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教育最新K122018年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组十二大题冲关__立体几何的综合问题试题文


小学+初中+高中

重组十二

大题冲关——立体几何的综合问题
测试时间:120 分钟 满分:150 分

解答题(本题共 8 小题,共 150 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1.[2017·安徽皖江联考](本小题满分 15 分)如图 1,已知矩形 ABCD 中,点 E 是边 BC 上的点,DE 与 AC 相交于点 H,且 CE=1,AB= 3,BC=3,现将△ACD 沿 AC 折起,如图 2, 点 D 的位置记为 D′,此时 ED′= 10 . 2

(1)求证:D′H⊥AE; (2)求三棱锥 B-AED′的体积. 解 (1)证明:在矩形 ABCD 中,∵CE=1,AB= 3,BC=3,∴tan∠EDC= =

CE CD

3 ,tan 3

∠ACB= =

AB BC

3 , 3

∴∠EDC=∠ACB. π π ∵∠DCA+∠ACB= ,∴∠EDC+∠DCA= , 2 2 π ∴∠DHC= ,∴AC⊥DE,∴D′H⊥AC.(4 分) 2 又△CHE∽△AHD,且 CE∶AD=1∶3, 3 3 1 1 ∴D′H=DH= DE= ,HE= DE= .(7 分) 4 2 4 2 ∵ED′= 10 2 2 2 ,∴D′H +HE =D′E ,∴D′H⊥HE. 2

∵直线 AC 与 HE 是平面 ABC 内的两条相交直线, ∴D′H⊥平面 ABC,又 AE? 平面 ABC,∴D′H⊥AE.(10 分) (2)由(1)知 D′H⊥平面 ABC,又 VB-AED′=VD′-ABE, 1 3 1 1 3 2 3 2 3 , 2

VD′-ABE= S△ABE×D′H= × ×2× 3× =
∴VB-AED′= 3 .(15 分) 2

小学+初中+高中

小学+初中+高中 2.[2017·南昌检测](本小题满分 15 分)已知四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面

ABCD 是边长为 a 的菱形,∠BAD=120°,PA=b.

(1)求证:平面 PBD⊥平面 PAC; 1 (2)设 AC 与 BD 交于点 O,M 为 OC 的中点,若点 M 到平面 POD 的距离为 b,求 a∶b 的值. 4 解 (1)证明:

(2)因为 VM-POD=VP-OMD, 1 1 3 3 2 在 Rt△OMD 中,有 S△OMD= × a× a= a .(8 分) 2 4 2 16 在 Rt△POD 中,有 OD= 3 a,PO= 2

b2+ a2? S△POD= ×

1 4

1 2

3 a× 2

b2+ a2.(11 分)

1 4

1 所以 × 3

2? ? 2 a2?3b + a ?

?

3 4 ?

4

1 1 3 2 2 2 × b= × a ×b? 3a =4b ,(13 分) 4 3 16

即 a∶b=2∶ 3.(15 分) 3.[2017·沈阳质检](本小题满分 20 分)如图,在边长为 3 的菱形 ABCD 中,∠ABC= 60°.PA⊥平面 ABCD,且 PA=3.E 为 PD 的中点,F 在棱 PA 上,且 AF=1.

小学+初中+高中

小学+初中+高中

(1)求证:CE∥平面 BDF; (2)求点 P 到平面 BDF 的距离.



(1)证明:如图所示,取 PF 的中点 G,连接 EG,CG.连接 AC 交 BD 于 O,连接 FO.

由题可得 F 为 AG 的中点,O 为 AC 的中点,∴FO∥GC, ∵FO?平面 GEC,GC? 平面 GEC, ∴FO∥平面 GEC. 又 G 为 PF 的中点,E 为 PD 的中点,∴GE∥FD. ∵FD?平面 GEC,GE? 平面 GEC, ∴FD∥平面 GEC,又∵FO∩FD=F, ∴平面 GEC∥平面 BDF. ∵CE? 平面 GEC,∴CE∥平面 BDF.(9 分) (2)∵PA⊥平面 ABCD, 1 3 9 3 ∴PA 是三棱锥 P-ABD 的高,又 S△ABD= ×3×3× = , 2 2 4 1 9 3 ∴VP-ABD= ×S△ABD×PA= , 3 4 1 3 3 同理 VF-ABD= ×S△ABD×FA= , 3 4 3 3 ∴VP-BDF=VP-ABD-VF-ABD= . 2 1 ∵S△BDF= ×BD× 2

?BD? 1 DF2-? ?2= ×3 3× 2 ? ?
2

3 +1

2

2

2

?3 3?2 3 39 -? ? = 4 ,(16 分) ? 2 ?

