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高等教育初中至高中数学知识大全


第一章
1.1 算术基础

算术基础知识

对我们每个人来说,数学都是从算术开始的。算术从“计数”出发,研究数 与数之间的基本运算关系, 并总结出一些数的特性。一些较深层次的性质相当复 杂,称为“高级算术” ,也就是我们常说的数论。在用数学描述现实的过程中, 人们发现仅仅有整数是不够的,于是进一步扩充了数的种类。 1.1.1 实数 实数可以直观地看作小数(有限或无限的) ,它们能把数轴“填满” 。由于它 全落在数轴上,所以我们可以认为实数是唯一的。实数极其丰富而又有局限性, 就好像音乐的变化是无限的,但人耳能听到的所有声音不过分布在有限的 20—20000Hz,频率段。 在人们对数种类进行不断扩充的过程中,实数最终被分为两大类:有理数和 无理数。 1、有理数 有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比,通常写作 a/b。希腊文原意为 “成比例的数” ,故又称作分数。 有理数的概念为自《几何原本》 ,该书在明代传入中国,并由徐光启和利玛 窦将前 6 卷合译为文言文。文言文中的“理”指的是“比值” 。明治维新前,日 本引进欧美数学典籍多转译自该书的文言文译本。日本学者不理解文言文中的 “理”的含义,直接翻译成“有理数” ,清末留日学生又以讹传讹地把这种错误 延续回国。于是“成比例的数”变成了“有理数” ,让几代学子都很费解。 有理数包括:整数、分数。 2、无理数 无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有大部分的平方根、π和 e 等。 相传, 无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。 他以几何方法证明 2 无法用整数或分数表示。 而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数或分数表示,不相 信无理数的存在。希伯斯将 2无法用分数表示这个事实透露给外人,因之触犯 学派章程而被处死,其罪名等同于“读神” 。 3、实数扩展简史 在 1637 年的《几何学》中,勒内· 笛卡尔评论说: “算术只包含四种或五种 运算,分别是加法、减法、乘法、除法和开方。 ” 这句话道出了算术所允许的运算,以现代观点看,可以利用这些运算生成一 个数系层,每一层都是对上一层数的扩充(最终成就了实数系)。这种来自算术运

算的数系结构既是逻辑要求也是历史要求。 (1)加法构建自然数:自然数的构建是一个叠加的过程,由 1+1 得到 2,2+1 得到及至无穷。 (2)减法构建负整数、0:若 a<b,那么 a-b 这个减法运算使得结果落在数轴 的负半轴上,构建了负整数。同时,当 a=b 的时候,通过做减法构建出 a-b=0。 可见加法和减法构建出所有整数。 (3)除法构建了有理数:分数是由除法定义的,有理数即是所有“成比例” 的分数。它是有限小数或无限循环小数,填充了整数之间留下的间隔,故有理数 是稠密的。 (4)开方构建了代数数: 上文提到毕达哥拉斯的弟子证明了等腰直角三角形 的斜边长 2不能被表示为分数,进而发现了有理数之外的数。代数数就是通过 有限次加、减、乘、除、开方运算得到的数。 (5)欧拉预言了超越数:欧拉最早预言存在不能用代数运算得的数,并称之 为超越数,这些数字最终填满了整个实数轴。最经典的超越数是π和 e。 1.1.2 整数 如果把数学想象成一个庞大的交响乐团, 整数就是其中的大鼓: 简单、 直接、 反复,为其他所有乐器提供基础节奏。 整数的划分主要有两种方式:奇数与偶数、质数与合数。前者是对整数进行 简单的二分,后者则从乘法的角度来理解整数。 1、奇数与偶数 所有整数不是奇数, 就是偶数。 在数轴上奇数和偶数间隔排列, 0、 2、 4、 6、 8……是偶数,其余的就是奇数。

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

偶 数

奇 数

奇数与偶数间有如下运算规则, 很多题目列出式子后可利用这些运算规则快 速判断答案是奇数还是偶数。 加减规律 偶± 奇=奇 奇± 奇=偶 偶± 偶=偶 乘除规律 偶× 奇=偶 奇× 奇=奇 偶× 偶=偶

例 1 某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均 有 5 排座位, 甲教室每排可坐 10 人,乙教室每排可坐 9 人。两教室当月共举办 该培训 27 次,每次培训均座无虚席,当月共培训 1290 人次。问甲教室当月共举 办了多少次这项培训? A.8 B.10 C.12 D.15 解析:甲教室可坐 50 人,乙教室可坐 45 人。设甲、乙两教室分别培训 x, y 次, 有 50x+45y=1290。 由于 50x 和 1290 为偶数, 偶± 偶=偶, 则 45y 也为偶数, 则 y 肯定为偶数。x+y=27,则 x 为奇数,所以答案为 D。 例 2 从 1、2、3、4、5、6、7、8、9 中任意选出三个数,使它们的和为奇 数,共有几种不同的选法: A.44 B.43 C.42 D.40 解析:根据奇数与偶数间的加减规律,要使三个数的和为奇数,只能是三个
3 奇数或两偶一奇。三个数都是奇数时,从 5 个奇数中选 3 个,共有 C5 ? 10 种选

法; 有两个偶数一个奇数时, 从 4 个偶数中选出 2 个, 再从 5 个奇数中选出二个,
2 1 共有 C4 ? C5 ? 30 种选法。总共 30+10=40 种选法,选 D。

根据奇数与偶数的运算规则可以得出如下两个推论。 奇数个奇数的和=奇数 偶数个奇数的和=偶数 例 3 在连续奇数 1,3,…,205,207 中选取 N 个不同数,使得它们的和为 2359,那么 N 的最大值是 A.47 B.48 C.50 D.51 解析:加数均为奇数,它们的和 2359 也是奇数,则加数的个数 N 为奇数, 排除 B、C。 51 个不同奇数的和至少是(1+1+50x2)x51 ? 2= 512 =2601>2359, 由此排除 D。 例 4 有 33 个偶数的平均数,保留一位小数时是 5.8,保留两位小数时,则 该平均数最小是 A.5.76 B.5.75 C.5.78 D.5.82 解析:保留一位小数时是 5.8,该平均数应该小于 5.85,大于 5.75。若平均 数为 5.85, 则总和为 33 ? 5.85=193.05; 若平均数为 5.75, 则总和为 33 ? 5.75=189.75。 所以这些数的和在 189.75-193.05 之间。33 个偶数的和为偶数,因此它们的和最 小为 190,其平均数保留两位小数是 190 ? 33=5.76,选 A。 2、质数与合数 人们本以为整数不过是通过加法运算逐一构造出来的,如:2 是在 1 的基础

上再加 1 得到的。但是质数让人们从乘法运算的角度深人理解整数。 整数按质合性划分有 4 种: 0、 1、 质数、 合数。 质数只能被 1 和它本身整除, 又称素数。顾名思义,它是整数中最基本的“元素” 。除了 0、1、质数,其余的 都是由质数组成的小团体—合数。合数的含义可借助下面这个定理来理解。 任何正整数(1 除外)都能够写成若干质数之积。 这个命题告诉我们合数是由质数“凑成”的,肯定了“质数是组成一切基本 自然数的元素”的不可再分的地位。除了 0 和 1 要么是质数,要么是质数的乘积 (合数)。 例5 A.48 四个相邻质数之积为 17017,他们的和为 B.52 C.61 D.72

解析:把 17017 写成 4 个质数相乘的形式,容易看出 17017=17x1001,因此 只需分解 10010。 10010 可以整除的最小质数是 7, 那么这四个相邻质数是 7、 11、 13、17,和为 7+11+13+17=48,选 A。 上题中看到数字 17017 这样一个大数,你是否有把它大卸八块的冲动?在面 对复杂的数时, 人的直觉是把它们拆解成基本的零件,算术基本定理告诉我们这 些零件都是质数。 因此熟悉较小的质数对于解题事半功倍。 20 以内的质数包括: 2、3、5、7、11、13、17、19。 3、质数的其他性质 质数因其不可约分的性质被定义,也因此具有了以下性质: (1)除 2 以外的所有质数都是奇数。 (2)质数之间互质。 对两个整数进行质因数分解后,若它们没有相同的质因数,则称这两个数互 质。质数之间一定是互质的关系。因为彼此没有相同的质因数,所以互质的数相 除不能得到整数。 例6 有 7 个不同的质数,他们的和是 58,其中最小的质数是多少? A.2 B.3 C.5 D.7

解析:除了 2 以外的质数全是奇数,若 7 个质数全是奇数,则这些数的和不 为偶数。 所以这 7 个质数必然含有偶数, 2 是最小的质数且是质数中唯一的偶数, 选 A。 例 7 从 3、 5、 7、 11 四个数中任取两个数相乘, 可以得到多少个不相等的积? A.5 B.4 C.6 D.7
2 解析:四个数两两互质,所以任取两数相乘得到的积均不相等,有 C4 ? 6个

不相等的积,选 C。 4、平方数 从马其顿方阵到罗马军团的重步兵方阵,古代战争都是以队形取胜的。最规

整的方阵自然是正方形的, 人数是每边人数的平方,因此平方数相当于是各种大 小不同的方阵的人数。 熟悉平方数有助于确定数字推理中多次方数列的规律,也 可通过对平方数的判断快速解决数学运算中的某些题目。 例 8 有一个上世纪 80 年代出生的人,如果他能活到 80 岁,那么有一年他 的年龄的平方数正好等于那一年的年份。问此人生于哪一年? A.1980 年 B.1983 年 C.1986 年 D.1989 年 解析:上世纪 80 年代的范围是 1980-1989,因此有一年他年龄的平方数应 该介于 1980-2069 之间。442 ? 1936;452 ? 2025;462 ? 2116 ,则该区间内的平方数 只有 45。因此,在 2025 年他 45 岁,此人生于 2025-45=1980 年,选 A。 例 9 从一块正方形木板上锯下宽 5 厘米的一个木条后,剩下的长方形面积 是 750 平方厘米,锯下的木条面积是多少平方厘米? A.25 B.150 C.152 D.168 解析: 原正方形面积应为平方数,即长方形面积加上锯下的面积之和为平方 数,选项中只有 B 项加上 750 以后是 900= 30 2 。 1.1.3 整除 整除是两个整数之间的一种关系。15 ? 3 的结果 5 是个整数,则 15 能被 3 整除。把 15 个苹果分给 3 个人,每个人能得到 5 个;分给 4 个人就不能保证每 个人得到同样数量的苹果。因此“整除”暗含平均分配的意思。 1、整除判定 如果在具体计算之前你预知正确答案能被某个数整除, 那你只需要判断哪个 选项能被这个数整除。行测考试中经常需要判断一个数是否能被 3、5、9 整除。 (1)被 5 整除的判断依据:个位是 0、5 的数可被 5 整除。 (2)被 8 整除的判断依据:末三位可被 8 整除的数能被 8 整除。 (3)被 3 整除的判断依据:各位数字和是 3 倍数的数可被 3 整除。 (4)被 9 整除的判断依据:各位数字和是 9 倍数的数可被 9 整除。 例 10 某单位招录了 10 名新员工,按其应聘成绩排名 1 到 10,并用 10 个 连续的四位自然数依次作为他们的工号。 凑巧的是每个人的工号都能被他们的成 绩排名整除,问排名第三的员工工号所有数字之和是多少? A.9 B.12 C.15 D.18 解析:排名第十的员工能被 10 整除,则其个位是 0,排名第三的个位是 3, 第九名个位是 9,二者各位数字之和相差 6。第三名工号能被 3 整除,其各位数 字之和是 3 的倍数;第九名工号能被 9 整除,其各位数字之和是 9 的倍数。第九 名工号各位数字之和为第三名工号各位数字之和加 6,应能为 9 整除。结合选项 可知选 B。

2、整除性质 上面提到的利用整除关系来锁定答案,很暴力。但是它有个前提,要先知道 答案具有的整除关系。 所以,我们利用整除性质来得到答案具有的整除关系。 如果数“能被 b 整除,数 b 能被 c 整除,则数 a 能被 c 整除” 。 (传递性) 【示例】42 能被 14 整除,14 能被 7 整除,42 能被 7 整除。 如果数 a 能被 c 整除,数 b 能被 c 整除,则 a+b,a-b 均能被 c 整除。 (可加 减性) 【示例】9 能被 3 整除,18 能被 3 整除,9+18=27 也能被 3 整除。 例 11 一个三位自然数正好等于它各位数字之和的 18 倍,则这个三位自然 数是 A.999 B.476 C.387 D.162 解析:这个三位数是 18 的倍数,即这个三位数能被 18 整除,又 18 能被 2 和 9 整除。根据整除的传递性,这个数一定能被 9 和 2 整除。A、C 两项不能被 2 整除,排除;B 项 4+7+6=17,不能被 9 整除,排除;只有 D 项符合。 3、最大公约数与最小公倍数 如果两个数存在整除的关系,较小数是大数的约数,大数是较小数的倍数。 一个数的最大约数是其本身,最小约数是 1。若两个数有共同的约数,则这 个约数称为它们的公约数,即“公共的约数” 。同理,两个数共同的倍数,称为 公倍数。一个数的约数小于这个数本身,是有限的;倍数则可以无限大。故在讨 论公约数与公倍数的时候通常关注最大公约数与最小公倍数。 例 12 有甲、乙、丙三辆公交车于上午 8:00 同时从公交总站出发,三辆车再 次回到公交总站所用的时间分别为 40 分钟、25 分钟和 50 分钟。假设这三辆公 交车中途不休息,请问它们下次同时到达公交总站将会是几点? A.11 点整 B.11 点 20 分 C.11 点 40 分 D.12 点整 解析:要想同时到达,所需时间应为 40,25,50 的公倍数,下一次同时到 达所需时间为 40、 25、 50 的最小公倍数。 因此 40、 25、 50 的最小公倍数为 200, 所以 200 分钟后他们同时到达公交总站,200 分钟=3 小时 20 分,故 11 点 20 分 时它们同时到站,选 B。 1.1.4 余数 15 个苹果分给 4 个人, 如果要求每个人得到苹果数同样多,显然每人得到 3 个苹果后,还剩下 3 个没法平分。余数是这个分配过程中“余留下的量” 。当余 数为零时,即为整除。余数总是小于除数,且大于 0。 例 13 在一个除法算式里,被除数、除数、商和余数之和是 319,已知商是 21,余数是 6,问被除数是多少?

A.237

B.258

C.279

D.290

解析:在除法算式里,被除数=除数 ? 商+余数,此题可以设除数为 x,则被 除数是 21x+6。由题意可知,21x+6+x+21+6=319,解得 x=13,故被除数为 13 ? 21+6=279,选 C。 1、同余 两个整数 a,b,若它们除以整数 m 所得余数相同,则称 a,b 对于 m 同余。 同余包括一些听起来拗口,实际上却很朴素的运算性质。例如: (1)两数之和与余数的和同余。 (2)两数之差与余数的差同余。 (3)两数之积与余数的积同余。 例 14 A.1 a 除以 5 余 1,b 除以 5 余 4,如果 3a>b,那么 3a-b 除以 5 余几? B.2 C.3 D.4

解析:3 除以 5 余 3,a 除以 5 余 1,3a 与余数的积 3x1 同余,即 3a 除以 5 余 3。3a-b 与余数的差(3-4)同余,即 3a-b 的余数是-1+5=4。 2、尾数 尾数通常指的是整数的个位数字,有时候也指小数的最末位。因此尾数是这 个数除以 10 的余数。 尾数法: 尾数本质上是原数除以 10 的余数,尾数的运算本质是同余的性质的具体表 现。 (1)两数之和的尾数=尾数之和的尾数 (2)两数之差的尾数=尾数之差的尾数 (3)两数之积的尾数=尾数之积的尾数 例 14 1.12 ? 1.22 ? 1.32 ? 1.42 的值是 A.5.04 B.5.49 C.6.06 D.6.30

1.22 的尾数为 4, 1.32 的尾数为 9, 1.42 的尾数为 6, 解析: 1.12 的尾数为 1,

各项尾数的和 1+4+9+6=20,尾数为 0,选 D。 例 15 A.0 3、一般剩余问题 上述问题称为中国剩余定理或中国余数定理,是一般剩余问题。一般剩余问 题的通用形式如下 一个数除以 a 余 x,除以 b 余 y,除以 c 余 z,其中 a、b、c 两两互质;求满 2009 ? 20082008-2008 ? 20092009=? B.1 C.2 D.3

解析:原式的尾数为 9 ? 8-9 ? 8=0,选择 A。

足该条件的最小数。 这类问题的通用解法是逐步满足法。以《孙子算经》中的题目为例,满足除 以 3 余 2 的最小数是 2,则 3n+2 都满足这一条件。 当 n=0 时,3n+2=2 不满足除以 5 余 3; 当 n=1 时,3n+2=5 不满足除以 5 余 3; 当 n=2 时,3n+2=8 满足除以 5 余 3。3 和 5 的最小公倍数是 15,则 15n+8 都满足上面两个条件。当 n=1 时,15n+8=23,满足除以 7 余 2。3、5、7 的最小 公倍数是 105, 所以 23 是满足这三个条件的最小数, 105n+23 是满足这三个条件 的所有数。23 相当于满足条件的数除以 3、5、7 最小公倍数的余数,因此剩余 问题就是求这个余数。 例 16 三位数的自然数 P 满足:除以 3 余 2,除以 7 余 3,除以 11 余 4,则 符合条件的自然数 P 有()个。 A.5 B.4 C.6 D.7 解析: 满足除 3 余 2 的最小整数是 2, 则 3n+2 都满足这个条件。 当 n=5 时, 3 ? 5+2=17 满足除以 7 余 3, 则 21n+17 满足前两个条件。 当 n=2 时, 21 ? 2+17=59 满足除以 11 余 4, 则 231n+59 满足所有条件。 可知当 n=1、 2、 3、 4 时满足题意, 选 B。 4、余同 指一般剩余问题中的余数是相同的,一个数除以 a 余 x,除以 b 余 x,除以 c 余 x。因此,满足余同问题的数是[a,b,c]n+x。 【示例】一个数除以 4 余 2,除以 5 余 2,除以 6 余 2,这个数可表示为? 4,5,6 的最小公倍数是 60,因此这个数可以表示为 60n+2。 例 17 某生产车间有若干名工人,按每四个人一组分,多一个人;按每五个 人一组分,也多一个人;按每六个人一组分,还是多一个,该车间至少有多少名 工人? A.31 B.41 C.61 D.122 解析:余同问题,4、5、6 的最小公倍数是 60,符合题意的数为 60n+1。当 n=1 时,该车间至少有 61 人,选 C。 5、和同 指一般剩余问题中每组除数与余数的和相同,即 a+x=b+y=c+z。则满足和同 问题的数是[a,b,c]n+a+x 【示例】一个数除以 4 余 3,除以 5 余 2,除以 6 余 1,这个数可表示为? 4+3=5+2=6+1=7, 4、 5、 6 的最小公倍数为 60, 则这个数可以表示为 60n+7。 例 18 一个三位数除以 9 余 7,除以 5 余 2,除以 4 余 3,这样的三位数共有 A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个

