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河北省衡水中学2014届高三数学上学期三调考试试题 理 新人教A版


2013—2014 学年度高三上学期三调考试 高三年级数学试卷(理)
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分,共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答

案的序号填涂在答题卡上) 1.设集合 M={x|x ≤4) ,N={x|log2 x≥1},则 M∩N 等于( A [﹣2,2] . 2.若 x ? 0 、 y ? 0 ,则 x ? y ? 1 是 x 2 ? y 2 ? 1 的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 ( ) D.非充分非必要条件 B. {2} C. [2,+∞)
2

) D. [﹣2,+∞)

3.平面直角坐标系 xOy 中, 已知 A(1,0), B (0,1) , 点 C 在第二象限内, ?AOC ? 若 OC ? ? OA ? ? OB ,则 ? , ? 的值是( A. 3 ,1 B. 1, 3

5? , 且|OC|=2, 6

????

??? ?

??? ?

) D. ? 3 ,1

C.-1, 3

4.设 Sn 是公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和, 且 S1 , S2 , S4 成等比数列, 则 A.1 B.2 C.3 D.4

a2 的值为 ( ) a1

5.如图,圆 O 的两条弦 AB 和 CD 交于点 E,EF//CB,EF 交 AD 的 延长线于点 F,FG 切圆 O 于点 G,EF=2,则 FG 的长为( A. )

1 2

B.

1 3

C.1

D. 2 )

6. 某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱的长度是( A. 2 5 C. 4 2 B. 29 D. 13

-1-

7.已知 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,给出下列命题: ①若 ? ? ? , m / /? ,则 m ? ? ;②若 m ? ? , n ? ? ,且 m ? n, 则 ? ? ? ; ③若 m ? ? , m / /? ,则 ? ? ? ;④若 m / /? , n / / ? ,且 m / / n ,则 ? / / ? . 其中正确命题的个数是( A.1 B.2
2 2

) C.3 D.4 )

8.已知 a, b, c 为互不相等的正数, a ? c ? 2bc ,则下列关系中可能成立的是( A. a ? b ? c C. b ? a ? c B. b ? c ? a D. a ? c ? b

9.已知各项均为正数的等比数列 {an } 满足 a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项

am , an 使得 am an ? 4a1 , 则
A.

3 2

B.

5 3

1 4 ? 的最小值为 ( m n 9 C. D.9 4



10.已知 a ? Z , 关于 x 的一元二次不等式 x 2 ? 6 x ? a ? 0 的解集中有且仅有 3 个整数, 则所有符合条件的 a 值之和是( ) A.13 B.18
3 2

C.21

D.26
2 2

11.若函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) , [ f '(? )] ? [ f '(? )] ? 0, f (? ) ? f ( ? ) ? 0 (其中 ? , ? ? R 且 ? ? ? ) ,则下列选项中一定是方程 f ( x) ? 0 的根的是( A. ? )

b 3a

B. ?

b 2a

C.

c 3a

D.

c 2a

| x ?1| ? ?5 ? 1, x ? 0, 12. 设定义域为 R 的函数 f ( x ) ? ? 2 若关于 x 的方程 ? ? x ? 4 x ? 4, x ? 0,

f 2 ( x) ? (2m ? 1) f ( x) ? m2 ? 0 有 7 个不同的实数解,则 m = (
A.2 B.4 或 6 C.2 或 6 D.6



第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上) 13、若 ? ? (0,

?

? 1 ) ,且 cos 2 ? ? sin( ? 2? ) ? ,则 tan ? ? 2 2 2

.

-2-

14.向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c ? ? a ? ?b(?, ? ? R) ,则 ? ? ? =

?

?

?

15. 已 知 函 数

2 1 f ( x) ? x 2 ? , g ( x) ? ( ) x ? m, 若 ?x1 ?[1, 2], ?x2 ?[?1,1], 使 得 x 2
.

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 m 的取值范围是

? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? 16.设关于 x,y 的不等式组 ? x ? m ? 0, 表示的平面区域内存在点 P(x0,y0)满足 ?y ? m ? 0 ?
x0-2y0=2,则 m 的取值范围是
三、解答题(本大题共 7 题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在答 题纸的相应位置) 17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , 侧 面 ABB 1A 1 为矩形,

AB ? 1, AA1 ? 2 , D 为 AA 1 交于点 O , CO ? 侧面 ABB 1A 1. 1 的中点, BD 与 AB C (Ⅰ)证明: BC ? AB1 ;
(Ⅱ)若 OC ? OA ,求三棱锥 B1 ? ABC 的体积.

