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天津一中 2012—2013 学年高三数学三月考试卷(文科)
一、选择题：
1．复数 2 ? i ? 2?i
A． 3 ? 4 i 55
B． 3 ? 4 i 55
C．1 ? 4 i 5
D．1 ? 3 i 5
2 ． “ m ? ?1 ” 是 “ 直 线 mx ? (2m ?1) y ?1 ? 0 和 直 线
3x ? my ? 3 ? 0 垂直”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．执行右图所示的程序框图，则输出的 S 的值是
A． ? 1
B． 2 3
C． 3 2
D．4
4．函数 f (x) ? 2x ?1 ? log2 x 的零点所在的一个区间是
A． ?? 1 , 1 ?? B． ?? 1 , 1 ?? C． ?? 1 ,1?? D． (1,2)
?8 4?
?4 2?
?2 ?
5．设 a ? 0.32 , b ? 20.3 , c ? log0.3 4 ，则
A． c ? a ? b
B． c ? b ? a
C． b ? a ? c
D． b ? c ? a
6．将函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像沿 x 轴向右平移 a 个单位 (a ? 0) ，所得图像关于 y 轴
对称，则 a 的最小值为 A． 7π
6
B． π 2
C． π 6
D． π 3
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7．在平面内，已知 OA ? 1, OB ? 3 ，OA ? OB ? 0 ，?AOC ? 30? ，设 OC ? mOA ? nOB ，
（ m, n ? R ），则 m 等于 n
A． ? 3
B． ? 3
C． ? 1 3
D． ? 3 3
8．设函数 f (x) ? x3 ? 3x,(x ? R) ，当 0 ? ? ? π 时， f (m sin? ) ? f (1? m) ? 0 恒成立，则 2
实数 m 的取值范围是
A． (0,1)
B． (??, 0)
二、填空题：
C． (??, 1) 2
D． (??,1)
?x ? y ? 3, 9．已知 x ， y 满足不等式组 ??x ? y ? ?1, 那么 z ? x ? 2 y 的最小值是___________.
??x ? 3 ? 0,
10．如图，已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A ， AC 是圆 O 的直径， PC 与圆 O 交于点 B ，
PA ? 4 ，圆 O 的半径是 2 3 ，那么 PB ? __________ .
11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
。
12．已知抛物线 y2 ? 8x ，焦点为 F ，准线为 l ， P 为抛物线上一点， PA ? l ， A 为垂足，
如果直线 AF 的斜率为 ? 3 ，那么 PF ?
。
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? ? 13．设集合 A ? x x ? a ? 1, x ? R ，B ? ?x 1 ? x ? 5, x ? R? ，若 A ? B ? ? ，则实数 a 取
值范围是
。
14．已知函数
f
(x)
?
?2
? ?
x
,
x?2 ，若关于 x 的方程 f (x) ? k 有两个不同的实根，则实数
??(x ?1)3, x ? 2
k 的取值范围是_______
三、解答题：
15．在 ?ABC 中， 1 cos 2A ? cos2 A ? cos A ． 2
（1）求角 A 的大小；_
（2）若 a ? 3 ， sin B ? 2 sin C ，求 S?ABC ．
16．一个盒子中有 5 只同型号的灯泡，其中有 3 只合格品，2 只不合格品。现在从中依次取 出 2 只，设每只灯泡被取到的可能性都相同，请用“列举法”解答下列问题：
（1）求第一次取到不合格品，且第二次取到的是合格品的概率；_ （2）求至少有一次取到不合格品的概率。
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17．如图，在四棱锥 P ? ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAD 是正三角形， 且平面 PAD ⊥底面 ABCD
（1）求证： AB ⊥平面 PAD （2）求直线 PC 与底面 ABCD 所成角的余弦值； （3）设 AB ? 1，求点 D 到平面 PBC 的距离.
18．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为 y ? 4 x ，右焦点 F (5,0) ， 3
双曲线的实轴为 A1 A2 ， P 为双曲线上一点（不同于 A1, A2 ），直线 A1P ， A2 P 分别与直线 l : x ? 9 交于 M , N 两点
5
（1）求双曲线的方程；
（2） FM ? FN 是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由。
19．已知 a1 ? 2 ，点 (an , an?1) 在函数 f (x) ? x2 ? 2x 的图象上，其中 n ? 1, 2, 3 （1）求 a2 , a3 ；
（2）证明数列?lg(1? an )? 是等比数列；
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（3）设Tn ? (1? a1) ? (1? a2 ) ? ? (1? an ) ，求Tn 及数列?an? 的通项
_
20．已知函数 f (x) ? x ln x, g(x) ? x3 ? ax2 ? x ? 2 （1）如果函数 g(x) 的单调减区间为 (? 1 ,1) ，求函数 g(x) 的解析式；
3 （2）在（1）的条件下，求函数 g(x) 的图像过点 P(1,1) 的切线方程； （3）证明：对任意的 x ? (0, ??) ，不等式 2 f (x) ? g?(x) ? 2 恒成立，求实数 a 的取值范围。
参考答案 一、选择题： 1-4 AADC 5-8 ACBD 二、填空题： 9．3 10．2
11． 3?