解析: 满足除以 5 余 2, 除以 4 余 3 是和同问题, 5 与 4 的最小公倍数是 20, 满足这两个条件的数可表示为 20n+7。 这个数与 9 余同, 20 与 9 的最小公倍数是 180,则这个数最终可表示为 180n+7。当 n=1、2、3、4、5 时是三位数,选 A。 6、差同 指一般剩余问题中每组除数与余数的差相同,即 a-x=b-y=c-z。即原数加上 这个差后可以被每个除数整除,则满足差同问题的数是[a,b,c]n-(a-x) 。 【示例】一个数除以 4 余 1,除以 5 余 2,除以 6 余 3,这个数可表示为? 4-1=5-2=6-3=3,4,5,6 的最小公倍数为 60,则这个数可以表示为 60n-3。 例 19 有一个自然数“X” ,除以 3 的余数是 2,除以 4 的余数是 3,问“X” 除以 12 的余数是多少? A.1 B.5 C.9 D.11 解析:差同问题,3-2=4-3=1,3 与 4 的最小公倍数是 12,则 X=12n-1。易 知 X 除以 12 的余数是-1+12=11,选 D。 例 20 多少? A.118 B.140 C.153 D.162 解析:11-8=13-10=3,差同问题。11 与 13 的最小公倍数是 143,则这个数 为 143n-3。小于 200 的数中只有 140 满足,选 B。 一个小于 200 的数,它除以 11 余 8,除以 13 余 10,那么这个数是

1.2 和差倍比
差倍比问题讨论的是不同数量间的和、差、倍数、比例的关系。 和差倍问题主要有以下三种: (1)和倍关系:已知两个数之和以及其之间的倍数关系,求这两个数。 和 ? (倍数+1)=小数 小数 ? 倍数=大数

(2)差倍关系:已知两个数之差以及其之间的倍数关系,求这两个数。 差 ? (倍数-1)=小数 小数 ? 倍数=大数

(3)和差关系:已知两个数之和与差,求这两个数。 (和+差) ? 2=大数 (和-差) ? 2=小数

例 21 多少个? A.225

水果店运来的西瓜个数是哈密瓜个数的 4 倍, 如果每天卖 130 个西瓜

和 36 个哈密瓜, 那么哈密瓜卖完后还剩下 70 个西瓜。该店共运来西瓜和哈密瓜

B.720

C.790

D.900

解析:此题答案为 D。此题为和差倍问题(2)差倍关系。卖之前具有倍数 关系,如果哈密瓜每天卖 36 个,西瓜每天卖 36× 4=144 个时,二者恰好同时卖 完,现在按照“130 个西瓜和 36 个哈密瓜”,每天少卖 144-130=14 个西瓜,共 剩下 70 个,所以共卖了 70÷ 14=5 天,共有 5× (130+36)+70=900 个瓜。 例 22 三个单位共有 180 人,甲、乙两个单位人数之和比丙单位多 20 人,

甲单位比乙单位少 2 人,求甲单位的人数? A.48 人 B.49 人 C.50 人 D.51 人

解析:此题为和差倍问题(3)和差关系。根据“甲、乙两个单位人数之和 比丙单位多 20 人” , 由和差关系公式可知, 甲、 乙两个单位人数之和为 (180+20) ÷ 2=100 人;根据“甲单位比乙单位少 2 人”,再次利用和差关系公式,甲单位 有(100-2)÷ 2=49 人。 1.2.1 比例问题 比例问题或者是分量与总量比较(占比),或者是分量间比较。与总量比较的 题目可以采用特值法简化计算, 分量间的比例问题通常利用整除性质来判断选项。 1、连比问题 连比问题涉及多个量之间的比例关系,需要找出一个中间量,统一比例关系 (一般需要求出最小公倍数,并把这个特殊值设为中间量)。 例 23 三人玩游戏, 开始时三人的钱数之比为 7:6:5, 游戏结束后三人的钱数 之比变为 6:5:4,其中一个人赢了 12 元,则这个人原来有多少元钱? A.420 B.480 C.360 D.300 解析:三人的总钱数没有改变,设为中间量。开始时总量共 7+6+5=18 份, 结束时总量为 6+5+4=15 份。二者的最小公倍数为 90,因此设总量为 90 份。开 始时三人钱数之比为 35:30:25,结束后变为 36:30:24。可见只有 A 的钱数多了 1 份,为 12 元。则这个人原来有 12 ? 35=420 元,选 A。 例 24 某高速公路对于过往车辆的收费标准:大客车 30 元,小客车 15 元, 小轿车 10 元。 某日通过该收费站的大客车与小客车数量之比为 5:6, 小客车与小 轿车数量之比为 4:11,收取小轿车的通行费比大客车多 210 元,则当天这三种车

辆共通过 A.330 辆 B.355 辆 C.385 辆 D.450 辆 解析:以小客车为中间量,设这个中间量为 6 与 4 的最小公倍数 12 份,则 大客车、小客车、小桥车的数量比为 10:12:33。以 10 辆大客车、12 辆小客车、 33 辆小轿车为一组。每组收取小轿车的费用比大客车多 33 ? 10-10 ? 30=30 元。 实际收取了 210 元,说明共通过了 210 ? 30=7 组。每组有 10+12+33=55 辆,则 当天共有 55 ? 7=385 辆车通过,选 C。 2、占比问题 几个数相互间的比例关系可以很混乱,这是因为比照的标尺在不断变化,如 果都与总量做比较会省事很多。总量一般设为 1 或 100,因此占比通常是一个真 分数或百分数。占比问题的关键是找出分量与总量间的比例关系。 例 25 甲、乙、丙、丁四个队共同植树造林,甲队造林的亩数是另外三个队 1 1 造林总亩数的 ,乙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的 ,丙队造林的亩 4 3 数是另外三个队造林总亩数的一半。已知丁队共造林 3900 亩,问甲队共造林多 少亩? A.9000 B.3600 C.6000 D.4500

1 1 1 1 1 1 解析:甲队占造林总的亩数的 4 ? ,乙队占 3 ? ,丙队占 2 ? , 1 5 1 4 1 3 1? 1? 1? 4 3 2
13 丁占 60 ,所以总共造林 18000 亩,甲队 3600 亩。

1.3 平均数 1.3.1 算术平均数 算术平均数就是把一组数据加起来再除以它们的个数。 日常生活中提到的平 均数多半指的是算术平均数。 概念:设一组数据分别是 x1 , x2 , x3......xn ,这 n 个数的算术平均数就是
x1 ? x 2? x ? 3 ...... ? xn n 例 26 已知数据 23,25,26,22,21,27,28,24,30,33,用这 10 个数 X?

分别减去其平均数,所得 10 个数值的和为 B.2 C.0 D.-3 x1 ? x 2 ? x3 ? ...... ? xn 解析:由平均数的定义: X ? ,算出 10 个数的平均数, n 再计算和为 0。 A.3

例 27 某班一次期末数学考试成绩,平均分为 95.5 分,后来发现小林的成绩 是 97 分误写成 79 分。再次计算后,该班平均成绩是 95.95 分。则该班人数是 A.30 人 B.40 人 C.50 人 D.60 人 解析:重新统计后该班成绩提高了 95.95-95.5=0.45 分,该班总分增加了 97-79=18 分。因此这班有 180 ? 45=40 人,选 B。 1.3.2 加权平均数 概念: 加权平均数与算术平均数类似, 不同之处在于每个数据要乘一个系数, 这个系数称为权重。权重代表每个数据对总量的贡献。 例如:某次考试有 1 个人得 10 分,5 个人得 8 分,1 个人得 6 分;总平均分 10 ? 8 ? 6 1?10 ? 5 ? 8 ? 1? 6 显然不是 ,而是 。当权重均为 1 时,加权平均数等同 3 1? 5 ?1 于算术平均数。因此,加权平均数是算术平均数的广义形式。 算法:设一组数据分别是 x1 , x2 , x3......xn ,出现的次数分别为 m1 , m2 , m3 ,...mn , 这些数的平均数为:
x? m1 x1 ? m2 x2 ? m3 x3 ? ... ? mn xn m1 ? m2 ? m3 ? ...mn

例 28 某高校 2006 年度毕业学生 7650 名,比上年度增长 2%,其中本科生 毕业数量比上年度减少 2%,而研究生毕业数量比上年度增加 10%,那么,这所 高校今年毕业的本科生有 A.3920 人 B.4410 人 C.4900 人 D.5490 人 解析:采用十字交叉法。 十字交叉法: 在浓度问题中, 不同浓度的两种溶液混合得到的混合溶液的浓 度,实质是计算加权平均数。例如:有浓度为 a%的盐水 x 克与浓度为 b%的盐水 y 克,混合后的浓度为 c%。根据加权平均数的算法 c ?
xa ? yb ,整理这个方程 x? y

可得

x c?b ,如果已知各部分的浓度(平均数)与总浓度(总平均数),利用这个 ? y a?c

方程就可以快速求各部分的质量比(权重比)。 十字交叉法就是将推导这个方程的过程简化,而不用对之死记硬背。 假设第一部分平均值为 a, 第二部分平均值为 b(a>b), 混合后的平均值为 c。

平均值

总平均值

交叉作差

权重

第一部分 第二部分 权重比

a c b

c-b a-c

x y

x c ?b ? y a?c

这里的平均值可以是浓度、产量、价格、利润、增长率、速度等等。因此, 凡涉及求两个平均数的加权平均数均可采用十字交叉法快速得解。 此题目中,采用十字交叉法,得到以下框图:
2006年本科 生增长率 2006年研究 生增长率 -2% 2% 10% 2%-(-2%)=4% 10%-2%=8%

因此 2005 年本科与研究生毕业生数量之比为 2:1。 2005 年高校毕业生总数 2 是 7650/(1+2%)=7500,本科生有 7500 ? =5000 人,2006 年本科生有 5000 ? 1? 2 (1-2%)=4900 人,选 C。 例 29 某班男生比女生人数多 80%, 一次考试后, 全班平均成绩为 75 分, 而女生的平均分比男生的平均分高 20%,则此班女生的平均分是 A.84 分 B.85 分 C.86 分 D.87 分 解析:设男生平均分为 x,女生平均分为 1.2x,应用十字交叉法。
男生平均分 女生平均分 x 75 1.2x 75-x 5 1.2x-75 9

1.2 x ? 75 9 ? ,解得 x=70,女生平均分为 70*1.2=84。 75 ? x 5 1.3.3 均值不等式

随算法不同,平均数还包括调和平均数、几何平均数、平方平均数,均值不 等式给出了它们之间的大小关系。 调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数

n 1 1 1 ? ? ... ? x1 x2 xn

? n x1 ? x2 ? ...xn ?

x1 ? x2 ? ... ? xn ? n

x12 ? x2 2 ? ... ? xn 2 n

注:当 x1 ? x2 ? ... ? xn 时,上述不等式取等号。 常用类型: a?b ? ab ,当且仅当 a=b 时等号成立。 (1) 2 a?b?c 3 ? abc ,当且仅当 a=b=c 时等号成立。 (2) 3 例 30 建造一个容积为 16 立方米,深为 4 米的立方体无盖水池,如果池底 和池壁的造价分别为每平方米 160 元和每平方米 100 元, 那么该水池的最低造价 是多少元? A.3980 B.3560 C.3270 D.3840 解析:设池底的长和宽分别是 x、y,底面积 xy=16/4=4 平方米,池壁的面 积 为 周 长 ? 深 度 =4 ? 2 (x+y)=8x+8y , 水 池 的 造 价 为 4 ? 160+(8x+8y) ? 100=640+800(x+y)。由均值不等式可知, x ? y ? 2 xy 。因此,当 x=y=2 时,x+y 的值最小,为 4。该水池的最低造价为 640+800 ? 4=3840 元。

第二章

代数基础知识

2.1 方程 概念:方程是含未知数的等式。 笛卡尔提到一个实际问题解决的大致流程为: 实际问题→数学问题→代数问 题→方程问题。 其中最后一步正是解决问题的核心所在,可见函数与方程的思想 堪称代数中的灵魂思想。 二者都是通过未知变量间的运算关系来描述问题并通过 计算揭示其本质,多用于一些数量关系表述复杂的应用题。 方程法是一种直接的方法,它是把未知量设为字母(比如 x) ,然后把字母 (比如 x)作为已知量参与计算,最终得到等式的过程。方程法的思维方式与其 他算术解法的思维方式不同, 它不需要从已知到已知和从已知到未知等多层次的 分析,它只需要找出等量关系,然后根据等量关系按顺序列出方程即可。 方程法的主要流程为:设未知量→找出等量关系→列出方程→解出方程 例 1 一商品的进价比上月低了 5%,但超市仍按上月售价销售,其利润率 提高了 6 个百分点,则超市上月销售该商品的利润率为 A.12% B.13% C.14% D.15% 解析:设未知量,设上个月的利润率为 x,则这个月的利润率为 x+6%。 找出等量关系:两个月的售价是一样的。 列出方程:不妨设上个月商品进价是 1,则这个月商品进价是 0.95, 1× (1+x)=0.95× (1+x+6%) 解出方程:x=14%。 所以正确答案为 C。 例 2 商场的自动扶梯以匀速由下往上运行,两个孩子嫌扶梯走得太慢,于 是在运行的扶梯上,男孩每秒钟向上走 2 个梯级,女孩每 2 秒向上走 3 个梯级。 结果男孩用 40 秒钟到达,女孩用 50 秒钟到达。则当该扶梯静止时,可看到的扶 梯级有

A.80 级 B.100 级 C.120 级 D.140 级 解析:设扶梯每秒走 x 级,则 40(2+x)=50(3/2+x) ,解得 x=0.5,总的 扶梯有 40× (2+0.5)=100 级。所以正确答案为 B。 例 3 四年级有 4 个班,不算甲班其余三个班的总人数是 131 人;不算丁班 其余三个班的总人数是 134 人;乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少 1 人,问这四个班共有多少人? A.177 B.178 C.264 D.265 解析:设甲、乙、丙、丁四个班人数分别为 a,b,c,d,则 b+c+d=131 ① a+b+c= 134 ② b+c=a+d-1 ③ ①+②得到 a+d+2(b+c)=265,把③代入 a+d+2(a+d)-2=265,解得 a+d=89。 a+b+c+d=a+d+a+d-1=89+89-1=177,选 A。 2.1.1 一元二次方程 概念: 只含有一个未知数, 且未知数的最高次数是 2 次的整式方程叫做一元 二次方程。 一元二次方程有三个特点: (1)含有一个未知数; (2)且未知数次数最高次数是 2; (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式 方程,若是,再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这 个方程就为一元二次方程。里面要有等号,且分母里不含未知数。 一元二次方程的解: 设一元二次方程为 ax2 ? bx ? c ? 0 ,通过配方法得到,方程的通解为:
ax 2 ? bx ? c ? 0 b b2 b2 x? 2)? ?c ?0 2a 4a 4a b b2 a( x ? )2 ? ?c 2a 4a b b 2 ? 4ac ( x ? )2 ? 2a 4a 2 a( x 2 ? 2 ? x? x? b b 2 ? 4ac ?? 2a 2a ?b ? b 2 ? 4ac 2a
得到 ax ? bx ? c ? 0 的通解为: x ?
2

?b ? b 2 ? 4ac 2a

例 4 一列队伍沿直线匀速前进,某时刻一传令兵从队尾出发,匀速向队首 前进传送命令,他到达队首后马上原速返回,当他返回队尾时,队伍行进的距离 正好与整列队伍的长度相等。 问传令兵从出发到最后到达队尾所行走的整个路程

是队伍长度的多少倍? A.1.5 B.2 C. 1 ? 2 D. 1 ? 3

解析:设队伍长度为 1,传令兵的速度为 v1 ,队伍行进速度为 v2 。该传令兵 到达队首是一个追及过程,追及距离为队伍长度 1,用时为
1 ;该传令兵从 v1 ? v2

队首回到队尾是一个相遇过程,用时

1 1 1 1 。故 ? ? ,整理得 v1 ? v2 v1 ? v2 v1 ? v2 v2

(v1 ? v2 )(v1 ? v2 ) ? 2v1v2。令 v2 ? 1 , v12 ? 2v1 ?1 ? 0 ,解这个一元二次方程,得到

v1 ? 1 ? 2 ,因为速度是大于 0 的,所以 v1 ? 1 ? 2 。相同时间下,路程与速度呈
正比,所以传令兵从出发到回到队尾走的总路程是队伍长度 (队伍走的路程 )的

