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湖北省华中师大一附中2013届高三上学期期中检测数学


华中师大一附中上学期高三期中检测 数学试题和答案(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.

? ? (1 ? cos x)dx =( D )
2 ? 2

?

A.π

B.2 )

C.π —2

D.π +2

? 1 2. ≠ ”是“sinα ≠ ”的( B “α 2 6
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 3.设集合 A ? ? x |

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? ?

x ? ? 0?, B ? ?x | 0 ? x ? 3? ,则 A ? B 等于( C ) x ?1 ?
B. ?x | 0 ? x ? 3? C. ?x | 0 ? x ? 1? D. ?

A. ?x | 1 ? x ? 3?

4.设 S n 是等差数列 ?a n ?的前 n 项和,若

S3 1 S ? ,则 6 ? ( A ) S6 3 S12

1 1 1 C. D. 3 8 9 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5.若两个非零向量 a , b 满足 | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角为
A. B. ( C )

3 10

2? 5? D. 6 3 ? ? 6.△ABC 的三内角 A,B,C 所对边的长分别为 a, b, c , m ? (a ? b, c), n ? (b ? a, c ? b) , ? ? 若 m ? n ,则 sinB+sinC 的取值范围是( B )
A.

? 6

B.

? 4

C.

A. (?

1 ,0 2

?

B. (

3 , 3] 2

C.[

1 ,1) 2

D.[

3 ,1) 2

7.设正项等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,若 S 2012 ? 2012 ,则

1 1 ? 的最小值为 a 3 a 2010

( B ) A.1

B.2

C.4

D.8

8.关于实数 x 的方程 ax ? b x ? c ? 0 ,其中 a , b , c 都是非零平面向量且 a , b 不共线,
2

?

?

?

?

? ? ?

? ?

则该方程解的情况是( A ) A.至多有一个解 C.至多有两个解 9.已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)e
2 2x

B.至少有两个解 D.可能有无数个解 若 0 ? 2? ? 90 ,90°< ? <180° a ? (sin ? )
?

?

cos ?



b ? (cos? ) sin ? , c ? (cos? ) cos ? ,则 f (a), f (b), f (c) 的大小关系是( C )
A. f (a) ? f (b) ? f (c) C. f (a) ? f (c) ? f (b)
2

B. f (a) ? f (b) ? f (c) D. f (a) ? f (c) ? f (b)
2

10. 已知 f ( x) ? x ? bx ? 2, x ? R , 若方程 f ( x)? | x ? 1 |? 2 在 (0,2) 上有两个解 x1 , x 2 , 则 b 的取值范围为( C )

5 ? b ? ?1 2 7 C. ? ? b ? ?1 2
A. ? 11. 函数 f (x) =cos (

7 ? b ? ?1 2 5 D. ? ? b ? ?1 2
B. ?

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

2 ? 2 3? x+ ) +cos x 的图像的相邻两对称轴之间的距离是___ _____. 3 3 2 2

12. 已 知 AB ? ( x,2 x), AC ? (?3x,2) , 如 果 ∠ BAC 是 钝 角 , 则 x 的 取 值 范 围 是

1 1 4 (??,? ) ? (? ,0) ? ( ,??) _____________. 3 3 3
13.某资料室使用计算机给文件编码,编码以一定的规律排列,如下表所示.从左至右以 及 从 上 到 下 都 是 无 限 的 , 此 表 中 主 对 角 线 上 的 数 列 1,2,5,10,17,? 的 通 项

a n ? __ n 2 ? 2n ? 2 ___________.
1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 5 7 9 1 4 7 10 13 1 5 9 13 17 1 6 11 16 21 .. . .. . .. . .. . .. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. . 图 所 示的 程

14.设函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 , 根据如 序 框 图 , 输 出 的 结 果 是

11 4



15.已知函数 F ( x) ? 2 满足 F ( x) ? g ( x) ? h( x) ,且 g ( x), h( x) 分别是 R 上的偶函数和
x

奇 函 数 , 若 不 等 式 g (2 x) ? ah( x) ? 0 对 ?x ? ?1,2? 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 __ a ? ?

17 _______. 6
? ? ? ?

