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【热点重点难点专题透析】2015届高考数学(理科·湖北)二轮专题复习课件:第6专题 计数原理、概率与统计


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【考情报告】 年份 题型 考点 2012 年 2013 年 2014 年

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第 2 题: 已知二项 第 9 题: 古典概型, 展开式指定项的 第 5 题: 整除与二 小 数学期望 系数求参数 项式定理 题 第 11 题 : 频率分布第 4 题: 线性回归 第 8 题: 几何概型 直方图 直线方程 第 7 题: 几何概型

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第 20 题: 离散型 大 随机变量的分布 第 20 题: 正态分 题 列、期望及方差,布, 线性规划综合 概率加法公式 第 20 题: 随机事件 的概率、 二项分布 的概率、均值

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【考向预测】

计数原理、概率与统计是高中数学的一个重要学习内 容, 也是高考考查的必考重点内容之一 . 本部分考查的内容 主要有: 抽样方法, 统计图表 ( 样本频率分布表与直方图、 茎叶 图) , 统计特征数字( 平均数、方差、中位数、众数) , 变量间的 关系、回归分析; 两个计数原理、排列组合的应用; 二项展开 式通项及二项式系数的性质与计算; 随机事件的概率、古典 概型、几何概型; 离散型随机变量的分布列、二项分布、正 态分布, 离散型随机变量的数学期望与方差. 由于新课标

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的影响及计数原理、概率与统计自身的特征, 此类试题 的背景与日常生活最贴近, 联系也最为紧密, 不管是从内容 上, 还是从思想方法上, 都体现着应用的观念与意识, 考查学 生处理数据的能力、处理或然问题的方法, 考查学生对概率 事件的识别及概率计算, 以及分类与整合、化归与转化、或 然与必然思想的运用, 考查学生的阅读与理解能力、分析问 题解决问题的能力 .

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从近三年高考来看, 该部分在高考试卷中一般是两个或 三个小题和一个大题, 对这一部分内容的考查注重考查基础 知识和基本方法. 预测 2015 年高考对计数原理、 概率与统计 部分的命题题型仍将保持平稳, 难度不大 . 在高考小题的考 查中, 抽样方法、几何概型、二项式、排列组合仍将出现, 可能会有频率分布直方图、正态分布、回归分析的小题; 在 高考大题的考查中, 依然会是多个概率与统计知识点的综合 考查, 可能会与分层抽样、样本频率分布表和直方图、回归

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分析等知识综合在一起, 或与函数、不等式、线性规划 等知识综合考查. 【问题引领】 1. 设随机变量 ξ 服从正态分布 N ( 2, σ2) , 若 P( ξ >c) =a, 则

P (ξ >4-c) =(

) .

A. aB . 2a C . 1-a D . 1-2a

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【解析】因为正态分布 N ( 2, σ2) 的曲线关于直线 x=2 对 称, 所以 P ( ξ >c)=P (ξ <4-c) , 所以 P ( ξ > 4-c)=1-P (ξ <4-c) = 1-a. 【答案】 C

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2. ( 2014 山东卷 ) 为了研究某药品的疗效, 选取若干名志 愿者进行临床试验, 所有志愿者的舒张压数据( 单位 : kP a) 的 分组区间为 [ 12, 13) , [ 13, 14) , [ 14, 15) , [ 15, 16) , [ 16, 17] , 将其按从左 到右的顺序分别编号为第一组, 第二组, ?, 第五组, 如图是根 据试验数据制成的频率分布直方图, 已知第一组与第二组共 有 20 人, 第三组中没有疗效的有 6 人 , 则第三组中有疗效的 人数为 ( ) .

A. 6B . 8 C. 12 D . 18

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【解析】由图知, 样本总数为 N = 中有疗效的人数为 x, 则 【答案】 C
+



.+.

= 50, 设第三组

= 0. 36, 解得 x=12, 故选 C .

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3. ( 2014 陕西卷 ) 设样本数据 x1, x 2, ?, x 10 的均值和方差分 别为 1 和 4, 若 yi=x i+a( a 为非零常数, i =1, 2, ?, 10) , 则 y1, y2, ?, y10 的均值和方差分别为( A. 1+a, 4B. 1+a, 4+a C. 1, 4D. 1, 4+a ) .

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【解析】由题意得: x1+x 2+?+x10=10×1=10,
2 (x 1-1) + (x2- 1)2+?+ (x10-1)2= 10×4=40,

所以 y1, y2, ?, y10 的均值和方差分别为:
? + +? + ( +)+( +)+?+(+) = = ( + +?+)+ +

=

S 2= = =

? ? ? ( + ) +( - ) +?+( - )

=

= 1+a,

[(+)-(+)] +[( +)-(+)] +?+[(+)-(+)] ( -) +( -) +?+(-)

= = 4.

【答案】A

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4. 点 P 为圆 C 1: x 2+y2= 9 上任意一点, Q 为圆 C 2: x 2+y2=25 上任意一点, P Q 的中点 N 组成的区域为 M , 在 C 2 内部任取 一点, 则该点落在区域 M 上的概率为( A.


) .

B. C.








D.





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【解析 1】设 Q (x 0, y0), 中点 N (x, y), 则 P( 2x-x 0, 2y-y0) 代
2 入 x2+y2= 9, 得( 2x-x 0) +(2y-y0)2= 9,

化简得 ( x- )2+(y- )2= , 又 + = 25 表示以原点为圆







心, 5 为半径的圆, 故易知动点 N 的轨迹是在以( , ) 为圆心 ,






为半径的圆绕原点一周所形成的图形, 即在以原点为圆心, 宽度为 3 的圆环带上 , 即有 x2+y2=r2(1≤r≤4) , 那么在 C 2 内部 任取一点落在 M 内的概率为
-

= , 故选 B .

【答案】 B

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5. ( 2014 浙江卷 ) 在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张, 其余 5 张无奖 . 将这 8 张奖券分配给 4 个人, 每人 2 张, 不同的 获奖情况有 种( 用数字作答) .

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【解析】不同获奖的情况分两种: 一种情况是有一人获
两张奖券, 一人获一张奖券, 共有 种 ; 另一种情况是有三

人各获得一张奖券, 共有 故不同的获奖情况共有 种 .
+ 种) . = 36+ 24=60(

【答案】 60

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8 6. ( 2014 新课标全国Ⅰ卷) ( x-y) ( x+y) 的展开式中 x2y7 的

系数为

. ( 用数字填写答案)

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8 【解析】( x+y) 的展开式中 xy7 的系数为 = 8, x2y6 的系 8 数为 = 28, 故(x-y)(x+y) 的展开式中 x2y8 的系数为

8- 28=-20. 【答案】-20

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7. 某高中共有 2000 名学生, 采用分层抽样的分法分别在 三个年级的学生中抽取容量为 100 的一个样本, 其中在高一、 高二年级中分别抽取 30、 30 名学生, 则该校高三共有 名学生.

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【解析】由题意可知此样本中含高三年级学生 100-(30+ 30)= 40. 设该校高三共有 x 人 , 则 =


, 解得 x= 800.

【答案】 800

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8. (2014 新课标全国Ⅱ卷) 某地区 2007 年至 2013 年农村 居民家庭纯收入 y( 单位: 千元) 的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 1 2. 9 2 3. 3 3 3. 6 4 4. 4 5 4. 8 6 5. 2 7 5. 9

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( 1) 求 y 关于 t的线性回归方程; ( 2) 利用 ( 1) 中的回归方程, 分析 2007 年至 2013 年该地区 农村居民家庭人均纯收入的变化情况, 并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附: 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别 为:
^ ∑ ( - )( -? ^ ) ^ ? ? =
?

=

=

∑ ( - )



?

, =- .

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【解析】 ( 1) 由所给数据计算得 = ( 1+2+ 3+ 4+ 5+6+7)=4,
?

?

= (2. 9+ 3. 3+ 3. 6+ 4. 4+4. 8+ 5. 2+5. 9)=4. 3, ∑ (t - )2= 9+4+ 1+ 0+1+4+ 9= 28, i
= =

∑ (t - )(yi-)= (- 3)×(-1. 4)+(- 2) ×(-1)+(-1)×(-0. 7)+0 i

?

×0. 1+1× 0. 5+ 2×0. 9+ 3×1. 6=14,

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^ ∑ ( -)( -? )



=

=

=

∑ ( -)



= = 0. 5,



^ ? ^?

= - = 4. 3- 0. 5×4= 2. 3,


所求回归方程为 = 0. 5t +2. 3.

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(2) 由( 1) 知, b=0. 5>0, 故 2007 年至 2013 年该地区农村居 民家庭人均纯收入逐年增加, 平均每年增加 0. 5 千元. 将 2015 年的年份代号 t = 9 代入 (1)中的回归方程, 得


= 0. 5× 9+ 2. 3= 6. 8, 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6. 8 千元 .

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9. 一批产品需要进行质量检验, 检验方案是: 先从这批产 品中任取 4 件作检验, 这 4 件产品中优质品的件数记为 n. 如 果 n= 3, 再从这批产品中任取 4 件作检验, 若都为优质品, 则这 批产品通过检验; 如果 n= 4, 再从这批产品中任取 1 件作检验, 若为优质品, 则这批产品通过检验; 其他情况下, 这批产品都 不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为 50% , 即取出的 每件产品是优质品的概率都为 , 且各件产品是否为优质品


相互独立 .

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( 1) 求这批产品通过检验的概率; ( 2) 已知每件产品的检验费用为 100 元, 且抽取的每件产 品都需要检验, 对这批产品作质量检验所需的费用记为 X ( 单 位: 元) , 求 X 的分布列及数学期望.

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【解析】 ( 1) 记 “第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优 质品”为事件 A 1, “第一次取出的 4 件产品全是优质品”为 事件 A 2, “第二次取出的 4 件产品都是优质品”为事件 B 1, “第二次取出的 1 件产品是优质品”为事件 B 2, “这批产品 通过检验”为事件 A , 依题意有 A =(A 1B 1) ∪(A 2B 2) , 且 A 1B 1 与

A 2B 2 互斥 ,
所以 P ( A )=P (A 1B 1)+P (A 2B 2)

=P (A 1)P (B 1| A 1)+P (A 2)P (B 2| A 2)

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= ×+ ×= .
(2)X 可能的取值为 400, 500, 800, 并且











P (X =400)=1-- = , P (X =500)=, P (X =800)=.
所以 X 的分布列为








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X P

400


500


800

E (X )=400×+ 500×+ 800×= 506. 25.

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【诊断参考】 通过学生完成上述题目, 教师从知识和能力两方面对学 生出现的问题给出诊断建议: 1. 抽样方法是统计中最基础的内容, 也是高考中常会涉 及的考点之一. 高考题型既有选择题也有填空题, 主要考查 随机抽样方法的判断、分层抽样的计算、样本的抽取 . 解答 此类问题要熟悉简单随机抽样中随机数表法、分层抽样法

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与系统抽样法抽取样本的规则, 注意三种基本抽样方法 的区别与联系. 2. 用样本估计总体一般是应用样本频率分布直方图、 茎 叶图, 求解平均数、方差、中位数、众数等问题. 解决该类问 题的关键是正确理解已知数据的含义, 掌握图表中各个量的 意义, 通过图表对已知数据进行分析.

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3. 几何概型是新课标教材中新增的内容, 纵观近三年全 国新课标卷来看, 虽然没有涉及, 但是从其他省市的高考试 题来看该知识点是一个热点, 多与线性规划、平面几何、立 体几何等知识综合考查 . 解决此类问题, 要注意选择适当的 观察角度, 先将基本事件转化为与之对应区域的长度 ( 或角 度、面积、 体积) , 然后再把随机事件 A 转化为与之对应的长 度( 或角度、 面积、 体积) , 最后利用几何概型的概率公式计算.

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4. 计数问题是高考重点考查的内容之一, 在选择题、填 空题、解答题中均有体现. 解决实际计数问题时, 要能根据具 体问题的特征, 正确选择分类加法计数原理或分步乘法计数 原理, 对实际问题进行合理转化, 做到不重不漏.

