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2017-2018学年高中数学 第一章 基本初等函(Ⅱ)第11课时 正切函数的性质与图象 新人教B版必修4


第11课时 正切函数的性质与图象

1 说基础·名师导读 知识点 1 正切函数 y=tanx 的图象

讲重点 正切函数图象的画法及特点
(1)图象的画法:采用“三点两线法”,即????kπ-π4,-1????,(kπ, 0),????kπ+π4,1????和 x=kπ±π2(k∈Z).
在每一区间内单调递增,以 x=kπ±π2为渐近线. (2)图象的特点:两支相邻的图象间的距离是相等的,恰为 一个周期.

知识点 2 正切函数 y=tanx 的性质 (1)定义域是{x|x≠kπ+π2,k∈Z}. (2)值域是 R,即正切函数既无最大值,也无最小值. (3)周期性:正切函数是周期函数,最小正周期是 π. (4)奇偶性:正切函数是奇函数. (5)单调性:正切函数在开区间
????kπ-π2,kπ+π2????(k∈Z)内是增函数. (6)对称性:正切函数的图象关于原点对称,正切曲线都是
中心对称图形,其对称中心坐标是????k2π,0????(k∈Z).正切函数无对 称轴.

讲重点 关于正切函数性质的两点说明
(1)函数 y=Atan(ωx+φ)的周期 T=|ωπ |. (2)正切函数无单调减区间,在每一个单调区间内都是递增 的,但不能说在整个定义域上是单调递增的.

2 说方法·分类探究 类型一 与正切函数有关的定义域问题
【例 1】 求函数 y= tanx+1+lg(1-tanx)的定义域.

解析:由题意得?????t1a-nxt+an1x≥ >00, , 即-1≤tanx<1.在????-π2,π2????
内,满足上述不等式的 x 的取值范围是????-π4,π4????. 又 y=tanx 的周期为 π,所以所求 x 的范围是????kπ-π4,kπ+π4????,
k∈Z. 即为此函数的定义域.

点评 求有关正切函数的定义域时,要首先考虑正切函数本身的定 义域,然后根据函数的特点确定出满足条件的三角不等式或不等 式组.

变式训练 1 求函数 y= 3-tanx的定义域.
解析:由 3-tanx≥0,即 tanx≤ 3, ∴kπ-π2<x≤kπ+π3, 故函数的定义域为????kπ-π2,kπ+π3????(k∈Z). 答案:????kπ-π2,kπ+π3????(k∈Z)

类型二 正切函数的单调性及应用
【例 2】 (1)求函数 y=tan????-12x+π4????的单调区间,并求其周 期;
(2)比较 tan1,tan2,tan3 的大小.

解析:(1)y=tan????-21x+π4????=-tan????12x-π4????, 由 kπ-π2<12x-π4<kπ+π2,
得 2kπ-π2<x<2kπ+32π(k∈Z).

∴函数 y=tan????-21x+π4????的单调递减区间是 ????2kπ-π2,2kπ+32π????(k∈Z). T=|ωπ |=π1=2π,
2
∴函数 y=tan????-21x+π4????的周期为 2π.

(2)∵tan2=tan(2-π),tan3=tan(3-π), 又∵π2<2<π,∴-π2<2-π<0. ∵π2<3<π,∴-π2<3-π<0. 显然-π2<2-π<3-π<1<π2,
且 y=tanx 在????-π2,2π????内是增函数, ∴tan(2-π)<tan(3-π)<tan1,∴tan2<tan3<tan1.

点评 (1)正切函数在每一个单调区间内都是增函数,但在整个定 义域内不是增函数,另外正切函数不存在减区间. (2)对于求 y=Atan(ωx+φ)(A、ω、φ 为常数)的单调区间问题,
可先由诱导公式把 x 的系数化为正值,再由 kπ-π2<ωx+φ<kπ+π2, 求得 x 的范围即可.
(3)运用正切函数单调性比较大小的步骤: ①运用诱导公式将角化到同一单调区间内. ②运用单调性比较大小关系.

变式训练 2 (1)若 α∈????0,π6????,试比较 tan(sinα),tan(tanα), tan(cosα)的大小;
(2)求函数 y=tan????2x-π3????的单调区间.

解析:(1)∵0<α<π6, ∴0<sinα<tanα<cosα<π2,
又∵y=tanx 在????0,π2????上是增函数, ∴tan(sinα)<tan(tanα)<tan(cosα).

(2)由 kπ-π2<2x-π3<kπ+π2 kπ-π6<2x<kπ+56π
k2π-1π2<x<k2π+51π2,k∈Z.故单调增区间为????k2π-1π2,k2π+51π2????(k ∈Z).

类型三 正切函数的周期性、奇偶性 【例 3】 画出函数 y=|tanx|的图象,并根据图象判断其单 调区间、奇偶性、周期性.

解析:由 y=|tanx|得,

??tanx

??kπ≤x<kπ+π2?k∈Z?

y=??-tanx

),

???-π2+kπ<x<kπ?k∈Z?

其图象如图:
由图象可知,单调递增区间为????kπ,kπ+π2????(k∈Z),单调递减 区间为????kπ-π2,kπ????(k∈Z).函数 y=|tanx|是偶函数.周期为 π.

点评 (1)作函数 y=|f(x)|的图象一般利用图象变换方法,具体步骤 是: ①保留函数 y=f(x)图象在 x 轴上方的部分; ②将函数 y=f(x)的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折. (2)若函数为周期函数,可先研究其一个周期上的图象,再 利用周期性,扩展到定义域上即可.

变式训练 3 画出函数 y=tan|x|的图象,并根据图象判断其 单调区间、奇偶性、周期性.

解析:由 y=tan|x|得,

??tanx

??x≥0且x≠kπ+π2,k∈Z

y=??-tanx



???x<0且x≠kπ+π2,k∈Z

根据 y=tanx 的图象,作出 y=tan|x|的图象如图:
由图象可知,函数 y=tan|x|是偶函数, 单调增区间为????0,π2????,????kπ+π2,kπ+23π????(k=0,1,2,…); 单调减区间为????-π2,0????,????kπ-32π,kπ-π2???? (k=0,-1,- 2,…), 不具有周期性.

类型四 与正切函数有关的值域问题 【例 4】 求函数 y=-tan2x+10tanx-1,x∈????π4,π3????的值域.
解析:设 tanx=t,∵x∈????π4,π3????,∴t∈[1, 3]. ∴y=-tan2x+10tanx-1=-t2+10t-1=-(t-5)2+24 ∴当 t=1 即 x=π4时,ymin=8. 当 t= 3,即 x=π3时,ymax=10 3-4. ∴函数值域为[8,10 3-4].

点评 换元化归为给定区间上的二次函数值域问题是解决这类问 题常用的方法,特别注意换元后随即明确新元的范围.


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