1 ? 2 倍,所以选择 C。
2.1.2 不定方程 概念:不定方程是未知数个数多于方程数,且未知数受到某些限制 (如规定 是整数)的方程。 最常见的不定方程是形如 ax+by=c 的二元一次不定方程,其中 a、b、c 均为 整数。不定方程的解不是唯一确定的,如果未知数的解不加限制条件,它会有无 数种可能。 例 5 超市将 99 个苹果装进两种包装盒,大包装盒每个装 12 个苹果,小包 装盒每个装 5 个苹果, 共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个? A.3 B.4 C.7 D.13 解析:设大包装盒用了 x 个,小包装盒用了 y 个。依题意,12x+5y=99 , 12x 是偶数,则 5y 是奇数,5y 的尾数是 5。因此 12x 的尾数是 4,x 的尾数为 2 或 7。当 x=7 时,y=3,题干条件说用了十多个盒子,排除。当 x=2 时,y=15, 两者之差为 13,选 D。 例 6 某儿童艺术培训中心有 5 名钢琴教师和 6 名拉丁舞教师,培训中心将 所有钢琴学员和拉丁舞学员共 76 名分别平均地分给各个老师带领,刚好能够分 完,且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少,培训中心只 保留了 4 名钢琴教师和 3 名拉丁舞教师,但每名教师所带的学生数量不变,那么 目前培训中心还剩下学员多少人? A.36 B.37 C.39 D.41 解析: 设每个钢琴教师带 x 名学生, 每个拉丁舞教师带 y 名学生, 则 5x+6y=76。 76、6y 是偶数,根据偶数+偶数=偶数,可知 5x 是偶数,x 是偶数。每位老师所 带的学生数量都是质数,2 是唯一的偶质数,则 x=2,y=11。培训中心目前剩下 41 名学员。 例 7 共有 20 个玩具交给小王手工制作完成。规定,制作的玩具每合格一个 得 5 元,不合格一个扣 2 元,未完成的不得不扣。最后小王共收到 56 元,那么 他制作的玩具中,不合格的共有()个。

A.2 B.3 C.5 D.7 解析:设合格的玩具 x 个,不合格的 y 个,则 5x-2y=56,即 5x=56+2y。根 据偶数+偶数=偶数可知,5x 是偶数,且 5x 是 5 的倍数,因此 5x 的尾数只能是 0, 因此知的尾数只能为 4, 结合选项知 y 可以取到 2 或 7。 分别代入发现, y=2, x=12 满足 x+y ? 20。故选择 A。 例 8 工人甲一分钟可生产螺丝 3 个或螺丝帽 9 个,工人乙一分钟可生产螺 丝 2 个或螺丝帽 7 个。现在两人各花了 20 分钟,共生产螺丝和螺丝帽 134 个。 问生产的螺丝比螺丝帽多几个? A.34 个 B.32 个 C.30 个 D.28 个 解析:设工人甲生产螺丝 x 分钟,工人乙生产螺丝 y 分钟。则 3x+2y+9(20-x)+7(20-y)=134, 整理得 6x+5y=186。 6x、 186 是偶数, 则 5y 是偶数。 5y 的尾数只能是 0,故 6x 的尾数是 6。x 为 1、6、11、16 能满足条件,只有当 x=16 时 y=18 能满足 y 小于 20。此时螺丝有 3 ? 16+2 ? 18=84 个,螺丝帽有 134-84=50 个,螺丝比螺丝帽多 84-50=34 个。 2.2 不等式 概念:用不等号可以将两个解析式连接起来所成的式子。在一个式子中的数 的关系, 不全是等号, 含不等符号的式子, 那它就是一个不等式。 例如 2x+2y≥2xy, sinx≤1,ex>0 ,2x<3,5x≠5 等 。 不等式的基本性质: ① 如果 x>y,那么 y<x ;如果 y<x ,那么 x>y ; (对称性) ② 如果 x>y , y>z ;那么 x>z ; (传递性) ③ 如果 x>y ,而 z 为任意实数或整式,那么 x+z>y+z ; (加法原则) ④ 如果 x>y , z>0 ,那么 xz>yz ;如果 x>y , z<0 ,那么 xz<yz ; (乘法原 则) ⑤ 如果 x>y , z>0 ,那么 x÷z>y÷z ;如果 x>y, z<0 ,那么 x÷z<y÷z ; ⑥ 如果 x>y , m>n ,那么 x+m>y+n ; ( 充分不必要条件 ) ⑦ 如果 x>y>0 , m>n>0 ,那么 xm>yn ; ⑧ 如果 x>y>0 ,那么 x 的 n 次幂 >y 的 n 次幂( n 为正数 ) 例 9 某单位招待所有若干间房间,现要安排一支考察队的队员住宿,若每 间住 3 人,则有 2 人无房可住;若每间住 4 人,则有一间房间不空也不满,则该 招待所的房间最多有 A.4 间 B.5 间 C.6 间 D.7 间 解析:设有 x 间房,该考察队有 y 人,则 y=3x+2。由“若每间住 4 人,则 有一间房间不空也不满” 可知 4(x-1)<3x+2<4x, 解得 2<x<6, 因此 x 最多有 5 间。 例 10 甲班有 42 名学生,乙班有 48 名学生,在某次数学考试中按百分制评 卷,评卷结果两个班的数学总成绩相同,平均成绩都是整数,且都高于 80 分。 请问甲班的平均分与乙班相差多少? A.12 分 B.14 C.16 分 D.18 分 解析:设甲班平均成绩为 x,乙班平均成绩为 y,则 42x=48y,x:y=8:7。 令甲班为 8a, 乙班为 7a。 平均成绩都是整数说明 8a-7a=a 也是整数。 则 80<7a<8a 3 ? 100,解得 11 ? a ? 12.5 , a 只能为 12。 7 例 11 一本书有 100 多页,小赵每天看 6 页,第 31 天看完,小张每天看 7 页,第 26 天看完。小周每天看 2 页,问第几天可以看完?

A.90

B.91

C.92

D.89

?6 ? 30 ? x ? 6 ? 31 解析:设页数为 x,则满足天 ? ,解得 180 ? x ? 182 。因此 ?7 ? 25 ? x ? 7 ? 26
这本书有 181 页或 182 页,每天看 2 页在第 91 天读完,选 B。 2.3 函数 概念:一般地,给定非空数集 A, B ,按照某个对应法则 f,使得 A 中 任一元素 x ,都有 B 中唯一确定的 y 与之对应,那么从集合 A 到集合 B 的 这个对应,叫做从集合 A 到集合 B 的一个函数。 记作:x→y=f(x) ,x ∈ A 。 集合 A 叫做函数的定义域,记为 D ,集合 {y∣ y=f(x) , x ∈ A} 叫做值域,记 为 C。 定义域, 值域, 对应法则称为函数的三要素。 一般书写为 y=f(x) , x∈ D。 若省略定义域,则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 函数的性质: 1 、函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数; x1 ? x2

(2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数; 如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数。 如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也 是减函数; 如果函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合 函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数。 2 、函数的奇偶性 对于函数 f ( x) (1) 如果对于函数定义域内任意一个 x , 都有 f (? x) ? ? f ( x) , 那么函数 f ( x) 就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做偶函数。 奇函数的图像关于原点成中心对称图形, 偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图 形。 3、函数的周期性 设函数 y ? f ( x), x ? R ,如果存在非零常数 T ,使得对任何 x ? R ,都有 f ( x) ? T ? f ( x) ,则函数 f ( x) 为周期函数,T 为 y ? f ( x) 的一个周期。

例 12 已 知 从 甲 地 到 乙 地 通 话 m 分 钟 的 电 话 费 由 函 数 f(m)=1.06 × (0.50 × {m}+1) 给出,其中 m>0 ,{m} 是不小于 m 的最小整数。如 果某人 IC 电话磁卡上只有 5 元,则此人可以用该磁卡通话的时间最多为 A.6.5 分钟 B.6 分钟 C.7.5 分钟 D.7 分钟 解析: 从最大的选项依次代入, 当 m=7.5 时, f(7.5 )=1.06 × (0.50 × 8+1)=5.3 超出余额;当 m=7 时 f(7)=1.06 × (0.50 × 7+1)=4.77 元,小于余额。因此,该 磁卡通话时间最多为 7 分钟,选 D 。 例 13 某城市居民用水价格为 : 每户每月不超过 5 吨的部分按 4 元 / 吨收 取;超过 5 吨不超过 10 吨的部分按 6 元 / 吨收取;超过 10 吨的部分按 8 元 / 吨收取。某户居民两个月共交水费 108 元,则该户居民这两个月用水总量 最多为多少吨? A.17.25 B.21 C.21.33 D.24 解析:总水费一定时,要使用水总量最多,则每个月所用价位低的水 尽量多。两个月内, 4 元 / 吨的水最多用 2 ? 5=10 吨,花费 10 ? 4=4.0 元; 6 元 / 吨的水,最多用 2 ? 5=10 吨,花费 10 ? 6=60 元。 8 元 / 吨的水,花费 108-40-60=8 元,用了 1 吨。两个月的用水总量最多为 10+10+1=21 吨,选 择 B。 例 14 为节约用水,某市决定用水收费实行超额超收,标准用水量以内 每吨 2.5 元, 超过标准的部分加倍收费。 某用户某月用水 15 吨, 交水费 62.5 元,若该用户下个月用水 12 吨,则应交水费多少钱? A.42.5 元 B.47.5 元 C.50 元 D.55 元 解析:超出标准的水费每吨应为 2.5 ? 2=5 元。若 15 吨在标准用水量以 内,则交水费 2.5 ? 15=37.5 元。多出 62.5-37.5=25 元,说明超出标准的水 量为 25 ? (5-2.5 )=10 吨。标准用水量为 5 吨。用水量为 12 吨时,应缴水费 为 5 ? 2.5+(12-5 ) ? 5=47.5 元,选 B。 2.4 数 列 数列是一组按顺序排列的数,它的每一项一般可用一个只涉及项数 n 的通项公式来表示。 2.4.1 等差数列 1、等差数列的定义: an ? an?1 ? d (d为常数) ( n ? 2) ; 2、等差数列通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ,首项: a1 ,公差:d,末项: an 推广: an ? am ? (n ? m)d . 3、等差中项 (1) 如果 a ,A ,b 成等差数列, 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 即:A ? 或 2A ? a ? b
a?b 2

从而 d ?

an ? am ; n?m

( 2 ) 等 差 中 项 : 数 列 ?an ? 是 等 差 数 列 ? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2)

? 2an?1 ? an ? an?2
4、等差数列的前 n 项和公式 n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 Sn ? ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n ? An2 ? Bn 2 2 2 2 (其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数 2n ? 1 时, an ?1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项

? 2n ? 1? an?1 (项数为奇数的等差数列的各项和等于项 2 数乘以中间项) 例 15 某成衣厂对 9 名缝纫工进行技术评比, 9 名工人的得分恰好成等差数列, 9 人的平均得分是 86 分,前 5 名工人的得分之和是 460 分,那么前 7 名工人的 得分之和是多少? A.602 B.623 C.627 D.631 解析:9 人的得分构成等差数列且平均分是 86 分,则该数列的中项,第 5 名工人得分为 86 分。 同理, 前 5 名工人得分之和为 460, 第 3 名得分为 460 ? 5=92 分。可知第 4 名得分为(92+86) ? 2=89,前 7 名得分之和为 89 ? 7,利用尾数法可 直接判断选 B 。 例 16 { an }是一个等差数列, a3 ? a7 ? a10 ? 8 , a11 ? a4 ? 4 ,则数列前 13 项
S2 n ?1 ?

? 2n ? 1?? a1 ? a2n?1 ? ?

之和是 A.32

B.36 C.156 D.182 a ? a ? a4 ? a10 ,题干两式相加得 解析:由对称公式可知 3 11 (a3 ? a11 ) ? a7 ? (a4 ? a10 ) ? 12 ,因此 a7 ? 12 。数列前 13 项的中项恰好为 a7 。由中 S ? 13a7 ? 13?12 ? 156 。 项求和公式可知,数列前 13 项的和为 13 例 17 一天,小张出差回到单位发现办公桌上的台历已经有 7 天没有翻了, 就一次翻了 7 张, 发现这 7 天的日期加起来, 得数恰好是 77, 问这一天是几号? A.16 B.15 C.14 D.13 解析:由选项可知台历不是跨月翻的,所以这 7 天是连续自然数。根据中项 求和公式可知中项(第 4 天)为 77 ? 7=11, 11 号后又翻了 3 页台历, 今天是 11+4=15 号。 例 18 部队组织新兵到野外进行拉练,行程每天增加 2 千米。已知去时用了 4 天,回来时用了 3 天。目的地距离营地多少千米? A.54 B.72 C.84 D.92 解析: 总路程是对一个公差为 2 的等差数列前七项求和,根据中项求和可知 总路程为第四天行进距离的 7 倍。 因此, 总路程是 7 的倍数, 单程也是 7 的倍数。 选项中只有 C 项 84 是 7 的倍数,选 C。 例 19 A 到 Z 的顺序给班级编号,按班级编号加 01、02、03?给每位学生 按顺序定学号,若 A-K 班级人数从 15 人起每班递增 1 名,之后每班按编号顺序 递减 2 名,则第 256 名学生的学号是多少? A.M12 B.N11 C.N10 D.M13 解析: A-K 班级人数是首项为 15, 公差为 1 的等差数列。 K 是第 11 个字母, 则 K 班有学生 15+(11-1)=25 人。A-K 班共有 11 ? (15+25) ? 2=220 人,还剩

256-220=36 人,而 L 班有 25-2=23 人,且 256-220-23=13,故第 256 名学生的学 号为 M13。 例 20 某条公交线路上共有 10 个车站,一辆公交车在始发站上了 12 个人, 在随后每一站上车的人数都比上一站少 1 人。 到达终点站时, 所有乘客均下了车。 如果每个车站下车乘客数相同,那么有多少人在终点站下车? A.7 B.9 C.10 D.8 解析:每站上车的乘客数是首项为 12 公差为-1 的等差数列,共 9 项(最后一 站无人上车)。因此总共有 72 人上车,每站下车乘客相同,则有 72 ? 9=8 人下车 (始发站无人下车),选 D。 2.4.2 等比数列 1. 等比数列的定义: 2. 通项公式:
an ? a1q n ?1 ? a1 n q ? A ? B n ? a1 ? q ? 0, A ? B ? 0 ? , q
an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? , q 称为公比。 an?1

首项: a1 ;公比: q

推广: an ? amqn?m ,

从而得 q n ? m ?

a an 或 q ? n?m n am am

3. 等比中项 (1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项,即: A2 ? ab 或

A ? ? ab 。 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个。 (两个等 比中项互为相反数) (2)数列 ?an ? 是等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1
4. 等比数列的前 n 项和 Sn 公式: (1) 当 q ? 1 时, Sn ? na1 (2) 当 q ? 1 时, S n ?
?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A( ' A, B, A ', B ' 为常数) 1? q 1? q

例 21 一只蚂蚁发现了一只死蝗螂,立刻回洞找来 10 只蚂蚁搬,搬不动; 然后每只蚂蚁回去各找来 10 只蚂蚁,还是搬不动;于是每只蚂蚁又回去找来 10 个伙伴,大家齐心协力,终于把死蝗螂拖回洞里。问一共有多少只蚂蚁参加了搬 运? A.1210 B.1257 C.1331 D.1441 解析:假设某一时刻有 x 只蚂蚁,它们各找来 10 只蚂蚁后下一时刻共有 10x+x=11x 只蚂蚁参加搬运。 因此蚂蚁数量实际是一个首项为 1, 公比为 11 的等 3 比数列。最后把死蝗螂拖回洞里时,有 1?11 ? 1331 只蚂蚁参加。

例 22 甲、乙两厂生产同一种玩具,甲厂生产的玩具数量每个月保持不变, 乙厂生产的玩具数量每个月增加一倍。已知今年 1 月份甲、乙两厂生产的玩具的 总数是 98 件,2 月份甲、乙两厂生产的玩具的总数是 106 件,那么乙厂今年生 产的玩具数量总和第一次超过甲厂生产的玩具数量总和是在 A.7 月份 B.8 月份 C.9 月份 D.10 月份 解析:2 月份甲生产玩具数量不变,乙生产的比上月多 1 倍,且 1 月甲、乙 共生产 98 件,2 月共生产 106 件,所以乙多生产 106-98=8 件。即乙第一个月生 产 8 件,每个月生产件数是以 8 为首项,公比为 2 的等比数列。到第 n 个月,甲 1 ? 2n 共生产 90n 件; 根据等比数列求和公式乙共生产 8 ? ? 8 ? (2n ? 1) ? 2n ?3 ? 8 件。 1? 2 n ?3 结合选项, 从最小的选项代入验证, 当 n=7 时,2 ? 8 =1024-8=1016, 90n=630。 因此,7 月份时乙生产的玩具总量就超过甲了,选 A。 例 23 小赵、小钱、小孙、小李、小周五个人的收入依次成等比,己知小赵 的收入是 3000 元,小孙的收入是 3600 元,那么小周比小孙的收入高 A.700 元 B.720 元 C.760 元 D.780 元 解析: 这五个人的收入依次成等比, 则小赵、 小孙、 小周 3 人收入也成等比。 则小周是小孙的 1.2 倍,比小孙多(1.2-1) ? 3600=720 元。 2.4.3 其他数列 等差数列与等比数列是最重要的两类数列,平方数列、立方数列只需记住其 求和公式。斐波拉契数列及一些数字推理中的特殊数列(如二级等差数列)是用递 推的方法定义的, 需要理解这类递推数列的通项公式。 在数字推理与数列问题中, 要善用归纳法。 (1)平方数列 1 Sn ? 12 ? 22 ? 32 ? ... ? n 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 (2)立方数列 1 Sn ? 13 ? 23 ? 33 ? ... ? n3 ? [ n(n ? 1)]2 2 (3)菲波拉契数列 a1 ? 1, a2 ? 1, an ? an?1 ? an?2 例 24 已知正整数数列{ an }满足 an?2 ? an?1 ? an ,且第七项等于 18,则该数 列的第 10 项为 A.47 B.72 C.76 D.123 解析:根据通项公式写出前 10 项。其中, a7 ? 5a1 ? 8a2 。根据{ an }为正整 数列可知, a1 >0, a2 >0;根据偶数+偶数=偶数,可知 5 a1 是偶数, a1 是偶数。则

a1 =2。根据通项公式, a10 =76。

三、几何基础知识
3.1 平面几何 平面几何讨论的都是二维平面内的图形,主要包括多边形、圆等相关知识。 3.1.1 三角形 三角形是由三条线段顺次首尾相连而组成的一个闭合的平面图形, 是最基本 的多边形。

1、三角形的分类:

