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版高中数学第三章三角恒等变换章末复习课学案苏教版必修4


第三章 三角恒等变换 学习目标 1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公 式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明. 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(α -β )=________________________. cos(α +β )=________________________. sin(α +β )=________________________. sin(α -β )=________________________. tan(α +β )=________________________. tan(α -β )=________________________. 2.二倍角公式 sin 2α =________________. cos 2α =________________=________________=________________. tan 2α =________________. 3.升幂公式 1+cos 2α =________________. 1-cos 2α =________________. 4.降幂公式 sin xcos x=______________,cos x=______________,sin x=________________. 5.和差角正切公式变形 tan α +tan β =________________, tan α -tan β =________________. 6.辅助角公式 2 2 y=asin ω x+bcos ω x=________________. 类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用 4 1 例 1 已知 α ,β 为锐角,cos α = ,tan(α -β )=- ,求 cos β 的值. 5 3 1 反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系,常常在进行角的变换 ?α ? 时,要注意各角之间的和、差、倍、半的关系,如 α =2·? ?,α =(α +β )-β ,α = ?2? 1 1 β -(β -α ),α = [(α +β )+(α -β )],β = [(α +β )-(α -β )]等. 2 2 跟踪训练 1 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α ,β ,它们的终 3 10 2 5 边分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 , . 10 5 (1)求 tan(α -β )的值; (2)求 α +β 的值. 类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用 例 2 求函数 f(x)=sin x+cos x+sin x·cos x,x∈R 的最值及取到最值时 x 的值. 反思与感悟 在三角恒等变换中,有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和 推理,这个“元”可以明确地设出来. 跟踪训练 2 求函数 y=sin x+sin 2x-cos x(x∈R)的值域. 2 类型三 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用 5π ? ? π? 2? 例 3 已知函数 f(x)=2 3sin(x-3π )sin?x- ?+2sin ?x+ ?-1,x∈R. 2? 2 ? ? ? ? π? (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间?0, ?上的最大值和最小值; 2? ? 6 ?π π ? (2)若 f(x0)= ,x0∈? , ?,求 cos 2x0 的值. 5 ?4 2? 反思与感悟 (1)为了研究函数的性质, 往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型) 函数,这是解决问题的前提. (2)本题充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异,减少角的种类和函数 式的项数,将三角函数表达式变形化简,然后根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质. 2 ?π ? 3 17π <x<7π ,求sin 2x+2sin x的值. 跟踪训练 3 已知 cos? +x?= , 4 1-tan x ?4 ? 5 12 类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用 例 4 已知 sin x+2cos y=2,求 2sin x+cos y 的取值范围. 3 反思与感悟 在三角恒等变换中,有时可以把某个三角函数式看作未知数,联系已知条件或 三角公式,设法建立关于未知数的方程组,从而使问题得以解决. 跟踪训练 4 已知关于 θ 的方程 3cos θ +sin θ +a=0 在区间(0,2π )上有两个不相等的 实数解 α ,β ,求 cos(α +β )的值. 1.已知 sin θ θ 2 3 +cos = ,那么 sin θ =________,cos 2θ =________. 2 2 3 5 4 4 2.已知 θ 是第三象限角,且 sin θ +cos θ = ,则 sin 2θ =________. 9 1 1 3.已知 sin α +cos β = ,sin β -cos α = ,则 sin(α -β )=________. 3 2 π? 4 π? ? ? 4.设 α 为锐角,若 cos?α + ?= ,则 sin?2α + ?的值为________. 6? 5 12? ? ? π 3 2 5.已知函数 f(x)=cos x·sin(x+ )- 3cos x+ ,x∈R. 3 4 (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在闭区间[- , ]上的最大值和最小值. 4 4 本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具,在三角函数式求值、化简、证明,进而研究三 角函数的性质等方面都是必要的基础, 是解答整个三角函数类试题的必要基本功, 要求准确, 快速化到最简,再进一步研究函数的性质. 4 答案精析 知识梳理 1.cos α cos β +sin α sin β cos α cos β -sin α sin β sin α

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