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2015-2016学年河南京翰教育高一上学期期末考试数学试卷


2015-2016 上学期期末考试高一数学模拟卷
时间 120 分钟 满分 150 分
一、选择题(每题只有一个正确答案,每题 5 分)

1、已知集合,则

,则

(A)

(B)

(C)

(D)

2、设



上的任意函数,下列叙述正确的是(



A、

是奇函数;

B、

是奇函数;

C、

是偶函数;

D、

是偶函数

3、过两点



的直线在

轴上的截距为

A.

B.

C .3

D.

4、已知直线 :2x+ay+1=0, A.2 B.0

:ax+2y-2=0,若 C.R



,则 a 的值为 D.不存在

5、函数

的图像是 ____

6、设





A.a<b<c 7、若 A. 过 C. 过 是平面

B.a<c<b 外一点,则下列命题正确的是 相交 平行 B. 过 D. 过

C.c<b<a

D.b<a<c

只能作一条直线与平面 只能作一条直线与平面

可作无数条直线与平面 可作无数条直线与平面

垂直 平行

8、方程

的根所在区间为(



A.

B.

C. (3,4) D. (4,5)

9、已知



上的减函数,那么 的取值范围是(



(A)

(B)

(C )

(D)

10、若函数

在区间

上的最大值是最小值的 3 倍,则

的值为

A.

B.

C.

D. )

11、夹在两平行直线 l1:3x-4y=0 与 l2:3x-4y-20=0 之间的圆的最大面积等于( A.2π C.8π
2 2

B.4π D.12π

12、在圆 x +y -2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( )

A.5

B.10

C.15

D.20

二、填空题(每题 5 分)

13、一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为__________.

14、 两圆相交于点 A (1, 3) 、 B (m, ﹣1) , 两圆的圆心均在直线 x﹣y+c=0 上, 则 m+c=

_________



15、若

,则实数

的取值范围为

16、 在四棱柱 ABCD﹣A′B′C′D′中, AA′⊥底面 ABCD, 四边形 ABCD 为梯形, AD∥BC 且 AD=AA′ =2BC.过 A′,C,D 三点的平面与 BB′交于点 E,F,G 分别为 CC′,A′D′的中点(如图所示) 给出以下判断: ①E 为 BB′的中点; ②直线 A′E 和直线 FG 是异面直线; ③直线 FG∥平面 A′CD; ④若 AD⊥CD,则平面 ABF⊥平面 A′CD; ⑤几何体 EBC﹣A′AD 是棱台. 其中正确的结论是 .(将正确的结论的序号全填上)

三、解答题
17、 (10 分)已知直线 及定点 ,

(1)问

为何值时,直线 过点

?(2)直线 恒过定点

,求点

的坐标

(3)问

为何值,点

到直线 的距离最大?并求最大距离.

18、 (12 分)如图所 示,△ABC 是正三角形,AE 和 CD 都垂直于平面 ABC,且 AE=AB=2a, CD=a,F 是 BE 的中点.

(1)求证:DF∥平面 ABC; (2)求证:AF⊥BD.

19、(12

分)已知圆 C 经过点 A(﹣1,1),B(0,2),且圆心在直线 x﹣y﹣1=0 上.

(1)求圆 C 的方程; (2)求过点(2,3)且被圆 C 截得的弦长为 4 的直线 l 的方程;

(3)若点 P(x,y)在圆 C 上,求 t=

的取值范围.

20、(12

分)如图所示,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=BC=BB1,D 为 AC 的中点.

(Ⅰ)求证:B1C∥平面 A1BD; (Ⅱ)若 AC1⊥平面 A1BD,求证 B1C1⊥平面 ABB1A1; (Ⅲ)在(II)的条件下,设 AB=1,求三棱 B﹣A1C1D 的体积.

21、(12

分)已知函数

.

(1)若

在区间

上不单调,求 的取值范围;

(2)若对于任意的

,存在

,使得

,求 的取值范围.

22、(12 分)已知 f ( x) 是定义在 x x ? 0 上的增函数,且 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) .

?

?

x y

(1)求 f (1) 的值; (2)若 f (6) ? 1 ,解不等式

1 f ( x ? 5) ? f ( ) ? 2 . x

参考答案
一、选择题 1.A 2、C 12、B 3、A 4、B 5、B 6、A 7、D 8、C 9、C 10、A 11、B

二填空题

1、3

2、3

3、0<a<

或 a >1

4、①③④⑤



三、解答题

17、【解析】(1)把点

的坐标代入直线 的方程,

得 .

,即

.∴当

时,直线 过点

---------3 分

(2)直线 的方程可化为





,∴故直线 过定点

---------6 分
(3)∵点 到直线 的距离中,当 时, 为最大.



,由

,得

,这时



∴当 .

时,点

到直线 的距离最大,最大值为

---------10 分

18、证明 (1)取 AB 的中点 G,连结 FG,CG,

可得 FG∥AE, FG=

AE,

又 CD⊥平面 ABC,AE⊥平面 ABC,

∴CD∥AE,CD=

AE,

∴FG∥CD,FG=CD. 又∵FG⊥平面 ABC, ∴四边形 CDFG 是矩形,DF∥CG,CG? 平面 ABC, DF?平面 ABC,∴DF∥平面 ABC.