2、三角形三边关系定理: 三角形任意两边之和大于第三边。 三角形任意两边之差小于第三边。 3、三角形内角和定理及其推论: 定理:三角形三个内角的和等于 。

推论:直角三角形的两个锐角互余。 4、三角形的相似与全等: 相似指两个图形的形状相同, 在三角形中是 “对应角相等、 对应边成比例” 。 (1)相似图形对应边所成比例为相似比。 (2)相似图形面积之比为相似比的平方。 (3)相似立体图形体积比是相似比的立方。 全等是相似的特例,其相似比为 1。全等三角形有以下 4 种判定方法: (1)三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS” 。 (2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或 “ASA” 。 (3) 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等, 简写成 “角角边” 或“AAS” 。 (4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或 “SAS” 。 5、勾股定理 勾股定理指出:直角三角形两直角边 (即“勾” 、 “股”)边长平方和等于斜 边(即“弦”)边长的平方。受直角三角形两直角边为 a 和 b,斜边为 c,那么 a 2 ? b2 ? c 2 勾股定理的逆定理则是判断三角形为钝角、 锐角或直角的一个简单的方法, 其中 AB 为最长边 如果 a 2 ? b2 ? c2 ,则 ?ABC 是直角三角形。 如果 a 2 ? b2 ? c2 ,则 ?ABC 是锐角三角形。

如果 a 2 ? b2 ? c2 ,则 ?ABC 是钝角三角形。 例 1 如图,∠1+∠2 等于 A.60° B.90° C.110° D.180°

解析:根据平角的定义得到∠1+90° +∠2=180° ,即由 ∠1+∠2=90° 。故选 B。 例 2 形个数为 A、2 B、3 C、5 D、13 已知三角形三边长分别为 2, x ,13,若 x 为正整数 则这样的三角

解析:根据三角形的三边关系:三角形两边之和大于第三边,两边差小于 第三边,得
?2 ? x > 13 ,解得,11< x <15,所以, x 为 12、13、14。故选 B。 ? ? x < 13 ? 2

例3

如图所示, ∠AOB 的两边. OA、 OB 均为平面反光镜,

∠AOB=35° ,在 OB 上有一点 E,从 E 点射出一束光线经 OA 上 的点 D 反射后,反射光线 DC 恰好与 OB 平行,则∠DEB 的度数 是 A.35° B.70° C.110° D.120°

解析:过点 D 作 DF⊥AO 交 OB 于点 F,则 DF 是法 线,根据入射角等于 反射角的关系,得∠1=∠3,

∵CD∥OB, ∴∠1=∠2 (两直线平行, 内错角相等) 。 ∴∠2=∠3(等量代换) ; 在 Rt△DOF 中,∠ODF=90° ,∠AOB=35° , ∴∠2=55° ;∴在△DEF 中,∠DEB=180° -2∠2=70° 。故选 B。 例4 下列图形中,∠1 一定大于∠2 的是

1

2

2

1 2

1 1

2 O

A

B

C

D

解析:根据对顶角的性质,内错角的性质,三角形外角定理,圆周角定理逐

一作出判断: A.∠1 和∠2 是对顶角,根据对顶角相等的性质,∠1=∠2,选项错误; B.∠1 和∠2 是内错角,当两条直线平行时∠1=∠2,选项错误; C. 根据三角形的外角等于和它不相邻的两内角之和的性质, 得∠1>∠2, 选项正确; D.根据同弧所对圆周角相等的性质,∠1=∠2,选项错误。故选 C。 例 5 在比例尺为 1/1000000 的地图上量得甲、 乙两地的距离为 15 厘米, 甲、 丙两地的距离为 12 厘米,乙、丙两地的距离为 9 厘米,并量得丁地与甲、乙两 地的距离都为 7.5 厘米,问丙、丁两地的实际距离为多少公里? A.90 B.120 C.75 D.150 解析:甲乙丙这三人之间相互距离 15、12、9 是勾股数,因此甲乙丙的位置 构成直角三角形,丙是直角顶点。丁与甲乙两地距离相等,即丁为斜边中点。因 此丙、丁两地距离为直角三角形的斜边中线,是甲、乙两地距离的一半,0.15 ? 2 ? 1000000=75 ? 103 米=75 公里。故选 C。 例 6 若一个三角形的所有边长都是整数,其周长是偶数,且已知其中的两边 长分别为 10 和 2000,则满足条件的三角形总个数是 A.10 B.7 C.8 D.9 解析:周长为偶数,其中的两边长为偶数,则第三条边长也为偶数,根据两 边之和大于第三边,两边之差小于第三条边,得第三条边长是满足 1990<x<2010 的偶数,有 1992、1994、1996、1998、2000、2002、2004、2006、2008 计 9 个, 选 D。 例 7 若一直角三角形的周长与面积的数值相等,且两直角边长之和为 14, 则该三角形的面积是 A.20 B.24 C.12 D.6.2 解析: 两个直角边长之和为 14, 则斜边至少大于 7, 故三角形周长大于 21, 结合选项直接选 B。 例 8 科考队员在冰面上钻孔获取样本,测量不同孔心之间的距离,获得的 部分数据分别为 1 米、3 米、6 米、12 米、24 米、48 米。问科考队员至少钻了 多少个孔? A.4 B.5 C.6 D.7 解析:根据“两边之和大于第三边” ,题目给出的 6 个数据中,任意 3 个均 不能构成三角形。 即此 6 条线段不能构成封闭区域,只可首尾相接构成一个不闭 合链路,最少有 7 个孔。 3.2.2 圆 概念: 圆是到定点距离等于定长的点的集合,这个定义实则是对用圆规画圆 过程的数学描述。定点即圆心,定长为半径。

r

b r

?
M

P ? 2? r S ? ? r2 1 ? S 扇= rb ? ? ? ? r 2 2 360 等周问题: (1)周长一定时,越趋近于圆,面积越大。 (2)面积一定时,越趋近于圆,周长越小。 同理在立体几何中 (3)表面积一定,越趋近于球,体积越大。 (4)体积一定,越趋近于球,表面积越小。 例 9 如图所示,长为 1 米的细绳上系有小球,从 A 处放手后,小球第一次 摆到最低点 B 处共移动了多少米? 1 1 1 2 2 A.1 ? ? B. ? ? C. ? D.1 ? ? 3 2 2 3 3

解析:如右图所示为小球移动的路径,A-C 小球做自由落体运动,C-B 做圆 周运动。 则总移动距离为 AC+弧 BC。 三角形 AOC 构成等边三角形, AC=OA=1; 1 1 ? ? 弧 BC 的长度是 圆周长度,为 2? ? 1? ? 。所以共移动了 1 ? ,选 A。 6 6 3 3 例 10 半径为 1 厘米的小圆在半径为 5 厘米的固定的大圆外滚动一周,小圆 滚了几圈? A.4 B.5 C.6 D.7 解析:小圆滚动的总路程为大圆周长 2 ? 5? ? 10? ,小圆周长为 2 ? ? ? 2? , 则小圆滚了 10? ? 2? ? 5 圈,选 B。 例 11 将一个表面积为 36 平方米的正方体等分成两个长方体,再将这两个 长方体拼成一个大长方体,则大长方体的表面积是 A.24 平方米 B.30 平方米 C.36 平方米 D.42 平方米 解析:根据体积一定,越趋近于球体,表面积越小可知,重新拼的长方体表 面积必然大于原来的正方体。结合选项直接选大于 36 平方米的 D 项。

例 12 相同表面积的四面体、六面体、正十二面体以及正二十面体,其中体 积最大的是 A.四面体 B.六面体 C.正十二面体 D.正二十面体 解析:表面积一定越趋近于球,体积越大,选 D。 3.2 立体几何 对平面图形的研究构成立体几何的基础,譬如正方形构成正方体,等边三角 形既可以构成正四面体也可以构成正六面体。在图形推理中,我们通常把立体图 形展开为平面观察各面图案的位置关系。立体几何的解题思路也大致如此。 3.2.1 球、圆柱与椎体

3.2.2 正多面体 正多面体或称柏拉图立体, 指各面都是全等的正多边形且每个顶点所接面数 都是一样的凸多面体。 这个定义有两个要点①每个面全等②顶点所接面数均相等。 如: 正方体每个面都是全等的正方形; 每个顶点都接 3 个面, 所以它是正六面体。

在几何原本的最后一卷(第 13 卷)中, 欧几里得给出了五个正多面体的做法, 并且证明只存在这五个正多面体。它们是

例 13 一家冷饮店,过去用圆柱形的纸杯子装汽水,每杯卖 2 元钱,一天能 卖 100 杯。现在改用同样底面积和高度的圆锥形纸杯子装,每杯只卖 1 元钱。如 果该店每天卖汽水的总量不变,那么现在每天的销售额是过去的多少? A .50% B.100% C.150% D.200% 解析:原来的销售额为 2 ? 100=200 元。圆锥形纸杯体积是原来圆柱形纸杯
1 的 ,每天能卖元 300 杯,收入为 300 元。销售额是过去的 150%。 3

例 14 一个长方体模型,所有棱长之和为 72,长、宽、高的比是 4∶3∶2, 则体积是多少? A.72 B.192 C.128 D.96 解析:所有棱长(长、宽、高各 4 条)之和为 72,即长+宽+高=72÷ 4=18, 已知长、 宽、 高的比是 4∶3∶2, 所以长为 8、 宽为 6、 高为 4, 体积=8× 6× 4=192。 因此此题答案为 B。 例 15 一个长方体形状的盒子长、宽、高分别为 20 厘米、8 厘米和 2 厘米, 现在要用一张纸将其六个面完全包裹起来, 要求从纸上剪下的部分不得用作贴补, 请问这张纸的大小可能是下列哪一个? A.长 25 厘米、宽 17 厘米 C.长 24 厘米、宽 21 厘米 B.长 26 厘米、宽 14 厘米 D.长 24 厘米、宽 14 厘米

解析:该长方体的表面积为 2× (20× 8+20× 2+8× 2)=432 平方厘米,这张纸 的面积一定要大于长方体的表面积,选项中只有 C 项符合。如图所示,实线部 分可折叠得到题中盒子, 说明这张纸能将这个盒子完全包裹起来。因此此题答案 为 C。

例 16 将一个表面积为 36 平方米的正方体等分成两个长方体,再将这两个 长方体拼成一个大长方体,则大长方体的表面积是 A.24 平方米 B.30 平方米 C.36 平方米 D.42 平方米 解析:正方体每个面的面积为 36÷ 6=6 平方米。 将正方体平分以后,表面积增加 6× 2=12 平方米;拼成大长方体后,表面积 减少 2× (6÷ 2)=6 平方米,因此大长方体的表面积为 36+12-6=42 平方米。因此 此题答案为 D。 例 17 现有边长 1 米的一个木质正方体,已知将其放入水里,将有 0.6 米浸 入水中。如果将其分割成边长 0.25 米的小正方体,并将所有的小正方体都放入 水中,直接和水接触的表面积总量为 A.3.4 平方米 小正方体。 如果把边长 1 米的木质正方体放入水里,与水直接接触的表面积为 1× 1+0.6× 1× 4=3.4 平方米。 由于小立方体浸入水中的总体积与正方体相同, 所以每个小正方体浸入水中 的比例与立方体相同。因为小正方体的边长是正方体的 1/4,所以其与水直接接 触的面积是大正方体的 1/16,其总共与水直接接触的总面积为 64× 3.4× 1/16= 3.4× 4=13.6 平方米。因此此题答案为 C。 例 18 某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影 是长为 6 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a + b 的最大值为 A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5 B.9.6 平方米 C.13.6 平方米
3

D.16 平方米

解析:边长为 1 米的正方体可以分割成 1÷ (0.25) =64 个边长为 0.25 米的

解析: 构造长方体 ABCD ? A1B1C1D1 ABCD-A 如图 4-1-2, 使体对角线 AC , 1 ? 7 面对角线为 DC , 1 ? 6, BC 1 ? a, AC ? b

图 4-1-2

? x 2 ? y 2 ? b2 ? 设 AB ? x, AD ? y, AA1 ? z , 则 ? y 2 ? z 2 ? a 2 , ? z 2 ? x2 ? 6 ?

所以 2( x2 ? y 2 ? z 2 ) ? a2 ? b2 ? 6 , 又因为 x2 ? y 2 ? z 2 ? 7 , 所以 a 2 ? b2 ? 8 ,(a ? b)2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? 2(a2 ? b2 ) ? 16 , 所以 a ? b ? 4 ,选 C。

四、线性代数基础知识
4.1 行列式
4.1.1 n 阶行列式 定义 1 由 n ? n 个数组成数表

a11 a12 ? a1n a21 a22 ? a2 n ? ? ? an1 an 2 ? ann
从中选取处在不同行不同列的 n 个元素相乘 a1 p1 a1 p2 ?a1 pn ,其中 p1 p2 ? pn 为
1, 2,? n 的 一 个 全 排 列 , 并 冠 以 符 号 (?1)? ( p1 p2? pn ) , 则 称 和

a11
p1 p2 ? pn

a12 ?

? a1n ?

?

(?1)? ( p1 p2? pn ) a1 p1 a1 p2 ?a1 pn 为 n 阶行列式,记作 D ?

a21 ? an1

a22 ? a2 n an 2 ? ann

或简记

为 D ? det(aij ) ,(i, j ? 1, 2,?n) ,其中 aij 表示处在第 i 行,第 j 列列位置的元素。 例 1 计算行列式
a11 a22 ? ann .

其中未写出部分全为零。 解:在行列式的展开式中共有 n ! 个乘积 a1 p1 a2 p2 ?anpn ,显然如果 p1 ? 1 则 a1 p1 必 为 零 ,从 而 这个 项也 必 为 零, 因 此只 须考 虑 p1 ? 1 的 项 。 同 理只 须考 虑

p2 ? 2, p3 ? 3,?, pn ? n ,也即行列式的展开式中只有 a11a22 ?ann (其他的项乘积

均为零) ,从而 ? (12? n) ? 0 因而其符号为正。因此
a11 a22 ? ann ? a11a22 ? ann

定义 2 对角线以上 (下) 的元素全为零的行列式称为下 (上) 三角行列式。 由例 1 还可得出关于上、下三角行列式的如下结论:
a11 a12 ? a1n a22 ? a2 n ? ? ann ? a11a22 ? ann a11 a21 ? an1 a1n a2,n ?1 ? an1 ? (?1)
n ( n ?1) 2

a22 ? ? an 2 ? ann

? a11a22 ? ann

例2

证明行列式

a1n a2,n ?1 ? an1

证明: 在行列式展开式中共有 n ! 个乘积 a1 p1 a2 p2 ?anpn , 显然如果 p1 ? n 则 a1 p1 必 为 零,从而这个项也必为零 ,因此只须考虑 p1 ? n 的项。同理只须考虑

p2 ? n ?1, p3 ? n ? 2,?, pn ? 1 , 也即行列式的展开式中只有 a1,n a2,n?1 ?an,1(其他的
项乘积均为零) , 而 ? (n(n ? 1)? 21) ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ?
a1,n
n(n ? 1) , 因而其符号为 2

(?1)

n ( n ?1) 2

,因此
an ,1

a2,n ?1 ?

? (?1)

n ( n ?1) 2

a1,n a2,n ?1 ? an ,1 。

由例 2 还可以得出下三角行列式的如下结论:
a11 ? ? a21 ? a2,n ?1 ? an ,1 a2,n ?1 ? ? an ,1 ? an ,n ?1 a1,n a2 n ? ann
n ( n ?1) 2

a1,n ? (?1)
n ( n ?1) 2

?

a1,n a2,n ?1 ? an ,1

? (?1)

a1,n a2,n ?1 ? an ,1

以上各种形式是计算行列式的常用形式,应该对这几种形式加以注意并加强 对它们的理解和应用。 4.1.2 行列式的性质 行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题。对于 n 阶行列式, 当 n 很大时直接从行列式的定义进行行列式的计算几乎是不可能的。为此有必 要对行列式的性质进行研究,从而简化行列式的计算。 记
a11 D? a21 ? an1 a12 ? ? a1n ? DT ? a1 1 a a1 2 a ? a1n ?
2 1 2 2

? an ? an ?

1 2

a22 ? a2 n an 2 ? ann

a2 n ? ann

称行列式 D T 为行列式 D 的转置行列式。 性质 1 行列式与其转置行列式相等,即
a1 1 a D? a2 1 a ? an1 ? an
2 1 2

? an ? ? ann

1

a a ?

1 1

a ?
n2

? an 2 1 ? an 2 2 ? ? ann

1 2

a 2 2?

n 2

?

1a 2

a n1 a

性质 2 互换行列式的两行(列)元素,则行列式变号。 推论 1 若行列式中某两行元素对应相等,则行列式的值为零。 性质 3 行列式某行元素都乘以数 K 等于用 K 乘以行列式,即 a11 a12 ? a1n a11 a12 ? a1n ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? kai1 kai 2 kain ? k ai1 ai 2 ain ? ?
?? ?? ?? ?? an1 an 2 ? ann ?? ?? ?? ?? an1 an 2 ? ann

推论 2 由性质 3 知若行列式中某行(列)元素含有公因数 K,则可以将数 K 提到行列式处。 推论 3 若行列式的某两行(列)元素对应成比例,则此行列式的值为零。 性质 4 若行列式的某一行(列)是两组数之和, 则这个行列式可以写成两个行 列式的和,即
a11 a12 ? a1n a11 a12 ? a1n a11 a12 ? a1n ??? ??? ?? ??? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ai1 ? bi1 ai 2 ? bi 2 ? ain ? bin ? ai1 ai 2 ain ? bi1 bi 2 bin ? ? ??? ??? ?? ??? an1 an 2 ? ann ?? ?? ?? ?? an1 an 2 ? ann ?? ?? ?? ?? an1 an 2 ? ann

此性质可以推广到某一行元素为多组数之和的形式。 性质 5 把行列式中某行(列)元素的 K 倍加到另外一行(列)的对应元素上去, 行列式的值不变。即

a11 a12 ? a1n ?? ?? ?? ?? ai1 ai 2 ain ? ?? ?? ?? ?? ? a j1 a j1 ? a j1 ?? ?? ?? ?? an1 an 2 ? ann
例3 计算行列式 D 的值,其中

a11 ?? ?? a j1 ?? an1

a12 ?? ?? a j1 ?? an 2

? ?? ? ?? ? ?? ?

a1n ?? ain ? ka jn ?? a j1 ?? ann

ai1 ? ka j1 ai 2 ? ka j 2

1 2 D? 0 ?2
解:

3 2 5 3 ?1 0 3 4 ?2 0 4 3 1 3 2 5 r4 ? 2 r2 0 ?3 ?5 ?10 ? r3 ? r2 0 0 ?1 ?12 0 0 ?2 ?7

1 2 D? 0 ?2

3 2 5 3 ?1 0 3 4 ?2 0 4 3

1 3 2 5 r2 ? 2 r1 0 ?3 ?5 ?10 ? r4 ? 2 r1 0 3 4 ?2 0 6 8 13

1 3 2 5 r4 ? 2 r2 0 ?3 ?5 ?10 ? 1? (?3) ? (?1) ?17 ? 51 ? 0 0 ?1 ?12 0 0 0 17
例4 计算行列式 D 的值,其中

2 1 D? 1 1 2 1 D? 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 5 1 1 1 5 2 1 1 5 1 2 1

1 2 1 1

1 1 2 1

1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 0 0 0 1 1 r2 ? r1 1 r3 ? r1 0 ? 5? 1 r4 ? r1 0 2 0 1 1 2 1 0 ?1 0 1 ?1 0 ?1 ?4 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 ?5 0 1

解法一:分别将行列式的第二行、第三行、第四行加到第一行得
r1 ? r2 ? r3 ? r4

?