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5. 二项式定理是每年高考命题的热点, 常涉及展开式中 项的系数的求法, 也可与其他知识交汇命题, 如数列知识、方 程根的个数等. 其中运用二项展开式的通项公式是关键, 不 仅要注重它的“正用”, 而且重视它的“逆用 ”, 有时还要注 意赋值法的使用.

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6. 回归分析的基本思想方法是统计中的重要思想方法 之一, 重在考查同学们的数据处理能力和计算能力. 对于变 量间的关系, 要注意正相关与负相关的概念, 求线性回归直 线方程要抓住线性回归直线必过样本中心点, 会根据最小二 乘法求其方程.

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7. 从近几年高考卷来看, 随机事件及其概率一般不单独考查, 但计数原理、概率与统计交汇、互斥事件、对立事件、古 典概型、几何概型以及两个计数原理与排列组合的渗透是 命题的热点, 重点考查学生分析问题的能力与数学计算能力, 解题的关键是准确理解事件间的关系.

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8. 离散型随机变量的分布列、 均值与方差是高考经常考 查的内容之一, 是近几年高考的热点, 命题都是以应用题为 背景, 常与排列、组合、概率相结合考查, 难度适中, 出现的题 目大都是解答题, 有时也会是选择题、填空题 . 解答的关键是 明确随机变量的取值及概率的计算, 列出分布列. 求出分布 列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列

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是否正确, 要注意利用定义和一些现成的公式计算离散 型随机变量的均值与方差, 譬如利用二项分布、超几何分布 等均值与方差公式, 能起到简化运算的作用.

【知识整合】 一、统计与统计案例 1. 抽样方法

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抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样 三种, 这三种抽样方法各自适用不同特点的总体, 但无论哪 种抽样方法, 每一个个体被抽到的概率都是相等的, 都等于 样本容量和总体容量的比值. 解决此类问题的关键是深刻理 解各种抽样方法的特点和适用范围. 如分层抽样适用于各部 分之间具有明显差异的总体. 2. 用样本估计总体

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用样本估计总体是研究统计问题的一个基本思想方法, 用样本的频率分布对总体进行估计. ( 1) 频率分布直方图 利用直方图反映样本的频率分布规律, 这样的直方图称 为频率分布直方图 . 画频率分布直方图的一般步骤:

①计算一组数据中最大值与最小值的差, 即求极差; ②
确定组距和组数; ③将数据分组; ④绘制频率分布表; ⑤画频 率分布直方图.

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( 2) 茎叶图 当数据只有个位和十位时, 用中间的数字表示十位数, 两边的数字表示个位数, 它的中间部分像植物的茎, 两边部 分像植物茎上长出来的叶子, 因此通常把这样的图叫作茎叶 图. 用茎叶图表示数据有两个优点: 一是统计图上没有原始 数据信息的损失, 所有数据信息都可以从茎叶图中得到; 二 是茎叶图中的数据可以随时记录, 随时添加, 方便记录与表 示.

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( 3) 样本的数字特征

①众数: 在样本数据中, 频率分布最大值所对应的样本
数据 ( 或出现次数最多的那个数据) .

②中位数: 样本数据中, 将数据按大小排列, 位于最中间
的数据 . 如果数据的个数为偶数, 就取正中间两个数据的平 均数作为中位数.
?

③平均数: 样本数据的算术平均数, 即= ( x 1+x 2+?+x n). ④方差与标准差

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方差: s = [( x 1-) +(x 2-) +?+(x n- )2] .
2 2 2



?

?

?



标准差:

s=



[(

-)

?

+ (

-)

?

+ ? + ( -)].

?

需要注意的是 : ①现实中总体所包含的个体数往往较多 , 总体的平均数与标准差、 方差是不知道( 或不可求 ) 的, 所以我 们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均 数与标准差、方差 .

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②平均数反映了数据取值的平均水平, 标准差、方差描
述了一组数据围绕平均数波动的大小. 标准差、方差越大, 数据的离散程度越大, 越不稳定; 标准差、 方差越小, 数据的离 散程度越小, 越稳定 . 3. 变量间的关系与回归分析 ( 1) 两个变量的相关性

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散点图直观反映了两变量的成对观察值之间存在的某 种关系, 利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相 关. 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线的附 近, 我们说变量 x 和 y 具有线性相关关系. 在散点图中, 点散布 在从左下角到右上角的区域 . 对于两个变量的这种相关关系, 我们将它称为正相关. 在散点图中, 点散布在从左上角到右 下角的区域, 两个变量的这种相关关系称为负相关.

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( 2) 两变量相关关系的分析方法与步骤 利用散点图与相关系数是分析两个变量相关关系的常 用方法 . 对具有相关关系的两个变量进行统计分析时, 首先 进行相关性检验, 在确认具有线性相关关系后, 再求回归直 线方程 .

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( 3) 最小二乘法求回归直线的方程
^ ^ ^ ^

设线性回归方程为 = x+ . 其中 是回归直线的斜


率, 是截距 , 则有:
^ ∑ -
??

= =

=

∑ -

?

=

? ? ∑ ( - )( - ) ^ ? ^ ? = =



∑ (

? - )

, = - .

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注意: 回归直线一定经过样本的中心点 ( , ) , 即, 据此性 质可以解决有关的计算问题. ( 4) 回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用 方法 .

??

①相关系数

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r=

=

∑ ( - )(- )
? ?

?

?

叫作相关系数, 当 r> 0 时 , 表明两个变

=

∑ ( - ) ∑ ( - )
=

量正相关; 当 r<0 时 , 表明两个变量负相关.

②样本相关系数 r 的性质
相关系数用来衡量变量 x 与 y 之间的线性相关程度;

| r| ≤ 1, 且| r| 越接近于 1, 相关程度越高, | r| 越接近于 0, 相关
程度越低 .

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二、随机事件的概率 1. 随机事件的概率与性质 ( 1) 两个随机事件之间的关系: ①包含关系; ②相等关系;

③和事件; ④积事件; ⑤互斥事件: 事件 A 和事件 B 在任何一
次试验中不会同时发生; ⑥对立事件: 事件 A 和事件 B 在任 何一次试验中有且只有一个发生 .

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( 2) 概率的基本性质: ①任何事件 A 的概率都在[ 0, 1] 内, 即 0≤P ( A) ≤1, 不可能事件的概率为 0, 必然事件的概率为 1;

②如果事件 A , B 互斥, 则 P( A +B ) =P (A ) +P ( B) ; ③事件 A 与它
的对立事件的概率满足 P ( A) +P ( ) = 1.

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2. 古典概型 ( 1) 古典概型的特征: 基本事件发生等可能性和基本事件 的个数有限性. ( 2) 古典概型下的概率公式: P (A ) = =
中所含的基本事件数 基本事件数

.

3. 几何概型

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( 1) 几何概型的特征: 基本事件个数的无限性、每个基本 事件出现的等可能性. ( 2) 几何概型下的概率公式:

P (A ) =

构成事件的区域长度(面积或体积) 事件的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

4. 条件概率 在 A 发生的条件下 B 发生的概率: P (B | A) = 5. 相互独立事件
( ) ( )

.

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( 1) 设 A, B 为两个事件, 如果事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响, 则称事件 A , B 相互独立, 并把这两个 事件叫作相互独立事件 . ( 2) 相互独立事件同时发生的概率的计算公 式: P (A B )=P (A ) P (B ). ( 3) 推广 : 如果事件 A 1, A 2, ?, A n 相互独立, 那么这 n 个事件 同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积, 即 P( A 1A 2?

A n)=P (A 1)P (A 2) ?P ( A n).

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6. 独立重复试验 一般地, 在相同条件下, 重复地做 n 次试验, 各项试验的 结果相互独立, 那么一般称它为 n 次独立重复试验. 如果在一 次试验中某事件发生的概率是 p, 那么在 n 次独立重复试验 中, 这个事件恰好发生 k 次的概率为
n-k pk( P n(k)= 1-p) ( k=0, 1, 2, ?, n ).

三、两个计数原理、排列组合与二项式定理 1. 两个基本原理

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分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别: 分类加 法计数原理针对的是“分类”问题, 其中各种方法相互独立, 用其中任何一种方法都可以做完这件事; 分步乘法计数原理 针对的是“分步”问题, 各个步骤中的方法互相依存, 只有各 个步骤都完成才算做完这件事 . 2. 排列与组合 ( 1) 排列数公式

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n- 1)(n-2) ?( n-m =n ( N *, m ∈N *,m ≤n ) . ( 2) 组合数公式及性质

! + 1) , = , =n ! , 0! = 1(n∈ ( -)!

! ( - )(-)?(- +) = 1, = - ; = = , = , ! !(- )!

* = + ( m , n ∈ N , 且 m ≤n ) . +

-

( 3) 处理排列、组合的综合性问题, 一般思想方法是先选 元素 ( 组合 ) , 后排列 . 按元素的性质“分类”和按事件发生的 连续过程“分步”是处理排列组合问题的基本方法和原理 .

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( 4) 排列组合综合应用问题的常见解法: ①特殊元素 ( 特 殊位置 ) 优先安排法; ②合理分类与准确分类; ③排列组合混 合问题先选后排法; ④相邻问题捆绑法; ⑤不相邻问题插空 法; ⑥定序问题缩倍法; ⑦多排问题一排法; ⑧“小集团”问 题先整体后局部法 . 3. 二项式定理
an+ an-1b+ an-2b2+? + an( 1) 二项展开式定理: ( a+b)n=
r r

bn( b + ?+ r= 0, 1, 2, ?, n) .

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( 2) 二项展开式的通项 ( a+b)n 展开式共有 n+1 项 , 其通项公式是
an-r· br( T r+1= r=0, 1, 2, ?, n ).

( 3) 二项式系数的性质
, , 这 n+1 个组合数, 二项式系数是指 ?, 具有如下

几个性质:

①对称性: 与首末两端“等距离”两项的二项式系数相
- - 等, 即 = , = , ?, = , ?.

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②最大值: 当 n 为偶数时, 中间的一项的二项式系数
取得最大值; 当 n 为奇数时, 中间的两项的二项式系数 , 相等, 且同时取得最大值 .
- +



③各二项式系数的和:
+ + +? + + ? + = 2n; + + ?+ + ? = + +? + + + ? =2n-1.

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( 4) 确定 ( a+b)n 的展开式中项的系数的最大值的常用方 法: 设第 k+1 项系数最大, 由 解. 四、离散型随机变量分布列、期望 ( 均值 ) 与方差 1. 离散型随机变量及分布列 ( 1) 随机变量 +的系数 ≥ 的系数 来求 +的系数 ≥ + 的系数

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如果随机变量 X 的所有可能的取值都能一一列举出来, 则这样的随机变量 X 叫作离散型随机变量. ( 2) 随机变量的分布列 设离散型随机变量 X 的取值满足:

① X 所有可能取的不同值为 x1,x 2, ?, x n; ② X 取每一个值 x i(i = 1, 2, ?, n) 的概率 p( x=x i)=pi, 则下表
称为离散型随机变量 X 的概率分布或称为离散型随机变量

X 的分布列 , 简称 X 的分布列 .

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X P

x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

根据概率的性质, 离散型随机变量的分布列具有如下两 个性质:

①pi≥0,i =1, 2, ?, n; ②p1+p2+?+pi+?+pn= 1.
2. 离散型随机变量的期望值( 均值 ) 、方差及计算性质 ( 1) 若离散型随机变量 ξ 的分布列为 ξ

P

x1 p1

x2 p2

? ?

xn pn

? ?

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ξ 的数学期望 E ( ξ) =x 1p1+x 2p2+?+x npn+ ?, 它反映了离散 型随机变量取值的平均水平.
2 ξ 的方差为 D ( ξ) =(x 1-E (ξ))2·p1+(x 2-E (ξ)) · p2+?

