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2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《3.1.1空间向量及其加减运算》 课件


第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算

1.空间向量的定义是什么?单位向量、零向量、相反 问题 向量、相等向量的定义分别是什么? 引航 2.空间向量的加法、减法运算满足哪些运算法则与

运算律?

1.空间向量的概念 大小 方向 (1)两个特征:_____,_____. 大小 也可看作表示向量 (2)向量的模(长度):指的是向量的_____, 长度 的有向线段的_____. 有向线段 表示; (3)表示法:①几何表示法:空间向量用_________ ②字母表示法:用字母表示,若向量的起点是A,终点是B,
AB 可记作a.也可记作____, AB 其模记为|a|或_____.

2.几类常见的空间向量 名称 零向量 方向 任意方向 _________ 模 0 __ 1 __ 相反 _____ 相同 记法 0 __

单位向量 相反向量
相等向量

相等 相等 _____

-a a的相反向量:___
BA AB 的相反向量: _____

a= b

3.向量的加法、减法 空间向量 的运算 加法 减法
? AB =a+b OB ? OA _______ ? OC =a-b CA ?OA _______

加法运算律

b+ a (1)交换律:a+b=____ a+(b+c) (2)结合律:(a+b)+c=________

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)有向线段可用来表示空间向量,有向线段长度越长,其所表 示的向量的模就越大.( )

(2)空间两非零向量相加时,一定可用平行四边形法则运 算.( ) )

(3)0向量是长度为0,没有方向的向量.(

(4)若|a|=|b|,则a=b或a=-b.(

)

【解析】(1)正确.向量的模可以比较大小,有向线段长度越长, 其所表示的向量的模就越大. (2)错误.若空间两向量为共线向量,此时不能用平行四边形法 则进行运算. (3)错误.0向量是模为0,方向任意的向量. (4)错误. |a|=|b|说明a与b长度相等,但两向量不一定共线. 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)×

2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)把所有单位向量的起点移到一点,则这些向量的终点组成 的图形是 .

(2)在空间四边形ABCD(字母顺次连接)中,连接AC,BD,则
AB ? BC ? CD 为

.

(3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中, DD1-AB +BC 化简后的结果 是 .

【解析】(1)在空间中把所有单位向量的起点移到一点,则这些 向量的终点组成的图形是以单位向量的起点为球心,以1为半径 的球面. 答案:球面

(2) AB +BC +CD =AC +CD =AD. 答案:AD (3)由正方体的性质可得
DD1-AB +BC=DD1-DC +BC=CD1+BC=BD1.

答案:BD1

【要点探究】
知识点1 空间向量及有关概念

1.理解空间向量概念时的四个关注点
(1)两向量的关系:空间向量是具有大小与方向的量,两个向量 之间只有等与不等之分而无大小之分. (2)有向线段与向量:向量可用有向线段来表示,但是有向线段 不是向量,它只是向量的一种表示方法.

(3)向量的相等:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向 量. (4)向量的平移:空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内, 成为同一个平面内的两个向量.

2.对零向量的三点说明 (1)方向的不确定性:零向量的方向不确定,是任意的;由于零向 量的这一特性,在解题中一定要看清题目中所指的向量是“零 向量”还是“非零向量”. (2)长度的固定性:零向量的长度为零,零向量与零向量相等. (3)规定:零向量与任何向量平行.

【微思考】 (1)空间向量与平面向量的概念有哪些共同特征? 提示:空间向量与平面向量的共同特征是具有大小与方向. (2)两空间向量为什么不能比较大小? 提示:每个向量都是由大小与方向两个因素构成,其中长度可以 比较大小,但方向无法比较大小,所以向量不能比较大小.

【即时练】 给出下列命题:①若|a|=0,则a=0;②若a=0,则-a=0; ③|-a|=|a|,其中正确命题的序号是 .

【解析】①若|a|=0,则a=0,故①错误;②正确;③正确. 答案:②③

知识点2

空间向量的加法、减法运算

1.空间向量加法、减法运算法则 (1)语言叙述:加法,“首尾顺次相接,由首指向尾”;减法,“起 点相同,尾尾相连,指向被减”.

(2)图形叙述:
①向量加法三角形法则:

特点:首尾相接,首尾连

②向量加法平行四边形法则: 特点:共起点

③向量减法三角形法则:

特点:共起点,连终点,方向指向被减数

2.特殊位置关系的加减法 (1)共线向量:共线向量相加时不能利用平行四边形法则,可利 用三角形法则. (2)共终点向量:共终点的向量相加减,可通过平移两向量使两 向量共起点再选择合适的运算法则进行加减运算. (3)常用关系与常用数据: ①△ABC中,AB ? BC ? CA =0; ②以a,b为邻边的平行四边形中,a±b表示平行四边形的对角线;

③ 0+ a= a.

【知识拓展】向量的移项 向量的减法是由向量的加法来定义的,减去一个向量就等 于加上这个向量的相反向量.由此可得出向量的移项方法,即将 其中任意一个向量变号后,从等式一端移到另一端,等式仍然成 立,如a+b+c=d可得a+b=d-c.

