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天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学文试题_图文


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天津一中 2012—2013 学年高三数学三月考试卷(文科)

一、选择题:

1.复数 2 ? i ? 2?i
A. 3 ? 4 i 55

B. 3 ? 4 i 55

C.1 ? 4 i 5

D.1 ? 3 i 5

2 . “ m ? ?1 ” 是 “ 直 线 mx ? (2m ?1) y ?1 ? 0 和 直 线

3x ? my ? 3 ? 0 垂直”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

3.执行右图所示的程序框图,则输出的 S 的值是

A. ? 1

B. 2 3

C. 3 2

D.4

4.函数 f (x) ? 2x ?1 ? log2 x 的零点所在的一个区间是

A. ?? 1 , 1 ?? B. ?? 1 , 1 ?? C. ?? 1 ,1?? D. (1,2)

?8 4?

?4 2?

?2 ?

5.设 a ? 0.32 , b ? 20.3 , c ? log0.3 4 ,则

A. c ? a ? b

B. c ? b ? a

C. b ? a ? c

D. b ? c ? a

6.将函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像沿 x 轴向右平移 a 个单位 (a ? 0) ,所得图像关于 y 轴

对称,则 a 的最小值为 A. 7π
6

B. π 2

C. π 6

D. π 3

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7.在平面内,已知 OA ? 1, OB ? 3 ,OA ? OB ? 0 ,?AOC ? 30? ,设 OC ? mOA ? nOB ,

( m, n ? R ),则 m 等于 n

A. ? 3

B. ? 3

C. ? 1 3

D. ? 3 3

8.设函数 f (x) ? x3 ? 3x,(x ? R) ,当 0 ? ? ? π 时, f (m sin? ) ? f (1? m) ? 0 恒成立,则 2

实数 m 的取值范围是

A. (0,1)

B. (??, 0)

二、填空题:

C. (??, 1) 2

D. (??,1)

?x ? y ? 3, 9.已知 x , y 满足不等式组 ??x ? y ? ?1, 那么 z ? x ? 2 y 的最小值是___________.
??x ? 3 ? 0,

10.如图,已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , AC 是圆 O 的直径, PC 与圆 O 交于点 B ,

PA ? 4 ,圆 O 的半径是 2 3 ,那么 PB ? __________ .

11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为



12.已知抛物线 y2 ? 8x ,焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂足,

如果直线 AF 的斜率为 ? 3 ,那么 PF ?



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? ? 13.设集合 A ? x x ? a ? 1, x ? R ,B ? ?x 1 ? x ? 5, x ? R? ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 取

值范围是



14.已知函数

f

(x)

?

?2

? ?

x

,

x?2 ,若关于 x 的方程 f (x) ? k 有两个不同的实根,则实数

??(x ?1)3, x ? 2

k 的取值范围是_______

三、解答题:
15.在 ?ABC 中, 1 cos 2A ? cos2 A ? cos A . 2
(1)求角 A 的大小;_

(2)若 a ? 3 , sin B ? 2 sin C ,求 S?ABC .

16.一个盒子中有 5 只同型号的灯泡,其中有 3 只合格品,2 只不合格品。现在从中依次取 出 2 只,设每只灯泡被取到的可能性都相同,请用“列举法”解答下列问题:
(1)求第一次取到不合格品,且第二次取到的是合格品的概率;_ (2)求至少有一次取到不合格品的概率。
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17.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAD 是正三角形, 且平面 PAD ⊥底面 ABCD
(1)求证: AB ⊥平面 PAD (2)求直线 PC 与底面 ABCD 所成角的余弦值; (3)设 AB ? 1,求点 D 到平面 PBC 的距离.
18.已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,一条渐近线方程为 y ? 4 x ,右焦点 F (5,0) , 3
双曲线的实轴为 A1 A2 , P 为双曲线上一点(不同于 A1, A2 ),直线 A1P , A2 P 分别与直线 l : x ? 9 交于 M , N 两点
5
(1)求双曲线的方程;
(2) FM ? FN 是否为定值,若为定值,求出该值;若不为定值,说明理由。
19.已知 a1 ? 2 ,点 (an , an?1) 在函数 f (x) ? x2 ? 2x 的图象上,其中 n ? 1, 2, 3 (1)求 a2 , a3 ;
(2)证明数列?lg(1? an )? 是等比数列;
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(3)设Tn ? (1? a1) ? (1? a2 ) ? ? (1? an ) ,求Tn 及数列?an? 的通项
_
20.已知函数 f (x) ? x ln x, g(x) ? x3 ? ax2 ? x ? 2 (1)如果函数 g(x) 的单调减区间为 (? 1 ,1) ,求函数 g(x) 的解析式;
3 (2)在(1)的条件下,求函数 g(x) 的图像过点 P(1,1) 的切线方程; (3)证明:对任意的 x ? (0, ??) ,不等式 2 f (x) ? g?(x) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围。
参考答案 一、选择题: 1-4 AADC 5-8 ACBD 二、填空题: 9.3 10.2
11. 3?
12.8
13. a ? 0或 ? 6
14.(0,1)
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三、解答题:

15.解:(I)由已知得: 1 (2 cos2 A ? 1) ? cos2 A ? cos A ,……2 分 2

? cos A ? 1 . 2

……4 分

?0 ? A?? , ?A ? ? . 3

…………6 分

(II)由 b ? c 可得: sin B ? b ? 2 ………7 分

sin B sin C

sin C c

? b ? 2c

…………8 分

cos A ?

b2

? c2 ? a2 2bc

?

