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河南省鲁山县一中2017-2018学年高二第一次月考数学(文)试卷Word版含答案


鲁山一高高二年级上学期第一次月考试题(文科数学)

第 I 卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共有 12 个小题,每小题 5 分)
1.不等式 1 ? ?1 的解集为( ) x ?1
A. ???,0???1,??? B. ?0, ??? C. ?0,1? ??1,???

D. ???,0???1,???

2.已知命题 p : ?x0 ??0, ???,lnx0 ?1? x0 ,则命题 p 的真假及 ?p 依次为( )

A. 真; ?x0 ??0, ???,lnx0 ?1? x0 B. 真; ?x??0, ???,lnx ?1? x

C. 假; ?x??0, ???,lnx ?1? x

D. 假; ?x0 ??0, ???,lnx0 ?1? x0

? ? 3.各项为正的等比数列 an 中, a4 与 a14 的等比中项为 2 2 ,则 log2 a7 ? log2 a11 的值为
()

A. 4

B. 3

C. 2

D.1

4.方程 x2 ? y2 ? 1表示椭圆的必要不充分条件是( ) 4?m 2?m

A. m∈(﹣1,2) (﹣1,+∞)

B. m∈(﹣4,2) C. m∈(﹣4,﹣1)∪(﹣1,2)

D. m∈

? x ? y ?1? 0

5.实数

x,

y

满足

? ?

x? y?3?0

,则 z ? x ? 2 y 的最小值是(



??2x ? y ? 7 ? 0

A.-3

B.-4

C.6

D.-6

6.已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 4 ,从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段 PP1 ( P1 在 y 轴上),M

在直线 PP1 上且 P1M ? 2P1P ,则动点 M 的轨迹方程是(

)

A.4x2+16y2=1

B.16x2+4y2=1

C. x 2 + y =1 4 16

D. x 2 + y 2 =1 16 4

7.如图,一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东15 ,与灯塔 S 相距 20nmile ,

随后货轮按北偏西 30 的方向航行 30min 后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速

度为( )

? ? A. 20 2 ? 6 n mile / h

? ? B. 20 6 ? 2 n mile / h

? ? C. 20 6 ? 3 n mile / h

? ? D. 20 6 ? 3 n mile / h

8.已知 ?ABC是锐角三角形,若 A ? 2B ,则 a 的取值范围是( ) b

A. ( 2, 3)

B. ( 2,2)

C. (1, 3)

D. (1,2)

? ? 9 . 设 直 线 nx ? ?n ?1? y ? 2 n ? N* 与 两 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 面 积 为 an , 则

a1 ? a2 ? ? a2 0 1 7?( )

A. 2017 2018

B. 2016 2017

C. 2015 2016

D. 2017 2016

10.已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是( )

? ? ? A. 2 2, ??

B. ??2 2, ??

C. ?3, ???

D. ?3, ???

11.已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为

An



Bn

,且

An Bn

?

7n ? 45 ,则使得 n?3

an 为整数的正整数 n 的个数是( ) bn

A.2

B.3

C.4

D.5

12.设 f(x)是定义在 R 上的增函数,且对任意 x,都有 f(﹣x)+f(x)=0 恒成立,如果

实数 m,n 满足不等式 f(m2﹣6m+21)+f(n2﹣8n)<0,那么 m2+n2 的取值范围是( )

A.(9,49)

B.(13,49)

C.(9,25)

D.(3,7)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二.填空题(本大题共有 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.已知焦点在 y 轴上的椭圆 mx 2 ? 4 y2 ? 1的离心率为 2 ,则实数 m 等于__________. 2

14.已知 x >0, y >0,且 2 + 1 =1,若 x+2y>m2 +2m恒成立,则实数 m 的取值范围是 xy

__________.

15.关于 x 的方程

3sin2x

?

cos2x

?

k

?

1



???0,?2

? ??

内有两个不相等的实数根,则

k

的取

值范围是______.

? ? ? ? 16.对于数列

an

,定义

Hn

?

a1

?

