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2011年全国高中数学联赛试题及答案


附答案解析 全国高中数学联赛模拟题 一 试 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2 ? ?1 ,且 an?2 ? an?1 ? an , n ? 1, 2,? .则 a2011 = . 2 . 设 a , b , c 是正整数,且成等比数列, b ? a 是一个完全平方数, log6 a ? log6 b ? log6 c ? 6 ,则 a ? b ? c ? . 3.一列数 a1 , a2 , a3 ,?满足对于任意正整数 n,都有 a1 ? a2 ? ?? an ? n3 ,则 1 1 1 ? ??? ? a2 ? 1 a3 ? 1 a100 ? 1 . 1 ,则 2 4 . 设 a ? ?1 , 变 量 x 满 足 x 2 ? a x ? ? x, 且 x 2 ? a x的 最 小 值 为 ? a ? _______. 5.正整数 n ? 500 ,具有如下性质:从集合 ?1,2,?,500? 中任取一个元素 m, 则 m 整除 n 的概率是 1 ,则 n 的最大值是 100 . . 6.集合{1,2,…,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为 7.一个直径 AB ? 2 的半圆,过 A 作这个圆所在平面的垂线,在垂线上取一 S ?A B ,C 为半圆上一个动点,N , M 分别为 A 在 SC , SB 上的射影.当 点S , 使A 三棱锥 S ? AMN 的体积最大时, ?BAC ? _________. 8.直线 y ? kx ? 2 交抛物线 y 2 ? 8x 于 A, B 两点,若 AB 中点的横坐标为 2 , 则 AB ? . 第 1 页 共 1 页 附答案解析 二、解答题(第 9 题 16 分,第 10、11 题各 20 分,共 56 分) 9.(本小题满分 16 分)设 x, y, z ??1, ? ?? ,证明不等式 ( x2 ? 2x ? 2)( y 2 ? 2 y ? 2)( z 2 ? 2z ? 2) ? ( xyz)2 ? 2xyz ? 2 . 10.(本小题满分 20 分)已知双曲线 C : x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的离 a 2 b2 m) ( m ? 0 )斜率为 1 的直线 l 交双曲线 C 于 A 、 B 两点, 心率为 2,过点 P(0 , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 且 AP ? 3PB , OA ? OB ? 3 . (1)求双曲线方程; (2)设 Q 为双曲线 C 右支上动点, F 为双曲线 C 的右焦点,在 x 轴负半轴 上是否存在定点 M 使得 ?QFM ? 2?QMF ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存 在,请说明理由. 11. ( 本 小 题 满 分 20 分 ) 设 x1, x2 ,?, xn ,? 是 不 同 的 正 实 数 . 证 明 : x1, x2 ,?, xn ,? 是一个等比数列的充分必要条件是:对所有整数 n (? 2) ,都有 2 2 xn ? x12 x1 n?1 xn ? 2 2. ? x2 k ?1 xk xk ?1 x2 ? x1 第 2 页 共 2 页 附答案解析 加 试 1. (本题满分 40 分)实数 a 使得对于任意实数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,不等式 2 2 2 2 x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? a( x1x2 ? x2 x3 ? x3 x4 ? x4 x5 ) 都成立,求 a 的最大值. 2. (本题满分 40 分)在直角三角形 ABC 中, ?B ? 90? ,它的内切圆分别 与边 BC,CA,AB 相切与点 D,E,F,连接 AD,与内切圆相交于另一点 P,连 接 PC,PE,PF.已知 PC ? PF ,求证: PE ∥ BC . A P F B C E D 第 3 页 共 3 页 附答案解析 3. (本题满分 50 分)对正整数 n,记 f (n) 为数 3n2 ? n ? 1 的十进制表示的数 码和. (1) 求 f (n) 的最小值; (2) 是否存在一个正整数 n,使得 f (n) =100? 4. (本题满分 50 分)求满足如下条件的最小正整数 n,在圆 O 的圆周上任 2 取 n 个点 A1 , A2 , ?, An ,则在 Cn 个角 ? AiOAj (1 ? i ? j ? n) 中,至少有 2011 个不 超过 120? . 第 4 页 共 4 页 附答案解析 参考答案 一 试 1. 0. 因为 a1 ? 2 ,a2 ? ?1 ,a3 ? 3 ,a4 ? 4 ,a5 ? 1 ,a6 ? 3 ,a7 ? 2 ,a8 ? 1 ,a9 ? 1 , a10 ? 0 , a11 ? 1, a12 ? 1 , a13 ? 0 ,….所以,自第 8 项起,每三个相邻的项周 期地取值 1,1,0,故 a2011 =0. 2. 111. 由题意, b2 ? ac , log6 abc ? 6 ,所以, abc ? 66 ,故 b ? 62 ? 36 , ac ? 362 . 于是,36-a 是平方数,所以,a 只可能为 11,20,27,32,35,而 a 是 36 2 的约数,故 a ? 27 .进而, c ? 48 .所以, a ? b ? c ? 111. 33 . 100 当 n ? 2 时,有 3. a1 ? a2 ? ?? an ? n3 , a1 ? a2 ? ?? an?1 ? (n ?1)3 , 两式相减,得 所以 2 , an ? 3 n ? 3 n ?1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) , n ? 2 ,? 3, an ? 1 3n (n? 1 ) 3 n? 1 n 1 1 1 ? ?? ? a2 ?

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