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2019教育【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第2章 第8讲精品英语_图文


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第8讲 函数与方程

第二章 第8讲

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

第二章 第8讲

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1. 结 合 二 次 函 数 的 图 象 , 了 解 函 数 的 零 点 与 方 程 根 的 联 系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似 解.

第二章 第8讲

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1个熟记口诀 用二分法求函数零点近似值的口诀为:定区间,找中点, 中值计算两边看,同号去,异号算,零点落在异号间.周而复 始怎么办?精确度上来判断. 2项必须防范 1. 函数y=f(x)的零点即方程f(x)=0的实根,是数不是点. 2. 若函数f(x)在(a,b)上有零点,不一定有f(a)·f(b)<0.

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3种必会方法 1. 直接法:令f(x)=0,则有几个解就有几个零点. 2. 零点存在性定理法:要求函数在[a,b]上是连续的曲 线,且f(a)·f(b)<0.还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能 确定函数有多少个零点. 3. 图象法:先把所求函数分解为两个简单函数,再画两个 函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个 不同的值,就有几个不同的零点.

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第二章 第8讲

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1. 函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x),我们把使________的实数x叫做函数y= f(x)的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函 数y=f(x)有零点.

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上述等价关系在研究函数零点、方程的根及图象交点问题 时有什么作用?

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(1)y = 2x - 1 的 图 象 与 x 轴 的 交 点 坐 标 及 其 零 点 分 别 是 ________.
(2)函数f(x)=ax-b有一个零点3,那么函数g(x)=bx2+3ax 的零点是________.

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2. 零点存在定理 如果函数y=f(x)满足: (1)在闭区间[a,b]上连续; (2)f(a)·f(b)<0; 则函数y=f(x)在(a,b)上存在零点,即存在c∈(a,b),使 得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

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若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则y=f(x)在区间[a, b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线,且有f(a)·f(b)<0 呢?

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(1)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是________. ①(-2,-1);②(-1,0);③(0,1);④(1,2). (2)函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则 a的取值范围是________.

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3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)零点的分布

根的分布 (m<n<p 为常数)

图象

满足条件

x1<x2<m

?Δ>0 ????- f?m2b?a><0m

m<x1<x2

?????- fΔ?>m20b?a>>0m

x1<m<x2

f(m)<0

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根的分布 (m<n<p为常数)
m<x1<x2<n
m<x1<n<x2<p 只有一根在 (m,n)之间

图象

满足条件

????Δm><0-2ba<n ?f?m?>0 ??f?n?>0
??f?m?>0 ?f?n?<0 ??f?p?>0
?? Δ=0 ???m<-2ba<n 或f(m)·f(n)<0

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(1)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根, 则实数m的取值范围是__________.
(2)关于x的方程x2+mx-2=0,其中一个根小于1,而另一 个根大于1,则m的取值范围________.

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4.二分法 (1)二分法的定义 对于在区间[a,b]上连续不断且________的函数y=f(x), 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间________,使区间的两 端点逐步逼近________,进而得到零点的近似值的方法叫做二 分法.

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(2)用二分法求函数零点近似解的步骤 第一步:确定区间[a,b],验证________,给定精确度ε; 第二步:求区间(a,b)的中点c; 第三步:计算f(c) ①若f(c)=0,则c就是函数的零点; ②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)); ③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)). 第四步:判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零 点近似值a(或b),否则重复第二、三、四步.

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能否用二分法求任何函数(图象是连续的)的近似零点?

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用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计 算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈________,第二次 应计算________.

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1. f(x)=0 想一想:提示:由于三者之间有等价关系,因此,在研究 函数零点、方程的根及图象交点问题中,当从正面研究较难入 手时,可以转化为其等价的另一易入手的问题处理,如研究含 有绝对值、分式、指数、对数等较复杂的方程问题,常转化为 两熟悉函数图象的交点问题研究.

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填一填:(1)(12,0);12 (2)-1,0 提示:b=3a,∴g(x)=3ax2+3ax=0,∴x= -1,或x=0. 2. 想一想:提示:不一定.由图(1)、(2)可知.

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在区间[a,b]上的连续函数,若f(a)·f(b)>0则f(x)在[a,b] 上定无零点(×)
填一填:(1)② (2)a>15或a<-1 提示:令f(-1)·f(1)<0,得a>15或a<-1. 3.填一填:(1)m<-2或m>2

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(2)m<1 提示:f(1)=m-1<0,m<1. 4.f(a)·f(b)<0 一分为二 零点 f(a)·f(b)<0 想一想:提示:不能.看一个函数能否用二分法求其零点 的依据是函数图象在零点附近是连续不断的,且在该零点左右 函数值异号. 填一填:(0,0.5) f(0.25)

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核心要点研究

第二章 第8讲

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例1 (1)[2012·天津高考]函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内

的零点个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

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(2)[2013·汕头模拟]函数f(x)=ln(x-2)-

2 x

的零点所在的

大致区间是( )

A.(1,2)

B.(2,3)

C.(3,4)

D.(4,5)

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[审题视点] (1)把求函数f(x)的零点个数问题转化为函数y1 =2x-2与y2=-x3的图象在区间(0,1)内的交点个数问题,作出 函 数 图 象 结 合 区 间 端 点 值 即 可 判 断 结 果 . (2) 直 接 利 用
f(a)·f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有零点.