+ (x n-E (ξ))2·pn+?, 它反映了离散型随机变量取值的稳定程
度. ( 2) 计算性质: E (aξ +b)=aE (ξ)+b,D (aξ +b)=a2D ( ξ) . 3. 常见离散型随机变量的分布

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分布列为 ( 其中 0<p<1)

X P E (X )=p, D (X )=p( 1-p) .
( 2) 二项分布

0 1-p

1

p

在 n 次独立重复试验中, 事件 A 发生的次数 X 是一个随 机变量, 其所有可能取的值为 0, 1, 2, 3, ?, n, 并且
pkqn-k( P (X =k)= 其中 k=0, 1, 2, ?, n,q=1-p). 这样的随机变量

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X 服从参数 n 和 p 的二项分布, 记为 X ~B (n,p). E (X )=np,D (X ) =np( 1-p) .
( 3) 超几何分布 一般地, 设有总数为 N 件的两类物品, 其中一类有 M 件, 从所有物品中任取 n 件 ( n≤ N ) , 这 n 件中所含这类物品件数

X 是一个离散型随机变量, 它取值为 m 时的概率为 P (X =m ) =
- -

( 0≤ m ≤ l , l 为 n 和 M 中较小的一个) . 这样的

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离散型随机变量 X 服从参数为 N , M, n 的超几何分 布. E (X )=


.

五、正态分布 1. 正态曲线 如果随机变量 ξ 的概率密度函数为 f ( x)=




(- ) -

, x∈

( -∞,+∞) , 式中的实数 μ, σ( σ>0) 是参数, 则称 ξ 服从参数为 μ, σ 的正态分布, 用 ξ~N ( μ, σ2) 表示 . f(x) 的图象称为正态曲线 .

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2. 正态曲线的性质 正态分布也是日常生活中一种常见的分布, 正态曲线 ( 如图 ) 有六个性质:

①曲线位于 x 轴上方, 与 x 轴不相交 . ②曲线是单峰的, 它关于直线 x= μ 对称 . ③曲线在 x= μ 处达到峰值


.

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④曲线与 x 轴之间的面积为 1. ⑤当 σ 一定时, 曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移. ⑥当 μ 一定时, 曲线的形状由 σ 确定, σ 越小 , 曲线越 “高
瘦”, 表示总体的分布越集中; σ 越大, 曲线越“矮胖”, 表示总 体的分布越分散. 【考点聚焦】 热点一: 对抽样方法的理解与应用

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高考对随机抽样的考查常以实际应用为背景命题, 考查 分层抽样与系统抽样的理解与计算, 考查样本的抽取, 多以 选择题、填空题的形式出现, 有时也会在解答题中出现, 难度 不大.

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( 2014 天津卷 ) 某大学为了解在校本科生对参加某项 社会实践活动的意向, 拟采用分层抽样的方法, 从该校四个 年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查 . 已知 该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比 为 4∶5∶5∶6, 则应从一年级本科生中抽取 生. 名学

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【分析】根据该校一年级、二年级、三年级、四年级的本 科生人数之比为 4∶5∶5∶6, 可设该校一年级、二年级、 三年级、四年级的本科生人数分别为 4x、5x、5x、6x, 再 根据分层抽样比计算出应从一年级本科生中抽取的人数 .

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【解析】根据分层抽样的规则, 应从一年级本科生中抽 取的人数为
+++

×4x= 60( 名) .

【答案】 60

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【归纳拓展】1. 分层抽样是等比例抽样, 在分层抽样中 , 如果各层的容量分别是 a1, a2, ?, an, 抽取的样本容量为 b, 则 第 i层抽取的样本数目是
+ +?+

×ai. 分层抽样中常涉及

的问题有: 求 ai、求 b、求总体数 N 、求各层中抽取的个体 数等 .

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2. 在系统抽样中, 若总体数为 N , 样本容量为 n, 且 为整




数. 则将总体分为 n 组, 然后按照一定的规律每组中取一个, 相邻两个个体的编号相隔 .


3. 不论用哪种抽样方法, 都是按事先确定的规则, 从容量 为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本. 抽取样本时, 每一个个体 被抽取的概率 P = , 这是随机抽样的一个重要特点 ( 随机抽


样的等概率性) .

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变式训练 1 将某班的 60 名学生编号为: 01, 02, ?, 60, 采 用系统抽样方法抽取一个容量为 5 的样本, 且随机抽得的一 个号码为 04, 则剩下的四个号码依次是

.

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【解析】 由已知条件知系统抽样的间隔为 = 12, 又随机




抽得的一个号码为 04, 所以剩下的四个号码依次为 4+ 1× 12, 4+2×12, 4+ 3×12, 4+ 3×12, 4+4×12, 即为 16, 28, 40, 52. 【答案】16, 28, 40, 52

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热点二: 数字特征与统计图表 统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科, 它 可以帮我们从数据中提取有用信息, 并为制定决策提供依据 . 这就决定了数字特征与统计图表在高考题中的地位.

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某中学高三年级从甲、 乙两个班级各选出 8 名学 生参加数学竞赛, 他们取得的成绩( 满分 100 分 ) 的茎叶图如 图所示, 其中甲班学生成绩的平均分是 86, 乙班学生成绩的 中位数是 83, 则 x+y 的值为 ( A. 9 B. 10 ) . C. 11 D. 13

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【分析】利用平均数求出 x 的值 , 中位数求出 y 的值 , 解答 即可 . 【解析】由茎叶图可知甲班学生的总分为 70×2+80×4+ 90

×2+(8+ 9+6+5+x+ 2+ 6+4)= 680+x,
因为甲班学生的平均分是 86, 所以 86×8= 680+x, 解得 x=8. 由茎叶图知乙班的中位数为 80+y, 根据题意可得


(81+80+y)= 83, y=5, 所以 x+y=13. 【答案】 D

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【归纳拓展】1. 众数、中位数、平均数都是描述数据的 “集中趋势”的特征数, 而标准差与方差都是用来描述一组 数据波动情况的特征数, 常用来比较两组数据的波动大小 . 方差、标准差越大, 数据波动越大; 方差、标准差越小, 数据波 动越小 .

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2. 茎叶图是统计中重要的图表之一, 它将统计中的每个 数据分为茎( 高位 ) 和叶( 低位 ) 两部分中, 用茎叶图表示数据 有两个优点: ①统计图上没有原始数据信息的损失, 所有数 据信息都可以从茎叶图中得到; ②茎叶图中的数据可以随时 记录 , 随时添加, 方便记录和表示 .

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变式训练 2 在一次演讲比赛中, 6 位评委对一名选手 打分的茎叶图如图所示, 若去掉一个最高分和一个最低分, 得到一组数据, 在如图所示的程序框图中, x 是这 4 个数据的 平均数, 则输出的 v 的值为

.

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【解析】由程序框图知: 算法的功能是求数据 78, 80, 82, 84 的方差 .
? +++
2 2

∵=

= 81,
2 2 2

∴ s = [ (78-81) + ( 80- 81) +(82-81) + ( 84- 81) ]=
【答案】 5

+++

=5.

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热点三: 用样本估计总体 用样本来估计总体是统计思想方法的核心, 是高考中常 会考查的内容之一 . 在抽取的样本具有代表性的前提下, 可 以通过样本的数据特征来对总体的数据特征进行估计 . 高考 中常常考查频率分布直方图的基本知识, 同时考查借助频率 分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数, 具体问题 中要能够根据公式求解数据的均值、方差、众数和中位数 .

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( 2014 江苏卷 ) 为了了解一片经济林的生长情况, 随机抽测了其中的 60 株树木的底部周长( 单位 : cm ) , 所得数 据均在区间 [ 80, 130] 上, 其频率分布直方图如图所示, 则在抽 测的 60 株树木中, 有 cm . 株树木的底部周长小于 100

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【分析】根据频率分布直方图, 将底部周长小于 100 cm 的各段的频率相加, 再由频数=样本容量×频率可得.

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【解析】由题意知, 在抽测的 60 株树木中, 底部周长小 于 100 cm 的株数为 ( 0. 015+0. 025) ×10×60=24. 【答案】 24

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【归纳拓展】1. 用样本的频率分布估计总体的分布 (1) 频率分布直方图中横坐标表示组距, 纵坐标表示 频率 =组距 ×
频率 组距 频率 组距

,

;

(2) 频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1. 2. 茎叶图比频率分布直方图更为直观地描述出各个数 据, 茎叶图中数据枝干越集中往往方差就越小, 枝干越分散 方差越大

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3. 用样本的数字特征估计总体的数字特征 在估计总体时, 可以利用平均数和标准差, 平均数对数 据有“取齐”的作用 , 代表了一组数据的数值平均水平 . 在频 率分布直方图中, 平均数是直方图的平衡点 . 样本方差描述 了一组数据围绕平均数波动的大小. 众数为最高矩形中点的横坐标 . 中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直 线与横轴交点的横坐标 .

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变式训练 3 ( 2014 新课标全国Ⅱ卷 ) 某市为了考核甲、 乙两部门的工作情况, 随机访问了 50 位市民 . 根据这 50 位市 民对这两部门的评分 ( 评分越高表明市民的评价越高 ) , 绘制 茎叶图如下: 甲部门 4 97 97665332110 98877766555554443332100 3 4 5 6 7 乙部门 59 0448 122456677789 011234688 00113449

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6655200 632220

8 9 10

123345 011456 000

( 1) 分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; ( 2) 分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率; ( 3) 根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价 .

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【解析】 ( 1) 由所给茎叶图知, 将 50 位市民对甲部门的评 分由小到大排序, 排在第 25, 26 位的是 75, 75, 故样本的中位 数为 75, 所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值 是 75. 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序, 排在第 25, 26 位的是 66, 68, 故样本中位数为
+

= 67, 所以该市的市民对

乙部门评分的中位数的估计值是 67.

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(2) 由所给茎叶图知, 50 位市民对甲、 乙部门的评分高于 90 的比率分别为 = 0. 1, = 0. 16, 故该市的市民对甲、乙部门


的评分高于 90 的概率的估计值分别为 0. 1, 0. 16.

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(3) 由所给茎叶图知, 市民对甲部门的评分的中位数高于 对乙部门的评分的中位数, 而且由茎叶图可以大致看出对甲 部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差 , 说明 该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致, 对乙部门的 评价较低、 评价差异较大 . ( 注: 考生利用其他统计量进行分析, 结论合理的同样给分 . )

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热点四: 变量间的相关关系与回归分析 变量间的相关关系是对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的一种常用方法, 回归直线方程是基本和重要的统 计模型, 在现实生活中具有很强的实际意义. 因此, 在以两个 变量间的关系为考点命制试题备受高考命题者所青睐 . 课标 高考对变量间的相关关系的考查常以图、表的形式为载体, 以现实生活中的例子为依托, 重在考查对一些实际问题进行 理性分析或对给出的公式及数据的应用及处理能力.

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( 2014 重庆卷 ) 已知变量 x 与 y 正相关, 且由观测数 据算得样本平均数= 3, = 3. 5, 则由该观测的数据算得的线 性回归方程可能是(
^ ^ ? ?

) .

A. = 0. 4x+ 2. 3 B. = 2x- 2. 4
^ ^

C . =- 2x+ 9. 5 D. =- 0. 3x+ 4. 4

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【分析】由于变量 x 与 y 正相关, 所以线性回归直线的 斜率大于 0, 又线性回归直线过样本中心点, 只需要再代入线 性回归直线方程验证即可.

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【解析】由于变量 x 与 y 正相关, 所以线性回归直线


=bx+a 中的斜率 b>0, 据此可排除 C 、 D ; 将= 3, = 3. 5, 代入 A 中 , 有 0. 4+ 2. 3= 0. 4× 3+ 2. 3= 3. 5=, 所以 A 可能; 将= 3, = 3. 5, 代入 B 中, 有 2- 2. 4= 2×3- 2. 4= 3. 6≠, 所 以 B 不可能 . 综上所述, 选 A. 【答案】 A
? ? ? ? ? ? ? ?

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【归纳拓展】一般情况下, 求回归直线方程务必要注意 线性回归直线方程过定点( , ). 由于回归方程将部分观测值 所反映的规律性进行了延伸, 因此它在情况预测、资料补充 等方面有着广泛的应用 . 利用回归方程进行预测, 把自变量 x 代入回归方程对因变量进行估计, 即可对个体值进行估计.
??