【微思考】 (1)首尾相接的若干个空间向量的和如何求? 提示:首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末 尾向量的终点的向量.即:
A1A 2 ? A 2 A 3 ? A 3A 4 ??? A n-1A n ? A1A n.

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和是什
么? 提示:由图可得
A1A 2 ? A 2 A 3 ??? A n-1A n ? A n A1 ? 0.

【即时练】 化简下列各式: (1) AB -AC +BC -BD -DA = (2) (AB -CD)-(AC -BD) = . .

【解析】(1) AB -AC +BC -BD -DA =AB +BC +CA +AD +DB
=AC +CA +AD +DB =AB.

答案:AB

(2)方法一:因为 AB -CD =AB +DC ,
所以 AB -CD -(AC -BD)
=AB +DC -AC +BD =AB +BD +DC +CA =AD +DA=0.

?

?

-CD -(AC -BD) 方法二: AB
=AB -CD-AC +BD = AB -AC + DC -DB =CB +BC =0.

?

?

?

? ?

?

答案:0

【题型示范】 类型一 空间向量的概念及其简单应用

【典例1】 (1)(2014·成都高二检测)在如图所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中,与向量 AA1 相等的向量有 个(不含 AA1 ).

(2)如图所示,在以长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA1=1的长方 体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为始点和终点的向量中, ①单位向量共有多少个? ②试写出模为 5 的所有向量.

【解题探究】1.题(1)中与 AA1 相等的向量具有什么特点? 2.题(2)①中单位向量的模有何特点? 【探究提示】1.两个特点,即此向量的大小与方向与 AA1 均 相同. 2.单位向量的模为1.

【自主解答】(1)由平行六面体ABCD-A1B1C1D1知向量 BB1, CC1, DD1

与向量 AA1 方向相同,长度相等,故与向量 AA1 相等的向量有
3个 .

答案:3
(2)①由于长方体的高为1,所以长方体4条高所对应的
AA1, A1A, BB1, B1B , CC1, C1C, DD1, D1D

这8个向量都是单位向量,

而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个. ②由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为 5 ,故模为
D1A, A1D, DA1, BC1, C1B , B1C, CB1 共8个. 5 的向量有 AD1,

【延伸探究】把题(1)中的“与向量 AA1 相等的向量”改为 “向量 AA 的相反向量”结论如何? 1 【解析】由平行六面体ABCD-A1B1C1D1知向量 A1A, B1B , C1C, D1D 与向量 AA1 方向相反,长度相等,故向量 AA1 的相反向量有4个. 答案:4

【方法技巧】处理向量概念问题的解题关键及注意点 (1)解题关键:明确向量相关概念的特点. ①向量:判断与向量有关的命题时,要抓住向量的两个主要要素, 即大小与方向,两者缺一不可. ②单位向量:方向虽然不一定相同,但长度一定为1.

(2)明确两个关系做概念辨别题.
①模相等与向量相等的关系:两个向量的模相等,则它们的长度

相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向
量相等的必要不充分条件. ②向量的模与向量大小关系:由于方向不能比较大小,因此“大 于”“小于”对向量来说是没有意义的.但向量的模是可以比 较大小的.

【变式训练】如图所示,a,b是两个空间 向量,则 AC 与 A?C? 是
AB 与 B?A? 是

向量, 向量.(选填相等、相反)

【解析】由图知 AC =a+b, A?C? =a+b,故向量 AC 与 A?C? 是相等 向量.向量 AB =a, B?A? =-a,故向量 AB 与 B?A? 是相反向量. 答案:相等 相反

【补偿训练】在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,模与向量
A?B? 的模相等的向量有(

) C.5个 D.6个

A.7个 【解析】选A.

B.3个

| D?C? | = DC =| C?D? | = CD = BA = AB =| B?A? | =| A?B? | .

类型二

空间向量的加法、减法运算

【典例2】 (1)(2014·合肥高二检测)已知空间四边形ABCD中, AB =a,
CB =b, AD =c,则 CD 等于(

)

A.a+b-c C.-a+b+c

B.-a-b+c D.-a+b-c

(2)如图所示,已知长方体ABCD-A′B′C′D′.化简下列向量表 达式,并在图中标出化简结果.
①AA? -CB ; ②AA? +AB +B?C?.

【解题探究】1.题(1)中向量 AB 的相反向量如何表示? 2.题(2)图中的向量 CB 与向量 DA 是否相等? 【探究提示】1.向量 AB 的相反向量为 BA . 2.由图知向量 CB 与向量 DA 是相等向量.

【自主解答】(1)选C.因为 CD=CB +BA +AD =CB -AB +AD =b-a+c,所以 CD =-a+b+c. (2)① AA? -CB =AA? -DA=AA? +AD
=AA? +A?D? =AD?.