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[解析] (1)解法一:函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零 点个数即为函数y1=2x-2与y2=-x3的图象在区间(0,1)内的交 点个数.作图,可知在(0,+∞)内最多有一个交点,故排除 C、D项;当x=0时,y1=-1<y2=0,当x=1时,y1=0>y2=- 1,因此在区间(0,1)内一定会有一个交点,所以A项错误,故选
B.

第二章 第8讲

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解法二:因为f(0)=1+0-2=-1,f(1)=2+13-2= 1,故f(0)·f(1)<0,又函数f(x)在(0,1)内单调,故f(x)在(0,1)内 的零点个数是1.
(2)∵f(3)=ln1-23<0, f(4)=ln2-12=ln2-ln e>0, ∴f(3)·f(4)<0,故选C. [答案] (1)B (2)C

第二章 第8讲

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奇思妙想:本例(1)改为f(x)=2x+x3-m在区间(0,1)内有零 点,求m的范围,如何解答?
解:∵f(x)在(0,1)上单调递增, ∴ 在 (0,1) 上 有 零 点 等 价 于 f(0)·f(1) = (1 - m)(3 - m)<0 , ∴1<m<3.

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判断函数的零点或方程的根所在区间时,通常有两种方 法,一是利用零点存在性定理进行判断;二是画出相应函数的 图象,由图象及单调性进行直观判断.

第二章 第8讲

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[变式探究] (1)[2012·湖北高考]函数f(x)=xcos2x在区

间[0,2π]上的零点的个数为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

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(2)[2011·课标全国]在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3

的零点所在的区间为( )

A.(-14,0)

B.(0,14)

C.(14,12)

D.(12,34)

第二章 第8讲

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答案:(1)D (2)C

解析:(1)令f(x)=xcos2x=0,得x=0或cos2x=0,故x

=0或2x=kπ+

π 2

,k∈Z.即x=0或x=

kπ 2



π 4

,k∈Z.又x∈

[0,2π],故k可取0,1,2,3,故零点的个数有5个. (2)∵f(x)是R上的增函数且图象是连续的,且f(14)=e14+

4×14-3=e14-2<0,f(12)=e12+4×12-3=e12-1>0,∴f(x)在

(14,12)内存在唯一零点.

第二章 第8讲

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例2 [2012·济南模拟]若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正 数零点附近的函数值的部分参考数据如下:

f(1)=-2

f(1.5)=0.625

f(1.25)≈-0.984

f(1.375)≈-0.260 f(1.4375)≈0.162 f(1.40625)≈-0.054

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那 么 方 程 x3 + x2 - 2x - 2 = 0 的 一 个 近 似 根 ( 精 确 到 0.1) 为 ________.
[审题视点] 根据函数零点的存在性定理和用二分法求方 程近似解的方法解决.
[ 解 析 ] 由 参 考 数 据 知 f(1.4375)>0 , f(1.40625)<0 , f(1.4375)·f(1.40625)<0 , 且 精 确 到 0.1 时 , 1.4375≈1.4,1.40625≈1.4,所以函数f(x)的一个零点的近似值是 1.4,也就是方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根.
[答案] 1.4

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用二分法求函数零点近似值,借助于计算器一步步求解即 可,我们可以借助于表格或数轴清晰地描写逐步缩小零点所在 区间的过程,而运算终止的时候就在区间长度小于精确度ε的时 候.

第二章 第8讲

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[变式探究] 用二分法求方程10x=x+2在[0,1]上的近似解 时,取区间中点c=0.5,下一个有根区间是________.
答案:[0,0.5]
解析:令f(x)=10x-x-2,f(0)=-1<0,f(1)=7>0, f(0.5)= 10-2.5>0,由于f(0)f(0.5)<0,故下一个有根区间是 [0,0.5].

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例3 [2013·怀化模考]函数f(x)=mx2-2x+1有且仅有一个

为正实数的零点,则实数m的取值范围是( )

A.(-∞,1]

B.(-∞,0]∪{1}

C.(-∞,0)∪(0,1]

D.(-∞,1)

[审题视点] 函数中的二次项系数是个参数,要先对其分

类讨论,再结合一次函数、二次函数的图象列不等式解决.

第二章 第8讲

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[解析]

当m=0时,x=

1 2

为函数的零点;当m≠0时,

若Δ=0,即m=1时,x=1是函数唯一的零点,若Δ≠0,显

然函数x=0不是函数的零点,这样函数有且仅有一个正实

数零点等价于方程mx2-2x+1=0有一个正根和一个负根,

即mf(0) <0,即m<0.故选B.