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变式训练 4 某种产品的广告支出费 x 与销售额 y( 单位: 百万元 ) 之间有如下对应数据:

x y

2 30

4 40


5 60

6 50

8 70

根据上表可得回归方程 =bx+a 中的 b 为 6. 5, 据此模型 预报广告费用为 10 百万元时销售额为( A. 65. 5 百万元 B . 72. 0 百万元 C. 82. 5 百万元 D . 83. 0 百万元 ) .

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【解析】 根据题意=

? +++ +

= 5, =

? +++ +

= 50,

所以 50=6. 5×5+a, 解得 a= 17. 5, 即线性回归直线方程为
^ ^

= 6. 5x+ 17. 5, 将 x=10 代入得 = 6. 5× 10+17. 5= 82. 5. 【答案】 C

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热点五: 两个计数原理、排列与组合 高考中对于计数问题的考查形式不一, 可以单独考查, 可以与排列、组合问题综合考查, 也可以与概率问题综合考 查, 求解此类试题的关键是理顺计数应用问题的思路: 排组 分清, 加乘明确, 分类相加, 分步相乘 . 主要题型有选数字、选 样品、选代表、人或物的排列组合问题、几何计数问题等 .

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( 2014 四川卷 ) 六个人从左至右排成一行, 最左端 只能排甲或乙, 最右端不能排甲, 则不同的排法共有 ( A. 192 种 B . 216 种 C . 240 种 D . 288 种 【分析】本题六个人的排法与顺序有关, 且由于最左端 只能排甲或乙, 因此可先分两种情况: 一种是最左端排甲 , 另 一种是最左端排乙, 然后由分类计数原理求解 . ) .

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【解析】最左端排甲有 最左端排乙有 种不同的排法,
4 种不同的排法 , 所以共有 + 4 种) 不同的排法. = 216(

【答案】 B

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【归纳拓展】 1. 求解计数问题要从 “分析” “分辨” “分 类 ”“分步 ”的角度入手. “分析 ”就是找出题目的条件、 结论 . 哪些是“元素 ”, 哪些是“位置”; “分辨”就是辨别是 排列还是组合, 对某些元素的位置有无限制等; “分类”就是 对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类, 然 后逐类解决; “分步 ”就是把问题化成几个互相联系的步骤, 而每一步都是简单的排列组合问题, 然后逐步解决 .

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2. 求计数问题, 还要注意以下途径: (1) 以元素为主体, 即先满足特殊元素的要求, 再考虑其 他元素; (2) 以位置为主体, 即先满足特殊位置的要求, 再考虑其 他位置; (3) 先不考虑附加条件, 计算出所有的个数, 再减去不符 合要求的个数.

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变式训练 5 某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教( 每地 1 人) , 其中甲和乙不能同时去, 甲和丙 只能同去或同时不去, 则不同的选派方案共有( A. 150 B . 300 C . 600 D . 900 ) 种.

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【解析】某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个 边远地区支教( 每地 1 人 ) , 其中甲和乙不同去, 甲和丙只能同 去或同不去, 可以分情况讨论:
①甲、丙同去, 则乙不去, 有 · = 240 种选法 ; ②甲、丙同不去, 乙去, 有 · = 240 种选法 ;

③甲、乙、丙都不去, 有 = 120 种选法 ,
因此共有 240+240+120=600 种不同的选派方案. 【答案】 C

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热点六: 二项式定理及应用 高考对于二项式的考查重点是二项式定理的展开式及 通项公式、二项式系数及特定项的系数、二项式性质、二 项式定理的应用, 题型多为选择题、填空题, 难度为中低等.

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10 ( 2014 新课标全国Ⅱ卷) ( x+a) 的展开式中, x7 的系

数为 15, 则 a=

. ( 用数字填写答案)

【分析】根据展开式中 x7 的系数这一项, 由通项公式

T r+1 列出等式, 解方程即可.

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3 【解析】展开式中 x7 的系数为 a = 15,

即 a3= , 解得 a= .






【答案】



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【归纳拓展】1. 在应用二项展开式 ( a+b)n 的通项公式
an-rbr( T r+1= r= 0, 1, 2, ?, n)时 , 要注意以下几点:

(1) 它表示二项展开式的任意项, 只要 n 与 r 确定, 该项就 随之确定; (2) T r+1 是展开式中的第 r+1 项, 而不是第 r 项 ; (3) 公式中 a, b 的指数和为 n, 且 a, b 不能随便颠倒位置 ; (4) 要将通项中的系数和字母分离开, 以便解决问题; (5) 对二项式展开式( a-b)n 的通项公式还要注意符号.

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2. 在二项式定理的应用中, “赋值法”是一种重要的思 想方法, 是处理组合数问题、系数问题的经典方法 .
n 变式训练 6 已知关于 x 的二项式 ( + ) 展开式的二





项式系数之和为 32, 常数项为 80, 则 a 的值为( A. 1B . ±1 C . 2 D. ±2

) .

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【解析】 因为二项式( + )n 展开式的二项式系数之和




为 32, 所以 2 = 32, 即

n

n=5, (

)

5 -r

- ( )=a , 由 - = 0,



r

r

得 r= 3, 所以 a3 = 80, 解得 a=2. 【答案】C

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热点七: 古典概型 古典概型基本应用是高考的重点内容之一, 可在选择题 与填空题中单独考查, 也可在解答题中与统计等其他相关知 识综合考查 . 考查以基本概念、 基本运算为主, 难度不大 . 预测 2015 年高考古典概型仍然是考查的热点, 同时应注意古典概 型与统计结合命题 . 求解古典概型问题的关键是正确求出基 本事件总数和所求事件包含的基本事件数 . 在求基本事

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件的个数时, 要准确理解基本事件的构成, 这样才能保 证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的 求法的一致性. ( 2014 广东卷 ) 从 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 中任取七个不 同的数, 则这七个数的中位数是 6 的概率为

.

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【分析】由于是从十个数字中任意取七个不同的数, 因 此此概率模型是古典概型. 要使抽取的七个数的中位数是 6, 必须在比 6 小的数字中取三个, 比 6 大的数字中取三个, 然后 由排列组合知识再根据古典概型的概率公式计算.

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【解析】上述十个数中比 6 小的数字有六个, 比 6 大的 数字有三个, 要使得所选的七个数的中位数为 6, 则应该在比 6 小的数字中取三个, 比 6 大的数字中取三个, 因此所求事件 的概率为 P =


= .

【答案】



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【归纳拓展】弄清每一次试验的意义及每个基本事件 的含义是解决古典概型概率计算问题的前提, 正确把握各个 事件的相互关系是解决问题的重要方面, 判断一次试验中的 基本事件, 一定要从其可能性入手, 加以区分 . 而一个试验是 否是古典概型要看其是否满足有限性和等可能性.

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变式训练 7 甲和乙等五名志愿者被随机地分到 A 、 B、

C 、D 四个不同的岗位服务, 每个岗位至少有一名志愿者, 则
甲和乙不在同一岗位服务的概率为

.

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【解析】 ( 法一 ) 根据甲、乙不在同一岗位服务分三类 : 一是甲与除乙外的某一位志愿者一起去同一个岗位服务 , 共
有 种不同的分配方法; 二是乙与除甲外的某一位志愿 者一起去同一个岗位服务, 共有 种不同的分配方法; 三 是甲与乙都一个人去某一岗位服务, 共有 种不同的分

配方法 . 而甲和乙等五名志愿者被随机分到 A 、B 、C 、D 四 个不同的岗位服务, 每个岗位至少一名的分配方法共有
.

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故所求的概率为 P =

+ +

= .



( 法二 ) 因为事件“甲、乙不在同一岗位服务”的对立事 件是“甲、乙在同一岗位服务”, “甲、乙在同一岗位服务” 分配方法共有 而甲和乙等五名志愿者被随机分到 A 、B 、 ,

C 、 D 四个不同的岗位服务, 每个岗位至少一名的分配方法
共有 , 所以 “甲、 乙在同一岗位服务” 的概率为= = ,


故所求的概率为 1-= .




【答案】





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热点八: 几何概型 几何概型是一个新课标新增的知识点, 它与古典概型一 样, 也是高考考查的重点内容之一 . 从近几年高考试题来看, 主要以选择题或填空题的形式呈现, 多为单独考查, 有时会 与线性规划、定积分等知识综合考查, 难度较低. 利用几何概 型求概率时, 关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生 的区域的寻找, 有时需要设出变量, 在坐标系中表示所需要 的区域 .

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≤ , ( 2014 湖北卷 ) 由不等式组 ≥ , 确定的平面 -- ≤ + ≤ , 区域记为 Ω1, 不等式组 确定的平面区域记为 Ω2, + ≥ - 在 Ω1 中随机取一点, 则该点恰好在 Ω2 内的概率为 ( A . B. C. D .


) .

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【分析】由于是在所给矩形区域内随机地选一地点, 所 以它符合几何概型的两个基本特征. 解答时, 可先用二元一 次不等式表示平面区域的面积, 然后再由几何概型的概率计 算公式求解.

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≤ , 【解析】如图所示, 不等式组 ≥ , 确定的平面区 -- ≤ + ≤ , 域 Ω1 为三角形 A O B , 而平面区域 Ω1 与不等式组 + ≥ - 确定的平面区域 Ω2 的公共部分为四边形 D B O C .

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= , 由 得 A( 0, 2) ; -- = 由 由 + = -, 得 B (-2, 0) ; -- =

+ = , 得 C( 0, 1) ; = + = , 由 得D( -, ); -- =

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易得 S △ A O B = ×| BO | ·| AO| = ×2×2=2,






S △ A D C = ×| A C| ·| xD | =×1×=, S
四边形 B O C D =S △ A O B -S △ A D C = 2 - = ,









由几何概型公式知, 该点落在 Ω2 内的概率为

P=

四边形 △

= = .





【答案】 D

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【归纳拓展】长度、面积和体积是几何概型中的三种 基本度量, 在解题时要准确把握, 要把问题向它们作合理转 化, 要注意古典概型与几何概型的区别( 基本事件的有限性 与无限性 ) , 正确选用不同的概型解题 .

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变式训练 8 ( 2014 辽宁卷) 正方形的四个顶点

A( - 1, - 1) , B (1, - 1) , C( 1, 1) , D (-1, 1) 分别在抛物线 y=-x 2 和 y=x 2
上, 如图所示. 若将一个质点随机投入正方形 A B C D 中, 则质 点落在阴影区域的概率是

.

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【解析】由几何概型可知若将一个质点随机投入正方 形 A B C D 中, 则质点落在阴影区域的概率为

P=

-



- ) ×

= .




【答案】

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热点九: 条件概率 条件概率虽然在高考中考查得比较少, 但从近几年开始 增多, 复习中注意抓住对实际问题的分析, 关键在于识别概 率类型.

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从 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 中不放回地依次取 2 个数, 事件

A = “第一次取到的是奇数”, B =“第二次取到的是奇数”,
则 P( B| A )=(


) .


A . B. C. D .

【分析】根据条件概率公式, 先计算 P (A B ) 、P (A ) , 再利 用 P( B| A )=
( ) ( )

即可获解 .

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【解析】由题意得 P ( A )= = , P (A B )= = = ,








故 P( B| A

( ) ) = () = = .




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【归纳拓展】条件概率公式揭示了条件概率 P (A | B )与 事件概率 P (B ) 、P (A B ) 三者之间的关系. 下列两种情况可利 用条件概率公式: 一种情况是已知 P (B ) 和 P (A B ) 时去求出

P (A | B ); 另一种情况是已知 P ( B )和 P (A | B )时去求出 P (A B ).
对于后一种情况, 为了方便也常将条件概率公式改写为如下 的乘法公式: 若 P( A )>0, 有 P( A B )=P (A )P (B | A ).

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变式训练 9 如图, E F G H 是以 O 为圆心, 1 为半径的圆 的内接正方形. 将一颗豆子随机地扔到该圆内, 用 A 表示事 件“豆子落在正方形 E F G H 内”, B 表示事件“豆子落在扇 形 O H E( 阴影部分 ) 内 ”, 则 ( 1) P( A )= ; ( 2) P( B| A )=

.