2a2

? n

? 2n?1 an 为

an

的“优值”,现在已知某数列

? ? ? ? an 的“优值” Hn ? 2n?1 ,记数列 an ? kn 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? S5 对任意的 n 恒成
立,则实数 k 的最大值为_____.
三、解答题(本大题共 6 题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题 10 分)
在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,且 bcosC ? ?2a ? c?cosB .
(1)求角 B 的大小;
(2)若不等式 x2 ? 6x ?1 ? 0 的解集是{x | a ? x ? c},求 ?ABC 的周长.
18.(本小题 12 分)
已知命题 p :方程 x2 ? y2 ? 1 表示椭圆,命题 q :?x ? R, mx 2 ? 2mx ? 2m ?1 ? 0 ,. m?6 m?7
(1)若命题 p 为真,求实数 m 的取值范围; (2)若 p ? q 为真, ?q 为真,求实数 m 的取值范围.

19.(本小题 12 分)
在 ?ABC 中 , 点 D 为 BC 边 上 一 点 , 且 BD ? 1, E 为 AC 的 中 点 ,

AE ? 3 , cos B ? 2 7 , ? ADB ? 2? .

2

7

3

(1)求 sin ?BAD ; (2)求 AD 及 DC 的长.

20.(本小题 12 分)

已知函数

f

?x?

?

? ??

sin

x 2

?

cos

x 2

2
? ? ?

?1

,函数

cos2 x ? sin2 x

y

?

f

? x? ?

3 在 ?0, ??? 上的零点按从小到

2

2

? ? 大的顺序构成数列?an? n ? Nx .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

? ? (2)设 bn ?

4n2

3 ? ?1

an
?3n

?

2

?

,求数列 ?bn

?

的前

n

项和

S

n



21.(本小题 12 分) 某货轮匀速行驶在相距 300 海里的甲、乙两地间运输货物,运输成本由燃料费用和其他费用 组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为 0.5),其他 费用为每小时 800 元,且该货轮的最大航行速度为 50 海里/小时.
(1)请将从甲地到乙地的运输成本 y (元)表示为航行速度 x (海里/小时)的函数;
(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?

22.(本小题 12 分)
已知正项数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,数列{an} 满足, 2Sn ? an (an ?1) . (1)求数列{an} 的通项公式;

(2)设数列{ (an

1 ?

2)2

} 的前 n

项和为

An

,求证:对任意正整数 n

,都有

An

?

1 2

成立;

(3)数列 {bn} 满足

bn

?

(

1 2

)n

an

,它的前

n

项和为 Tn

,若存在正整数

n

,使得不等式

(?2)n ?1 ?

? Tn

?

n 2n

? 2n?1 成立,求实数 ?

的取值范围.

鲁山一高高二年级上学期第一次月考试题(文科数学)

命题人:李浩 审题人:孟繁星 2017.9.23

第 I 卷(选择题 共 60 分)

二、选择题(本大题共有 12 个小题,每小题 5 分)
1.不等式 1 ? ?1 的解集为( ) x ?1
A. ???,0???1,??? B. ?0, ??? C. ?0,1? ??1,???

D. ???,0???1,???

2.已知命题 p : ?x0 ??0, ???,lnx0 ?1? x0 ,则命题 p 的真假及 ?p 依次为( )

A. 真; ?x0 ??0, ???,lnx0 ?1? x0 B. 真; ?x??0, ???,lnx ?1? x

C. 假; ?x??0, ???,lnx ?1? x

D. 假; ?x0 ??0, ???,lnx0 ?1? x0

? ? 3.各项为正的等比数列 an 中, a4 与 a14 的等比中项为 2 2 ,则 log2 a7 ? log2 a11 的值为
()

A. 4

B. 3

C. 2

D.1

4.方程 x2 ? y2 ? 1表示椭圆的必要不充分条件是( ) 4?m 2?m

A. m∈(﹣1,2) (﹣1,+∞)

B. m∈(﹣4,2) C. m∈(﹣4,﹣1)∪(﹣1,2)

D. m∈

? x ? y ?1? 0

5.实数

x,

y

满足

? ?

x? y?3?0

,则 z ? x ? 2 y 的最小值是(



??2x ? y ? 7 ? 0

A.-3

B.-4

C.6

D.-6

6.已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 4 ,从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段 PP1 ( P1 在 y 轴上),M

在直线 PP1 上且 P1M ? 2P1P ,则动点 M 的轨迹方程是(

)