C1

B

B1
O
A

D

A1

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? mx 在(0,1)上是增函数,
3

(Ⅰ)实数 m 的取值集合为 A,当 m 取集合 A 中的最小值时,定义数列 {an } 满足

a1 ? 3, 且 an ? 0, an ?1 ? ?3 f ? ? an ? ? 9 ,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若 bn ? nan ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,求证: S n ?

3 . 4

19.(本小题满分 12 分)某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件 ,需另投入 ..
-3-

成本为 C ( x) ,当年产量不足 80 千件时, C ( x ) ?

1 2 x ? 10 x (万元).当年产量不小于 3

80 千件时, C ( x) ? 51x ? 10000 ? 1450 (万元).每件 商品售价为 500 元.通过市场分析, .. x 该厂生产的商品能全部售完. (Ⅰ)写出年利润 L( x) (万元)关于年产量 x (千件 )的函数解析式; .. (Ⅱ)年产量为多少千件 时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? .. 20 . (本小题满 分 12 分)已知 A、B 分 别在射线 CM 、CN (不含端点 C ) 上运动,

?MCN ?
b 、c.

2 ? ,在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 3
A

M

(Ⅰ)若 a 、 b 、 c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值; (Ⅱ)若 c ? 3 , ?ABC ? ? ,试用 ? 表示 ?ABC 的周长, 并求周长的最大值.
θ N B C

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2ln x ? ax ? a(a ? R) . (I)讨论 f ( x ) 的单调性; (II)若 f ( x) ? 0 恒成立,证明:当 0 ? x1 ? x2 时,

?1 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? ? 1? . x2 ? x1 ? x1 ?

请考生在第(22) 、 (23)两题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则 按所做的第一个题目计分。 22. (本小题满分 10 分)如图,AB 是圆 O 的直径,C 是半径 OB 的中点, D 是 OB 延长线上一点,且 BD=OB,直线 MD 与圆 O 相交于点 M、T

(不与 A、 B 重合) , DN 与圆 O 相切于点 N, 连结 MC, MB, OT. (I)求证: DT ? DM ? DO ? DC ; (II) 若 ?DOT ? 60 ,试求 ?BMC 的大小.
?

-4-

23.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x ?1 . (I)解不等式: 1 ? f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 ; (II)若 a>0 ,求证: f (ax) ? af ( x) ≤ f (a ) . 高三年级三调考试数学试卷(理)参考答案 一、 二、 选择题 填空题 13、1 BBDC DBBC ACAA 15、 m ?

14、 ?

5 2

5 2

16、 ?

?2 ? , ?? ? ?3 ?

三、解答题 17.(1) 根据题意, 由于在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧面 ABB AB ? 1, AA1 ? 1A 1 为矩形,

2,

D 为 AA 1 交于点 O , CO ? 侧面 ABB 1A 1 ,那么在底面 ABB 1A 1 Z 中,利 1 的中点, BD 与 AB
用 相 似 三 角 形 可 知 , AB1 ? BD , CO ? AB1 , 进 而 得 到 面B C D ? ,则可知 A 1B

BC ? AB1 ;????????6 分
( 2 ) 如 果 OC ? OA , 那 么 利 用 AB ? 1, AA 1 ?

2 , D 为 AA 1 的中点,勾股定理可知

AC ? 2OA , 根 据 柱 体 的 高 , 以 及 底 面 积 可 知 三 棱 柱 B1 ? ABC 的 体 积 为
6 ????????12 分 18
18. 解: (1)由题意得 f′(x)=﹣3x +m, ∵f(x)=﹣x +mx 在(0,1)上是增函数,∴f′(x)=﹣3x +m≥0 在(0,1)上恒成立, 即 m≥3x ,得 m≥3,-----------------------------2 分 故所求的集合 A 为[3,+∞) ;所以 m=3,∴f′(x)=﹣3x +3,
2 2 3 2 2



,an>0,∴

=3an,即

=3,

∴数列{an}是以 3 为首项和公比的等比数列, 故 an=3n; -------------------------------6 分 (2)由(1)得,bn=nan=n?3n, ∴Sn=1?3+2?3 +3?3 +?+n?3
2 3 n



-5-

3Sn=1?3 +2?3 +3?3 +?+n?3 +1

2

3

4

n



①﹣②得,﹣2Sn=3+3 +3 +?+3 ﹣n?3 +1=

2

3

n

n

﹣n?3n+1

化简得,Sn=

> .----------------------------12 分

10 分

为 1000 万元.