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【解析】 ( 1) 由题意可得, 事件 A 发生的概率

P (A )=



正方形





= × = .

×

(2) 事件 A B 表示 “豆子落在△E O H 内 ”, 则

P (A B )=

△ × 圆

= = . ×



故 P( B| A

( ) ) = () = = .




【答案】





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热点十: 随机变量的分布列、期望与方差 随机变量的分布列、期望与方差是高考中的重点, 年年 必考, 以考生比较熟悉的实际应用问题为背景, 综合排列组 合、概率公式、互斥事件、独立事件以及统计等基础知识, 考查对随机变量的识别及概率计算的能力, 考查运用概率知 识解决实际问题的能力, 解答时要注意分类与整合、转化与 化归思想的运用. 题型主要以解答题的形式呈现, 但也有时 会以小题出现, 难度中等.

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( 2014 天津卷 ) 某大学志愿者协会有 6 名男同学, 4 名女同学 . 在这 10 名同学中, 3 名同学来自数学学院, 其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学 , 到希望小学进行支教活动 ( 每位同学被选到的可能性相同) . ( 1) 求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率;

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( 2) 设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数, 求随机变量

X 的分布列和数学期望 .
【分析】 ( 1) 根据题意 , 选出的 3 名同学与顺序无关, 是一 个组合计数问题, 也是一个古典概型的概率计算问题 . 由于 选出的 3 名同学是来自互不相同的学院, 因此在计算基本事 件数时要分两类, 一类是 3 人中有 1 人来自数学学院 , 其余 2 人来自物理、 化学等七个学院; 另一类是 3 人中全来自物理、 化学等七个学院.

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(2) 根据题意, 由于女同学有 4 人, 所以选出的女同学的 人数 X 可能取值为 0、1、2、 3, 然后分别求出相应的概率, 列出分布列, 再根据数学期望的公式计算随机变量 X 的数学 期望值.

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【解析】 ( 1) 设 “选出的 3 名同学是来自互不相同的学 院 ”为事件 A , 则 P( A )=
· + ·

=,


所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为 . (2) 随机变量 X 的所有可能值为 0, 1, 2, 3.

P (X =k)=

·

-

(k=0, 1, 2, 3),

所以随机变量 X 的分布列是

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X P

0

1


2


3


随机变量 X 的数学期望 E ( X )=0× + 1× + 2× + 3×

= .





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【归纳拓展】求随机变量的数学期望和方差的关键是 正确求出随机变量的分布列, 若随机变量服从二项分布或两 点分布, 则可直接使用公式求解 . 变式训练 10 为了解甲、乙两个班级某次考试的数学 成绩 ( 单位: 分) , 从甲、乙两个班级中分别随机抽取 5 名学生 的成绩作样本, 其样本的茎叶图如图所示. 规定: 成绩不低于 120 分时为优秀成绩 .

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( 1) 从甲班的样本中有放回地随机抽取 2 个数据, 求其中 只有 1 个优秀成绩的概率; ( 2) 从甲、乙两个班级的样本中分别抽取 2 名同学的成 绩, 记获优秀成绩的人数为 X , 求 X 的分布列和数学期望

E (X ) .

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【解析】 ( 1) 设事件 A 表示“从甲班的样本中有放回地 随机抽取 2 个数据其中只有一个优秀成绩”, 则 P( A
)= × × = .

(2)X 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3,

P (X =0)= · = = ,


·





P (X =1)= P (X =2)=

· + · · ·

= = , = = ,






· · + · ·

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P (X = 3)=

· · ·

= = ,
1






∴X 的分布列为: X P
0 2


3


∴X 的数学期望为 E (X )=0×+ 1×+ 2×+ 3× = .


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热点十一: 事件的独立性、独立重复试验与二项分布 二项分布是一种重要的概率分布, 在实际生活中应用广 泛. 事件的独立性、独立重复试验与二项分布是高考考查的 热点之一, 考查的题型既有小题也有大题 . 在小题中, 侧重于 考查事件相互独立性的概率; 在解答题中, 一般会综合事件 的相互独立、互斥或对立、二项分布等知识进行考查 .

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( 2014 辽宁卷 ) 一家面包房根据以往某种面包的 销售记录, 绘制了日销售量的频率分布直方图, 如图所示 .

将日销售量落入各组的频率视为概率, 并假设每天的销 售量相互独立.

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( 1) 求在未来连续 3 天里, 有连续 2 天的日销售量都不低 于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率; ( 2) 用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天 数, 求随机变量 X 的分布列, 期望 E ( X) 及方差 D ( X) .

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【分析】 ( 1) 设 A 1 表示事件 “日销售量不低于 100 个 ” , A2 表示事件“日销售量低于 50 个”, B 表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另 1 天销售量低 于 50 个 ” . 因此根据落入各组的频率视为概率及频率直方图 易得 P ( A 1)、P (A 2), 再由事件的独立性可求出 P (B ) ; (2) 由题意 可知 , X ~B (3,0. 6) , 可直接由二项分布的期望和方差公式求解 .

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【解析】 ( 1) 设 A 1 表示事件 “日销售量不低于 100 个 ” , A2 表示事件“日销售量低于 50 个”, B 表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另 1 天销售量低 于 50 个”. 因此 ,

P (A 1)=(0. 006+0. 004+0. 002) ×50=0. 6, P (A 2)=0. 003× 50= 0. 15, P (B )=0. 6× 0. 6×0. 15×2=0. 108.
(2)X 可能取的值为 0, 1, 2, 3, 相应的概率分别为

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P (X =0)= ·(1-0. 6)3=0. 064,
2 P (X =1)= ·0. 6( 1-0. 6) = 0. 288,

P (X =2)= ·0. 62(1-0. 6)= 0. 432, P (X = 3)= ·0. 63=0. 216.

X 的分布列为: X 0 P 0. 064

1 0. 288

2 0. 432

3 0. 216

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因为 X ~B (3, 0. 6) , 所以期望 E ( X )= 3×0. 6=1. 8, 方差

D (X )= 3×0. 6×( 1-0. 6)=0. 72.
【归纳拓展】计算二项分布的概率分布列时, 要注意以 下几点: ( 1) 分清楚在独立重复试验中, 总共进行了多少次重 复试验, 即先确定 n 的值 , 然后确定在一次试验中某事件 A 发 生的概率是多少, 即确定 p 的值, 最后再确定某事件 A 发生了 多少次, 即确定 k 的值 . ( 2) 准确算出每一种情况下, 某事

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件 A 发生的概率 . (3) 算出的结果要验证是否符合离散型 概率分布列的两个基本性质. 变式训练 11 为迎接 2013 年“两会”( 全国人大 3 月 5 日 — 3 月 18 日、 全国政协 3 月 3 日 — 3 月 14 日 ) 的胜利召开, 某机构举办猜奖活动, 参与者需先后回答两道选择题, 问题

A 有四个选项, 问题 B 有五个选项, 但都只有一个选项是正确
的, 正确回答问题 A 可获奖金 m 元 , 正确回答问题 B 可获奖 金 n 元. 活动规定: 参与者可任意选择回答问题的顺

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序, 如果第一个问题回答错误, 则该参与者猜奖活动中 止. 假设一个参与者在回答问题前, 对这两个问题都很陌生, 试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望 值较大.

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【解析】该参与者随机猜对问题 A 的概率 P 1= , 随机猜对问题 B 的概率 P 2= .


回答问题的顺序有两种, 分别讨论如下:

①先回答问题 A , 再回答问题 B , 参与者获奖金额 X 的可
能取值为 0, m ,m +n , 则 P( X = 0)=1-P 1= ,


P (X =m )=P 1(1-P 2)=×= , P (X =m +n)=P 1P 2=×= .






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数学期望 E (X )=0× +m × + (m +n ) ×= + .








②先回答问题 B , 再回答问题 A , 参与者获奖金额 Y 的可
能取值为 0, n,m +n , 则 P( Y =0)=1-P 2= ,


P (Y =n)=P 2(1-P 1)=×= , P (Y =m +n)=P 2P 1=×= .






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数学期望 E (Y )=0× +n × + (m +n ) × = + .









E (X )-E (Y )= ( +)- (+ )=




-



.

于是 , 当 > 时, E (X )>E (Y ), 即先回答问题 A , 再回答问题 B , 参与者获奖金额的期望值较大; 当 = 时, E (X )=E (Y ), 无论是先回答问题 A , 再回答问题 B , 还


是先回答问题 B , 再回答问题 A , 参与者获奖金额的期望值相等; 当 < 时, E (X )<E (Y ), 即先回答问题 B , 再回答问题 A , 参与者


获奖金额的期望值较大 .

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热点十二: 正态分布 正态分布是自然界中最常见的一种分布, 许多现象都近 似地服从正态分布 ( 如长度测量误差、正常生产条件下各种 产品的质量指标等 ) , 也是高中阶段唯一连续型随机变量的 分布, 这个考点虽然不是高考的重点, 但在近几年新课标高 考中也有出现, 其中数值计算是考查的一个热点.

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某校在模块考试中约有 1000 人参加考试, 其数学 考试成绩 ξ~N ( 90, a2) ( a> 0, 试卷满分 150 分 ) , 统计结果显示数 学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的 , 则


此次数学考试成绩不低于 110 分的学生人数约为( A. 600 B . 400 C . 300 D . 200

) .

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【分析】根据正态分布曲线的对称性, 先求出此次数学 考试成绩不低于 110 分的概率, 然后用概率的意义计算出此 次数学考试成绩不低于 110 分的学生人数.

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【解析】根据数学考试成绩 ξ~N (90, a2)(a>0, 试卷满分 150 分 ) , 可知正态分布曲线关于直线 x= 90 对称 , 而
+

= 90,

又由数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数 的 , 知 P( 70< ξ< 110)= , 所以 P (ξ≥110)=P ( ξ≤ 70) ,


所以 , P (ξ≥110)= [1-P (70< ξ <110)]= (1- )= .








故此次数学考试成绩不低于 110 分的学生人数约为 1000× = 200.


【答案】 D

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【归纳拓展】正态曲线是“钟形曲线”, 具有很好的对 称性 . 正态分布问题求解的切入点是充分利用正态分布曲线 的图象特征和相关量的统计意义分析思考, 把待求区间内的 概率向已知区间内的概率进行转化, 在此过程中注意数形结 合思想的运用, 记住正态分布的 3σ 原则 .

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变式训练 12 ( 2014 全国新课标Ⅰ卷 ) 从某企业的某种 产品中抽取 500 件 , 测量这些产品的一项质量指标值, 由测量 结果得如下频率分布直方图:

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( 1) 求这 500 件产品质量指标值的样本平均数和样本方 差 s2( 同一组中的数据用该区间的中点值作代表 ) ; ( 2) 由直方图可以认为, 这种产品的质量指标值 Z 服从正 态分布 N ( μ, σ) , 其中 μ 近似为样本平均数, σ2 近似为样本方
2

?

?

差 s2.

①利用该正态分布, 求 P( 187. 8<Z < 212. 2) ;

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②某用户从该企业购买了 100 件这种产品, 记 X 表示这
100 件产品中质量指标值位于区间 ( 187. 8, 212. 2) 的产品件数, 利用①的结果, 求 E( X) . 附: ≈ 12. 2. 若 Z ~N ( μ, σ2) , 则

P (μ-σ<Z < μ+ σ)= 0. 6826, P (μ-2σ<Z < μ+2σ)=0. 9544.

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【解析】 ( 1) 抽取产品的质量指标值的样本平均值和样 本方差 s2 分别为
?

?

= 170×0. 02+ 180×0. 09+ 190×0. 22+200×0. 33+ 210× 0. 24+220×0. 08+230×0. 02= 200,
2 s2= (- 30)2×0. 02+(- 20)2×0. 09+ (-10) ×0. 22+0×0. 33+ 102

×0. 24+ 202×0. 08+ 302× 0. 02=150.