A.4x2+16y2=1

B.16x2+4y2=1

C. x 2 + y =1 4 16

D. x 2 + y 2 =1 16 4

7.如图,一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15 ,与灯塔 S 相距

20nmile ,随后货轮按北偏西 30 的方向航行 30min 后,又测得灯塔在货轮的东北方
向,则货轮的速度为( )

? ? A. 20 2 ? 6 n mile / h

? ? B. 20 6 ? 2 n mile / h

? ? C. 20 6 ? 3 n mile / h

? ? D. 20 6 ? 3 n mile / h

8.已知 ?ABC是锐角三角形,若 A ? 2B ,则 a 的取值范围是( ) b

A. ( 2, 3)

B. ( 2,2)

C. (1, 3)

D. (1,2)

? ? 9 . 设 直 线 nx ? ?n ?1? y ? 2 n ? N* 与 两 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 面 积 为 an , 则

a1 ? a2 ? ? a2 0 1 7?( )

A. 2017 2018

B. 2016 2017

C. 2015 2016

D. 2017 2016

10.已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是( )

? ? ? A. 2 2, ??

B. ??2 2, ??

C. ?3, ???

D. ?3, ???

11.已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为

An



Bn

,且

An Bn

?

7n ? 45 ,则使得 n?3

an 为整数的正整数 n 的个数是( ) bn

A.2

B.3

C.4

D.5

12.设 f(x)是定义在 R 上的增函数,且对任意 x,都有 f(﹣x)+f(x)=0 恒成立,如果

实数 m,n 满足不等式 f(m2﹣6m+21)+f(n2﹣8n)<0,那么 m2+n2 的取值范围是( )

A.(9,49)

B.(13,49)

C.(9,25)

D.(3,7)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二.填空题(本大题共有 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.已知焦点在 y 轴上的椭圆 mx 2 ? 4 y2 ? 1的离心率为 2 ,则实数 m 等于__________. 2

14.已知 x >0, y >0,且 2 + 1 =1,若 x+2y>m2 +2m恒成立,则实数 m 的取值范围是 xy

__________.

15.关于 x 的方程

3sin2x

?

cos2x

?

k

?

1



???0,?2

? ??

内有两个不相等的实数根,则

k

的取

值范围是______.

? ? ? ? 16.对于数列

an

,定义

Hn

?

a1

?

2a2

? n

? 2n?1 an 为

an

的“优值”,现在已知某数列

? ? ? ? an 的“优值” Hn ? 2n?1 ,记数列 an ? kn 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? S5 对任意的 n 恒成
立,则实数 k 的最大值为_____.
三、解答题(本大题共 6 题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题 10 分)
在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,且 bcosC ? ?2a ? c?cosB .
(1)求角 B 的大小;
(2)若不等式 x2 ? 6x ?1 ? 0 的解集是{x | a ? x ? c},求 ?ABC 的周长.

20.(本小题 12 分)
已知命题 p :方程 x2 ? y2 ? 1 表示椭圆,命题 q :?x ? R, mx 2 ? 2mx ? 2m ?1 ? 0 ,. m?6 m?7
(1)若命题 p 为真,求实数 m 的取值范围; (2)若 p ? q 为真, ?q 为真,求实数 m 的取值范围.

21.(本小题 12 分)
在 ?ABC 中 , 点 D 为 BC 边 上 一 点 , 且 BD ? 1, E 为 AC 的 中 点 ,

AE ? 3 , cos B ? 2 7 , ? ADB ? 2? .

2

7

3

(1)求 sin ?BAD ; (2)求 AD 及 DC 的长.

22.(本小题 12 分)

已知函数

f

?x?

?

? ??

sin

x 2

?

cos

x 2

?2 ??

?1

,函数

cos2 x ? sin2 x

y

?

f

? x? ?

3 在 ?0, ??? 上的零点按从小到

2

2

? ? 大的顺序构成数列?an? n ? Nx .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

? ? (2)设 bn ?

4n2

3 ? ?1

an
?3n

?

2

?

,求数列 ?bn

?

的前

n

项和

S

n



23.(本小题 12 分) 某货轮匀速行驶在相距 300 海里的甲、乙两地间运输货物,运输成本由燃料费用和其他费用 组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为 0.5),其他 费用为每小时 800 元,且该货轮的最大航行速度为 50 海里/小时.
(1)请将从甲地到乙地的运输成本 y (元)表示为航行速度 x (海里/小时)的函数;
(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?