5 1 1 1 ? 5? 1 1 2 1

解法二:利用行列式的性质将行列式的第一行和第四行互换可得

1 1 D?? 1 2

2 1 1 1

1 1 1 2 0 1 0 ?1 r4 ? r2 ? ? ?? r4 ? 2 r1 0 0 1 ?1 0 ?1 ?1 ?3
r2 ? r1 r3 ? r1

1 r4 ? r3 0 ?? 0 0
例5

1 1 0 0

1 2 0 ?1 ?5 1 ?1 0 ?5
a2 b2 c2 d2 (a ? 1) 2 (b ? 1) 2 (c ? 1) 2 (d ? 1) 2 a2 b2 c2 d
2

计算行列式 D 的值,其中
(a ? 2) 2 (b ? 2) 2 (c ? 2) 2 (d ? 2) 2 (a ? 3) 2 (b ? 3) 2 (c ? 3) 2 (d ? 3) 2

D?

解:把前一列乘以-1 加到后一列上去得
2a ? 1 2a ? 3 2a ? 5 2b ? 1 2b ? 3 2b ? 5 2c ? 1 2c ? 3 2c ? 5 2d ? 1 2d ? 3 2d ? 5

D?

再将第三列乘以(-1)加到第四列上去,第二列乘以(-1)加到第三列上去得
a2 b2 D? 2 c d2 2a ? 1 2b ? 1 2c ? 1 2d ? 1 2 2 2 2 2 2 2 2

由于此时行列式的第三列和第四列相等,因此由行列式的性质可得 D=0。

4.1.3 行列式按行(列)展开 引理: 设 D 是一个 n 阶行列式, 如果其中的第 i 行所有元素除 那么这个行列式的值等于

aij

外都为零,

aij

乘以它的代数余子式

Aij

,即

D? a ij A ij
定理 1 行列式的值等于其某行(列)元素与其代数余子式乘积之和,即

D ? ai1 Ai1 ? ai 2 Ai 2 ? ? ? ain Ain (i ? 1, 2,?n)
D ? a1 j A1 j ? a2 j A2 j ??? anj Anj ( j ? 1, 2,? n)
这个定理称为行列式按行(列)展开法则。 例 6 计算行列式 D 的值,其中

3 1? ?5 1 D? 2 0 1? 5 3 1 ?1 2 ?5 1 3 ?4 解: D ? 2 0 1 ?1 1 ?5 3 ?3
r2 ? r1

1 3 ? 1 ? 3 ?

2 4 1 3

5 1 ?1 1 5 1 1 c1 ? 2 c3 ?11 1 3 ?1 3? 3 ? ? 1? (?1) ?11 1 ?1 c4 ? c3 0 0 1 0 ?5 ?5 0 ?5 ?5 3 0

?6 2 ? ?6 2 0 ? 1? (?1)1?3 ? (?6) ? ( ?5) ? 2 ? ( ?5) ? 40 ?5 ?5 ?5 ?5 0 a D? b a? b b a ? b a a ? b a b

5

1 1

例7

计算行列式 D 的值,其中

解:
a D? b a?b a b
1

b a?b a?b a
1

r1 ? r 2 ?r

2a ? 2b 2a ? 2b 2a ? 2b
3

?

b a?b

a?b a
1 0

a b
0

1

? 2(a ? b) b a ? b a ? 2(a ? b) b a a ?b c3 ? c1 a?b a b a ? b ?b ?a

c2 ? c1

a ?2( a? b ) ?b

a? b ? 2a ( ? b?) 2 [a ? ?a

b ?( a

b)]

? ?2(a ? b)(a2 ? ab ? b2 )
例8 设行列式 D 为

1 ?1 D? 3 1
求 2 A21 ? 3A22 ? A24 的值。 解: 2 A21 ? 3A22 ? A24 为行列式

1 2 1 1

1 3 0 1 4 ? 2 1 2

1 2 D1 ? 3 1

1 3 1 1

1 3 0 ? 1 4 ? 2 1 2

按第二行的展开式,因此 2 A21 ? 3A22 ? A24 的值等于行列式 D1 而

1 2 D1 ? 3 1
r1 ? r3

1 3 1 1
2

1 3 0 ?1 4 ?2 1 2

7 10 1 3 7 10 1 0 0 0 ?1 2? 4 ? ? (?1) ? (?1) ?1 ?5 4 c2 ? 3c4 ?1 ?5 4 ?2 5 7 1 5 7 1 2
c1 ? 2 c4

r2 ? 4 r3

2 3 ? ? ?21 ?33 0 ? ? ? ?[2 ? (?33) ? 3 ? (?21)] ? 3 ?21 ?33 5 7 1

3 0

因此:

2 A2 1? 3A 2 2 ? A 2? 4 3
作为定理 1 的推论,我们有 推论:n 阶行列式 D 的的任意一行(列)的各元素与另一行(列) 对应元素的代 数余子式乘积之和等于零,即

ai1 As1 ? ai 2 As 2 ? ? ? ain Asn ? 0


a1 j A1s? a2 j A2s ? ? ? an j A n? 0s
? D i? j ai kA j ? ? k ? k ?1 ?0 i ? j
n



?a
k ?1

n

k i

? D i? j A k? j ? ?0 i ? j

1 1 1 2 ? x2 例 9 设多项式 f ( x) ? 2 3 2 3 1 1 1 2 ? x2 解法一: f ( x) ? 2 3 2 3

2 3 2 3 ,试求 f ( x) ? 0 的根。 1 5 1 9 ? x2
c2 ? c1 c3 ? 2 c1 c4 ?3c1

2 3 2 3 1 5 1 9 ? x2

?

1 0 1 1? x2 2 1 2 1

0 0 0 0 ?3 ?1 ? 3 3 ? x2

c4 ? ( 1 c3 ) 3

?

1 0 1 1? x2 2 1 2 1

0 0 0 0 ? ?3(1 ? x 2 )(4 ? x 2 ) ?3 0 ? 3 4 ? x2

解得 f ( x) ? 0 的根为:
x1 ? ?1, x2 ? ?2

解法二:由性质 2 推论 3 知,当 2 ? x 2 ? 1, 或9-x 2 ? 5 时, f ( x) ? 0 ,故
x1 ? ?1, x2 ? ?2 为 f ( x) ? 0 的根。由于 f ( x) 为 x 的 4 次多项式,因此, f ( x) ? 0 只

有 4 个根。

4.2 矩阵和矩阵的初等变换 4.2.1 矩阵的基本概念
定义 3
? ,m ; j ? 1, 2, ? n , 排成的 ) 由 m ? n 个数 aij (i ? 1, 2, m 行 n 列的数表

(常用括弧将数表括起)

? a1 1 a 1 2 ? a n ?1 ?a a 2 2? a n? 2 1 ? ?2 A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? am1 am 2 ? amn ?
称为 m 行 n 列矩阵,简称 m ? n 阶矩阵,其中 aij 叫做矩阵 A 的元素, i 为行标, j 为列标,表明 aij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列。为简单起见,记 m ? n 阶矩阵 A 为
(aij )m?n 或 Am?n 。

特别地,当 m ? n 时,则称矩阵 A 为 n 阶矩阵或 n 阶方阵,记为 An 。 对于 m ? n 矩阵 A ,当 m ? 1 时,有 A ? (a1 a2 ? an ) ,称矩阵 A 为行矩阵,或行 向量。为避免元素间的混淆,行矩阵也可写为 A ? (a1 , a2 ,?, an ) 。
? a1 ? ?a ? 当 n ? 1 时,有 A ? ? 2 ? ,称矩阵 A 为列矩阵,或列向量。 ?? ? ? ? ? am ?

当 m ? n ? 1时,有 A ? (a1 ) ? a1 。这里把矩阵 A 看成是数。 两个矩阵的行数相等、列数也相等时,就称它们是同型矩阵。所有元素均为 零的矩阵,称为零矩阵,记作 O 。注意不同型的零矩阵是不同的。 定义 4 如果 A ? (aij ) 与 B ? (bij ) 是同型矩阵,且它们的对应元素均相等,即

aij ? bij (i ? 1, 2,?, m; j ? 1, 2,?, n) ,则称矩阵 A 与矩阵 B 相等,记作 A ? B 。

下面举几个关于矩阵应用的例子。 例 10 3 个产地与 4 个销地之间的里程(单位:千米)可列为矩阵 A :
? 120 180 75 85 ? ?. A?? ? 75 125 35 45 ? ? ?130 190 85 100 ? ?

其中 aij 为第 i 产地到第 j 销地的里程数。 例 11 4 个城市间的单向航线如图 1 所示,若令
?0, aij ? ? ?1,

1 3
?1 ?1 ? 0? ? 0?

则图 1 可用矩阵表示为
?0 0 0 ?1 0 0 A ? (aij ) ? ? ?0 1 0 ? ?1 1 1

2

图1

4

一般地,若干个点之间的单向通道都可用这样的矩阵表示。 定义 5

n 个变量 x1 , x2 ,?, xn 与 m 个变量 y1 , y2 ,?, ym 之间的关系式

? y1 ? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn , ? y ? a x ? a x ?? ? a x , ? 2 21 1 22 2 2n n ? ???? ? ? ? ym ? am1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn

(1)

表示一个从变量 x1 , x2 ,?, xn 到变量 y1 , y2 ,?, ym 的线性变换,其中 aij 为常数. 线性变换(1)的系数 aij 构成矩阵 A ? (aij )m?n 。 给定了线性变换(1), 它的系数所构成的矩阵(称为系数矩阵)也就确定。 反之, 如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵,则线性变换也就确定。在这个意义 上,线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系。

4.2.2 几类特殊的矩阵

1、对角矩阵

n 阶方阵 A 的元素 a11, a22, ?, ann 称为 A 的主对角元素。
? 3 4? 例如,矩阵 A ? ? ? 的主对角元素为 3 和 1。 ?9 1?

定义 6

若 n 阶方阵 A ? (aij ) 中的元素满足条件
aij ? 0 , i ? j i( j,? 1? , 2n , , )

则称 A 为 n 阶对角矩阵或对角阵,即
? a11 ? A?? ? ? ? a22 ? ? ? ? ? ? ann ?

(此记法表示对角线以外未标明的元素均为 0) 。 简记为 A ? diag (a11, a22 , ?, ann ) .
?1 0 0 ? 例如, A ? ? 0 3 0 ? 为对角阵。 ? ? ? ?0 0 5? ?

特别地,当 aii ? a (i ? 1, 2,?, n) ,则称对角阵 A 为 n 阶数量矩阵,即
?a ? ? a ? ? ? A? ? ? ? ? ? a? ?
?3 0 0? 例如, A ? ? 0 3 0 ? 为数量矩阵。 ? ? ? ? 0 0 3 ? ?

又当 a ? 1 时,称 A 为 n 阶单位矩阵或单位阵,记作 En ,有时简记为 E ,即

?1 ? ? 1 ? ? ? En ? ? ? ? ? ? 1? ?

? y1 ? x1 , ?y ? x , ? 2 例如线性变换 ? 2 叫做恒等变换,它对应的系数矩阵就是一个 n 阶单位 ? ?? ? ? yn ? xn

矩阵。 2、对称矩阵 定义 7 若 n 阶方阵 A ? (aij ) 中的元素满足
ai j ? a ,j i ( i, ? j 1, ? 2 , n, )

则称 A 为对称矩阵。
?1 ?2 ? 例如, A ? ? 0 ?1 ? ?5 1? 5? ? 3 1 ? 为对称矩阵。 ? 1 2? ? 0

4.2.3 矩阵的运算
1、矩阵的加法与数乘矩阵 定义 8 两个 m ? n 阶矩阵 A ? (aij ) 和 B ? (bij ) 对应位置元素相加得到的矩阵,

称为矩阵 A 与 B 的和,记作 A ? B ,即
A ? B ?( iaj ) ? m n? ( b i) ? j
m n

? (a ?i jb ? )

i j

m n

注意,只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。 例 12 两种物资(单位:吨)同时从 3 个产地运往 4 个销地,其调运方案 分别为矩阵 A 和矩阵 B :
?2 0 3 4? ?3 1 2 0? ? ? ? A ? ?5 3 2 7 ? , B ? ? ?4 0 8 6? ? ? ?2 1 0 3? ? ?1 2 5 7 ? ?

则从各产地运往各销地的物资总调运量(单位:吨)为
?2 A? B ? ? ?5 ? ?2 ?2 ? ?? ?5 ? ? ?2 ? 0 3 1 3 4 1 3 2 0 ?4 ? ?7 ? ??? ? ?3 ? ? 3 4 1 1 0 2 2? 8? 5? 2? 0 8? ? 6 5? ? 7 5 9 3 1 3 3 5 4 ? ? 1 ?0 13 ? 5 10 ?

0 ? 1 ?3 3 ? 0 ?2 1 ? 2 ?0

4 ? 0 ? ? ? 7 ? ?6 ? ? 3 7 ? ? ?

定义 9

以数 ? 乘 m ? n 阶矩阵 A ? (aij ) 的每一个元素得到的矩阵, 称为数 ?

与矩阵 A 的积,记作 ? A ,即

?A ? ? (a )j i j)? m ? n (? a i?

m n

若取 ? ? ?1 ,则有 ? A ? (?aij )m?n .称 ? A 为矩阵 A 的负矩阵。显然有
A ? (? A) ? O ,

由此规定矩阵的减法为
A ? B ? A ? (? B)

即若 A ? (aij )m?n , B ? (bij )m?n ,则
A? B ? A? ( ?B ) ? (i ja ? ) m
n

?( ? b i ? j) m

n

?(a

i j

?b ? )i j

m n

例 13 设 3 个产地与 4 个销地之间的里程(单位:千米)为例 1 中的矩阵 0.已知货物每吨公里的运费为 1.50 元,则各产地与各销地之间每吨货物的运费 (单位:元/吨)可以记为矩阵形式:
?120 180 75 85 ? ? 1.5 A ? 1.5 ? ? ? 75 125 35 45 ? ?130 190 85 100? ? ? 270 112.5 127.5? ?1.5 ?120 1.5 ?180 1.5 ? 75 1.5 ? 85 ? ? 180 ? ? ? ? ? 1.5 ? 75 1.5 ?125 1.5 ? 35 1.5 ? 45 ? ? ?112.5 187.5 52.5 67.5 ? ? ? 285 127.5 150 ? ?1.5 ?130 1.5 ?190 1.5 ? 85 1.5 ? 100? ? ? ? 195 ?

矩阵相加与数乘矩阵的运算,统称为矩阵的线性运算。 矩阵的线性运算满足 下面的运算律: 设 A 、 B 、 C 、 O 都是 m ? n 阶矩阵, ? , ? 是数,则 (i) A ? B ? B ? A; (ii) ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ); (iii) ? ( A ? B) ? ? A ? ? B; (iv) (? ? ? ) A ? ? A ? ? A; (v) (?? ) A ? ? (? A). 例 14 已知
? ?1 A?? ?0 ? ?4 ?1 ? 3 ?1 2 0 ? ? ? 3 ? 2 ?1, B ? ? ?1 5 7 9 ? ? 0 3 ? ?2 ? 2 3 ?1 6 ? ? 2 3

且 A ? 2 X ? B ,求 X 。 解析:由矩阵的加法和数乘运算律有
? 4 ? 3 ? 1 ? ?1 1 1? X ? ( B ? A) ? ? 1 2 9 8? ? 2 2 ? ? ? 2 3 ? 4 4 ? ? 3 1 1? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2? ? ? 1 9 ?? 1 4 ? ?2 ? 2 ? ? ? ?1 3 ?2 2 ? ? ? 2 ? ?

2、矩阵的乘法 设有两个线性变换

? x1 ? a11 y1 ? a12 y2 ? a13 y3 , ? ? x2 ? a21 y1 ? a22 y2 ? a23 y3 ,

? y1 ? b11 z1 ? b12 z2 , ? ? y2 ? b21 z1 ? b22 z2 , ?y ?b z ?b z , 31 1 32 2 ? 3
则变量 z1 , z2 与变量 x1 , x2 的关系为

? x1 ? (a11b11 ? a12b21 ? a13b31 ) z1 ? (a11b12 ? a12b22 ? a13b32 ) z2 ? ? x2 ? (a21b11 ? a22b21 ? a23b31 ) z1 ? (a21b12 ? a22b22 ? a23b32 ) z2
定义 10 设矩阵 A ? ( aij ) m?s , B ? (bij ) s?n ,令
s

(1)

cij ? ai1b1 j ? ai 2b2 j ? ? ? ais bsj ? ? aik bkj ,(i ? 1, 2,?, m; j ? 1, 2,?, n)
k ?1

则称矩阵 C ? (cij ) m?n 是矩阵 A 与矩阵 B 的乘积,记作 C ? AB 。 对于矩阵的乘法由定义注意到以下三点: (1)只有矩阵 A 的列数等于 B 的行数时, AB 才有意义。 (2) 乘积矩阵 AB 的第 i 行第

j 列元素 cij 就是 A 的第 i 行上各元素与 B 的

第 j 列上的各对应元素的乘积之和。即

?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? i? a a ? a i2 i3 ? ? i1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?

b1 j b2 j ? bsj
j

?? ? ? ? ?? ? ? ? ? c ?? i ij ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? j

(3) 乘积矩阵 C 的行数等于矩阵 A 的行数,列数等于矩阵 B 的列数。 线性变换(1)用矩阵乘法表示即为

? x1 ? ? a11 a12 ? x ? ? ?a ? 2 ? ? 21 a22

?b b ? a13 ? ? 11 12 ? ? z1 ? ? b21 b22 ? ? z ? a23 ? ?? b b ?? 2 ? ? 31 32 ?