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(2) ①由( 1) 知, Z ~N ( 200, 150) , 从而

P( 187. 8<Z <212. 2)=P ( 200-12. 2<Z < 200+12. 2)=0. 6826. ②由①可知, 一件产品的质量指标值位于区间
(187. 8, 212. 2) 的概率为 0. 6826, 依题意知 X ~B (100, 0. 6826) , 所 以 E( X )=100×0. 6826=68. 26.

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限时训练卷( 一) 一、选择题 1. 样本中共有五个个体, 其值分别为 a, 0, 1, 2, 3, 若该样本 的平均值为 1, 则样本方差为( A. 2B . 2. 3 C. 3 D. 3. 5 ) .

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【解析】∵样本的平均值为 1, ∴a+0+1+2+ 3= 5, ∴a=- 1,
2 ∴s2=×[ (-1-1)2+ ( 0-1) +( 1-1)2+(2-1)2+(3- 1)2]=2.



【答案】 A

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2. 某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩进行 统计, 得到样本频率分布直方图 ( 如图) , 则这名学生在该次自 主招生水平测试中成绩不低于 70 分的学生数是 ( ) .

A. 300 B . 400 C . 500 D . 600

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【解析】该次自主招生水平测试中成绩不低于 70 分的 学生数为 1000×(0. 035× 10+0. 015×10+ 0. 010×10) = 600. 【答案】 D

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3. 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本, 当选取 简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样 本时, 总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1, p2, p3, 则( A. p1=p2<p3B . p2=p3<p1 C. p1=p3<p2D . p1=p2=p3 ) .

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【解析】不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽 样, 它们都是等概率抽样, 每个个体被抽中的概率均为 , 所以


p1=p2=p3, 即选 D .
【答案】D

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4. 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N ( 0, σ2) , P( ξ >2) = 0. 023, 则 P( - 2≤ξ≤2) =( A. 0. 954 B . 0. 977 C. 0. 488 D . 0. 477 ) .

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【解析】因为正态分布 N ( 0, σ2) 的曲线关于 y 轴对称, 所 以 P( ξ >2)=P (ξ <-2) , 所以 P ( -2≤ξ≤ 2)=1-P ( ξ > 2)-P (ξ<- 2)=1-2×0. 023= 0. 954. 【答案】A

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5. 根据如下样本数据

x y

3 4. 0

4 2. 5


5 - 0. 5

6 0. 5

7 - 2. 0

8 - 3. 0

得到的回归方程为 =bx+a, 则( A. a>0, b> 0B . a>0, b<0 C. a< 0, b>0D . a< 0, b<0

) .

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【解析】作出散点图如图:


观察图象可知, 回归直线 =bx+a 的斜率 b< 0, 截距 a>0. 故 a> 0, b<0. 故选 B . 【答案】 B

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6. 一项射击实验的标靶为圆形. 在子弹命中标靶的前提 下, 一次射击能够击中标靶的内接正方形的概率是( A . B. C. 0. 2π D .


) .

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【解析】 设正方形的边长为 a, 则圆的半径为 a, 所以圆 的面积为 π a2, 正方形的面积为 a2, 所以一次射击能够击中标




靶的内接正方形的概率是 = .






【答案】 D

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7. 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益 活动, 则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ( A . B. C. D .


) .

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【解析】 每位同学有 2 种选法, 基本事件的总数为 24=16, 其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有 2 个, 故周 六、周日都有同学参加公益活动的概率为 P =1- = .


【答案】D

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8. 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法抽取 42 人 做问卷调查, 将 840 人按 1, 2, ?, 840 随机编号, 则抽取的 42 人 中, 编号落入区间[ 481, 720] 的人数为( A. 11 B . 12 C . 13 D . 14 ) .

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【解析】∵组距为



= 20, ∴1~ 20 为第一组, 21~ 40 为第


二组, 依此类推, 每组抽取一人, 又在[ 481, 720] 中共有 720-481+1=240 个编号, 且有 【答案】B

= 12, ∴选 B .

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9. 甲、乙两人进行乒乓球比赛, 先赢 3 局者获胜, 决出胜 负为止, 则所有可能出现的情形( 各人输赢局次不同视为不 同情形) 共有( ) .

A. 10 种 B . 15 种 C . 20 种 D . 30 种

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【解析】两人比赛局数为 3 局、4 局或 5 局 . 当局数为 3 时, 情况为甲或乙连赢 3 局 , 共 2 种; 当局数为 4 时 , 若甲胜 , 则 甲第 4 局胜 , 且前 3 局胜 2 局, 有 3 种情况, 同理乙胜也有 3 种情况, 共 6 种; 当局数为 5 时 , 前四局甲、乙各胜两局 , 最后
一局赢的人获胜, 有 2 = 12 种情况. 故总共有 20 种情况 , 选

C. 【答案】 C

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二、填空题 10. 游客甲、 游客乙暑假期间去青岛旅游的概率分别为 、


, 假定他们两人的行动相互不受影响, 则暑假期间游客甲、

游客乙两人都不去青岛旅游的概率为

.

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【解析】分别记甲、乙去青岛旅游为事件 A 、B , 则

P (A )=,P (B )=, 由题设可知 A 、B 相互独立, 故所求的概率 P =P ( ·)=P ( )P ( )= ( 1- )( 1- )= .
【答案】






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6 11. ( - ) 的展开式的常数项为



.

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【解析】因为 (

)


6 -r

- (- )= (- 1) , r=0, 1, ?, 6, 令
r r





2 3- r= 0 得 r=2, 所以( - )6 的展开式的常数项为( -1) = 15.

【答案】 15

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12. 随机变量 ξ 的取值为 0, 1, 2, 若 P( ξ =0) = , E( ξ) =1, 则




D( ξ) =

.

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【解析】设 ξ=1 时的概率为 p, 则 E( ξ)= 0× + 1×p+2×




(1-p- )= 1, 解得 p= , 所以 D ( ξ )=( 0- 1)2× + (1-1)2× + ( 2- 1)2×










= .
【答案】


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三、解答题 13. 某学校的三个学生社团的人数分布如下表( 每名学生只 能参加一个社团) : 围棋社 男生 女生 5 15 舞蹈社 10 30 拳击社 28

m

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学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查, 按分层 抽样的方法从三个社团成员中抽取 18 人 , 结果拳击社被抽 出了 6 人 . ( 1) 求拳击社团被抽出的 6 人中有 5 人是男生的概率; ( 2) 设拳击社团有 X 名女生被抽出, 求 X 的分布列及数学 期望 .

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【解析】 ( 1) 由于按分层抽样的方法从三个社团成员中 抽取 18 人 , 拳击社被抽出了 6 人 , 所以

= , 解得 + ++ +





m = 2.
设 A =“拳击社团被抽出的 6 人中有 5 人是男生”, 则 P( A )=


=.



(2) 由题意可知: X =0,1, 2.

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则 P (X = 0)=



= ; P (X =1)=





= ;P (X =2)=





= .



则分布列为:

X P

0 所以 E (X )=0×


1


2

+ 1×+ 2×= .

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限时训练卷( 二) 一、选择题 1. 某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如 图所示, 其中成绩分组区间 是: [ 50, 60) , [ 60, 70) , [ 70, 80) , [ 80, 90) , [ 90, 100] , 则图中 a 的值为 ( ) .

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A. 0. 006 B . 0. 005 C . 0. 0045 D . 0. 0025

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【解析】由题意有 10a+10×0. 04+10× 0. 03+ 10× 0. 02+10a=1, 解得 a=0. 005. 【答案】 B

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2. 某学生在一门功课的 22 次考试中, 所得分数如下茎叶 图所示, 则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为 ( ) .

A. 117 B . 118 C . 118. 5 D. 119. 5

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【解析】由上图可知, 最小值为 56, 最大值为 98, 故极差 为 42, 又从小到大排列, 排在第 11, 12 位的数为 76, 76, 所以中 位数为 76, 所以极差和中位数之和为 42+76= 118, 选 B. 【答案】B

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3. 设随机变量 ξ 服从正态分布 N ( 3, 4) , 若

P( ξ <2a-2) =P (ξ>a+ 2) , 则 a= (
A. 4B . 3 C. 2 D. 1

) .

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【解析】由随机变量 ξ 服从正态分布 N (3, 4) , 可知正态 曲线的对称轴为直线 x= 3, 又由 P ( ξ < 2a- 2)=P (ξ >a+ 2) , 所以
-++

= 3, 解得 a= 2.

【答案】C

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4. 已知 x 与 y 之间的几组数据如下表所示:

x y

0 0


1 2

2 6

3 7

则 y 与 x 的线性回归方程 =bx+a 必过 ( A. ( 1, 2) B . ( 2, 6) C. (, )D . ( 3, 7)


) .

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【解析】 因为=


? + ++ ? +++

= , =



= , 所以线性回归

方程 =bx+a 必过( , ).




【答案】C

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5. 在一个装满水的容积为 1 升的容器中有两个相互独 立、自由游弋的草履虫, 现在从这个容器中随机取出 0. 1升 水, 则在取出的水中发现草履虫的概率为 ( A. 0. 10 B . 0. 09 C . 0. 19D . 0. 199 ) .

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【解析】记: A ={取出的水中有草履虫 a}, B ={取出的水 中有草履虫 b}, 则 P( A) = 0. 1, P (B )=0. 1, 小杯中发现草履虫为事件 A +B , 则

P (A +B )=P (A )+P (B )-P (A B )= 0. 1+0. 1-0. 12=0. 19.
【答案】 C

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6. 从 1, 2, 3, 4, 5 中任取 2 个不同的数, 事件 A =“取到的 2 个 数之和为偶数”, 事件 B =“取到的 2 个数均为偶数”, 则

P( B| A) =(


) .


A . B. C. D .

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【解析】∵P (A )=
( )

+

= , P (A B )= = ,






∴P (B | A )= () = .
【答案】B

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7. 如图所示, 在边长为 1 的正方形 O A B C 中任取一点 P , 则点

P 恰好取自阴影部分的概率为(
A . B.


) .

C. D.

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【解析】根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为


-) = ( - )








=


,所以由几何概型公式可得点恰好取自阴影部分的概率为 ,故选 【答案】 B

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8. 将甲、乙两人在内的 7 名医生分成三个医疗小组, 一 组 3 人, 另两组每组各 2 人, 则甲、乙不分在同一组的分法有 ( ) . A. 80 种 B . 90 种 C . 25 种 D . 120 种

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【解析】由题意可得将 7 名医生分成三个医疗小组, 一 组 3 人, 另两组每组各 2 人, 共有




= 105( 种) 不同的分法,

( ) 又甲、乙分在同一组的方法共有 + = 25( 种)

不同的分法, 故甲、乙不分在同一组的分法有 105-25= 80. 【答案】 A

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9. 已知 a 为执行如图所示的程序框图输出的结果, 则二 项式( a - )6 的展开式中含 x2 项的系数是(


) .

A. 192 B . 32 C . 96 D . - 192

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【解析】由程序框图可知, a 计算的结果依次为 2, - 1, , 2, ?, 呈周期性变化, 周期为 3.


当i =2011 时运行结束, 2011= 3× 670+ 1, 所以 a=2. 所以 ( a - ) =(2 - )6,
6









T r+1= (2

6-r 3-r ) (- )r= (-1)r 2 x ,
6 -r





5 令 3-r=2, 得 r=1, 所以含 x2 项的系数是 ( -1) 2 =- 192. 【答案】 D

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二、填空题 10. 某普通高中有 3000 名学生 , 高一年级 800 名 , 男生 500 名, 女生 300 名 ; 高二年级 1000 名, 男生 600 名 , 女生 400 名 ; 高三年级 1200 名, 男生 800 名 , 女生 400 名, 现按年级比例用 分层抽样的方法抽取 150 名学生 , 则在高三年级抽取的女生 人数为

.

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【解析】高三年级应抽取 1200× 所以高三女生应抽取 400× 【答案】 20




++

= 60 人,

= 20 人.

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11. 在区间[ -5, 5] 上任取一个数 a, 则函数

f( x) =x 2-2ax+a+6 有零点的概率为

.

