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2015-2016学年高中数学 1.2.1单位圆中的三角函数线课时作业 新人教A版必修4


2015-2016 学年高中数学 1.2.1 单位圆中的三角函数线课时作业 新 人 A 教版必修 4
基础巩固 一、选择题 1.(2015·江苏苏州五中期中)角 α 的正弦线、余弦线和正切线的数量分别为 a、b、c, 5π 3π 如果 <α < ,那么 a、b、c 的大小关系为( 4 2 A.a>b>c C.c>b>a [答案] C 2.已知角 α 的余弦线是长度为单位长度的有向线段,那么角 α 的终边在( A.x 轴上 C.直线 y=-x 上 [答案] A 3.下列各式正确的是( π A.sin1>sin 3 π C.sin1=sin 3 [答案] B π π π [解析] 1 和 的终边均在第一象限,且 的正弦线大于 1 的正弦线,则 sin1<sin . 3 3 3 7π 4.若 MP 和 OM 分别是角 α = 的正弦线和余弦线,那么下列结论中正确的是( 8 A.MP<OM<0 C.OM<MP<0 [答案] D [解析] 作出单位圆中的正弦线、余弦线,比较知 D 正确. 5.如图所示,角 α 的终边与单位圆交于点 P,过点 P 作 PM ⊥x 轴于点 M, 过点 A 作单位圆的切线 AT 交 OP 的反向延长线至点 B.OM>0>MP D.MP>0>OM ) ) π B.sin1<sin 3 π D.sin1≥sin 3 B.y 轴上 D.直线 y=x 上 ) ) B.b>c>a D.a>c>b

T,则有(

)

A.sinα =OM,cosα =PM B.sinα =MP,tanα =OT C.cosα =OM,tanα =AT

1

D.sinα =MP,tanα =AT [答案] D 6.在(0,2π )内,使 sinα >cosα 成立的 α 的取值范围是( π π 5π A.( , )∪(π , ) 4 2 4 π 5π C.( , ) 4 4 3π ) 2 [答案] C [解析] π 5π π 如图所示,当 α ∈( , )时,恒有 MP>OM,而当 a∈(0, ) 4 4 4 5π ∪( ,2π )时,则是 MP<OM. 4 二、填空题 7.若角 α 的余弦线长度为 0,则它的正弦线的长度为________. [答案] 1 1 8. 若角 α 的正弦线的长度为 , 且方向与 y 轴的正方向相反, 则 sinα 的值为________. 2 1 [答案] - 2 三、解答题
?sinx≥0, ? 9.解不等式组? ? ?2cosx-1>0. ?sinx≥0, ? 由? ?2cosx-1>0, ?

)

π B.( ,π ) 4 π 5π D. ( , π )∪( , 4 4

[解析]

sinx≥0, ? ? 得? 1 cosx> , ? 2 ?

在直角坐标系中作单位圆,如图所示,

由三角函数线可得

2

2kπ ≤x≤2kπ +π ?k∈Z?, ? ? ? π π 2kπ - <x<2kπ + ?k∈Z?. ? 3 3 ? π 解集恰好为图中阴影重叠的部分, 故原不等式组的解集为{x|2kπ ≤x<2kπ + , k∈Z}. 3 10.利用单位圆和三角函数线证明:若 α 为锐角,则 (1)sinα +cosα >1; (2)sin α +cos α =1. [证明] 如图,记角 α 的两边与单位圆的交点分别为点 A,P,过点 P 作 PM⊥x 轴于点
2 2

M,则 sinα =MP,cosα =OM.

(1)在 Rt△OMP 中,MP+OM>OP,∴sinα +cosα >1. (2)在 Rt△OMP 中,MP +OM =OP , ∴sin α +cos α =1. 能力提升 一、选择题 11π 1.已知 的正弦线为 MP,正切线为 AT,则有( 6 A.MP 与 AT 的方向相同 C.MP>0,AT<0 [答案] A [ 解析 ] 11π tan <0. 6 2.已知 α 角的正弦线与 y 轴正方向相同,余弦线与 x 轴正方向相反,但它们的长度相 等,则( ) B.sinα -cosα =0 D.sinα =tanα 三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的. MP = sin 11π <0 , AT = 6 )
2 2 2 2 2

B.|MP|=|AT| D.MP<0,AT>0

A.sinα +cosα =0 C.tanα =0 [答案] A 3.y= sinx+lgcosx 的定义域为( tanx )

3

? π? A.?x|2kπ ≤x≤2kπ + ? 2? ? ? π? B.?x|2kπ <x<2kπ + ? 2? ?