12．8
13． a ? 0或 ? 6
14．(0,1)
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三、解答题：
15．解：（I）由已知得： 1 (2 cos2 A ? 1) ? cos2 A ? cos A ，……2 分 2
? cos A ? 1 . 2
……4 分
?0 ? A?? ， ?A ? ? . 3
…………6 分
（II）由 b ? c 可得： sin B ? b ? 2 ………7 分
sin B sin C
sin C c
? b ? 2c
…………8 分
cos A ?
b2
? c2 ? a2 2bc
?
4c 2
? c2 4c 2
?9
?
1 2
………10 分
解得： c ? 3 , b ? 2 3
………11 分
S ? 1 bc sin A ? 1 ? 2 3 ? 3 ? 3 ? 3 3 .
2
2
22
……13 分
16．(1)
P1
?
3 10
(2)
P2
?
7 10
17．（1）∵底面 ABCD 是正方形，∴AB⊥AD, ∵平面 PAD⊥底面 ABCD，AB 底面 ABCD，
底面 ABCD∩平面 PAD=AD，∴AB⊥平面 PAD.
（2）取 AD 的中点 F，连结 AF，CF
∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且 PF⊥AD，
∴PF⊥平面 BCD
∴CF 是 PC 在平面 ABCD 上的射影，
∴∠PCF 是直线 PC 与底面 ABCD 所成的角
cos ?PCF ? 10 4
（3）设点 D 到平面 PBC 的距离为 h，
?VD?PBC ? VP?BCD' ? S?PBC ? h ? S?BCD ? PF
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在△PBC 中，易知 PB=PC= 2
7 ? S?PBC ? 4
又 S ?BCD
?
1 , PF 2
?
3 ,_ 2
1? 3 ?h ? 2 2 ?
21
7
7
4
即点 D 到平面 PBC 的距离为 21 7
18．（1） x2 ? y2 ? 1 9 16
（2）
A1
(?3,
0),
A2
(3,
0),
F
(5,
0)设P(
x,
y
),
M
(
9 5
,
y0
)
?
A1P
?
(x
?
3,
y),
A1M
(
24 5
,
y0
)
因为
A1,
P,
M
三点共线? ( x
?
3)
y0
?
24 5
y
?
0?
y0
?
24 y 5x ?15
? M (9 , 24 y ) ，同理 N (9 , ? 6 y )
5 5x ?15
5 5x ?15
? FM ? (? 16 , 24 y ), FN ? (? 16 , ? 6 y )
5 5x ?15
5 5x ?15
FM
? FN
?
256 25
? 144 25
?
y2 x2 ?9
y2 x2 ?
9
?
16 9
? FM ? FN ? 0
19．解：（1） a2 ? 8, a3 ? 80 （2）由已知 an?1 ? an2 ? 2an ，
? an?1 ?1 ? (an ?1)2
a1 ? 2 ?an ?1 ? 1，两边取对数得
lg(1 ?
an ?1 )
?
2 lg(1?
an )
，即
lg(1? an?1) lg(1? an )
?
2
?{lg(1? an )} 是公比为 2 的等比数列.
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（Ⅱ）由（Ⅰ）知 lg(1? an ) ? 2n?1 ? lg(1? a1) ? 2n?1 ? lg 3 ? lg 32n?1
?1? an ? 32n?1 （*）
?Tn
? (1? a1)(1? a2 )…(1+an ) ? 320
? 321
? 322
?…? 32n-1
? 3 3 = 1?2?22 ?…+2n-1
2n -1
由（*）式得 an ? 32n?1 ?1 20 ． 解 ：（ 1 ） g?(x) ? 3x2 ? 2ax ?1 ? 0 的 解 集 是 (? 1 ,1) ， 所 以 将 x ? 1 代 入 方 程
3 3x2 ? 2ax ?1 ? 0
?a ? ?1，? g(x) ? x3 ? x2 ? x ? 2
（2）若点 P(1,1) 是切点，，则切线方程为 y ? 1
若点 P(1,1) 不是切点，，则切线方程为 x ? y ? 2 ? 0
（3） 2x ln x ? 3x2 ? 2ax ?1? 2 在 x ? (0, ??) 上恒成立
?a ? ln x ? 3 x ? 1 2 2x
设 h(x)
?
ln
x?
3x 2
?
1 2x
，? h?( x)
?
1 x
?
3 2
?
1 2x2
?
? (x ?1)(3x ?1) 2x2
令 h?(x) ? 0,? x ? 1, x ? ? 1 （舍） 3
当 0 ? x ? 1时， h?(x) ? 0 ，当 x ? 1 时， h?(x) ? 0 _
? x ? 1时， h(x) 取得最大值， h(x)max ? ?2 ?a ? ?2
?a 的取值范围是??2, ???
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