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【解析】若 f (x)=x 2-2ax+a+ 6= (x-a)2-a2+a+6 没有零点 , 则 -a2+a+6> 0, 解得 -2<a< 3, 则函数 y=f (x ) 有零点的概率

P = 1--(-)=.
【答案】


-(-)

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20 12. 设( 1+2x ) =( a0+a1x+a2x2+? 10 +a9x 9+a10x10) ·( 1+x ) +b0+b1x+b2x 2+?+b9x 9, 则 b0-b1+b2-b3+?

+b8-b9=

.

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【解析】取 x=-1, 代入已知等式得
2 (1-2)20= (a0-a1+a2-?-a9+a10) ×( 1-1) +(b0-b1+b2-?-b9) ,

即 1=0+(b0-b1+b2-?-b9) , 所以 b0-b1+b2-?b9=1. 【答案】1

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三、解答题 13. 甲乙两人进行围棋比赛, 约定先连胜两局者直接赢得比 赛, 若赛完 5 局仍未出现连胜, 则判定获胜局数多者赢得比赛 . 假设每局甲获胜的概率为 , 乙获胜的概率为 , 各局比赛结果


相互独立 . ( 1) 求甲在 4 局以内 ( 含 4 局) 赢得比赛的概率; ( 2) 记 X 为比赛决出胜负时的总局数, 求 X 的分布列和均 值( 数学期望 ) .

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【解析】 用 A 表示 “甲在 4 局以内 ( 含 4 局) 赢得比赛” , Ak 表示“第 k 局甲获胜”, B k 表示 “第 k 局乙获胜”, 则

P (A k)=, P (B k)=, k=1,2,3, 4, 5.
(1)P (A )=P (A 1A 2)+P (B 1A 2A 3)+P (A 1B 2A 3A 4)=P (A 1) P (A 2)+





P (B 1)P (A 2)P (A 3)+P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)=() +×() +××
2 2











( )2= .






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(2)X 的可能取值为 2, 3, 4, 5.

P (X =2)=P (A 1A 2)+P (B 1B 2) =P (A 1)P (A 2)+P (B 1)P (B 2)=, P (X = 3)=P (B 1A 2A 3)+P (A 1B 2B 3)=P (B 1)P (A 2) P (A 3)+P (A 1)P ( B 2)P (B 3)=,


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P (X =4)=P (A 1B 2A 3A 4)+P (B 1A 2B 3B 4) =P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)+P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)=, P (X =5)= 1-P (X = 2)-P (X = 3)-P (X =4)=.
故 X 的分布列为


X P

2


3


4


5

E (X )=2×+ 3× + 4×+ 5×= .

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一、选择题 1. 某学校有男、女学生各 500 名. 为了解男、女学生在学习 兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异, 拟从全体学生中抽 取 100 名学生进行调查, 则宜采用的抽样方法是 ( A. 抽签法 B. 随机数法 ) .

C. 系统抽样法 D . 分层抽样法

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【解析】因为对男女进行抽样, 个体差异比较大, 应采用 分层抽样法, 故选 D . 【答案】 D

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2. 从编号为 001, 002, ?, 500 的 500 个产品中用系统抽样 的方法抽取一个样本, 已知样本中编号最小的两个编号分别 为 007, 032, 则样本中最大的编号应该为( A. 480 B. 481 C. 482 ) . D. 483

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【解析】根据题意可知, 抽样间隔为 32- 7=25, 所以由 7+ ( k-1)×25≤500, 解得 k≤


+ 1, 可得 k≤20, 所以样本中最

大的编号为 7+19×25=482. 【答案】C

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3. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示, 若它们的中位数 相同, 平均数也相同, 则图中的 等于(


) .

A. 8B . 9 C. D. 1




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【解析】根据题意可得甲组数据的中位数为 21, 则可得 20+n=21, 即 n=1, 所以乙组数据的平均数为 22, 则可得
+ +++

= 22, 解得 m =8, 所以 = 8.



【答案】A

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4. 设某大学的女生体重 y( 单位: kg) 与身高 x( 单位: cm ) 具 有线性相关关系, 根据一组样本数据( x i, yi) ( i = 1, 2, ?, n) , 用最小


二乘法建立的回归方程为 = 0. 85x- 85. 71, 则下列结论中不 . 正确 的是 ( .. ) .

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A. y 与 x 具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心( , ) C. 若该大学某女生身高增加 1 cm , 则其体重约增加 0. 85 kg D. 若该大学某女生身高为 170 cm , 则可断定其体重必为 58. 79 kg
??

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【解析】因为回归方程为: = 0. 85x- 85. 71, 在 D 项中 , 由


x= 170 得到 = 58. 79, 就认为其体重一定为 58. 79 kg 是错误的,
应得到的体重约为 58. 79 kg 才是对的, 所以选 D . 【答案】 D

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5. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和 图 ②所示 . 为了解该地区中小学生的近视形成原因, 用分层 抽样的方法抽取 2% 的学生进行调查, 则样本容量和抽取的 高中生近视人数分别为 ( ) .

A. 200, 20 B . 100, 20 C. 200, 10 D . 100, 10

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【解析】根据图①知该地区中小学生一共有 10000 人, 由于抽取 2 的学生, 所以样本容量是 10000×2 = 200. 由于高 中生近视率为 50 , 所以高中生近视的人数为 2000× 2 ×50

= 20.
【答案】 A

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6. 从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中, 任取 2 个点, 则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为 ( A.


) .

B. C. D .








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【解析】如图所示, 从正方形四个顶点及其中心这 5 个
点中 , 任取 2 个点 , 共有 = 10 条线段, A 、B 、C 、D 四点中任 意 2 点连线段都不小于该正方形边长, 共有 = 6 条, 所以这 2

个点的距离不小于该正方形边长的概率为 P = = .






【答案】 C

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7. 以下三个命题中:

①从匀速传递的产品生产流水线上, 质检员每 10 分钟
从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽 样;

②若两个变量的线性相关性越强, 则相关系数的绝对值
越接近于 1;

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③在某项测量中, 测量结果 ξ 服从正态分布 N ( 1, σ2) ( σ> 0) ,
若 ξ 位于区域 ( 0, 1) 内的概率为 0. 4, 则 ξ 位于区域 ( 0, 2) 内的概 率为 0. 8. 其中真命题的序号为( ) .

A. ①② B . ①③ C . ②③ D . ①②③

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【解析】 ①应为系统( 等距) 抽样; ②线性相关系数 r 的绝 对值越接近 1, 两变量间线性关系越密切; ③变量 ξ ~N (1, σ2) , P (0< ξ <2)=0. 8. 【答案】C

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3 8 8. 在( 1-x) ( 1+x) 的展开式中, 含 x2 项的系数是 n, 若

n ( 8-nx ) =a0+a1x+a2x 2+?+anx n, 则 a0+a1+a2+?+an= (

) .

A. 0B . 1 C. -1 D . 157

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【解析】由题意可得 n= + ·(-1) · + = 7, 再令

x= 1, 代入( 8-nx)n=a0+a1x+a2x 2+?+anx n 得 a0+a1+a2+? +an= (8-7)7=1
【答案】B

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9. 袋中有大小相同的编号为 1 到 8 的球各一只, 自袋中 随机取出两球, 设 η 为取出两球中的较小编号, 若 P k 表示 η 取值为 k( k= 1, 2, ?, 7) 的概率, 则满足 P k> 的 P k 个数是( A. 5B . 4 C. 3 D. 2


) .

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【解析】从编号为 1 到 8 的球随机取出两球, 共有
= 28(种 ) 不同的情况,

∵η为取出两球中的较小编号, P k 表示 η 取值为 k(k=1,2, ?, 7) 的概率 , ∴ P 1=> , P 2=> , P 3=> , P 4=> , P 5=< , P 6=<,P 7=< ,
综上所述, 满足 P k> 的 P k 个数是 4 个 .


【答案】 B

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10. 一个射箭运动员在练习时只记射中 9 环和 10 环的成 绩, 未击中 9 环或 10 环就以 0 环记. 该运动员在练习时击中 10 环的概率为 a, 击中 9 环的概率为 b, 既未击中 9 环也未击 中 10 环的概率为 c( a, b, c∈[ 0, 1) ) , 如果已知该运动员一次射箭 击中环数的期望为 9 环 , 则当 + 取最小值时, c 的值为


(

) . A.


B. C.








D. 0

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【解析】由题意可得 10a+ 9b= 9,


+ = ( + )(10a+ 9b)=(101+












+ ) ≥



, 当且仅当



= 即 a= 9b 时取等号.
由 10a+ 9b= 9 及 a= 9b 得 a= , b= 所以 c= 1-a-b= .


【答案】 A

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二、填空题 11. 从总体中随机抽出一个容量为 20 的样本, 其数据的分组 及各组的频数如下表, 试估计总体的中位数为 果保留到整数) 分组 频数 [ 12, 16) 4 [ 16, 20) 8 [ 20, 24) 5 [ 24, 28) 3

. ( 结

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【解析】估计总体的中位数为 14× + 18× + 22






×+ 26×≈19.
【答案】 19





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12. 商场经营的某种袋装大米质量( 单位 : kg) 服从正态分 布N( 10, 0. 12) , 任取一袋大米, 质量不足 9. 8 kg 的概率为

. ( 精确到 0. 0001)
( 注: P( μ-σ<X ≤μ+ σ) =0. 6826, P( μ-2σ<X ≤ μ+ 2σ) = 0. 9544, P( μ- 3σ<X ≤ μ+ 3σ) =0. 9974. )

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【解析】设大米质量为 X , 则 X ~N ( 10, 0. 12) , 则 P (9. 8<X ≤10. 2)=0. 9544, 所以质量不足 9. 8 kg 的概率即 P ( X≤ 9. 8)=
- .

= 0. 0228.

【答案】 0. 0228

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13. 如图, 在边长为 e( e 为自然对数的底数) 的正方形中随 机撒一粒黄豆, 则它落到阴影部分的概率为

.

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【解析】因为函数 y= l n x 的图象与函数 y= ex 的图象关 于正方形的对角线所在直线 y=x 对称 , 则图中的两块阴影部 分的面积为 =


-) = ,

故根据几何概型的概率公式得, 该粒黄豆落到阴影部分 的概率 P = .


【答案】





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6 14. 若( ax 2+ ) 的展开式中 x3 项的系数为 20, 则 a2+b2 的最



小值为

.

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【解析】 因为

2 6 -r r 6-r r 12-3r T r+1=(ax ) ( )= a bx , 令

12- 3r= 3,

6-3 3 得 r= 3, 所以 a b =20, 即 a3b3=1, 所以 ab=1, 所以 a2+b2≥

2ab=2, 当且仅当 a=b, 且 ab=1 时 , 等号成立 . 故 a2+b2 的最小值 是 2. 【答案】 2

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15. 某学校周五安排有语文、 数学、 英语、 物理、 化学、 体育六节课, 要求体育不排在第一节课, 数学不排在第四节 课, 则这天课表的不同排法种数为

.

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【解析】学校安排六节课程可看做是用 6 个不同的元 素填 6 个空的问题 , 要求体育不排在第一节课, 数学不排在第 四节课的排法可分两类 . 一类是体育课排在第四节, 则满足 了体育课不在第一节, 同时满足了数学课不在第四节 , 排 法种数是 一类是体育课不排第四节, 数学课 = 120 种 ; 也不排在第四节, 则第四节课只能从语文、英语、物理、化

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学课中任取 1 节来安排, 有 4 种安排方法, 然后安排第一 节课 , 第一节课可从语文、英语、物理、化学课中剩下的 3 各科目及数学科目 4 个科目中任选 1 节, 有 4 种安排方法, 最后剩余的 4 各科目和 4 节课可全排列有 由 = 24 种排法 , 分步计数原理, 第二类安排方法共有 4×4×24= 384 种, 所以 这天课表的不同排法种数为 120+ 384=504 种 . 【答案】 504

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三、解答题 16. 一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片, 其中 4 张卡片 上的数字是 1, 3 张卡片上的数字是 2, 2 张卡片上的数字是 3. 从盒中任取 3 张卡片 . ( 1) 求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率; ( 2) X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数, 求 X 的分布列 与数学期望 .

