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2011年全国高中数学联赛试题及答案


附答案解析 全国高中数学联赛模拟题 一 试 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2 ? ?1 ,且 an?2 ? an?1 ? an , n ? 1, 2,? .则 a2011 = . 2 . 设 a , b , c 是正整数,且成等比数列, b ? a 是一个完全平方数, log6 a ? log6 b ? log6 c ? 6 ,则 a ? b ? c ? . 3.一列数 a1 , a2 , a3 ,?满足对于任意正整数 n,都有 a1 ? a2 ? ?? an ? n3 ,则 1 1 1 ? ??? ? a2 ? 1 a3 ? 1 a100 ? 1 . 1 ,则 2 4 . 设 a ? ?1 , 变 量 x 满 足 x 2 ? a x ? ? x, 且 x 2 ? a x的 最 小 值 为 ? a ? _______. 5.正整数 n ? 500 ,具有如下性质:从集合 ?1,2,?,500? 中任取一个元素 m, 则 m 整除 n 的概率是 1 ,则 n 的最大值是 100 . . 6.集合{1,2,…,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为 7.一个直径 AB ? 2 的半圆,过 A 作这个圆所在平面的垂线,在垂线上取一 S ?A B ,C 为半圆上一个动点,N , M 分别为 A 在 SC , SB 上的射影.当 点S , 使A 三棱锥 S ? AMN 的体积最大时, ?BAC ? _________. 8.直线 y ? kx ? 2 交抛物线 y 2 ? 8x 于 A, B 两点,若 AB 中点的横坐标为 2 , 则 AB ? . 第 1 页 共 1 页 附答案解析 二、解答题(第 9 题 16 分,第 10、11 题各 20 分,共 56 分) 9.(本小题满分 16 分)设 x, y, z ??1, ? ?? ,证明不等式 ( x2 ? 2x ? 2)( y 2 ? 2 y ? 2)( z 2 ? 2z ? 2) ? ( xyz)2 ? 2xyz ? 2 . 10.(本小题满分 20 分)已知双曲线 C : x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的离 a 2 b2 m) ( m ? 0 )斜率为 1 的直线 l 交双曲线 C 于 A 、 B 两点, 心率为 2,过点 P(0 , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 且 AP ? 3PB , OA ? OB ? 3 . (1)求双曲线方程; (2)设 Q 为双曲线 C 右支上动点, F 为双曲线 C 的右焦点,在 x 轴负半轴 上是否存在定点 M 使得 ?QFM ? 2?QMF ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存 在,请说明理由. 11. ( 本 小 题 满 分 20 分 ) 设 x1, x2 ,?, xn ,? 是 不 同 的 正 实 数 . 证 明 : x1, x2 ,?, xn ,? 是一个等比数列的充分必要条件是:对所有整数 n (? 2) ,都有 2 2 xn ? x12 x1 n?1 xn ? 2 2. ? x2 k ?1 xk xk ?1 x2 ? x1 第 2 页 共 2 页 附答案解析 加 试 1. (本题满分 40 分)实数 a 使得对于任意实数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,不等式 2 2 2 2 x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? a( x1x2 ? x2

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