三、解答题:(本大题共有 6 小题,共 75 分) 16. (本题满分 10 分)已知向量 a ? (cos x, sin x), b ? (? cos x, cos x), f ( x) ? 2a ? b ? 1 , 设 p 为“ x ? ? 值范围.
2 解:? f ( x) ? 2a ? b ? 1 = 2(? cos x) ? 2 sin x cos x ? 1 ?

? ? 9? ? , ? ” q 为“ | f ( x) ? m |? 3 ” .若 p 为 q 的充分条件,求实数 m 的取 ?2 8 ?
? ?

2 sin(2 x ? ) ??? 2分 4
??? 4分 ??? 4分

?

3? ? ? ? 9? ? ? 2 x ? ? 2? ,? ? 2 ? f ( x) ? 1 p : 当 x ? ? , ? 时, 4 4 ?2 8 ?

q : 又 | f ( x) ? m |? 3 ? m ? 3 ? f ( x) ? m ? 3

若 p 为 q 的充分条件, 则

?

m ? 3? ? 2 m ? 3?1

???9分

? ?2 ? m ? 3 ? 2

???10分

17. (本题满分 12 分) 在美国广为流传的一道数学题目是: 老板给你两种加工资的方案. 第 一种方案是每年年末(12 月底)加薪一次,每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上 再增加 1000 美元;第二种方案是每半年(6 月底和 12 月底)各加薪一次,每次所加的工资 数是在上次所加工资数的基础上再增加 300 美元,请选择一种. 根据上述条件,试问: (1)如果你将在该公司干十年,你将选择哪一种加工资的方案?(说明理由) (2)如果第二种方案中的每半年加 300 美元改成每半年加 a 美元, 那么 a 在什么范围内取值 时,选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪? 解:(1)第 10 年末,依第一方案得:

1000 ? 2000 ? ? ? 10000 ? 55000 (美元)
依第二方案得 300 ? 300 ? 2 ? 300 ? 3 ? ?300 ? 20 ? 63000 (美元)

??? 2分 ??? 4分

? 63000 ? 55000 ? 8000

(美元)

∴在该公司干 10 年,选择第二方案比选择第一方案多加薪 8000 美元.………………5 分 (2)第 n 年末,依第一方案,得: 1000 (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? 500 n(n ? 1) (美元) 依第二方案,得: a(1 ? 2 ? 3 ? ?2n) ? an(2n ? 1) 由题意: an(2n ? 1) ? 500 n(n ? 1) 对所有正整数恒成立 即a ? …………………………8 分

500 (n ? 1) 250 250 1000 ? 250 ? ? 250 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 3 3 1000 ,总是第二方案加薪多 3

???10分
……………11 分

?a ?

答:当 a?

1000 美元时,选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪. 3

???12分
18. (本题满分 12 分)在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,

且 3(sin A ? sin C ? sin B) tan B ? 4 2 sin A sin C
2 2 2

⑴求 tan 2

A?C B ? sin 2 的值; 2 2

⑵若 b ? 2 , ?ABC 的面积为 2 ,求 a 的值. 解: (1)由正弦定理得: 3(a ? c ? b ) tan B ? 4 2ac
2 2 2

?

a2 ? c2 ? b2 2 2 2 2 tan ? B ,即c o s ? t a n ? B B 2ac 3 3
2 2 3

? sin B ?

??? 4分

又 ?ABC 为锐角三角形,? cos B ?

1 3

又 tan
2 ?t a n

B sin B 2 B 1 ? cos B 1 ? ? , sin 2 ? ? 2 1 ? cos B 2 2 2 3

A?C 2 B 2 ? ?B 2 B ?s in ? t a n ?s in ? 2 2 2 2

1
2 tan

B 2

2 ?s in

B 1 7 ? 2? ? 2 3 3

???8分
(2)? S ?ABC ?

1 1 2 2 ac sin B ? ? ac ? 2 ,? ac ? 3 2 2 3
2 2

(1)

又 b ? 2 ,由余弦定理得: a ? c ? 由(1) (2)解得: a ?

2ac ? 4,? a 2 ? c 2 ? 6 3

(2)

3

???12分

19.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax(a ? R) (1) 求函数 f (x) 的单调区间; (2) 当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 在 ?1,2? 上最小值. 解: (1) f ?( x) ?