这种矩阵的表示显然比(1)式表示要简单得多。 例 15
? 1 3 ?1 ? ? ? 设矩阵 A ? ? 2 1 4 0 ? , B ? ? 0 ?1 2 ? ,求 AB 。 ? ? ? 1 ?3 1 ? ? 1 ?1 3 4 ? ? ? ? 4 0 ?2 ?

解:

因为 A 是 2 ? 4 矩阵, B 是 4 ? 3 矩阵,即 A 的列数等于 B 的行数,

故 A 和 B 可相乘,其乘积 AB 应是个 2 ? 3 矩阵。 1 ? ?1 3 ? ? ? 2 1 4 0 ? ? 0 ?1 2 ? AB ? ? ? ? 1 ?1 3 4 ? ? 1 ?3 1 ? ? ? ? 4 0 ?2 ?

? 2 ? 1 ? 1? 0 ? 4 ? 1 ? 0 ? 4 2 ? 3 ? 1? ? ?1? ? 4 ? ? ?3? ? 0 ? 0 2 ?1 ? 1? 2+4 ?1+0 ? (-2) ? ?? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 0 ? 3 ? 1 ? 4 ? 4 1 ? 3 ? ? 1 ? ? 1 ? 3 ? ? 3 ? 4 ? 0 1 ? 1 ? ? 1 ? 2 ? 3 ? 1 ? 4 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
8? ? 6 ?7 ?? ? 6 ?2 0 ? 5 ? ?
例 16 设A??

?2 ? 1 ?

4? 2 ,B ?? ? ? ?2 ? ? ?3

4 ? ,求 AB 及 BA 。 ? ?6 ?

解:

? ?2 AB ? ? ? 1 ? 2 BA ? ? ? ?3

4 ?? 2 ?2 ?? ?? ?3 4 ?? ?2 ?6 ?? ?? 1

4 ? ? ?16 ?? ?6 ? ? ? 8 4 ? ?0 ?? ?2 ? ? ?0 0? 0? ?

?32 ? , ? 16 ?

由例 15 知, 在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序。AB 是 A 左乘 B ,

BA 是 A 右乘 B 。 AB 有意义时, BA 可以没有意义。当 AB 与 BA 都有意义
时,它们仍然可以不相等,如例 16 中的 AB 和 BA 不相等。总之,矩阵的乘法

不满足交换律,即在一般情形下, AB ? BA 。 对于两个 n 阶方阵 A, B ,若 AB ? BA ,则称方阵

A 与 B 是可交换的。

例 16 还表明,矩阵 A ? O , B ? O ,但却有 BA ? O 。这里要特别注意 的是:若有两个矩阵

A, B 尽管满足 AB ? O ,也不一定能得出 A ? O 或

B ? O 的结论; 若 A ? O 而 A( X ? Y ) ? O , 也不一定能得出 X ? Y 的结论。
矩阵的乘法虽不满足交换律,但仍满足下列结合律和分配律(假设运算都 是可行的) : (i) ( AB)C ? A( BC ) ; (ii) ( A ? B)C ? AC ? BC ; (iii) C ( A ? B) ? CA ? CB ; (iv) k ( AB) ? (kA) B ? A(kB) . 3、矩阵的转置 定义 11 把矩阵 Am?n 的行与列互换,得到一个 m ? n 新矩阵,称为 A 的

转置矩阵,记作

AT ,即若
? a11 ?a A=? 21 ?? ? ? am1 a12 a22 ? am 2
a21 a22 ? a2 n

? ? ? ?
? ? ? ?

a1n ? a2 n ? ?, ?? ? amn ?
am1 ? am 2 ? ? ?? ? amn ?
1 3? ?1? ? 1 ? ?



? a11 ?a T A =? 12 ?? ? ? a1n

?1 例如矩阵 A ? ? ?3
(i) ( AT )T ? A ;

? 2 0? T 的转置矩阵为 A ? ? 2 ? ? ?1 1 ? ? ?0

矩阵的转置也是一种运算,满足下述运算规律(假设运算都有意义):

(ii) (iii) (iv)

? A ? B?
? kA?
T

T

? AT ? BT ;

? kAT ,其中 k 为数;
T

? AB ?

? BT AT 。

这里仅证明(iv).设 A ? aij

? ?
s

m?s

,B

? ? bij ?

s?n

,记 AB ? C ? cij

? ?

m?n



BT AT ? D ? ? dij ?

n?m

。于是按定义有

c j i ? ? a j kb , k i
k ?1

而 B 的第 i 行为 因此

T

? b1i , b2i ,? , bsi ? ,AT 的第 j 列为 ? a j1 , a j 2 ,?, a js ?
dij ? ? bki a jk ? ? a jk bki ,
k ?1 k ?1 s s

T



所以

di j ? c j i ? i ?1, 2? , ,n ; j? 1, ? 2, ? m ,, 即 D ? CT
T

,亦即

BT AT ? ? AB ?
例 17



?2 已知 A ? ? ?1
因为

?1 0 ? 1? ? ,B ? 4 ? ? 3 2? ?2 ? ?1 0 ? 1 ?? ?4 3 2? ?? 2 ?

7 2 0

?1? T 3? ,求 ( AB ) 。 ? 1 ? ?

解法一:

?2 AB ? ? ?1

7 ? 1 ? ? 0 1 4? ? 3 2 3? ? ’ ? ? 1 7 1 3 ?1 0 ? ? 0 1? ?

? 0 17 ? ? ? T 所以 ( AB) ? 14 13 。 ? ? ? ?3 10 ? ? ?
解法二:2

? 1 4 ( AB)T ? BT AT ? ? ? 7 2 ? ?1 3 ?

2 ?? 2 1 ? ? 0 17 ? ? ? ? 14 13 ? 0 ?? 0 3 ?? ? ? ?. ? ? ? 1 ?? ?? ?1 2 ? ? ?3 10 ?

定义 5 若 n 阶方阵 A

? ( aij ) 的元素都满足
( i , ? j 1, ? 2, n , , )

ai j ? a

j i

则称 A 为对称矩阵,即 A ?

AT ;若元素都满足

aij ? ?a ji (i, j ? 1, 2,?, n) ,
则称 A 为反对称矩阵,即 A ? ? A 。
T

例 18 设列矩阵 X 位阵, H

? ( x1 , x2 ,? , xn )T 满足 X T X ? 1, E 为 n 阶单
是对称阵,且 HH
T

? E ? 2 XX T ,证明 H
T

? E。

证明前先提醒读者注意: X 一个数,而 XX 是 n 阶方阵。 证:
T

X ? x12 ? x2 2 ? ? ? xn 2 是一阶方阵,也就是

H T ? ( E ? 2 XX T )T

? ET ? 2( XX T )T ? E ? 2 XX T ? H ,
所以 H 是对称阵。

HH T ? H 2 ? ( E ? 2 XX T ) 2 ? E ? 4 XX T ? 4( XX T )( XX T ) ? E ? 4 XX T ? 4 X ( X T X ) X T ? E ? 4 XX T ? 4 XX T ? E

四、概率论与数理统计基础知识 5.1 随机事件与概率
5.1.1 样本空间与随机事件 1、随机现象及其统计规律性 在客观世界中存在着两类不同的现象:确定性现象和随机现象。 在一组不变的条件 S 下, 某种结果必定发生或必定不发生的现象称为确定性 现象。这类现象的一个共同点是:事先可以断定其结果。

在一组不变的条件 S 下, 具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象。 这 类现象的一个共同点是:事先不能预言多种可能结果中究竟出现哪一种。 一般来说, 随机现象具有两重性:表面上的偶然性与内部蕴含着的必然规律 性.随机现象的偶然性又称为它的随机性。在一次实验或观察中,结果的不确定 性就是随机现象随机性的一面; 在相同的条件下进行大量重复实验或观察时呈现 出来的规律性是随机现象必然性的一面,称随机现象的必然性为统计规律性。 2、随机试验与随机事件 为了叙述方便, 我们把对随机现象进行的一次观测或一次实验统称为它的一 个试验。如果这个试验满足下面的三个条件: (1)在相同的条件下,试验可以重复地进行。 (2)试验的结果不止一种,而且事先可以确知试验的所有结果。 (3)在进行试验前不能确定出现哪一个结果。 那么我们就称它是一个随机试验,以后简称为试验,一般用字母 E 表示。 在随机试验中, 每一个可能出现的不可分解的最简单的结果称为随机试验的 基本事件或样本点,用 ω 表示;而由全体基本事件构成的集合称为基本事件空 间或样本空间,记为 Ω。 例 1 设 E1 为在一定条件下抛掷一枚匀称的硬币,观察正、反面出现的情 况。记 ω1 是出现正面,ω2 是出现反面。于是 Ω 由两个基本事件 ω1,ω2 构成, 即 Ω={ω1,ω2}。 例2 设 E2 为在一定条件下掷一粒骰子,观察出现的点数。记 ωi 为出现 i 个点(i=1,2,…,6)。于是有 Ω={ω1,ω2,…,ω6}。 所谓随机事件是样本空间 Ω 的一个子集, 随机事件简称为事件, 用字母 A, B, C 等表示。 因此, 某个事件 A 发生当且仅当这个子集中的一个样本点 ω 发生, 记为 ω∈A。 在例 2 中,Ω={ω1,ω2,…,ω6},而 E2 中的一个事件是具有某些特征的样 本点组成的集合。例如,设事件 A={出现偶数点},B={出现的点数大于 4},C ={出现 3 点}, 可见它们都是 Ω 的子集。 显然, 如果事件 A 发生, 那么子集{ω2, ω4,ω6}中的一个样本点一定发生,反之亦然,故有 A={ω2,ω4,ω6};类似地 有 B={ω5,ω6}和 C={ω3}。一般而言,在例 2 中,任一由样本点组成的 Ω 的子 集也都是随机事件。 5.1.2 事件之间的关系与运算 事件之间的关系有: “包含” 、 “等价(或相等)” 、 “互不相容(或互斥)” 以及 “独 立”四种。 事件之间的基本运算有: “并” 、 “交”以及“逆” 。 如果没有特别的说明,下面问题的讨论我们都假定是在同一样本空间 Ω 中

进行的。 1、事件的包含关系与等价关系 设 A,B 为两个事件,如果 A 中的每一个样本点都属于 B,那么称事件 B 包含事件 A,或称事件 A 包含于事件 B,记为 A ? B 或 B ? A。 如果 A ? B 与 B ? A 同时成立,那么称事件 A 与事件 B 等价或相等,记为 A=B。 在下面的讨论中,我们经常说“事件相同、对应概率相等” ,这里的“相同” 指的是两个事件“等价” 。 2、事件的并与交 设 A,B 为两个事件.我们把至少属于 A 或 B 中一个的所有样本点构成的 集合称为事件 A 与 B 的并或和,记为 A∪B 或 A+B。 设 A,B 为两个事件.我们把同时属于 A 及 B 的所有样本点构成的集合称 为事件 A 与 B 的交或积,记为 A∩B 或 A· B,有时也简记为 AB。 3、事件的互不相容关系与事件的逆 设 A,B 为两个事件,如果 A· B= 互斥的)。 对于事件 A,我们把不包含在 A 中的所有样本点构成的集合称为事件 A 的 逆(或 A 的对立事件),记为 A. 我们规定它是事件的基本运算之一。
A= 在一次试验中, 事件 A 与 A 不会同时发生(即 A·

,那么称事件 A 与 B 是互不相容的(或

, 称它们具有互斥性),

而且 A 与 A 至少有一个发生(即 A+ A =Ω,称它们具有完全性).这就是说,事
? ? A ? A ? ?, 件 A 与 A 满足: ? ? ? A ? A ? Ω.

根据事件的基本运算定义,这里给出事件之间运算的几个重要规律: (1)A(B+C)=AB+AC(分配律) (3) A ? B ? A ? B (德· 摩根律) (2)A+BC=(A+B)(A+C)(分配律) (4) A ? B ? A ? B (德· 摩根律)

有了事件的三种基本运算我们就可以定义事件的其他一些运算.例如,我们 称事件 AB 为事件 A 与 B 的差,记为 A-B.可见,事件 A-B 是由包含于 A 而 不包含于 B 的所有样本点构成的集合。 例3 在数学系学生中任选一名学生,设事件 A={选出的学生是男生},B (3)在什么条 ={选出的学生是三年级学生},C={选出的学生是科普队的}。 (1)叙述事件 ABC 的含义 。 (2)在什么条件下, ABC=C 成立? 件下,C ? B 成立? 解 (1)事件 ABC 的含义是,选出的学生是三年级的男生,不是科普队员。

(2)由于 ABC ? C,故 ABC=C 当且仅当 C ? ABC,这又当且仅当 C ? AB, 即科普队员都是三年级的男生。 (3)当科普队员全是三年级学生时,C 是 B 的子事件,即 C ? B 成立。 4、事件的独立性 设 A,B 是某一随机试验的任意两个随机事件,称 A 与 B 是相互独立的, 如果 P(AB)=P(A)P(B)。 可见事件 A 与 B 相互独立是建立在概率基础上事件之间的一种关系。所谓 事件 A 与 B 相互独立就是指其中一个事件发生与否不影响另一个事件发生的可 能性,即当 P(B)≠0 时,A 与 B 相互独立也可以用 P( A | B) ? P( A) 来定义。 由两个随机事件相互独立的定义, 我们可以得到: 若事件 A 与 B 相互独立, 则 A 与 B,A 与 B , A 与 B 也相互独立。

?P( AB) ? P( A) P( B), ?P( BC) ? P( B) P(C ), ? 如果事件 A,B,C 满足 ? 则称事件 A,B,C 相互 P ( AC ) ? P ( A ) P ( C ), ? ? ?P( ABC) ? P( A) P( B) P(C ),
独立。 注意,事件 A,B,C 相互独立与事件 A,B,C 两两独立不同,两两独立 是指上述四个式子中前三个式子成立。因此,相互独立一定是两两独立,但反之 不一定。 例 4 将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:A={掷第一次出现正面},B ={掷第二次出现正面},C={正、反面各出现一次},则事件 A,B,C 是相互 独立,还是两两独立? 由题设,可知 P(AB)=P(A)P(B),即 A,B 相互独立。而 1 P( AC ) ? P( A( AB ? AB)) ? P ( AB) ? P( A) P( B) ? , 4 1 1 1 1 P( A)P(C) ? P( A)P( AB ? AB) ? P( A)(P( AB) ? P( AB)) ? ? ( ? ) ? ? 2 2 4 4 故 A,C 相互独立,同理 B,C 也相互独立.但是 P(ABC)=P( ? )=0, 而 P( A) P( B) P(C ) ? 两两独立。 5.1.3 定义 1 概率的定义与性质 设 E 是一个随机试验,Ω 为它的样本空间,以 E 中所有的随机事件 1、概率的公理化定义 组成的集合为定义域,定义一个函数 P(A)(其中 A 为任一随机事件),且 P(A)满 解:

1 1 1 1 ? ? ? , 即 P( ABC) ? P( A) P( B) P(C ) , 因此 A,B,C 2 2 2 8

足以下三条公理,则称函数 P(A)为事件 A 的概率。 公理 1(非负性) 0≤P(A)≤1。 公理 2(规范性) P(Ω)=1。 公理 3(可列可加性) 若 A1,A2,…,An,…两两互斥,则
P(?Ai ) ? ?P( Ai ).
i ?1 i ?1 ? ?

由上面三条公理可以推导出概率的一些基本性质. 性质 1(有限可加性) 设 A1,A2,…,An 两两互斥,则 P(?Ai ) ? ?P( Ai ).
i ?1 i ?1 n n

性质 2(加法公式) 设 A, B 为任意两个随机事件, 则 P(A+B)=P(A)+P(B) -P(AB)。 性质 3 性质 4 例5 设 A 为任意随机事件,则 P( A )=1-P(A)。 设 A, B 为两个任意的随机事件, 若 A ? B, 则 P(B-A)=P(B)-P(A)。 设 A,B,C 是三个随机事件,且

由于 P(B-A)≥0,根据性质 4 可以推得,当 A ? B 时,P(A)≤P(B)。

1 1 p( A) ? P( B) ? P(C ) ? , P( AB) ? P(CB ) ? 0, P( AC ) ? ,求 A,B,C 中至少有一 8 4
个发生的概率。 解 设 D={A,B,C 中至少有一个发生},则 D=A+B+C,于是 P(D) = P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC)。 又因为 P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ?
1 , 4

P( AB) ? P(CB) ? 0,

P( AC ) ?

1 , 8

而由 P(AB)=0,有 P(ABC)=0,所以 P( D ) ?

3 1 5 ? ? ? 4 8 8 例 6 设事件 A 与 B 相互独立,P(A)=a,P(B)=b.若事件 C 发生,必然导

致 A 与 B 同时发生,求 A,B,C 都不发生的概率。 解 考 虑 由于事件 A 与 B 相互独立,因此 P(AB)=P(A)· P(B)=a· b。 到 C

?