22.(本小题 12 分)

已知正项数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,数列{an} 满足, 2Sn ? an (an ?1) .

(1)求数列{an} 的通项公式;

(2)设数列{ (an

1 ?

2)2

} 的前 n

项和为

An

,求证:对任意正整数 n

,都有

An

?

1 2

成立;

(3)数列 {bn} 满足

bn

?

(

1 2

)n

an

,它的前

n

项和为 Tn

,若存在正整数

n

,使得不等式

(?2)n ?1 ?

? Tn

?

n 2n

? 2n?1 成立,求实数 ?

的取值范围.

参考答案

1 .A2.B3.B4.B5.B6.D7.【答案】B【解析】 由题意 ?NMS ?15? ?30? ? 45?, ?SNM ? 45? ? 60? ?105? , 由 正 弦 定 理 得 MS ? MN , 所 以
sin105? sin30?

? ? ? ? ? ? MN ? 2 0 s ?i?n1 30 0? 6 s i n? 1 0 5

10 ,速2度为

6? 2

1

? 20

6 ? 2 nmile / h ,故选 B.

2

8.【答案】A 由题意得,在 ?ABC中,由正弦定理可得 a ? sin A ,又因为 A ? 2B ,

b sin B

y

所以

a ? sin A ? sin 2B ? 2cos B , 又 因 为 锐 角 三 角 形 , 所 以 A ? 2B ? (0, ? ) 且

b sin B sin B

2

o

A x

? ? (A ? 2B) ? ? ? 3B ? (0, ? ) ,所以 ? ? B ? ? ,所以 2 cos B ? ( 2, 3) ,所以 a

2

6

4

b

的取值范围是

( 2, 3) ,故选 A.

9.【答案】A【解析】分别令 x=0 和 y=0,得到直线 nx+(n+1)y= 2 (n∈N?)与两坐标轴的交
点:

(

2 ,0),(0, n

2 ),则 Sn= 1 ?

n ?1

2

2 n

?

n

2 ?1

=

1
n ?n ?1?

=

1 n

?

1 n ?1

然后分别代入

1,2,…,

2017,
则有 S1+S2+S3+…+S2017=1? 1 + 1 ? 1 + 1 ? 1 +…+ 1 ? 1 =1? 1 = 2017 .故答案 2 2 3 3 4 2017 2018 2018 2018
为: 2017 . 2018
10 .【 答 案 】 C 试 题 分 析 : 0 ? a ? b, f ?a? ? f ?b? , ?0 ? a ?1? b, 所 以

f ? a? ? l g a ? ? l g,a? f? b? l g b? ,l g所b 以 由 f ? a? ? ?f ? b得 ?lga ? lgb , 即

l ga ? lbg? ? l ag? b ?,所0以 ab ?1, b ? 1 ,令 h ?a ? ?a ? 2b ?a ? 2 ,因为函数 h?a?

a

a

在区间 ?0,1? 上是减函数,故 h?a? ? h?1? ? 3 ,故选 C。考点:对数函数性质,函数单调性

与最值。

a1 ? a2n?1

11.【答案】D 试题分析:由等差数列的中项可知, an ?

2

,然后上下再同时乘以

bn b1 ? b2n?1

2

2n ?1







an ? A2n?1 ? 7?2n ?1? ? 45 ? 14n ? 38 ? 7n ? 19 ? 7?n ? 1? ? 12 ? 7 ? 12 ,如果是正

bn B2n?1

2n ?1? 3

2n ? 2 n ?1

n ?1

n ?1

数,那么 n ? 1,2,3,5,11,所以共 5 个
12.【答案】A 解:∵对于任意的 x 都有 f(﹣x)+f(x)=0 恒成立, ∴f(﹣x)=﹣f(x),∵f(m2﹣6m+21)+f(n2﹣8n)<0, ∴f(m2﹣6m+21)<﹣f(n2﹣8n)=f(﹣n2+8n),∵f(x)是定义在 R 上的增函数, ∴m2﹣6m+21<﹣n2+8n,∴(m﹣3)2+(n﹣4)2<4∵(m﹣3)2+(n﹣4)2=4 的圆心坐标为: (3,4),半径为 2,∴(m﹣3)2+(n﹣4)2=4 内的点到原点距离的取值范围为(5﹣2,5+2), 即(3,7), ∵m2+n2 表示(m﹣3)2+(n﹣4)2=4 内的点到原点距离的平方,∴m2+n2 的取值范围是(9, 49).故选:A.