( 注: 若三个数 a, b, c 满足 a≤b≤c, 则称 b 为这三个数的 中位数)

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【解析】 ( 1) 由古典概型的概率计算公式知所求概率为

P=

+

= .
+ + +



(2)X 的所有可能值为 1, 2, 3, 且

P (X =1)=


= ,P (X =2)=

=, P (X = 3)=

=

,

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故 X 的分布列为:

X P

1


2


3

从而 E (X )=1× + 2× + 3× = .


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17. 据 IE C ( 国际电工委员会 ) 调查显示, 小型风力发电项目投 资较少, 且开发前景广阔, 但受风力自然资源影响, 项目投资 存在一定风险. 根据测算, 风能风区分类标准如下: 一类风 风能分类 区 平均风速 8. 5~ 10 m /s 二类风区 6. 5~ 8. 5

假设投资 A 项目的资金为 x( x≥0) 万元 , 投资 B 项目资金为

y( y≥0) 万元 , 调研结果: 未来一年内, 位于一类风区的 A 项目

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获利的可能性为 0. 6, 亏损 20 的可能性为 0. 4; 位于二类 风区的 B 项目获利 35 的可能性为 0. 6, 亏损 10 的可能性是 0. 1, 不赔不赚的可能性是 0. 3. ( 1) 记投资 A , B 项目的利润分别为 X 和 Y , 试写出随机变 量 X 与 Y 的分布列和期望 E ( X) , E (Y ) ; ( 2) 某公司计划用不超过 100 万元的资金投资于 A , B项 目, 且公司要求对 A 项目的投资不得低于 B 项目 , 根据 ( 1) 的 结

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论和市场调研, 试估计一年后两个项目的平均利润之和

z=E ( X) +E ( Y) 的最大值.

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【解析】 ( 1) A 项目投资利润 X 的分布列

X P

0. 3x 0. 6

- 0. 2x 0. 4

E (X )=0. 18x- 0. 08x= 0. 1x. B 项目投资利润 Y 的分布列 Y 0. 35y - 0. 1y P 0. 6 0. 1
0 0. 3

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E (Y )=0. 21y-0. 01y=0. 2y.
+ ≤ , (2) 由题意可知 x, y 满足的约束条件为 ≥ , ≥ , ≥ . 由( 1) 可知, z=E (X )+E (Y )=0. 1x+0. 2y, 当 x=50, y=50, z 取得最大值 15. 故对 A 、 B 项目各投资 50 万元 , 可使公司获得最大利润 , 最大利润是 15 万元 .

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18. 根据以往的经验, 某工程施工期间的降水量 X ( 单 位: mm) 对工期的影响如下表: 降水量 X 工期延误天数

X < 300 300≤X <700 700≤X < 900 X ≥ 900
0 2 6 10

Y

历年气象资料表明, 该工程施工期间降水量 X 小于 300, 700, 900 的概率分别为 0. 3, 0. 7, 0. 9, 求: ( 1) 工期延误天数 Y 的均值与方差;

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( 2) 在降水量 X 至少是 300 的条件下, 工期延误不超过 6 天的概率.

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【解析】 ( 1) 由已知条件和概率的加法公式有:

P (X < 300)=0. 3, P (300≤ X < 700)=P (X <700)-P (X < 300)=0. 7- 0. 3= 0. 4, P (700≤ X < 900)=P (X < 900)-P (X <700)=0. 9-0. 7= 0. 2. P (X ≥ 900)=1-P (X < 900)=1- 0. 9= 0. 1.
所以 Y 的分布列为:

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Y P

0 0. 3

2 0. 4

6 0. 2

10 0. 1

于是, E (Y )= 0×0. 3+ 2×0. 4+6×0. 2+ 10×0. 1= 3;

D (Y )=(0- 3)2×0. 3+ (2- 3)2×0. 4+(6- 3)2×0. 2+(10- 3)2×
0. 1= 9. 8. 故工期延误天数 Y 的均值为 3, 方差为 9. 8. (2) 由概率的加法公式, P (X ≥ 300)= 1-P (X < 300)=0. 7, 又 P (300≤ X < 900)=P (X < 900)-P (X < 300)= 0. 9- 0. 3= 0. 6.

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由条件概率, 得 P( Y ≤6| X ≥300)=P (X < 900| X≥ 300)=
( ≤<900) . ( ≥)

= . = .

故在降水量 X 至少是 300 m m 的条件下, 工期延误不超过 6 天的概率是 .


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19. 低碳生活, 从“衣食住行” 开始 . 在国内一些网站中出 现了“碳足迹 ”的应用, 人们可以由此计算出自己每天的碳 排放量, 如家居用电的二氧化碳排放量 ( 千克 ) =耗电度数× 0. 785, 家用天然气的二氧化碳排放量( 千克 ) =天然气使用立 方数×0. 19 等 . 某校开展“节能减排, 保护环境, 从我做起 ! ” 的活动, 该校高一 ( 六) 班同学利用假期在东城、 西城两个小区 进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准 ”

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的调查 . 生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”, 否则 称为“非低碳家庭”. 经统计, 这两类家庭占各自小区总户 数的比例 P 数据如下: 低 东城 碳 小区 家 庭 比例 P 非 低 碳 家 庭 西 城 小 区 低 碳 家 庭

非低碳家庭

比 例 P



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( 1) 如果在东城、西城两个小区内各随机选择 2 个家庭, 求这 4 个家庭中恰好有 2 个家庭是“低碳家庭”的概率; ( 2) 该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要 意义, 每周“非低碳家庭”中有 20% 的家庭能加入到“低碳 家庭”的行列中 . 宣传两周后随机地从东城小区中任选 5 个 家庭, 记 X 表示 5 个家庭中“低碳家庭”的个数, 求E( X) 和

D (X ) .

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【解析】( 1) 设事件“4 个家庭中恰好有 2 个家庭是‘低 碳家庭’”为 A , 则有以下三种情况: “低碳家庭”均来自东 城小区, “低碳家庭”分别来自东城、西城两个小区, “低碳 家庭”均来自西城小区 . 则 P( A )= × × × + 4× × × × + × × × =


.

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(2) 因为东城小区每周有 20% 的人加入“低碳家庭”行 列, 经过两周后, 非低碳家庭所占的比例为 ×( 1-20 )2= , 两类


家庭占东城小区总家庭数的比例如下: 东城小区

P

低碳家庭

非低碳家庭

由题意, 两周后东城小区 5 个家庭中的“低碳家庭”的 个数 X 服从二项分布, 即 X ~B ( 5, ) ,


∴E (X )=5×= , D (X )= 5××= .







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20. 某电视台举办猜歌曲的娱乐节目: 随机播放歌曲片 段, 选手猜出歌曲名称可以赢取奖金. 曲库中歌曲足够多, 不 重复抽取 . 比赛共分 7 关: 前 4 关播放常见歌曲; 第 5, 6 关播放 常见或罕见歌曲, 曲库中常见歌曲与罕见歌曲数量比为 1∶ 4; 第 7 关播放罕见歌曲 . 通过关卡与对应的奖金如下表所示. 选手在通过每一关 ( 最后一关除外) 之后可以自主决定退出 比赛或继续闯关; 若退出比赛, 则可获得已经通过关卡对应 奖金之和; 若继续闯关但闯关失败, 则不获得任何奖金 .

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关卡 关 奖金 卡 1 2 3 4 5 6 7 ( 元) 1000 2000 3000 4000 8000 12000 20000

累计奖金 ( 元)

1000 3000 6000 10000 18000 30000 50000

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( 1) 选手甲准备参赛, 在家进行自我测试: 50 首常见歌曲, 甲能猜对 40 首 . 40 首罕见歌曲, 甲只能猜对 2 首 . 以他猜对常 见歌曲与罕见歌曲的频率为概率 .

①若比赛中, 甲已顺利通过前 5 关 , 求他闯过第 6 关的概
率;

②在比赛前, 甲计划若能通过第 1, 2, 3 关的任意一关, 则
继续; 若能通过第 4 关, 则退出 , 求这种情况下甲获得奖金的 数学期望 .

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( 2) 设选手乙猜对罕见歌曲的概率为 p, 且他已经顺利通 过前 6 关, 当 p 满足什么条件时, 他选择继续闯第 7 关更有利?

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【解析】 ( 1) ①他能闯关第 6 关的概率 p= × + ×






= . ②设甲获得的奖金为 X 元, 其分布列为 : X 0 10000 4 4 P 1- ( ) ()

4 4 ∴E (X )=0×[ 1- ( ) ] + 10000×( ) =4096.









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(2) 若他通过前 6 关后退出比赛, 可获奖金 30000 元 . 设他继续闯第 7 关, 可获奖金 Y 元 , 则 Y 的分布列为:

Y P

0 1-p

50000

p

∴E (Y )= 50000p,
令 50000p> 30000, 解得 p> ,


所以 , 当 p> 时, 他选择继续闯关更有利 .




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21. 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站. 过去 50 年的水文资料显示, 水库年入流量 X ( 年入流量: 一年 内上游来水与库区降水之和, 单位: 亿立方米) 都在 40 以上 . 其中, 不足 80 的年份有 10 年, 不低于 80 且不超过 120 的年 份有 35 年, 超过 120 的年份有 5 年. 将年入流量在以上三段 的频率作为相应段的概率, 并假设各年的年入流量相互独 立.

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( 2) 水电站希望安装的发电机尽可能运行, 但每年发电机最多可 运行台数受年入流量 X 限制, 并有如下关系: 年入流量 X 发电机最多 可运行台数 40<X < 80 1 80≤ X ≤120 2

X > 120
3

若某台发电机运行, 则该台年利润为 5000 万元 ; 若某台发电机 未运行, 则该台年亏损 800 万元 . 欲使水电站年总利润的均值达 到最大, 应安装发电机多少台?

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【解析】 ( 1) 依题意 , p1=P (40<X <80)= = 0. 2,




p2=P (80≤X ≤ 120)== 0. 7, p3=P (X >120)== 0. 1.
由二项分布得, 在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超
4 过 120 的概率为 p= ( 1-p3) + (1-p3)3p3=0. 94+4×0. 93×





0. 1= 0. 9477. (2) 记水电站年总利润为 Y ( 单位 : 万元 ) .

①安装 1 台发电机的情形.

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由于水库年入流量总大于 40, 故一台发电机运行的概 率为 1, 对应的年利润 Y =5000, E (Y )= 5000×1=5000.

②安装 2 台发电机的情形.
依题意, 当 40<X < 80 时 , 一台发电机运行, 此时

Y = 5000-800=4200, 因此 P ( Y =4200)=P (40<X <80)=p1= 0. 2; 当 X ≥80 时 , 两台发电机运行, 此时 Y =5000×2=10000, 因此 P (Y =10000)=P (X ≥ 80)=p2+p3= 0. 8. 由此得 Y 的分布列如下: Y P
4200 0. 2 10000 0. 8

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所以 E (Y )=4200×0. 2+ 10000×0. 8=8840.

③安装 3 台发电机的情形.
依题意, 当 40<X < 80 时 , 一台发电机运行, 此时

Y = 5000-1600= 3400, 因此 P ( Y = 3400)=P (40<X < 80)=p1= 0. 2; 当
80≤ X ≤120 时 , 两台发电机运行 , 此时 Y =5000× 2- 800= 9200, 因此 P (Y = 9200)=P ( 80≤ X ≤120)=p2= 0. 7; 当

X > 120 时 , 三台发电

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机运行, 此时 Y = 5000× 3= 15000, 因此

P (Y =15000)=P (X > 120)=p3=0. 1. 由此得 Y 的分布列如下 : Y 3400 9200 15000 P 0. 2 0. 7 0. 1
所以 E (Y )= 3400×0. 2+ 9200×0. 7+15000× 0. 1=8620. 综上 , 欲使水电站年总利润的均值达到最大, 应安装发 电机 2 台 .


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