小学+初中+高中

小学+初中+高中 1 3 3 设点 P 到平面 BDF 的距离为 h,则 VP-BDF= S△BDFh= , 3 2 1 3 39 3 3 ∴ × h= , 3 4 2 6 13 6 13 解得 h= ,即点 P 到平面 BDF 的距离为 .(20 分) 13 13 4.[2017·石家庄二中调研](本小题满分 20 分)如图所示,四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠ABC=60°,O 为 AC,BD 的交点,且 PO⊥平面 ABCD,PO= 6,点 M 为侧棱 PD 上一点,且满足 PD⊥平面 ACM.

(1)若在棱 PD 上存在一点 N,且 BN∥平面 AMC,确定点 N 的位置,并说明理由; (2)求点 B 到平面 MCD 的距离. 解 (1)当点 N 为 PM 的中点时,BN∥平面 AMC.理由如下: △ACD 中可得 OD= 3,OC=1, ∵PO⊥面 ABCD,∴PO⊥OC,PO⊥OD. Rt△POC 中,PO= 6,OC=1,∴PC= 7, 同理可得,PD=3. 1 △PCD 中,由余弦定理可得 cos∠CDP= , 2 π ∴∠CDP= , 3 Rt△CDM 中,DM=1, ∴M 为边 PD 的三等分点.(6 分) ∵N 为 PM 的中点, 且 M 为边 PD 的三等分点,∴MO 为△BND 的中位线, ∴MO∥BN,MO? 面 AMC,BN?面 AMC, ∴BN∥面 AMC.(10 分) (2)∵PO⊥面 ABCD,M 为边 PD 的三等分点,

PO 6 ∴M 到平面 ABCD 的距离= = ,(14 分) 3 3

小学+初中+高中

小学+初中+高中 1 3 6 2 = =VB-MCD.(18 分) 3 3

S△BCD= 3,VM-BCD= × 3×
1 3 又∵S△MCD= CM×DM= , 2 2

2 6 ∴B 到面 MCD 的距离为 .(20 分) 3 5.[2017·河北百校联盟联考](本小题满分 20 分)在如图所示的三棱锥 ABC-A1B1C1 中,

D,E 分别是 BC,A1B1 的中点.

(1)求证:DE∥平面 ACC1A1; 1 (2)若△ABC 为正三角形,且 AB=AA1,M 为 AB 上的一点,AM= AB,求直线 DE 与直线 A1M 4 所成角的正切值. 解 (1)证明:取 AB 的中点 F,连接 DF,EF,(2 分) 在△ABC 中,因为 D,F 分别为 BC,AB 的中点, 所以 DF∥AC,DF?平面 ACC1A1,AC? 平面 ACC1A1, 所以 DF∥平面 ACC1A1.(4 分) 在矩形 ABB1A1 中,因为 E,F 分别为 A1B1,AB 的中点, 所以 EF∥AA1,EF?平面 ACC1A1,AA1? 平面 ACC1A1,所以 EF∥平面 ACC1A1.(6 分) 因为 DF∩EF=F,所以平面 DEF∥平面 ACC1A1.(8 分) 因为 DE? 平面 DEF,所以 DE∥平面 ACC1A1.(10 分)

(2)因为三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱,所以平面 ABC⊥平面 ABB1A1, 连接 CF,因为△ABC 为正三角形,F 为 AB 中点,所以 CF⊥AB,所以 CF⊥平面 ABB1A1. 取 BF 的中点 G,连接 DG,EG,可得 DG∥CF,故 DG⊥平面 ABB1A1. 1 又因为 AM= AB,所以 EG∥A1M, 4 所以∠DEG 即为直线 DE 与直线 A1M 所成角.(16 分) 小学+初中+高中

小学+初中+高中 1 3 设 AB=4,在 Rt△DEG 中,DG= CF= 3,EG= 16+1= 17,所以 tan∠DEG= = 2 17 51 .(20 分) 17 6.[2017·湖北武汉质检](本小题满分 20 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠DAB= 60°,AB=AD=2CD,平面 PAD⊥平面 ABCD,且△PAD 为等腰 直角三角形,∠APD=90°,M 为 AP 的中点.

(1)试问:直线 DM 与平面 PCB 是否有公共点?并说明理由; (2)若 CD=1,求三棱锥 B-CDM 的体积. 解 (1)直线 DM 与平面 PCB 没有公共点. 证明如下:

取 PB 的中点 F,连接 MF,CF,如图.∵M,F 分别为 PA,PB 的中点, 1 ∴MF∥AB,且 MF= AB.(3 分) 2 ∵四边形 ABCD 是直角梯形,AB∥CD 且 AB =2CD, ∴MF∥CD 且 MF=CD, ∴四边形 CDMF 是平行四边形, ∴DM∥CF. ∵CF? 平面 PCB,DM?平面 PCB,∴DM∥平面 PCB,即直线 DM 与平面 PCB 没有公共点. (10 分) (2)由 AB=AD=2CD,CD=1,得 AB=AD=2. 又底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠DAB= 60°, 可知 BC⊥CD 且 BD=2,得 BC=BDcos30°= 3, 小学+初中+高中