② AA? +AB +B?C? = AA? +AB +B?C? =AB? +B?C? =AC?. 向量 AD? ,AC? 如图所示.

?

?

【延伸探究】试把题(2)中长方体中的体对角线所对应向量
, AB , AD 表示? AC? 用向量 AA?

【解析】在平行四边形ACC′A′中,由平行四边形法则可得
AC? ? AC ? AA? ,在平行四边形ABCD中,由平行四边形法则可

得 AC ? AB ? AD ,故 AC? ? AB ? AD ? AA?.

【方法技巧】 1.空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加 法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接. (2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加 法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向 ,必要时可采用空 间向量的自由平移获得更准确的结果.

2.化简空间向量的常用思路 (1)分组:合理分组,以便灵活利用三角形法则、平行四边形法 则进行化简. (2)多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和, 还可利用多边形法则.若干个向量的和可以将其转化为首尾相 接的向量求和. (3)走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路 (即沿几何体的边选择途径).

【变式训练】在四棱锥V-ABCD中,化简 VA ? VC ? AB ? BC.

【解题指南】充分利用三角形,相反向量等概念进行化简. 【解析】 VA ? VC ? AB ? BC ? CA ? AC ? 0.

【补偿训练】在直三棱柱ABC-A1B1C1中, 若 CA =a, CB =b, CC =c,则 A1B = 1 【解析】 A B=B B-B A
1 1 1 1

.

=B1B -BA =B1B -(CA-CB)

=-c-(a-b)=-c-a+b. 答案:-c-a+b

【拓展类型】空间向量加法、减法的应用

【备选例题】(1)已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′.
求证: AC +AB? +AD? =2AC?.

(2)一艘船从A点出发,以 2 3

km/h的速度向垂直于对岸的

方向行驶,同时河水的流速为2km/h,求船实际航行的速度的

大小与方向(方向用与水流速间的夹角表示).

【解析】(1)因为平行六面体的六个面均为平行四边形 , 所以 AC =AB +AD ,
AB? =AB +AA? , AD? =AD +AA? ,

所以 AC +AB? +AD?
=(AB +AD)+(AB +AA?)+(AD +AA?) =2(AB +AD +AA?).

又因为 AA? =CC? , AD =BC , 所以 AB +AD +AA? =AB +BC +CC? =AC +CC? =AC? , 所以 AC +AB? +AD? =2AC?.

(2)如图,设 AD 表示船垂直于对岸行驶的速度,
AB 表示水流的速度,以AD,AB为邻边作平行四边

形ABCD,则 AC 就是船实际航行的速度,在Rt△ABC 中 AB ? 2, 所以 AC ? AB ? BC ? 4, BC ? 2 3, 因为tan∠CAB=
2 3 ? 3, 2
2 2

所以∠CAB=60°.

【方法技巧】空间向量等式证明的两个技巧 (1)数形结合:构造对应图形,在图形中标出空间各向量,以便 灵活应用平行四边形法则或三角形法则. (2)由繁到简:化简多个向量时,观察分析“首尾相接”的向量 使之结合,从而化多为少.

【易错误区】空间向量的概念理解不到位而致误 【典例】下列说法中,错误的个数为( )

(1)若两个空间向量相等,则表示它们有向线段的起点相同,终 点也相同. (2)若向量 AB,CD 满足| AB|>| CD |, 且 AB 与 CD同向, 则 AB ? CD.

(3)若两个非零向量 AB 与 CD 满足 AB ? CD =0, 则 AB , CD 为 相反向量. (4)AB = CD 的充要条件是A与C重合,B与D重合. A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选C.(1)错误.两个空间向量相等,其模相等且方向相 同①,但与起点和终点的位置无关. (2)错误.向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小. (3)正确.AB + CD=0,得 AB =- CD ②,且 AB , CD为非零向量,所 以 AB , CD 为相反向量. (4)错误.由AB = CD ,知| AB|=| CD|,且 AB 与 CD 同向,但A与 C,B与D不一定重合.

【常见误区】 错解 选B 选D 错因剖析 在①处不能正确理解向量相等的概念出错 在②处不能正确对式子变形,而找不到思路

【防范措施】 强化概念理解 (1)紧扣向量的两个特征“大小”与“方向”.注意向量与实数 的关系,如本例(2)向量不能比较大小. (2)相反向量:两向量方向相反,模相等,但不一定在同一条直线 上. (3)相等向量:方向相同、大小相等,如本例(4)中只要方向与大

小相同即可,并不一定重合.

【类题试解】给出下列命题: ①若a=b,则|a|=|b|; ②在正方体ABCD-A1B1C1D1中, AC=A C ;
1 1

③向量 AB与 CD 是共线向量,则A,B,C,D四点必在一条直线上; 其中正确命题的序号是 .

【解析】①正确;②正确,因为 AC 与A1C1 的大小和方向均相同; ③不正确,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可, 并不要求向量 AB ,CD 在同一条直线上.综上可知,正确命题为 ①②. 答案:①②


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