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高中数学绝对值不等式的解法


一、知识联系
1、绝对值的定义 x ,x>0 |x|= 0 ,x=0 -x ,x<0 2、绝对值的几何意义 |x| x 0 x |x-x1|

x1

3、函数y=|x|的图象
x ,x>0 y=|x|= 0 ,x=0 -x ,x<0 y

1

-1

o 1

x

1

二、探索解法
探索:不等式|x|<1的解集。
方法一: 利用绝对值的几何意义观察 方法二: 利用绝对值的定义去掉绝对值符号, 需要分类讨论 方法三: 两边同时平方去掉绝对值符号 方法四: 利用函数图象观察

2 3 4

这是解含绝对值不等式的四种常用思路

探索:不等式|x|<1的解集。 方法一: 利用绝对值的几何意义观察

不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1 0 1

所以,不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}

探索:不等式|x|<1的解集。 方法二: 利用绝对值的定义去掉绝对值符号, 需要分类讨论 ①当x≥0时,原不等式可化为x<1

∴ 0≤x<1
②当x<0时,原不等式可化为-x<1,即x>-1

∴ -1<x<0
综合①②得,原不等式的解集为{x|-1<x<1}

探索:不等式|x|<1的解集。 方法三: 两边同时平方去掉绝对值符号 对原不等式两边平方得x2<1

即 x2-1<0
即 (x+1)(x-1)<0

即-1<x<1
所以,不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}

探索:不等式|x|<1的解集。 方法四: 利用函数图象观察 从函数观点看,不等式|x|<1的解集表示函数 y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对 y 应的x的取值范围。 所以,不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1} 1 y=1 x

-1 o 1

小结:不等式|x|<a和|x|>a (a>0)的解集。
① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a} -a 0

a

② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }

-a

0

a


-c


0
2


c

题型1: 如果 c 是正数,那么 ① ②
x ? c ? x
2

? c
2

2

? ?c ? x ? c

x ? c ? x ? c ? x ? ? c, 或 x ? c
2 2

题型2: 如果 c 是正数,那么 ① ax + b ? c ? ( ax + b ) ? c ? ? c ? ax + b ? c ② ax + b ? c ? (ax + b) ? c ? ax + b ? ? c, 或 ax + b ? c
2012-10-27 南粤名校——南海中学

2

2

二、重难点讲解
② ① -m -n 0 n m 题型3: 形如n<| ax + b | <m (m>n>0)不等式

? | ax ? b | ? n 等价于不等式组 ? ? | ax ? b |? m ① ②
题型4:
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? n ? ax ? b ? m , 或 ? m ? ax ? b ? ? n
含有多个绝对值的不等式的解法 ---零点分段法
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三、例题讲解 例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法 1: ? | 3 ? 2 x |? 5 ? 3 ? | 2 x ? 3 |? 5 3
或 ? | 2 x ? 3 |? 3 ? 2 x ? 3 ? 3, 2 x ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? ? | 2 x ? 3 |? 5 ?? 5 ? 2 x ? 3 ? 5
或 ? x ? 3, x ? 0 即 ? ?? 1 ? x ? 4

-1

0

3

4

? 原不等式的解集是
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{ x | ? 1 ? x ? 0, 3 ? x ? 4}. 或
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三、例题讲解 例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法 2: 3 ? | 3 ? 2 x |? 5 ? 3 ? | 2 x ? 3 |? 5
?2 x ? 3 ? 0 ?2 x ? 3 ? 0 ? ? ,或 ? ?3 ? 2 x ? 3 ? 5 ?3 ? ? ( 2 x ? 3) ? 5 3 3 ? ? ?x ? ?x ? , 2 ? ? , 或 ? 2 ?? 1 ? x ? 0 ?3 ? x ? 4 ? ?

? 3 ? x ? 4, ? 1 ? x ? 0 . 或
? 原不等式的解集是
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{ x | ? 1 ? x ? 0, 3 ? x ? 4}. 或
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三、例题讲解 例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法 3: 3 ? | 3 ? 2 x |? 5 ? 3 ? | 2 x ? 3 |? 5

? 3 ? 2 x ? 3 ? 5, ? 5 ? 2 x ? 3 ? ? 3 或
? 3 ? x ? 4, ? 1 ? x ? 0 . 或
? 原不等式的解集是 { x | ? 1 ? x ? 0, 3 ? x ? 4}. 或

-1
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0

3

4

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-1 ② 3 三、例题讲解 ① 例2 解不等式|x +1| + |3-x| >2 + x.