小学+初中+高中 1 1 3 从而 S△BCD= ·CD·BC= ×1× 3= . (14 分) 2 2 2 又△PAD 为等腰直角三角形,∠APD= 90°且 AD=2,作 PG⊥AD,垂足为 G,则 PG=1. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,∴PG⊥平面 ABCD. (16 分) 又 M 为 PA 的中点, 1 3 1 3 ?1 ? 1 故 VB-CDM=VM-BCD= ·S△BCD·? PG?= × × = . (20 分) 3 ?2 ? 3 2 2 12 7.[2017·吉林质检](本小题满分 20 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB、AC、AA1 三条棱两两互相垂直,且 AB=AC=AA1=2,E、F 分别是 BC、BB1 的中点.

(1)求证:C1E⊥平面 AEF; (2)求 F 到平面 AEC1 的距离. 解 (1)证明:连接 FC1、AC1,由已知可得 BC=2 2,CC1=2,C1E= 6,AE= 2,AC1
2 2 2 2 2 2

=2 2,EF= 3,FC1=3,(2 分) ∴FC1=EF +EC1,AC1=AE +EC1,(5 分) ∴EF⊥EC1,AE⊥EC1,(6 分) 又∵EF、AE? 面 AEF,EF∩AE=E,(8 分) 故 C1E⊥平面 AEF.(10 分) (2)解法一:由已知得 AF= 5,∴AF =EF +AE , ∴EF⊥AE.(12 分) 由(1)知 C1E⊥平面 AEF,则 C1E 为三棱锥 C1-AEF 的高,设点 F 到平面 AEC1 的距离为 d, 由等体积法 VF-AEC1=VC1-FAE,(14 分) 1 ?1 1 ?1 ? ? ∴ ×? ×AE×C1E?×d= ×? ×AE×EF?×C1E,(16 分) 3 ?2 3 ?2 ? ? 1 ?1 1 ?1 ? ? ∴ ×? × 2× 6?×d= ×? × 2× 3?× 6,(18 分) 2 3 ?2 3 ? ? ? ∴d= 3,即 F 到平面 AEC1 的距离为 3.(20 分) 解法二:C1E= 6,AE= 2,AF= 5,EF= 3,FC1=3,(12 分) ∴EF +AE =( 3) +( 2) =( 5) =AF ,∴EF⊥AE,(14 分) ∴EF +C1E =( 3) +( 6) =3 =C1F ,∴EF⊥C1E.(16 分) 小学+初中+高中
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

小学+初中+高中 又∵C1E、AE? 面 AEC1,C1E∩AE=E,∴EF⊥面 AEC1, ∴EF 即为点 F 到面 AEC1 的距离,(18 分)

EF= 3,即 F 到平面 AEC1 的距离为 3.(20 分)
8.[2017·江西师大模拟](本小题满分 20 分)如图 1 所示,在矩形 ABCD 中,AB=4 5,

AD=2 5,BD 是对角线,过 A 点作 AE⊥BD,垂足为 O,交 CD 于 E,以 AE 为折痕将△ADE 向
上折起,使点 D 到达点 P 的位置(图 2),且 PB=2 17. (1)求证:PO⊥平面 ABCE; (2)过点 C 作一平面与平面 PAE 平行,作出这个平面,写出作图过程; (3)在(2)的结论下,求出四棱锥 P-ABCE 介于这两平行平面间部分的体积.



(1)证明:在图 1 中,AB=4 5,AD=2 5,则 BD=10,
2 2 2 2 2 2

又 AD =DO·BD? DO=2,OB=8. 在图 2 中,PO=DO=2,PO +OB =2 +8 =68=PB , 则 PO⊥OB,又因为 PO⊥AE,AE∩OB=O, 所以 PO⊥平面 ABCE.(7 分)

(2)过点 C 作 AE 的平行线交 AB 于点 F,过点 F 作 PA 的平行线交 PB 于点 G,连接 CG,则 平面 CFG 为所求的平面.(11 分) (3)在图 1 中,△DOE∽△DCB? DE= 5, 则 S△ADE=5,S 梯形 ABCE=SABCD-S△ADE=35,S△BCF=S△ADE=5,设 CF 交 OB 于 H,连接 GH,则

GH PO

BH 1 = ? GH= ,(15 分) OB 2
所求的几何体的体积 1 3 1 3

V=VP-ABCE-VG-BCF= S 梯形 ABCE·PO- S△BCF·GH

小学+初中+高中

小学+初中+高中 1 1 1 135 45 = ×35×2- ×5× = = .(20 分) 3 3 2 6 2

小学+初中+高中


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