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人教版高中数学选修4-5课件:第二讲2-2综合法与分析法_图文


第二讲 证明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法 [学习目标] 1.掌握用综合法和分析法证明不等式的 基本步骤 ( 重点 ) . 2. 理解这两种证明方法的数学思 想. 3.会灵活运用这两种方法证明不等式(重点、难点). [知识提炼· 梳理] 1.综合法 一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、 性质等,经过一系列的推理,论证而得出命题成立,这 种证明方法叫做综合法,又叫顺推证法或由因导果法. 温馨提示 用综合法证明时要注意不等式成立的条 件是否具备,还要注意不等式基本性质的使用是否准确. 2.分析法 证明命题时,我们还常常从要证的结论出发,逐步 寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或 一个明显成立事实(定义、 公理或已证明的定理、 性质等), 从而得出要证的命题成立, 这种证明方法叫做分析法. 这 是一种执果索因的思考和证明方法. 3.综合法与分析法的比较 证明的起 方法 求证过程 求证目标 证题方向 始步骤 基本不等 综合 式或已经 法 证明过的 不等式 实施一系 列的推出 要求证的 或等价变 结论 换 由因导果 寻求结论 分析 要求证的 所需条件 成立的充 法 不等式 全部成立 分条件 执果索因 [思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)若 a>b,则 ac2>bc2.( a b (2)若 > ,则 a>b.( c c 3 3 ) ) ) ) 1 1 (3)若 a >b ,且 ab<0,则a>b.( 1 1 (4)若 a >b ,且 ab>0,则a<b.( 2 2 解析:若 c=0,则(1)不成立; 若 c<0,则(2)不成立; 1 1 b-a 3 3 - = ,因为 a > b ,且 ab < 0 , a b ab 所以 a>0>b,即 b-a<0, b-a 1 1 所以 ab >0,故a>b,(3)成立; ? ?a<0, 若? 则(4)不成立. ? ?b<0, 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× 2.分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻 求使不等式成立的( A.必要条件 C.充要条件 答案:B ) B.充分条件 D.必要或充分条件 3.要证 a2+b2-1-a2b2≤0,只要证( A.2ab-1-a2b2≤0 4 4 a + b B.a2+b2-1- ≤0 2 ) ?a+b?2 ? 2 2 C.? - 1 - a b ≤0 ? 2 ? ? ? D.(a2-1)(b2-1)≥0 解析:a2+b2-1-a2b2=-(a2-1)(b2-1),要证原不 等式成立,只需证-(a2-1)(b2-1)≤0, 即证(a2-1)(b2-1)≥0. 答案:D 4. 请补全用分析法证明不等式“ac+ bd≤ (a2+b2)(c2+d2)”时的推理过程:要证明 ac +bd≤ (a2+b2)(c2+d2),当 ac+bd≤0 时,不等 式成立;________,只要证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2), 即要证 a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即要 证 a2d2+b2c2≥2abcd,只需证明__________________,该 不等式显然成立,故所要证明的不等式成立. 答案:当 ac+bd>0 时 (ad-bc)2≥0 类型 1 综合法证明不等式(自主研析) [典例 1] 已知 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1.求证: 1 ab+bc+ac≤ . 3 证明:因为 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac, 所以 2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca). 所以 ab+bc+ca≤a2+b2+c2. 所以 3(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac= (a+b+c)2=1. 1 1 所以 ab+bc+ca≤ .当且仅当 a=b=c= 时, 等号成 3 3 立. 归纳升华 1.综合法是指从已证的不等式或问题的已知条件出 发, 借助不等式的性质和有关定理, 经过逐步的逻辑推理, 最后达到待证的结论或需求的问题, 其特点和思路是“由 因导果”, 即从“已知”看“可知”, 逐步推向“未知”. 2.综合法证明不等式时常用的不等式: (1)a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时,取“=”); a+b (2) ≥ ab (a , b ∈ R + ,当且仅当 a = b 时,取 2 “=”); (3)a2≥0,|a|≥0,(a-b)2≥0; b a b a (4)a+b≥2(a,b 同号),a+b≤-2(a,b 异号); 1 (5)a,b∈R,a +b ≥ (a+b)2. 2 2 2 [变式训练] 已知 a,b,c∈R+,abc=1,求证:(2 +a)(2+b)· (2+c)≥27. 证明:法一:因为(2+a)(2+b)(2+c)=8+4(a+b+ c) + 2(ab + bc + ca) + abc≥8 + 4×3 3 3 abc + 2×3 (abc)2+1=27, 当且仅当 a=b=c=1 时,等号成立, 所以原不等式成立. 法二: 因为(2+a)(2+b)(2+c)=8+4(a+b+c)+2(ab ? 1 1 1? + bc + ca) + abc = 8 + 2(a + b + c) + 2 ?a+a+b+b+c+c ? ? ? +1≥8+2· abc+2×(2+2+2)+1=27, 当且仅当 a=b=c=1 时,等号成立, 所以原不等式成立. 3 法三:(2+a)(2+b)(2+c)=(1+1+a)(1+1+b)(1+1 +c)≥3 a·3 b·3 c=27, 当且仅当 a=b=c=1 时,等号成立, 所以原不等式成立. 3 3 3 类型 2 分析法证明不等式 1 [典例 2] 已知 x>0,y>0,求证:(x2+y2)2>(x3+ 1

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