解:原不等式变形为| X +1| + |X -3| > 2 + X. 若| X +1| = 0,X =-1;若| X -3| = 0,X=3.
零点-1,3把数轴分成了三部分,如上图所示.
(1)当 x ? ? 1时 , x ? 1 ? 0, x ? 3 ? 0,

? 原 不 等 式 变 形 为 ? ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 2 ? x , 即 x ? 0.

此 时 , 得 { x | x ? ? 1} ? { x | x ? 0} ? { x | x ? ? 1} .

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-1 ② 3 三、例题讲解 ① 例2 解不等式|x +1| + |3-x| >2 + x.



解:(1)当 x ? ? 1时 , 原 不 等 式 的 解 为{ x| x ? ? 1} ;
(2)当 ? 1 ? x ? 3时 , x ? 1 ? 0, x ? 3 ? 0,

? 原 不 等 式 变 形 为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 2 ? x , 即 x ? 2.
此 时 , 得 { x | ? 1 ? x ? 3} ? { x | x ? 2} ? { x | ? 1 ? x ? 2} ;

(3)当 x ? 3时 , x ? 1 ? 0, x ? 3 ? 0,

? 原 不 等 式 变 形 为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 2 ? x , 即 x ? 4.
此 时 , 得 { x | x ? 3} ? { x | x ? 4} ? { x | x ? 4} ;
将 (1)、( 2 )、( 3 )的结果取并集
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,

2

4

则 原 不 等 式 的 解 集 为{ x | x ? 2 , 或 x ? 4} .
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三、例题讲解 例3 解不等式| x -1 | + | 2x-4 |>3 + x 解:(1)当x≤1时原不等式化为: 1-x + 4 -2x >3 + x
? x ? 1 2
① 1 ② 2 ③

(2)当1<x ≤2时,原不等式化为: x ?1? 4 ? 2x ? 3 ? x ? x ? 0 又∵ 1<x ≤2,∴此时原不等式的解集为φ (3)当x>2时,原不等式化为 x ?1? 2x ? 4 ? 3 ? x ? x ? 4 综上所述,原不等式的解集为 ? x | x ? 1 或 x ? 4 ? . ? ?

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1



2



?

2

?

1/2

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4

四、练习 1. 解不等式2<|2x-5|≤7. 解:原不等式等价于
2<2x-5≤7,或- 7≤ 2x-5<-2
? 7 2 ? x ? 6,



?1 ? x ?

3 2

原不等式的解集为: {x|-1≤x<
3 2 或 7 2 ? x?6 }

-1
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3 2

7
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6

x

2

四、练习
2.解不等式 x ? 9 ? x ? 1 解:
x ? 9 ? x ?1

?

? x ? 9 ? ? ? x ? 1?
2

2

? x ? 5

1

5

9

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四、练习
3. 解不等式|x-3|-|x+1|<1 解:使两个绝对值分别为零的x的值依次为 x=3、x=-1, 将其在数轴上标出,将实数分为三个区间.依次考虑,原不 等式可以转化为下列不等式组.
?x≤-1 ?-1<x≤3 ?x>3 ? ? ? Ⅰ) ? Ⅱ) ? Ⅲ) ? ? ? ? ?-(x-3)+(x+1)<1 ?-(x-3)-(x+1)<1 ?(x-3)-(x+1)<1
I) 1 的解集为空集;Ⅱ)的解为 <x≤3;Ⅲ)的解为 x>3 2

1 综上所述,原不等式的解集为{x | x> }. 2

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-1



3



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基础练习: 解下列不等式: (1)|x|>5 (2)2|x|<5

{ x | x ? 5或x ? ?5}
{x | ? 5 2
{x | x ?

? x?
5

5 2

}
5

(3)|2x|>5
(4)|x-1|<5

或x ? ? } 2 2

{ x | ?4 ? x ? 6} { x | ?2 ? x ? 3}
{x | ? 1 2 ? x ? 1}

(5)|2x-1|<5
(6)|2x2-x|<1 (7)|2x-1|<1

{ x | x ? 1}

(4)|x-1|<5 -4
(5)|2x-1|<5 ? | x ?

1
1 2 |? 5 2

6

-2

1 2

3

巩固练习:
解下列不等式:
(1 ) | 1 4 ? x |? 1 2 (2) | x ? 2 3 |? 1 3

( 3 ) | 5 x ? 4 |? 6 ( 5 )1 ? | 3 x ? 4 |? 6
( 7 ) | 3 ? 2 |? 1
x

( 4 ) | 3 ? 2 x |? 7
( 6 ) | x ? 3 x |? 4
2

五、小结 (1)解含绝对值的不等式的关键是要去掉绝对 值的符号,其基本思想是把含绝对值的不等式转 为不含绝对值的不等式。 (2)零点分段法解含有多个绝对值的不等式。 ①
x1


x2



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