 , z ? t 3 上的点,使在该点的切

线平行于平面 x ? 2 y ? z ? 4.

三、求球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 6与抛物面z ? x 2 ? y 2 的交线 在(1,1,2) 处的切线方程 .

四、求椭球面 x 2 ? 2 y 2 ? z 2 ? 1上平行于平面 x ? y ? 2z ? 0的切平面方程.
五、试证曲面 x ? y ? z ? a(a ? 0)上任何点处的
切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .

练习题答案

x 一、1、

?

1 2

?

y?

2

?

z

? 1 ,2x ?

8y

? 16z

?1

?

0;

1 ?4 8

2、 x

?

2y ? 4

?

0,

?? ?

x

? 1

2

?

y?1 2.

??z ? 0

二、

P1

(

?1,1,?1)及P2

(?

1 3

,

1 9

,?

1 27

)

.

三、 x ? 1 1

?

y?1 ?1

?

z

? 0

2

或 ??? zx

? ?

y?2 2?0

?

0 .

四、 x ? y ? 2z ? ? 11 . 2


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