[答案] B

第二章 第8讲

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分类讨论思想、函数与方程思想是高考着重考查的两种数 学思想,它们在本题的求解过程中体现得淋漓尽致,还要注意 函数的零点有变号零点和不变号零点,如本题中的x=1就是函 数的不变号零点,对于不变号零点,函数零点的存在性定理是 不适用的,因此在解决函数的零点问题时要注意这一点.

第二章 第8讲

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[变式探究] [2013·青岛模拟]设f(x)与g(x)是定义在同一

区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]

上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函

数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与

g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围为

() A.(-94,-2]

B.[-1,0]

C.(-∞,-2]

D.(-94,+∞)

第二章 第8讲

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答案:A 解析:令F(x)=f(x)-g(x)=x2-3x+4-(2x+m)=x2- 5x+4-m,则由题意知F(x)=0在[0,3]上有两个不同的实数

根,因而 ???FF??30??≥≥00 ??Δ=52-4?4-m?>0

?? 4-m≥0 ,即 ??-2-m≥0
???m>-94

,解之

得-94<m≤-2,故选A.

第二章 第8讲

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【选题·热考秀】

[2013·成都联考]设函数f(x)=

1 3

x-lnx(x>0),则y=

f(x)( )

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A.在区间(1e,1),(1,e)内均有零点 B.在区间(1e,1),(1,e)内均无零点 C.在区间(1e,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点 D.在区间(1e,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点

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[规范解答]

由题得f′(x)=

1 3



1 x



x-3 3x

(x>0),令

f′(x)>0得x>3;令f′(x)<0得0<x<3;令f′(x)=0得x=3,故

函数f(x)在区间(0,3)上为减函数,在区间(3,+∞)为增函

数,在x=3处有极小值1-ln3<0.

又f(1)=13>0,f(e)=3e-1<0,f(1e)=31e+1>0,故选D.

[答案] D

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【备考·角度说】

No.1 角度关键词:错因分析

由零点存在定理,可知在区间(1,e)内存在零点,但是

在(

1 e

,1)内的零点状况无法由零点存在定理作出判断,这是

本题易错原因之一.

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No.2 角度关键词:备考建议 对函数的零点除掌握好常规的考向外,在备考中还应关注 以下几个问题: (1)与函数的单调性、奇偶性、周期性、值域等性质的综合 问题. (2)与指数、对数及三角函数图象与性质的综合问题. (3)与导数的应用综合在一起考查,由极值的正负确定零点 的个数.

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经典演练提能

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1.[2012·北京高考]函数f(x)=



?1? ??2??

x的零点个数为

()

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

答案:B

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解析:函数f(x)= -???12???x的零点个数即

为方程



?1? ??2??

x的根的个数,因此可以利

用数形结合,在同一坐标系内画出函数y

= 和函数y=???12???x的图象,两图象的交点个数即为f(x)=

-???12???x的零点个数,如图所示,其零点个数为1.

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2.[2013·合肥模拟]已知a是函数f(x)=2x-

点,若0<x0<a,则f(x0)的值满足( )

A.f(x0)=0

B.f(x0)<0

C.f(x0)>0

D.不确定

答案:B

x的零

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解析:f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(a)=0,所以 f(x)=0,只有一个实根,当0<x0<a时,恒有f(x0)<0.

另解:x=a为y=2x与y= x的交点横坐标,∴0<x0<a

时2x0< x0,∴2x0- ∴f(x0)<0.

x0<0,

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3.用二分法求方程lnx=

1 x

在[1,2]上的近似解,取中点c

=1.5,则下一个有根区间是________.

答案:[1.5,2]

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解析:令f(x)=lnx-

1 x

,则f(1)=-1<0,f(2)=ln2-

1 2



ln 2e>ln1=0,f(1.5)=ln1.5-23=13(ln1.53-2).

因为1.53=3.375,e2>4>1.53,故f(1.5)=

1 3

(ln1.53-2)<

1 3

(lne2-2)=0,

所以f(1.5)·f(2)<0,故下一个有根区间是[1.5,2].故填

[1.5,2].

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4 . [2011· 山 东 高 考 ] 已 知 函 数 f(x) = logax + x - b(a>0 , 且 a≠1) . 当 2<a<3<b<4 时 , 函 数 f(x) 的 零 点 x0∈(n , n + 1) , n∈N*,则n=________.
答案:2
解 析 : 因 为 2<a<3 , 所 以 loga2<1 = logaa<loga3 , 因 为 3<b<4 , 所 以 b - 2>1>loga2 , b - 3<1<loga3 , 所 以 f(2)·f(3) = (loga2+2-b)(loga3+3-b)<0,所以函数的零点在(2,3)上,所 以n=2.

第二章 第8讲

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5.用二分法求方程x2=2的正实根的近似解(精确度0.001)

时,如果我们选取初始区间[1.4,1.5],则要达到精确度要求至少

需计算的次数是________.

答案:7

解析:设至少需计算n次,由题意知

1.5-1.4 2n

<0.001即

2n>100由26=64,27=128知n=7.

第二章 第8讲

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限时规范特训

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