AB







C ? AB ? A ? B ? AB,





P( ABC) ? P( AB) ? P( A)P(B) ? (1 ? a)(1 ? b).
2、概率的统计定义 定义 2 在一组不变的条件 S 下,独立地重复做 n 次试验.设 μ 是 n 次试验 中事件 A 发生的次数,当试验次数 n 很大时,如果 A 的频率 fn(A)稳定地在某一

数值 p 附近摆动; 而且一般说来随着试验次数的增多,这种摆动的幅度会越来越 小,则称数值 p 为事件 A 在条件组 S 下发生的概率,记作 P( A) ? p. 3.古典概型 古典型试验:(Ⅰ)结果为有限个;(Ⅱ)每个结果出现的可能性是相同的. 等概完备事件组:(Ⅰ)完全性;(Ⅱ)互斥性;(Ⅲ)等概性.(满足(Ⅰ),(Ⅱ)两 条的事件组称为完备事件组) 定义 3 设古典概型随机试验的基本事件空间由 n 个基本事件组成,即 Ω= {ω1,ω2,…,ωn}.如果事件 A 是由上述 n 个事件中的 m 个组成,则称事件 A 发生的概率为
m ? n 所谓古典概型就是利用上式来讨论事件发生的概率的数学模型。 P( A) ?

根据概率的古典定义可以计算古典型随机试验中事件的概率。 在古典概型中 确定事件 A 的概率时,只需求出基本事件的总数 n 以及事件 A 包含的基本事件 的个数 m。为此弄清随机试验的全部基本事件是什么以及所讨论的事件 A 包含 了哪些基本事件是非常重要的。 例7 解 掷两枚匀称的硬币,求它们都是正面的概率。 设 A={出现正正},其基本事件空间可以有下面三种情况:

(Ⅰ)Ω1={同面、异面},n1=2。 (Ⅱ)Ω2={正正、反反、一正一反},n2=3。 (Ⅲ)Ω3={正正、反反、反正、正反},n3=4。 于是, 根据古典概型, 对于(Ⅰ)来说, 由于两个都出现正面, 即同面出现, 因此, 1 m1=1,于是有 P( A) ? 。 2 1 而对于(Ⅱ)来说,m2=1,于是有 P( A) ? 。 3 1 而对于(Ⅲ)来说,m3=1,于是有 P( A) ? 。 4 例 8 从一副扑克牌的 13 张梅花中,有放回地取 3 次,求三张都不同号的 概率。 这是一个古典概型问题.设 A={三张都不同号}.由题意,有 n=133, m 132 3 P( A) ? ? ? m= P 13 ,则 n 169 例 9 在 20 枚硬币的背面分别写上 5 或 10,两者各半,从中任意翻转 10 解 枚硬币,这 10 枚硬币背面的数字之和为 100,95,90,…,55,50,共有十一 种不同情况.问出现“70,75,80”与出现“100,95,90,85,65,60,55, 50”的可能性哪个大,为什么?

答案是:出现“70,75,80”可能性大,约为 82%。 分析 这是一个古典概型问题.设 A={出现“70,75,80”},由题意,有
10 5 5 4 6 n ? C20 , m ? C10 C10 ? 2C10 C10 ,

则 P ( A) ? 4、几何概型

m 151704 ? ? n 184756

几何型试验: (Ⅰ)结果为无限不可数; (Ⅱ)每个结果出现的可能性是均匀的。 定义 4 设 E 为几何型的随机试验, 其基本事件空间中的所有基本事件可以 用一个有界区域来描述, 而其中一部分区域可以表示事件 A 所包含的基本事件, 则称事件 A 发生的概率为
P ( A) ? L( A) , L (? )

(1-2)

其中 L(Ω)与 L(A)分别为 Ω 与 A 的几何度量. 所谓几何概型就是利用式(1-2)来讨论事件发生的概率的数学模型。 注意,上述事件 A 的概率 P(A)只与 L(A)有关,而与 L(A)对应区域的位置及 形状无关。 例 10 解 某地铁每隔 5 min 有一列车通过, 在乘客对列车通过该站时间完全不 知道的情况下,求每一个乘客到站等车时间不多于 2 min 的概率。 设 A={每一个乘客等车时间不多于 2 min}。由于乘客可以在接连两列 车之间的任何一个时刻到达车站,因此每一乘客到达站台时刻 t 可以看成是均匀 地出现在长为 5 min 的时间区间上的一个随机点,即 Ω=[0,5)。又设前一列车 在时刻 T1 开出,后一列车在时刻 T2 到达,线段 T1T2 长为 5(见下图),即 L(Ω)= 5;T0 是 T1T2 上一点,且 T0T2 长为 2.显然,乘客只有在 T0 之后到达(即只有 t 落 在 线 段 T0T2 上 ) , 等 车 时 间 才 不 会 多 于 2min , 即 L(A) = 2 。 因 此
P( A) ? L( A) 2 ? ? L(?) 5

例 11 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜 内到达的时间是等可能的, 如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时,它们同日到 达时会面的概率是多少? 解 这是一个几何概型问题。设 A={它们会面}。又设甲乙两船到达的时刻 分别是 x,y,则 0≤x≤24,0≤y≤24.由题意可知,若要甲乙会面,必须满足|x- y|≤2,即图中阴影部分。由图可知:L(Ω)是由 x=0,x=24,y=0,y=24

所围图形面积 S=242,而 L(A)=242-222,因此

242 ? 222 22 2 P( A) ? ? ? 1 ? ( ) . 242 L(?) 24 L( A)
5.1.4 条件概率

前面我们所讨论的事件 B 的概率 PS(B),都是指在一组不变条件 S 下事件 B 发生的概率(但是为了叙述简练, 一般不再提及条件组 S, 而把 PS(B)简记为 P(B))。 在实际问题中,除了考虑概率 PS(B)外,有时还需要考虑“在事件 A 已发生”这 一附加条件下,事件 B 发生的概率.与前者相区别,称后者为条件概率,记作 P(B|A),读作在 A 发生的条件下事件 B 的概率。 在一般情况下,如果 A,B 是条件 S 下的两个随机事件,且 P(A)≠0,则在 A 发生的前提下 B 发生的概率(即条件概率)为 P( B | A) ? 并且满足下面三个性质: (1)(非负性)P(B|A)≥0; (2)(规范性)P(Ω|A)=1;
? ?

P( AB) , P( A)

(3)(可列可加性)如果事

件 B1,B2,…互不相容,那么
P(?Bi | A) ? ?P( Bi | A).
i ?1 i ?1

例 12

设随机事件 B 是 A 的子事件, 已知 P(A)=1/4, P(B)=1/6, 求 P(B|A)。

解:因为 B ? A,所以 P(B)=P(AB),因此 P( B | A) ? 5.1.5 全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式 1、全概率公式 如果事件组 A1,A2,…,An 满足 (1)

P( AB) P( B) 2 ? ? ? P( A) P( A) 3

?A ? Ω 且 P(Ai)>0(i=1,2,…,n),(2)AiAj= ? (i≠j;i,j=1,2,…,n),
i ?1 i n

n

则对任一事件 B,有 P( B) ? ?P( Ai ) P( B | Ai ). 上式称之为全概率公式。
i ?1

2、贝叶斯公式 设 A1,A2,…,An 是某一随机试验的一个完备事件组,对任意事件 B(P(B)

> 0) , 在 事 件 B 已 发 生 的 条 件 下 事 件 Ai 发 生 的 概 率 为

P( Ai | B) ?

P( Ai ) P( B | Ai )

?P( A
j ?1

n

(i ? 1,2,?, n).

上式称之为贝叶斯公式(或逆概率公

j

) P( B | A j )

式)。 利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率的关键是找满足全概率公式中条件 的事件组,即完备事件组 A1,A2,…,An.要掌握以下两点: (1)事件 B 必须伴随着 n 个互不相容事件 A1,A2,…,An 之一发生,B 的概 率就可用全概率公式计算。 (2)如果我们已知事件 B 发生了,求事件 Aj(j=1,2,…,n)的概率,则应使 用贝叶斯公式.这里用贝叶斯公式计算的是条件概率 P(Aj|B)(j=1,…,n)。 这里,我们把导致试验结果的各种“原因” :A1,A2,…,An 的概率 P(Ai) 称为先验概率,它反映了各种“原因”发生的可能性大小,一般是以往经验的总 结,在这次试验前已经知道,现在若试验产生了事件 B,它将有助于探讨事件发 生的“原因” 。我们把条件概率 P(Ai|B)称为后验概率,它反映了试验之后对各种 “原因”发生的可能性大小的新知识。 设某人从外地赶来参加紧急会议,他乘火车、轮船、汽车或飞机来 3 1 1 2 的概率分别是 、 、 及 ,如果他乘飞机来,不会迟到;而乘火车、轮船或汽 5 10 5 10 1 1 1 车来迟到的概率分别为 、 、 ? 试问:(1)他迟到的概率;(2)此人若迟到,试 4 3 12 推断他是怎样来的可能性最大? 解 令 A1={乘火车},A2={乘轮船},A3={乘汽车},A4={乘飞机},B
1 P( A2 ) ? , 5 P ( A3 ) ? 1 , 10 2 P( A4 ) ? , 5

例 13

={迟到},按题意有: 3 P ( A1 ) ? , 10
P ( B | A1 ) ?

1 1 , P ( B | A2 ) ? , 4 3 (1)由全概率公式,有:

P ( B | A3 ) ?

1 , 12

P( B | A4 ) ? 0.

P ( B) ?

i ?1

? P( A )P(B | A ) ? 10 ? 4 ? 5 ? 3 ? 10 ? 12 ? 5 ? 0 ?
i i

4

3

1

1 1

1

1

2

3 20

?

(2)由逆概率公式 P( Ai | B) ?

P( Ai ) P( B | Ai )

?P( A ) P( B | A )
j j j ?1

4

(i ? 1,2,3,4),

1 4 1 得到 P( A1 | B) ? , P( A2 | B) ? , P( A3 | B) ? , P( A4 | B) ? 0. 2 9 18 由上述计算结果可以推断出此人乘火车来的可能性最大.

例 14

三人同时向一架飞机射击, 设他们射中的概率分别为 0.5, 0.6, 0.7. 又

设无人射中,飞机不会坠毁;只有一人击中飞机坠毁的概率为 0.2;两人击中飞 机坠毁的概率为 0.6;三人射中飞机一定坠毁.求三人同时向飞机射击一次飞机 坠毁的概率。 解:设 Ai={第 i 个人射中}(i=1,2,3),有 P(A1)=0.5, P(A2)=0.6, P(A3)=0.7. 又设 B0={三人都射不中}, B1={只有一人射中}, B2={恰有两人射中}, B3={三 人 同 时 射 中 } , C = { 飞 机 坠 毁 } 。 由 题 设可 知 P(C | B0 ) ? 0,

P(C | B1 ) ? 0.2,

P(C | B2 ) ? 0.6,

P(C | B3 ) ? 1,

并且 P( B 0 ) ? P( A 1 A 2 A 3 ) ? P( A 1 ) P( A 2 ) P( A 3 ) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.3 ? 0.06. 同理 P( B1 ) ? P( A1 A 2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A 2 A3 )

? P( A1 A 2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A 2 A3 )
? P( A1)P( A2 )P( A3 ) ? P( A1) P( A2 ) P( A3 ) ? P( A1) P( A2 ) P( A3 )



0.5× 0.4× 0.3



0.5× 0.6× 0.3+0.5× 0.4× 0.7=0.29; P(B2)=0.44; 利用全概率公式便得到 0+0.29× 0.2+0.44× 0.6+0.21× 1=0.532. P(C ) ? ?P( Bi ) P(C | Bi ) =0.06×
i ?0 3

P(B3)=0.21.

5.1.6 伯努利(Bernoulli)概型 在实际问题中,我们常常要做多次试验条件完全相同(即可以看成是一个试 验的多次重复)并且都是相互独立 (即每次试验中的随机事件的概率不依赖于其 他各次试验的结果)的试验。我们称这种类型的试验为重复独立试验。 在单次试验中事件 A 发生的概率为 p(0<p<1),则在 n 次独立重复试验中 P{A 发生 k 次}
def

Pn ( ? ? k )

所谓伯努利概型就是利用上述关系式来讨论事件概率的数学模型。 伯努利概 型又称为独立试验序列概型(或二项概型)。 例 15 某类电灯泡使用时数在 1000 h 以上的概率为 0.2, 求三个灯泡在使用 1000 h 以后最多只坏一个的概率。



这是一个 n=3,p=0.8 二项概型问题 P3(μ≤1)=P(μ=0)+P(μ=1)。 袋中有 10 个球,其中 2 个为白色,从中有放回地取出 3 个,求这 3

例 16

个球中恰有 2 个白球的概率。 解 方法 1 设 A={恰有 2 个白球}, 由古典概型, 有 n ? 103 ,
m ? 3 ? 22 ? 8 ,

因此 P( A) ?

3 ? 22 ? 8 ? 103
2 8 3 ? 22 ? 8 由二项概型,有 P( A) ? P3 ( ? ? 2) ? C 32 ( ) 2 ( ) 1 ? ? 10 10 103

方法 2

5.2
5.2.1 1、定义

随机变量及其分布
随机变量的概念

在条件 S 下,随机试验的每一个可能的结果 ω 都用一个实数 X=X(ω)来表 示,且实数 X 满足: (Ⅰ)X 是由 ω 唯一确定。 (Ⅱ)对于任意给定的实数 x,事件{X≤x}都是有概率的, 则称 X 为一随机变量。一般用英文大写字母 X,Y,Z 等表示。 2、分布 (1)离散型随机变量的分布形式 (Ⅰ)分布律 P{X=xk}=pk 即 X 的分布是由公式的形式给出。 (Ⅱ)分布列 X P(X=xk) (Ⅲ)分布阵 x1 p1 x2 p2 … … xk pk … … (k=1,2,…),

即 X 的概率分布是由列表的形式给出。

? x1 ?p ? 1
这里 pk 有下列性质: ① pk ? 0, k ? 1,2,?.

x2 ? xk p2 ? pk

?? ?? ?

即 X 的概率分布是由矩阵的形式给出的。

② ? pk ? 1.
k ?1

?

一般来说,对于实数集 R 中任一个区间 D,都有

P( X ? D) ?
例 17

xi ?D

?P( X ? x ).
i

掷两枚匀称的骰子,X={点数之和},求 X 的分布。

3 ? 12 ? ? 2 答案是: X ~ ? ?? ?1 / 36 2 / 36 ? 1 / 36?
(2)连续型随机变量的分布形式 连续型随机变量 X 的分布密度 p(x)有下列性质: ①p(x)≥0,-∞<x<+∞。 ② ? p( x)dx =P{-∞<x<+∞}=P(Ω)=1。
?? ??

与离散型随机变量类似,对于实数集 R 中任一区间 D,事件(X∈D)的概率 都可以由分布密度算出:

P( X ? D) ? ? p( x)dx,
D

其中 p(x)为一可求积函数。

? 1 , ? 例 18 设 f ( x) ? ?1 ? x 2 ? ?0,
解 由于

x ? 0, x?0,

f(x)是否为分布密度函数?如何改造?

?
所以 f(x)不是分布密度函数,令

??

??

f ( x ) dx ?

π , 2

?2 1 , 2 ? ? p( x) ? f ( x) ? ? π 1 ? x 2 π ? ?0,
则 p(x)是分布密度函数。 例 19 设随机变量 X 的分布密度函数为

x ? 0, x ? 0.

? Cx, p ( x) ? ? ?0,
解 (Ⅰ)由 p(x)的性质,有

0 ? x ? 1, 其他.

求(Ⅰ)常数 C;(Ⅱ)P(0.3≤X≤0.7);(Ⅲ)P(-0.5≤X<0.5);

1 ? ? p( x)dx ? ? Cxdx ? C ?
?? 0

??

1

x2 1 1 | ? C, 2 0 2

所以 C=2。
.7 (Ⅱ) P(0.3 ? X ? 0.7) ? ? 2 xdx ? x 2 |0 0.3 ? 0.4. 0.3 0.7

(Ⅲ) P(?0.5 ? X ? 0.5) ? ?

0

?0.5

.5 0dx ? ? 2 xdx ? x 2 |0 0 ? 0.25. 0

0.5

(3)一般的随机变量的分布形式 一般的随机变量 X 的分布函数
? ? P( X ? xi ), X为离散型随机变量 , ?x ? x F ( x) ? P( X ? x) ? ? i x ? p(t )dt , X为离散型随机变量 , 并且p ( x)可求积 . ????

分布函数是一个以全体实数为其定义域,以事件{ω|-∞<X(ω)≤x}的概率为 函数值的一个实值函数,分布函数 F(x)具有以下的基本性质: ①0≤F(x)≤1 ②F(x)是非减函数 ③F(x)是右连续的 ④ lim F ( x) ? 0, lim F ( x) ? 1.
x ? ?? x ? ??

从一批有 13 个正品和 2 个次品的产品中任意取 3 个,求抽得的次品 1 5 数 X 的分布列和分布函数,并求 P( ? X ? ) ? 2 2 解 先求 X 的分布列,X 的所有可能取值为 0,1,2,由古典概型的概率计 算公式知
3 1 2 2 1 C13 22 C2 C13 12 C2 C13 1 ? , P ( X ? 1) ? ? , P ( X ? 2) ? ? ? 3 2 3 C15 35 C15 35 C15 35

例 20

P( X ? 0) ?
故 X 的分布列为

0 1 2 22 12 1 pi 35 35 35 为了求 X 的分布函数 F(x),我们将(-∞,+∞)分成(-∞,0),[0,1),[1, 2),[2,+∞)四个区间。 当 x<0 时,F(x)=P(X≤x)=0 当 0 ? x ? 1 时, F ( x) ? P( X ? 0) ?
22 ? 35

xi

当 1 ? x ? 2 时, F ( x) ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ?

34 ? 35

当 x≥2 时,F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1 综上有 X 的分布函数为
? 0, ? 22 , ? ? F ( x) ? ? 35 34 ? , ? 35 ? ?1, x ? 0, 0 ? x ? 1, 1 ? x ? 2, x ? 2.

由分布函数可求出
1 5 5 1 22 13 P( ? X ? ) ? F ( ) ? F ( ) ? 1 ? ? ? 2 2 2 2 35 35 设连续型随机变量 X 的分布函数
x ? ? A ? Be ? 2 , x ? 0, F ( x) ? ? ? x ? 0, ? 0,
2

例 21

求系数 A 和 B。 解 由 lim F ( x) ? 1 ,知 A=1,再由 F(x)在 x=0 处的连续性可知
n???