--------------------12 分

20. 解(Ⅰ)? a 、 b 、 c 成等差,且公差为 2,

2 1 ? a ? c ? 4 、 b ? c ? 2 . 又? ?MCN ? ? , cos C ? ? , 3 2

a 2 ? b2 ? c2 1 ?? , ? 2ab 2
2

? c ? 4? ? ? c ? 2? ? c2 ? 2 ? c ? 4 ?? c ? 2 ?
2 2

1 ?? , 2
????6

恒等变形得 c ? 9c ? 14 ? 0 ,解得 c ? 7 或 c ? 2 .又? c ? 4 ,? c ? 7 . 分 ( Ⅱ ) 在

?ABC





A C ? s ? iA n B

C ?

B ? s

C iB ? nA

C



A s

B iA n C

-6-

?

AC ? sin ?

BC 3 ?? ? ? ? 2 , AC ? 2sin ? , BC ? 2sin ? ? ? ? . 2 ? ? ? ? ?3 ? sin ? ? ? ? sin 3 ?3 ?

?? ? ? ?ABC 的周长 f ? ? ? ? AC ? BC ? AB ? 2sin ? ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ?3 ?
?1 ? 3 ?? ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 3 ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ,???10 分 2 3? ? ?2 ?
又? ?? ? 0,

? ?

? ? 2? ?? ? ,? 3 ? ? ? 3 ? 3 , 3?
?
2
即? ?

?当 ? ?

?
3

?

? 时, f ? ? ? 取得最大值 2 ? 3 . ????????12 分 6
x

2-ax 21. 解: (Ⅰ)f ?(x)= ,x>0. 若 a≤0,f ?(x)>0,f (x)在(0,+∞)上递增; 2 若 a>0,当 x∈(0, )时,f ?(x)>0,f (x)单调递增;

a

当 x∈(

2

a

,+∞)时,f ?(x)<0,f (x)单调递减.

?5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,若 a≤0,f (x)在(0,+∞)上递增, 又 f (1)=0,故 f (x)≤0 不恒成立. 2 若 a>2,当 x∈( ,1)时,f (x)递减,f (x)>f (1)=0,不合题意.

a

若 0<a<2,当 x∈(1,

2

a

)时,f (x)递增,f (x)>f (1)=0,不合题意.

若 a=2,f (x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, f (x)≤f (1)=0,合题意. 故 a=2,且 ln x≤x-1(当且仅当 x=1 时取“=”) .

?8 分

x2 当 0<x1<x2 时,f (x2)-f (x1)=2ln -2(x2-x1)+2 x1 x2 <2( -1)-2(x2-x1)+2 x1
1 =2( -1)(x2-x1),

x1

f (x2)-f (x1) 1 所以 <2( -1). x2-x1 x1
22. (1)证明:因 MD 与圆 O 相交于点 T,由切割线定 理 DN ? DT ? DM , DN ? DB ? DA ,得
2 2

?12 分

DT ? DM ? DB ? DA ,设半径 OB= r (r ? 0) ,因 BD=OB,且 BC=OC=
2 则 DB ? DA ? r ? 3r ? 3r , DO ? DC ? 2r ?

r , 2

3r ? 3r 2 , 2
-7-

所以 DT ? DM ? DO ? DC . ------------------5 分 (2)由(1)可知, DT ? DM ? DO ? DC ,且 ?TDO ? ?CDM , 故 ?DTO ∽ ?DCM ,所以 ?DOT ? ?DMC ;
? 根据圆周角定理得, ?DOT ? 2?DMB ,则 ?BMC ? 30 .

--------10 分

23.解: (1)由题 f ( x) ? f ( x ? 1) ? x ?1 ? x ? 2 ? x ?1 ? 2 ? x ? 1 . 因此只须解不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 2 . 当 x ? 1 时,原不式等价于 ?2 x ? 3 ? 2 ,即 ????????????????2 分

1 ? x ? 1. 2 当 1 ? x ? 2 时,原不式等价于 1 ? 2 ,即 1 ? x ? 2 . 5 当 x ? 2 时,原不式等价于 2 x ? 3 ? 2 ,即 2 ? x ? . 2 5? ? 1 综上,原不等式的解集为 ? x | ? x ? ? . ????????????????5 分 2? ? 2
(2)由题 f (ax) ? af ( x) ? ax ?1 ? a x ?1 . 当 a >0 时, f (ax) ? af ( x) ? ax ?1 ? ax ? a

? ax ?1 ? a ? ax ? ax ?1 ? a ? ax ? a ? 1 ? f (a) .

??????????10 分

-8-


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