1 ? a ( x ? 0 ), x

???????1 分

①当 a ≤ 0 时, f ?( x) ?

1 ? a >0, x
???????3

故函数 f ( x) 为增函数,即函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) . 分 ②当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 当0? x ?

1 1 ? ax 1 1 ? ax 时, f ?( x) ? ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? ?0, a x a x 1 1 故函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ] ,单调递减区间是 [ , ??) . ?????? 6 分 a a 1 (2)①当 ? 1 ,即 a ? 1 时,函数 f ( x) 在区间[1,2]上是减函数, a
∴ f ( x) 的最小值是 f (2) ? ln 2 ? 2a . ②当 ??????8 分

1 1 ? a ? 0 ,可得 x ? , a x

1 1 ? 2 ,即 0 ? a ? 时,函数 f ( x) 在区间[1,2]上是增函数, a 2
??????10 分

∴ f ( x) 的最小值是 f (1) ? ?a .

1 1 1 1 ③当 1 ? ? 2 ,即 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 在 [1, ] 上是增函数,在 [ , 2] 是减函数. a 2 a a
所以 f (x) 的最小值产生于 f (1) 与 f (2) 之间, 又 f (2) ? f (1) ? ln 2 ? a , ∴当

1 ? a ? ln 2 时,最小值是 f (1) ? ?a ; 2 当 ln 2 ? a ? 1 时,最小值为 f (2) ? ln 2 ? 2a .

??????12 分

综上所述,当 0 ? a ? ln 2 时, 函数 f ( x) 的最小值是 f ( x) min ? ?a ;当 a ? ln 2 时,函数

f ( x) 的最小值是 f ( x) min ? ln 2 ? 2a

??????13 分

20. (本题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 2 ,前 n 项的和为 S n ,且对任意的
n ? N , n ? 2 , a n 总是 3S n

? 4 与2?

5 S n?1 的等差中项. 2

(1)求证:数列 ?an ? 是等比数列,并求通项 a n ; (2)证明: (3)若 bn ?

1 (log 2 S n ? log 2 S n? 2 ) ? log 2 S n?1 ; 2
4 4 ? 1, c n ? log 2 ( ) 2, , Tn , Rn 分别为数列 ?bn ?, ?c n ? 的前 n 项和.问:是否 an an

存在正整数 n ,使得 Tn ? Rn .若存在,请求出所有 n 的值;若不存在,请说明理由. 证: (1)当 n ? N , n ? 2 时, 2a n ? 3S n ? 4 ? 2 ? 即 2( S n ? S n ?1 ) ? 3S n ?

5 S n?1 2

5 1 S n?1 ? 2,? S n ? S n?1 ? 2 2 2

? a1 ? a2 ?
故 a n ?1 又

1 a1 ? 2,? a2 ? 1 2 1 1 1 1 ? S n?1 ? S n ? ( S n ? 2) ? ( S n?1 ? 2) ? ( S n ? S n?1 ) ? a n ( n ? N, n ? 2 ) 2 2 2 2

a2 1 1 ? ? 0 ,所以数列 ?an ? 是以 2 为首项, 为公比的等比数列。 ??? 4分 a1 2 2

? an ? 2 ?

1 2
n ?1

?

1 2
n?2

???5分

(2)由(1)知: S n ? 2(1 ? 要证:

1 1 1 ? ? ? n?1 ) ? 4(1 ? n ) 2 2 2

1 (log 2 S n ? log 2 S n? 2 ) ? log 2 S n?1 2
2

即证: S n ?S n ? 2 ? S n ?1

而: S n ?S n ? 2 ? 4?1 ? ( ) ? 4?1 ? ( ) 2 2
2

? ?

1 n? ? ? ?

1

n?2

1 n 1 2n? 2 ? ? ? 16?1 ? 5( 2 ) ? ( 2 ) ?

?

1 1 1 ? ? 2 S n ?1 ? 16 ?1 ? ( ) n ?1 ? ? 16?1 ? 4( ) n ? ( ) 2 n ? 2 2 2 2 ? ?

?

1 2 2 ? S n S n? 2 ? S n?1 ? ?16( ) n ? 0,? S n ?S n ? 2 ? S n ?1 2
所以原不等式成立。 (3)? bn ?