13.【解析】焦点在 轴时,

,即

,所以 等于 8,

14.解





F

? x,

y?

?

x

?

2y

?

?x

?

2 y ? ??
?

2 x

?

1 y

? ? ?

?

4?

4y x

?

x y

?

4

?

4

?

8





Fm ?ix, yn ? ? 8,故 m2 ? 2m ? 8 ? 0 ? ?4 ? m ? 2 ,应填答案 ??4, 2?

15.

k?

? 3sin2x ? cos2x ?1 ? 2???

3 2

sin2x

?

1 2

cos2x

? ???

?1

?

2sin

? ??

2

x

?

? 6

? ??

?1

,又

x

?

???0,

? 2

? ??





2

x

?

? 6

?

? ??

? 6

,

7? 6

? ??



?

?

1 2

剟sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

1

.?

?2剟2sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

?1

1

,即 k∈[0,1)

16 .【 答 案 】

? ??

7 3

,

12 5

? ??

【解析】试题分析:由题可知

a1

?

2a2

? n

? 2n?1an ? 2n?1 ,

? a1 ? 2a2 ? ? 2n?1 an ? n ? 2n?1 ①, a1 ? 2a2 ? ? 2n?2 an?1 ? (n ? 1) ? 2n ②,由①-② 得 : 2n?1 an ? n ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n , 则 an ? 2n ? 2 , 所 以 an ? k n ? ( 2 ? k) ? n ? 2, 令

bn ? ( 2 ? k ) ? n ? 2,

Sn

?

S5

,? b5

?

0, b6

?

0 ,解得:

7 3

?

k

?

12 5

,所以

k

的取值范

围是[7 , 12]. 35

17.(1)由 bcosC ? ?2a ? c?cosB 得, sinBcosC ? ?2sinA?sinC?cosB

即 sinBcosC ? sinCcosB ? 2sinAcosB,得 sin?B ? C? ? 2sinAcosB

即 sinA ? 2sinAcosB , 得 cosB ? 1 ,



2

,于是 B ? ? 3

(2)依题意 a、c 是方程 x2 ? 6x ?1 ? 0 的两根 ?a ? c ? 6 , ac ?1

由余弦定理得 b2 ? a2 ? c2 ? 2accosB ? a2 ? c2 ? ac ? ?a ? c?2 ? 3ac ? 6 ?3 ? 3

?b ? 3,

?求 ?ABC 的周长为 6 ? 3 .

18.(Ⅰ)∵命题 为真,

当 时, 题意; 当 时,
(Ⅱ)若 为真,则

,∴

,故

;当 时,

,符合

恒成立.综上, .

,即

.∵若 为真, 为真,∴ 真 假,



,解得

.

19. ( 1 ) 在 ?ABD 中 , 因 为 cos B ? 2 7 , B ? ?0,? ? , 所 以 si nB ? 1? co2sB , 即
7

sin B ? 21 7

所 以 s ?Bi An ?? D

?s? Bi,? n 即?A D B

s

?BiAD ? n 2 7

? ??

?

1

? ??

?

2

1? 2 7

7 2

3

21

14

(2)由正弦定理 AD ?

BD

,得 AD ?

BD

1? 21 ? 7 ?2

sin B sin ?BAD

sin ?BAD 21

14

依 题 意 得 AC ? 2AE ? 3 , 在 ?A C D中 , 由 余 弦 定 理 得

AC2 ? AD2 ? DC2 ? 2AD CD cos ?ADC ,

即 9 ? 4 ? DC2 ? 2? 2? CD cos ? ,所以 DC2 ? 2DC ? 5 ? 0 ,解得 DC ? 1? 6 (负值舍 3
去)

20.(Ⅰ)

f

?x?

?

? ??

sin

x 2

?

cos

x 2

?2 ??