C.{x|2kπ <x<?2k+1?π

}

? π π? D.?x|2kπ - <x<2kπ + ?(以上 k∈Z) 2 2? ?

[答案] B

[解析]

? ?cosx>0 ∵?tanx≠0 π ? ?x≠kπ + 2 ,k∈Z
sinx≥0



π ∴2kπ <x<2kπ + ,k∈Z. 2 4.已知 sinα >sinβ ,那么下列命题成立的是( A.若 α 、β 是第一象限角,则 cosα >cosβ B.若 α 、β 是第二象限角,则 tanα >tanβ C.若 α 、β 是第三象限角,则 cosα >cosβ D.若 α 、β 是第四象限角,则 tanα >tanβ [答案] D [解析] 如图(1),α 、β 的终边分别为 OP、OQ,sinα =MP>NQ=sinβ ,此时 OM<ON, ∴cosα <cosβ ,故 A 错; )

如图(2),OP、OQ 分别为角 α 、β 的终边,MP>NQ, ∴AC<AB,即 tanα <tanβ ,故 B 错; 如图 (3) ,角 α 、 β 的终边分别为 OP 、 OQ , MP>NQ 即 sinα >sinβ ,∴ ON>OM ,即 cosβ >cosα ,故 C 错,∴选 D.

4

二、填空题 5.不等式 cosx>0 的解集是________. π π [答案] {x|2kπ - <x<2kπ + ,k∈Z}. 2 2 [解析] 如图所示,OM 是角 x 的余弦线,则有 cosx=OM>0, ∴OM 的方向向右. ∴角 x 的终边在 y 轴的右方. π π ∴2kπ - <x<2kx+ ,k∈Z. 2 2 6.已知点 P(tanα ,sinα -cosα )在第一象限,且 0≤α ≤2π ,则角 α 的取值范围 是______________________. 5π ? ?π π ? ? [答案] ? , ?∪?π , ? 4 2 4 ? ? ? ? [解析] ∵点 P 在第一象限, ∴
? ?tanα >0, ? ?sinα -cosα >0, ?

?1? ?2? (3)

π 3π 由(1)知 0<α < 或 π <α < , 2 2 由(2)知 sinα >cosα , 作出三角函数线知,在[0,2π ]内满足 sinα >cosα 的

? π 5π ? α ∈? , ?, 4 ? ?4
5π ? ?π π ? ? 由(3)、(4)得 α ∈? , ?∪?π , ?. 4 ? ?4 2? ? 三、解答题 7.求下列函数的定义域: (1)y= 2cosx-1; (2)y=lg(3-4sin x). [解析] 如图(1).
2

(4)

5

1 ∵2cosx-1≥0,∴cosx≥ . 2 π ? π ? ∴函数定义域为?- +2kπ , +2kπ ?(k∈Z). 3 3 ? ?

(2)如图(2). 3 3 3 2 2 ∵3-4sin x>0,∴sin x< ,∴- <sinx< . 4 2 2 π ? π ? ?2π ∴函数定义域为?- +2kπ , +2kπ ?∪? +2kπ 3 3 ? ? ? 3 , 4π +2kπ ? ?(k∈Z),即 3 ?

?-π +kπ ,π +kπ ?(k∈Z). ? 3 ? 3 ? ?
π 8.若 0<α <β < ,试比较 β -sin β 与 α -sinα 的大小. 2 [解析] 如图,在单位圆中,sinα =MP,sinβ =NQ,弧AP的长为 α ,弧AQ的长为 β , 则弧PQ的长为 β -α .







过 P 作 PR⊥QN 于 R,连接 PQ,则 MP=NR. 所以 RQ=sinβ -sinα <PQ<PQ=β -α . 所以 β -sinβ >α -sinα .



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