4c 2

? c2 4c 2

?9

?

1 2

………10 分

解得: c ? 3 , b ? 2 3

………11 分

S ? 1 bc sin A ? 1 ? 2 3 ? 3 ? 3 ? 3 3 .

2

2

22

……13 分

16.(1)

P1

?

3 10

(2)

P2

?

7 10

17.(1)∵底面 ABCD 是正方形,∴AB⊥AD, ∵平面 PAD⊥底面 ABCD,AB 底面 ABCD,

底面 ABCD∩平面 PAD=AD,∴AB⊥平面 PAD.

(2)取 AD 的中点 F,连结 AF,CF

∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PF⊥AD,

∴PF⊥平面 BCD

∴CF 是 PC 在平面 ABCD 上的射影,

∴∠PCF 是直线 PC 与底面 ABCD 所成的角

cos ?PCF ? 10 4
(3)设点 D 到平面 PBC 的距离为 h,
?VD?PBC ? VP?BCD' ? S?PBC ? h ? S?BCD ? PF

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在△PBC 中,易知 PB=PC= 2

7 ? S?PBC ? 4

又 S ?BCD

?

1 , PF 2

?

3 ,_ 2

1? 3 ?h ? 2 2 ?

21

7

7

4

即点 D 到平面 PBC 的距离为 21 7

18.(1) x2 ? y2 ? 1 9 16

(2)

A1

(?3,

0),

A2

(3,

0),

F

(5,

0)设P(

x,

y

),

M

(

9 5

,

y0

)

?

A1P

?

(x

?

3,

y),

A1M

(

24 5

,

y0

)

因为

A1,

P,

M

三点共线? ( x

?

3)

y0

?

24 5

y

?

0?

y0

?

24 y 5x ?15

? M (9 , 24 y ) ,同理 N (9 , ? 6 y )

5 5x ?15

5 5x ?15

? FM ? (? 16 , 24 y ), FN ? (? 16 , ? 6 y )

5 5x ?15

5 5x ?15

FM

? FN

?

256 25

? 144 25

?

y2 x2 ?9

y2 x2 ?

9

?

16 9

? FM ? FN ? 0

19.解:(1) a2 ? 8, a3 ? 80 (2)由已知 an?1 ? an2 ? 2an ,

? an?1 ?1 ? (an ?1)2

a1 ? 2 ?an ?1 ? 1,两边取对数得

lg(1 ?

an ?1 )

?

2 lg(1?

an )

,即

lg(1? an?1) lg(1? an )

?

2

?{lg(1? an )} 是公比为 2 的等比数列.
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(Ⅱ)由(Ⅰ)知 lg(1? an ) ? 2n?1 ? lg(1? a1) ? 2n?1 ? lg 3 ? lg 32n?1

?1? an ? 32n?1 (*)

?Tn

? (1? a1)(1? a2 )…(1+an ) ? 320

? 321

? 322

?…? 32n-1

? 3 3 = 1?2?22 ?…+2n-1

2n -1

由(*)式得 an ? 32n?1 ?1 20 . 解 :( 1 ) g?(x) ? 3x2 ? 2ax ?1 ? 0 的 解 集 是 (? 1 ,1) , 所 以 将 x ? 1 代 入 方 程
3 3x2 ? 2ax ?1 ? 0

?a ? ?1,? g(x) ? x3 ? x2 ? x ? 2

(2)若点 P(1,1) 是切点,,则切线方程为 y ? 1

若点 P(1,1) 不是切点,,则切线方程为 x ? y ? 2 ? 0

(3) 2x ln x ? 3x2 ? 2ax ?1? 2 在 x ? (0, ??) 上恒成立

?a ? ln x ? 3 x ? 1 2 2x

设 h(x)

?

ln

x?

3x 2

?

1 2x

,? h?( x)

?

1 x

?

3 2

?

1 2x2

?

? (x ?1)(3x ?1) 2x2

令 h?(x) ? 0,? x ? 1, x ? ? 1 (舍) 3

当 0 ? x ? 1时, h?(x) ? 0 ,当 x ? 1 时, h?(x) ? 0 _

? x ? 1时, h(x) 取得最大值, h(x)max ? ?2 ?a ? ?2
?a 的取值范围是??2, ???

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