?1

cos2 x ? sin2 x

? sinx ? tanx , cosx

2

2

由 tanx ?

3 及 x ? 0 得 x ? k? ? ? 3

?k

?

N?

,数列 ?an ? 是首项

a1

?

? 3

,公差

d

?

?



等差数列,

所以 an

?

? 3

? ?n ?1??

?

n?

?

2? 3



? ? (Ⅱ) bn ?

3 ?

an

4n2 ?1 ?3n ? 2?

?

?2n

1
? 1? ? 2n

?

1?

?

1 2

? ??

1 2n ?1

?

1 2n ?

1

? ??



Sn

?

1 2

[???1

?

1 3

? ??

?

? ??

1 3

?

1 5

? ??

?

?

? ??

1 2n ?1

?

1? 2n ?1??

?

1 2

???1

?

1 2n ?1

? ??

?

n 2n ?

1



21.解:(1)由题意,每小时的燃料费用为 0.5x2 (0 ? x ? 50) ,从甲地到乙地所用的时间为

300 小时,则从甲地到乙地的运输成本 y ? 0.5x2 ? 300 ? 800? 300 (0 ? x ? 50) ,

x

x

x

故所求的函数为 y ? 0.5x2 ? 300 ? 800? 300

x

x

?

150

? ??

x

?

1600 x

? ??

(0

?

x

?

50)



(2)由(1)得

y

?

150

? ??

x

?

1600 x

? ??

?

150? 2

x ? 1600 ? 12000 , x

当且仅当 x ? 1600 ,即 x ? 40 时取等号. x
故当货轮航行速度为 40 海里/小时时,能使该货轮运输成本最少.

22.(1) 2Sn

?

an 2

?

an

,当 n

?

2 时, 2Sn?1

?

a2 n?1

? an?1 ,

两式相减得: 2an

?

an 2

?

a2 n?1

? an

? an?1 ,所以 (an

? an?1)(an

? an?1

?1)

?

0



因为数列{an} 为正项数列,故 an ? an?1 ? 0 ,也即 an ? an?1 ? 1 ,

所以数列{an} 为以 1 为首项 1 为公差的等差数列,故通项公式为 an ? n , n ? N* .
(2)

An ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?

?

an

?

1 32

?

1 42

?

1 52

?

1 62

?

?

(n

1 ? 2)2

? (1 ? 1) ? (1 ? 1) ? (1 ? 1) ? (1 ? 1) ? ? ( 1 ? 1 )

23 34 45 56

n ?1 n ? 2

?

1 2

?

n

1 ?

2

?

1 2

,所以对任意正整数 n

,都有

An

?

1 2

成立.

(3)易知 bn

?

n 2n

,则 Tn

? 1?

1 2

? 2?

1 22

? 3?

1 23

?

? (n ?1)?

1 2n?1

? n?

1 2n

,①

1 2

Tn

? 1?

1 22

?

2?

1 23

?

?

(n

?

2) ?

1 2n?1

?

(n

? 1) ?

1 2n

?

n?

1 2n?1

,②

①-②可得:

1 2

Tn

?

1 2

?

1 22

?

?

1 2n

?

n?

1 2n?1

?1?

n?2 2n?1



故 Tn

?

2

?

n?2 2n

,所以不等式 (?2)n?1?

?

2?

2 2n

?

2n?1 成立,

若n

为偶数,则 ?2n?1?

?

2?

2 2n

? 2n?1 ,所以 ?

?

?2 ?

1 2n?1

?

(

1 2n?1

)2

?1.

设t

?

1 2n?1

? (0,

1 ] ,则 2

y

?

?2t

?

t2

?1?

(t

?1)2 在

(0,

1 ]单调递减, 2

故当 t

?

1 2

时,

ymin

?

1 4

,所以 ?

?

1 4



若n

为奇数,则 2n?1?

?

2?

2 2n

? 2n?1 ,所以 ?

?

2?

1 2n?1

?

(

1 2n?1

)2

?1.



t

?

1 2n?1

?

(0,1]

,则

y

?

2t

?

t2

?1

?

?(t

?1)2



(0,1]

单调递增,

故当 t

? 1时,

ymax

?

0

,所以 ?

?

0 .综上所述, ?

的取值范围 ?

?

0或?

?

1 4




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