???9分

4 4 ? 1 ? 2 n ? 1, c n ? log 2 ( ) 2, ? 2n an an

? Tn ? 2 n ?1 ? n ? 2, Rn ? n 2 ? n
当 n ? 1时, T1 ? 1, R1 ? 2, T1 ? R1 当 n ? 2 时, T2 ? 4, R2 ? 6, T2 ? R2

???10分

当 n ? 3 时, T3 ? 11, R3 ? 12, T3 ? R3 当 n ? 4 时, T4 ? 26, R4 ? 20, T4 ? R4 当 n ? 5 时, Tn ? Rn ? (2
n ?1

???11分

? n ? 2) ? (n 2 ? n)

? 2n ?1 ? (n 2 ? 2n ? 2)

? 1 ? 1 n?1 ? (n 2 ? 2n ? 2) ( )
1 2 n ?1 n n ?1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? ? ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ) ? (n 2 ? 2n ? 2) ( 0 1 2 ? (Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ) ? (n 2 ? 2n ? 2) 2 0

? n 2 ? 3n ? 4) ? (n 2 ? 2n ? 2) (

? n ?1 ? 0
因 此 存 在 正 整 数 n , 使 得 Tn ? Rn , 且 所 有 n 的 集 合 为 ?4,5,6, ? ?

???14分
21(本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x ? m ln( x ? 1)
3

(1)曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行,求实数 m 的值; (2)求证:

1 2 3 n ?1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? ln(n ? 1), (n ? N * ) ; 3 2 3 4 n

(3)求证:

? (sin
i ?1

n

i ?1 n ? ) ? n(1 ? cos1 ? ln 2) n i?n
3

' 2 解: (1)由 f ( x) ? x ? m ln( x ? 1) ,得 f ( x) ? 3x ?

m , x ? (?1,??) x ?1

由于曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行, 所以 f (1) ? 0
'

因此: m ? ?6

???3分

(2)因为

1 2 3 n ?1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? ln(n ? 1), (n ? N * ) 3 2 3 4 n

等价于 ( 等价于

1 1 1 1 1 1 n ?1 n 2 ? 3 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ? ( 2 ? 3 ) ? ln( ? ??? ) 2 n n ?1 1 2 2 3 3 n n

(

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ? ( 2 ? 3 ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ? ln(1 ? ) 2 1 2 n 2 2 3 3 n n
3

令 m ? 1, f ( x) ? x ? ln( x ? 1) 设 h( x) ? x ? f ( x) ? x ? ln(1 ? x) ? x
2 2 3

则 h ' ? x ? = ?3x 2 ? 2 x ?

3x 3 ? ( x ? 1) 2 1 =? x ?1 x ?1

当 x ?? 0, ??? 时, h ' ? x ? <0,所以 h ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递减,又因为 h ? 0? =0,所 以当 x ?? 0, ??? 时,恒有 h ? x ? < h ? 0? =0,即 x ? ln? x ? 1? ? x 恒成立。
2 3

∵k?N*

?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 取 x ? ,则有 2 ? 3 < ln(1 ? ) ? k k k k k

?? (
k ?1

n

1 1 ? )< k2 k3

?
k ?1

n

1 ln(1 ? ) k



1 2 3 n ?1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? ln(n ? 1), (n ? N * ) 3 2 3 4 n

???9分

⑶∵ y ? sin x在 ? 0,1? 上单调递增,

? ? sin
i ?1

n

1 i ?1 1 0 1 n ?1 = [ (sin +sin +...sin < n )] n ? sin xdx = n(? cos x) |1 0 0 n n n n n

= n(1 ? cos1) 又y?

???11分

1 在 ? 0,1? 上单调递减, 1? x n 1 1 n 1 1 1 1 1 1 1 = = n[ ( dx ?? ? ? ... ? ? ? ... ? )] < n ? 0 1? x 1 2 n n n 1? 1 1? 2 i ?1 i+n 1? 1? 1? 1? n n n n n n
= n ln(1 ? x) |0 = n ln 2
1

???13分

? (sin
i ?1

n

i ?1 n ? ) ? n(1 ? cos1 ? ln 2) n i?n

???14分


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