---------6 分

(2)Rt△ABE 中,AE=2a,AB=2a,F 为 BE 的中点,∴AF⊥BE,∵△ABC 是正三角形, ∴CG⊥AB,∴DF⊥AB, 又 DF⊥FG,FG∩AB=G, ∴DF⊥平面 ABE,DF⊥AF, 又∵DF∩BE=F,∴AF⊥平面 BDF, 又 BD? 平面 BDF,∴AF⊥BD.

---------12


19、考点: 圆的标准方程;直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,利用圆 C 经过点 A(﹣1,1),B(0,2),且圆 心在直线 x﹣y﹣1=0 上,求出 D,E,F,即可求圆 C 的方程; (2)弦长为 4,圆心到直线 l 的距离为 1,分类讨论,即可求出直线 l 的方程;
2 2

(3)t=

可得 x﹣2﹣t(y﹣3)=0,则
2 2

,即可求 t=

的取值范围.

解答: 解:(1)设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,则 ∵圆 C 经过点 A(﹣1,1),B(0,2),且圆心在直线 x﹣y﹣1=0 上,





∴D=﹣2,E=0,F=﹣4,

---------3 分

∴圆的方程为 x +y ﹣2x﹣4=0;

2

2

(2)圆的方程可化为(x﹣1) +y =5,圆心为(1,0),半径为

2

2



∵弦长为 4, ∴圆心到直线 l 的距离为 1. ①直线的斜率不存在时,方程为 x=2,满足题意;

---------5 分

②直线的斜率存在时,设方程为 k(x﹣2)﹣y+3=0,则 ∴直线的方程为 4x﹣3y+1=0, 综上所述,直线的方程为 x=2 或 4x﹣3y+1=0;

=1,∴k= ,

---------8 分

(3)t=

可得 x﹣2﹣t(y﹣3)=0,则



解得﹣ ≤t≤ 2.

---------12 分

点评: 本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.

20、考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (I)连结 AB1 交 A1B 于 E,连 ED.由正方形的性质及三角形中位线定理,结合线面平行 的判定定理可得 B1C∥平面 A1BD; (Ⅱ)由 AC1⊥平面 ABD,结合正方形的性质可证得 A1B⊥平面 AB1C1,进而 A1B⊥B1C1,再由线面垂 直的判定定理可得 B1C1⊥平面 ABB1A1. (III)由等腰三角形三线合一可得 BD⊥AC.再由面面垂直的性质定理得到 BD⊥平面 DC1A1.即 BD 就是三棱锥 B﹣A1C1D 的高.代入棱锥的体积公式,可得答案. 解答: 证明:(I)连结 AB1 交 A1B 于 E,连 ED. ∵ABC﹣A1B1C1 是三棱柱中,且 AB=BB1, ∴侧面 ABB1A 是一正方形. ∴E 是 AB1 的中点,又已知 D 为 AC 的中点. ∴在△AB1C 中,ED 是中位线. ∴B1C∥ED. 又∵B1C?平面 A1BD,ED? 平面 A1BD ∴B1C∥平面 A1BD.…(4 分) (II)∵AC1⊥平面 ABD,A1B? 平面 ABD, ∴AC1⊥A1B, 又∵侧面 ABB1A 是一正方形, ∴A1B⊥AB1. 又∵AC1∩AB1=A,AC1,AB1? 平面 AB1C1. ∴A1B⊥平面 AB1C1. 又∵B1C1? 平面 AB1C1.

∴A1B⊥B1C1. 又∵ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, ∴BB1⊥B1C1. 又∵A1B∩BB1=B,A1B,BB1? 平面 ABB1A1. ∴B1C1⊥平面 ABB1A1.…(8 分) 解:(III)∵AB=BC,D 为 AC 的中点, ∴BD⊥AC. ∴BD⊥平面 DC1A1. ∴BD 就是三棱锥 B﹣A1C1D 的高. 由(II)知 B1C1⊥平面 ABB1A1,∴BC⊥平面 ABB1A1. ∴BC⊥AB.∴△ABC 是直角等腰三角形. 又∵AB=BC=1

∴BD=

∴AC=A1C1=

∴三棱锥 B﹣A1C1D 的体积

V= ?BD?

=

?A1C1?AA1=K= …(12 分)

点评: 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,棱锥的体积,熟 练掌握空间线面平行,线面垂直的判定定理是解答的关键.

21、

22、(

解: (1)令x ? y, 则f (1) ? 0

---------3 分

36 ) ? f (36 ) ? f (6) 6 ? f (36 ) ? 2 f (6) ? 2 (2) ? f (6) ? 1且f (
----------7 分

?1? ? f ( x ? 5) ? f ? ? ? 2 ? f ( x ? 5) ? ? x? ? f ?? x ? 5?x ? ? f (36 ) ?x ? 3 ? 0 ? ?1 ?? ? 0 ?x ? ?( x ? 5) x ? 36

?1? f ? ? ? f (36 ) ? x?

--------10 分

解得0 ? x ? 4

--------12 分


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