0 ? lim F ( x) ? lim ( A ? Be
x ?0 x ?0 ? 0

?

x2
2

) ? A ? B,

故 例 22

B=-A=-1 设连续型随机变量 X 的分布函数为 A F ( x) ? , ? ? ? x ? ?? , 1 ? e? x (Ⅱ)X 的分布密度函数 p(x) (Ⅱ) p( x) ?
1 ? 2

求 (Ⅰ)常数 A (Ⅲ)P{X≤0}

答案是:(Ⅰ)A=1 (Ⅲ) P( X ? 0) ? F (0) ? 5.2.2 常见分布

e? x ? ? ? x ? ?? . (1?e? x )2

1、几种常见的离散型随机变量的概率分布 (1)0-1 分布 设随机变量 X 的分布为 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p (0<p<1),

则称 X 服从参数为 p 的 0-1 分布,记为 X~B(1,p)。 (2)二项分布 设随机变量 X 的分布为
k k n?k (k=0,1,2,…,n;0<p<1,q=1-p), P( X ? k ) ? Cn pq

则称 X 服从参数为 n、p 的二项分布,记为 X~B(n,p)。 (3)几何分布 设随机变量 X 的分布为 P(X=k)=pqk-1(k=1,2,…,n,…;0<p<1,q=1-p), 则称 X 服从参数为 p 的几何分布,记为 X~G(p)。 (4)泊松(Poisson)分布 设随机变量 X 的分布为
e ? ? (k ? 0,1, 2,?, n,?; ? ? 0), k! 则称 X 服从参数为 λ 的泊松分布,记为 X~P(λ)。 P( X ? k ) ?

?k

(5)超几何分布 设随机变量 X 的分布为
P{ X ? k} ?
k n?k CM CN ?M (k ? 0,1,2,?, l; n ? N ? M , l ? min(M , n)), n CN

则称 X 服从参数为 n,M,N 的超几何分布,记为 X~H(n,M,N)。 例 23 则
?0, ? F ( x) ? ?1 ? P, ?1, ? x ? 0, 0 ? x ? 1, x ? 1.

设 X~B(1,p),即

P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,

其图形为阶梯形,见图 2-2.

图 2-2 例 24 一袋中装有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 只球, 用 X 表示取出的 3 只球中的最小号码数,求 X 的分布函数.



X 的可能取值为 3,2,1。
2 3 P( X ? 3) ? C2 / C5 ?

1 3 6 3 2 3 , P( X ? 2) ? C32 / C5 ? , P( X ? 1) ? C4 / C5 ? , 10 10 10

即 X 的分布阵为

?1 2 3? ?6 3 1?, ? ?10 10 10? ?
从而 X 的分布函数为

? 0, ?6 , ? ? F ( x) ? ?10 9 ? , ?10 ? ?1,
2、几种常见的连续型随机变量的分布 (1)均匀分布 设随机变量 X 的分布密度函数为

x ? 1, 1 ? x ? 2, 2 ? x ? 3, x ? 3.

? 1 ? , a ? x ? b, p( x) ? ? b ? a ? 其他. ?0,

则称 X 服从参数为 a,b 的均匀分布,记为 X~U(a,b)。 (2)指数分布 设随机变量 X 的分布密度函数为

??e ??x , x ? 0, p ( x) ? ? ? ? 0, x ? 0. ?0,
则称 X 服从参数为 λ 的指数分布,记为 X~E(λ)。 (3)正态分布 设随机变量 X 的分布密度函数为
p ( x) ? 1 exp{?( x ? ? ) 2 / 2? 2}, ?? ? x ? ? ?, 2π?

其中 μ, σ 为常数且 σ>0, 则称 X 服从参数为 μ, σ2 的正态分布, 记为 X~N(μ, σ2)。 特别地,称 μ=0,σ2=1 的正态分布为标准正态分布,其密度函数为
p ( x) ? 1 exp{ ? x 2 / 2}. 2π

例 25

设 X~U(a,b),即

? 1 ? , a ? x ? b, p( x) ? ? b ? a ? 其他. ? 0,



x ? a, ?0, ?x ?a F ( x) ? ? , a ? x ? b, ?b ? a x ? b. ?1, 其图形是一条连续的曲线,见图 2-3。

图 2-3 例 26 解 设 X~N(0,1),求 P(X<2.35),P(X<-1.25)以及 P(|X|<1.55)。
查表

P(X<2.35)=Ф(2.35)

0.9906

P(X<-1.25)=Ф(-1.25)=1-Ф(1.25)=1-0.8944=0.1056 P(|X|<1.55)=P(-1.55<X<1.55)=Ф(1.55)-Ф(-1.55) =2Ф(1.55)-1=2× 0.9394-1=0.8788 例 27 解 设 X~N(1,22),求 P(0<X≤5). 这里 μ=1,σ=2,β=5,?=0,有 ? ?? ? ?? ? 2, ? 0.5. ? ? P(0<X≤5)=Ф(2)-Ф(-0.5)=Ф(2)-[1-Ф(0.5)] =Ф(2)+Ф(0.5)-1=0.9772+0.6915-1=0.6687 例 28 <μ+3σ} 解 (Ⅰ)由于 X~N(μ,σ2),故
P{? ? ? ? X ? ? ? ? } ? Φ(

于是

若 X~N(μ,σ ),求 (Ⅱ)P{μ-2σ<X<μ+2σ}; (Ⅲ)P{μ-3σ<X

2

(Ⅰ)P{μ-σ<X<μ+σ};

? ?? ? ? ? ?? ? ? ) ? Φ( ) ? ? =Ф(1)-Ф(-1)=2Ф(1)-1=0.6826≈0.68

同理有: (Ⅱ) (Ⅲ) P{μ-2σ<X<μ+2σ}=2Ф(2)-1=0.9545≈0.95 P{μ-3σ<X<μ+3σ}=2Ф(3)-1=0.9973≈0.99

由上面的例子我们可以看出,服从正态分布 N(μ,σ2)的随机变量 X,落在(μ -3σ,μ+3σ)内的概率为 99.73%,几乎是必然事件;而落在(μ-3σ,μ+3σ)之 外的概率很小,几乎是不可能事件.服从正态分布的随机变量 X 的这个重要性 质,称为“3σ”原则(见图 2-4)。

图 2-4 例 29 解 设 X~N(2, 3 ), 求: (Ⅰ)P{-1≤X≤8}; (Ⅱ)P{X≥-4}; (Ⅲ)P{X≤11}.
2

由于 X~N(2,32),即 μ=2,σ=3,因此 =P{2-3≤X<2}+P{2≤X≤2+2× 3}
? 1 2 P{2 ? 3 ? X ? 2 ? 3} ? 1 2 P{2 ? 2 ? 3 ? X ? 2 ? 2 ? 3}

(Ⅰ)P{-1≤X≤8}=P{2-3≤X≤2+2× 3}

0.68 0.95 ? ? 0.815 . 2 2 (Ⅱ)P{X≥-4}=P{-4≤X<+∞}=P{2-2×3≤X≤2}+P{X≥2} 0.95 1 ? ? ? 0.975 . 2 2 (Ⅲ)P{X≤11}=P{-∞<X≤11}=P{-∞<X≤2}+P{2≤X≤2+3× 3} 1 0.99 ? ? ? 0.995 . 2 2 ?

5. 3
5.3.1

随机变量的数字特征

随机变量的数学期望的概念与性质

1、数学期望的概念 设随机变量 X 的分布函数为 F(x),则
E( X )
def

?? xi pi , X为离散型随机变量 , ? i ??? xdF ( x) ? ? ?? ?? xp( x)dx, X为连续型随机变量 . ? ??
??

称为 X 的数学期望或均值. 当 X 为离散型随机变量, 其可能取值 xi 为可列个时,

则要求 ? | xi | Pi ? ??, 当 X 为连续型随机变量时,则要求 ? | x | p( x)dx ? ? ?.
i ?1

?

??

??

例 30

设离散型随机变量 X 的概率分布为
P ( X ? n) ? P ( X ? ? n) ? 1 (n ? 1,2,?) 2n(n ? 1)

求 E(X) 解 由于
? ?

? | xn pn |? ?
n ?1

1 n ?1 n ? 1

是发散的,因此 E(X)不存在。 设连续型随机变量 X 的分布密度为 1 1 p( x) ? . , π 1? x2 这时,我们称 X 服从哥西分布,求 E(X)。 解 由于 例 31

?


A

?A

| x|

1 1 2 A d(1 ? x 2 ) 1 1 A d x ? ? ln(1 ? x 2 ) |0 ? ln(1 ? A2 ), 2 2 ? 0 π 1? x 2π 1? x π π

1 1 1 dx ? l i m l n1 (? A2 ) ? ?? , 2 ?? A? ?? π π 1? x 由数学期望定义,可知 E(X)不存在。

?

??

| x|

设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x),并且其均值 E(X)存在,则 1 当 x→+∞时,1-F(x)是 的高阶无穷小量。 x 解 由于 X 的均值 E(X)存在,即

例 32

?
因此,我们有

??

??

| x | p( x)dx ? ? ?,

x 1 ? F ( x) ? x(1 ? P( X ? x)) ? x(1 ? ? p(t )dt ) ?? 1 x

? x?

??

x

p(t )dt ? ?

??

x

| t | p(t )dt ? 0( x ? ? ?),


1 1 ? F ( x) ? o( ) ( x ? ?? ), x 1 亦即当 x→+∞时,1-F(x)是 的高阶无穷小量。 x

2、数学期望的性质 利用数学期望的定义可以证明下述性质对一切随机变量都成立。 性质 1 性质 2 即 E(XY)=E(X)E(Y) 例 33 解 盒中有 5 个球,其中有 3 个白球,2 个红球.从中任取两球,求白球 个数 X 的数学期望。 由题意可知
2? k C3k ? C2 (k ? 0,1,2), C52

E(aX+b)=aE(X)+b 设随机变量 X 与 Y 相互独立,则它们乘积的数学期望等于它们数

学期望的积,

P( X ? k ) ?
因此
E( X ) ? 0 ?

1 6 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 1 ? 10 10 10 5

3、随机变量函数的数学期望公式 若随机变量 X 的概率分布已确知,则随机变量函数 f(X)的数学期望为
?? f ( xi ) pi , ? E[ f ( X )] ? ? ? ? f ( x ) p ( x ) dx , ? ????
当X为离散型时 , 当X为连续型时 ,

这里要求上述的级数与积分都是绝对收敛的,我们也称之为表示性定理。 例 34 X 设随机变量 X 的概率分布为 -1 1 6 0 1 5 1 1 15 2 11 30

-2 1 pi 5 求 E(X),E(X+3X2).

解:由离散型随机变量期望的定义得: E ( X ) ? 5.3.2 随机变量的方差的概念与性质

7 116 , E( X ? 3X 2 ) ? ? 30 15

1、方差的概念

D( X ) ? E((X ? E( X ))2 )

?? ( xi ? E ( X ))2 pi , ? = ? i? ? ?? ( x ? E ( X ))2 p ( x)dx, ? ??

当X为离散型时 , 当X为连续型时 ,

由方差的定义和数学期望的性质,有 D(X)=E(X2)-(E(X))2 这就是说,要计算随机变量 X 的方差,在求出 E(X)后,再根据随机变量函数的 数学期望公式算出 E(X2)即可。 根据方差的定义显然有 D(X)≥0,我们称方差的算术根 D( X ) 为随机变量 X 的标准差(或均方差)。这样,随机变量的标准差、数学期望与随机变量本身有相 同的计量单位。 2、方差的性质 利用方差的定义可以证明下列性质对一切随机变量都成立。 性质 1 性质 2 的和,即 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 性质 3 对于一般的随机变量 X 与 Y,则 D(X± Y)=D(X)+D(Y)± 2E[(X-E(X))(Y-E(Y))] 例 35 差。 解 设 X 的均值、方差都存在,且 D(X)≠0,求 Y ? D(aX+b)=a2D(X) 设随机变量 X 与 Y 相互独立,则它们和的方差,等于它们的方差

X ? E( X ) D( X )

的均值与方

X? E ( X) E ( Y )? E ( ) ? D( X )
? 1 D( X )

1 E ( X? E ( X ) ) D( X )

( E ( X ) ? E ( X )) ? 0.

D(Y ) ? D(

X ? E( X ) D( X )

)?

1 D( X )

D( X ? E ( X ))
D( X ) D( X )

?
例 36

1 D( X )

[ D( X ) ? D(? E ( X ))] ?

? 1.

设随机变量 X 的概率密度为 1 p ( x) ? e ?| x| (?? ? x ? ?? ), 2 求 E(X)及 D(X)

答案是:E(X)=0,D(X)=2 例 37 已知随机变量 X 的分布函数

? 0, ?x F ( x) ? ? , ?4 ? 1,
求 E(X),D(X). 答案是: E ( X ) ? 2, D( X ) ? 例 38

x ? 0, 0 ? x ? 4, x ? 4.

4 ? 3 设随机变量 X~N(0, 4), Y~U(0, 4), 且 X, Y 相互独立, 求 E(XY),

D(X+Y)及 D(2X-3Y).
1 答案是:E(XY)=0, D( X ? Y ) ? 5 , D(2X-3Y)=28 3

5.3.3

常见分布的数学期望与方差 符号 B(1,p) B(n,p) P( ? ) G(p) H(n,M,N) U(a,b) E( ? ) N(μ,σ2) 均值 p np ? ?
1 p
nM N a?b 2 1 ? μ

分布名称 0-1 分布 二项分布 泊松分布 几何分布 超几何分布 均匀分布 指数分布 正态分布 例 38 分布的参数 n,p。

方差 p(1-p) np(1-p) ? ?
1? p p2
nM M N ?n (1 ? )( ) N N N ?1 (b ? a ) 2 12 1

?2 σ2

已知随机变量 X 服从二项分布,且 E(X)=2.4,D(X)=1.44,求二项

答案是:n=6,p=0.4 分析 由 E(X)=np,D(X)=np(1-p)得方程组 np=2.4,np(1-p)=1.44 解方程组即得 n=6,p=0.4。 例 39 设(X,Y)服从区域 D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}上的均匀分布,求 E(X +Y),E(X-Y),E(XY),D(X+Y),D(2X-3Y).

1 1 13 答案是: 1,0, , , ? 4 6 12 分析 由于 X 与 Y 相互独立,可知

E ( X ) ? E (Y ) ?
5.3.4

1 1 , D( X ) ? D(Y ) ? ? 2 12

随机变量矩、协方差和相关系数

1、原点矩与中心矩 (1)对于正整数 k,称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩, 记为 vk,即 vk=E(Xk), 于是,我们有
?? xik pi , ? vk= ? i? ? ? ? x k p ( x ) dx , ? ??
当X为离散型时 , 当X为连续型时 ,

k=1,2,…

(2)对于正整数 k,称随机变量 X 与 E(X)差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶 中心矩,记为 μk,即 μk=E[X-E(X)]k 于是,我们有
?? ( xi ? E ( X ))k pi , ? μk= ? i? ? ?? ( x ? E ( X ))k p( x)dx, ? ??
当X为离散型时 , 当X为连续型时 ,

(k=1,2,…).

(3)对于随机变量 X 与 Y,如果有 E(XkYl)存在,则称之为 X 与 Y 的 k+l 阶 混合原点矩,记为 vkl,即 vkl=E(XkYl) 如果有 E[(X-E(X))k(Y-E(Y))l]存在,则称之为 X 与 Y 的 k+l 阶混合中心矩, 记为 μkl,即 μkl=E[(X-E(X))k(Y-E(Y))l] 2、协方差与相关系数 (1)对于随机变量 X 与 Y, 称它们的二阶混合中心矩为 X 与 Y 的协方差或相 关矩,记为 cov(X,Y),即 ? cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))] 协方差有下面几个性质: (Ⅰ)cov(X,Y)=cov(Y,X) (Ⅱ)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y) (Ⅲ)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)

(Ⅳ)cov(X,Y)=E(XY)-(E(X))(E(Y)) (2)对于随机变量 X 与 Y,如果 D(X)>0,D(Y)>0,则称

? xy ?
为 X 与 Y 的相关系数,记作 ? xy 。

Cov( X , Y ) D( X ) D(Y )

不难验证:| ? xy |≤1,并且当| ? xy |=1 时,称 X 与 Y 完全相关:

?正相关, 完全相关 ? ?负相关 ,
而当 ? xy =0 时,称 X 与 Y 不相关。 (3)与相关系数有关的几个重要结论

当? ? 1时, 当? ? ?1时,

(Ⅰ)若随机变量 X 与 Y 相互独立,则 ? xy =0;反之不真。 (Ⅱ)若(X, Y)~ N (?1, ?2 ,?12 ,? 22 , ? ) , 则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 ? =0。 (Ⅲ)以下五个命题是等价的: ① ? xy =0 ②cov(X,Y)=0 ③E(XY)=E(X)E(Y) ④D(X+Y)=D(X)+D(Y) ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y) 例 40 设随机变量 X 和 Y 的方差存在且不等于 0, 则 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 是X和Y的 (A)不相关的充分条件,且不是必要条件 (B)独立的充分条件,但不是必要条件 (C)不相关的充分必要条件 (D)独立的充分必要条件 答案是:C 解析: ? xy =0 ? D(X+Y)=D(X)+D(Y)。因此,选择 C。 例 41 设 X 与 Y 相互独立都服从 P( ? ),令 U=2X+Y,Y=2X-Y.求随

机变量 U 和 Y 的相关系数 ?uv 。 解析: 由于 X,Y~P( ? ),因此有 E(X)=E(Y)=D(X)=D(Y)= ? ,

E(X2)=E(Y2)=D(X)+(E(X))2= ? + ? 2, 于是 D(U)=D(V)=4D(X)+D(Y)=5?, 而 cov(U,V)=cov(2X+Y,2X-Y) =4D(X)-D(Y)=3?, 因此

?UV ?

.

cov( U ,V ) 3? 3 ? ? ? D(U ) D(v) 5? 5


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