北仑中学 2016 学年第二学期高一年级期中考试数学试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 1．已知 A ? {x | x ? 3 x ? 2 ? 0}, B ? {?2,?1,0,1,2}, 则 A ? B 是=（
2
）
A． {?1,0} 2．数列
B． {0,1}
C． {1,2}
D． ? （ ）
5 9 3 7 ， ? ， ， ? ，…的一个通项公式为 2 8 4 16
2n ? 1 2n 2n ? 1 2n
A． an ? (?1) n ?
C． an ? (?1) n ?1 ?
2n ? 1 2n 2n ? 1 D． an ? (?1) n ?1 ? n 2
B． an ? (?1) n ? （ D．72 （ ） ）
3．等差数列{an}中，a2 + a8 =16，则{an}的前 9 项和为 A．56 B．96 C．80
an ? 2 ，则 a2015 ? 5 an ? 2 4
4．数列{an}满足 a1=0， an ?1 ?
A．0
B．
4 3
C．1
D．2 （ D．10 ）
5．已知 0 ? x ? 3 ，则 y ? x ? A．
16 的最小值为 x
C．20
25 3
B．16
?
6．一船沿北偏西 45 方向航行，正东有两个灯塔 A,B, AB ? 10 海里，航行半小时后，看见 一灯塔在船的南偏东 60 ，另一灯塔在船的南偏东 75 ，则这艘船的速度是每小时 （ ） B. 5 2 海里 C. 10 海里 D. 10 2 海里
? ?
A.5 海里
7．关于 x 的不等式 | x ? 1 | ? | x ? 3 |? a 2 ? 3a 的解集为非空数集，则实数 a 的取值范围是 （ ）
3 ? 17 3 ? 17 ?a? C． a ? 1 或 a ? 2 D． a ? 1 或 a ? 2 2 2 1? z 8．已知正数 x, y, z 满足 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ，则 s ? 的最小值为（ ） 2 xyz
A． 1 ? a ? 2 B．
1
A．3
B．
3( 3 ? 1) 2
C．4
D． 2( 2 ? 1)
二、填空题：本大题共 7 小题，前四题每空 3 分，后三题每空 4 分 9. △ABC 中， sin A : sin B : sin C ? 4 : 5 : 6, .则 a : b : c ? ______,
cos A : cos B : cos C ? _____
10．已知 m ? a ? 小关系为
2 1 (a ? 2) ， n ? 2 2 ? b (b ? 0) ，m 的最小值为：_______,则 m, n 之间的大 a?2
．
11．已知实数 x, y 满足 ?1 ? x ? y ? 4 且 2 ? x ? y ? 3 ，则不等式围成的区域面积为______,则
2 x ? 3 y 的取值范围是
．
12．等差数列{an}中， | a3 |?| a9 | ，公差 d ? 0 ，则使前 n 项和 Sn 取得最大值的正整数 n 的值 是 ,使前 n 项和 Sn>0 的正整数 n 的最大值是________.
13.正项数列{an}，a1=1，前 n 项和 Sn 满足
S n ? S n ?1 ? S n ?1 ? S n ? 2 S n ? S n ?1 (n ? 2) ，则 s n ? _____ .
x2 x3 ? 9 ,则 4 的最大值是_______. 14．设实数 x, y 满足 3 ? xy ? 8, 4 ? y y
2
15. 在非等腰直角△ABC 中，已知 C=90°，D 是 BC 的一个三等分点，若 cos∠BAD= 则 sin∠BAC=_________.
2 5 ， 5
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．函数 f ( x) ? x ? ax ? b, 已知不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | 1 ? x ? 3}.
2
（1）若不等式 f ( x) ? m 的解集是 R，求实数 m 的取值范围； （2）若 f ( x) ? mx 对任意的实数 x ? 2 都成立，求实数 m 的取值范围.
17．在三角形 ABC 中， sin(C ? A) ? 1, sin B ? (1)求 sin A, (2)设 AC ?
1 . 3
6 , 求△ABC 的面积.
2
18．数列{an}中，前 n 项和为 s n ,2 s n ? 3 ? 3 ， （1）求数列{an}通项公式 ； （2）若数列{bn}
n
满足 a n bn ? log 3 a n ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn .
19. 对于函数 f ( x) ，若存在区间 A ? [ m, n]( m ? n) ，使得 { y | y ? f ( x), x ? A} ? A ，则 称函数 f ( x) 为 “ 可等域函数 ” ，区间 A 为函数 f ( x) 的一个 “ 可等域区间 ” ．已知函数
f ( x) ? x 2 ? 2ax ? b(a, b ? R) .
（Ⅰ） 若 b ? 0，a ? 1 ， g ( x) ?| f ( x) | 是 “可等域函数” ， 求函数 g ( x) 的 “可等域区间” ； （Ⅱ）若区间 [1, a ? 1] 为 f ( x) 的“可等域区间” ，求 a 、 b 的值.
20．已知数列{ a n }的前 n 项和 s n 满足 （1）求数列{ a n }的通项公式；
1 Sn ? an ? 1 ， 2
（2）求证：数列{ a n }中的任意三项不可能成等差数列； （3）设 bn ?
an ， Tn 为{ bn }的前 n 项和，求证 Tn ? 3 . (an ? 1) 2
3
北仑中学 2016 学年第二学年高一期中考试数学参考答案 数学试题答案 一． 选择题 CDDB 二． 填空题 10. 4, m ? n 11. ABBC
9. 4:5:6 ,12:9:2
5 , ?3,8? 12. 5 或 6 ,11 2
13.
4n 2 ? 4n ? 1,
14.27 ,
15.
3 10 , 10
三．解答题 16.解：（1）解方程组得 a ? ?4, b ? 3; m m ? f ( x) min ? f ( 2) ? ?1, ……………….7 分
x 2 ? 4x ? 3 1 (2) m ? ? y. m ? y min ? ? ……………….14 分 x 2
17. (1)由已知得
? ? ? C ? A ? ? ,? C ? A ?
?2A ?
?
2
,C ? A ?
?
2
.
?
2
? B,? cos 2 A ? sin B,? sin A ?
3 3
...........................
........7 分 （2）AC= b ?
6 , cos A ?
6 a b 1 , ? , a ? 3 2 ,? S ? aab sin C ? 3 2 ...15 分 3 sin A sin B 2 3, n ? 1
n ?1
18.解
：
(1) a n ? {
3
, n ? 2, n ? N *
, (漏
掉
验
证
n=1,适
当
扣
分) ............................7 分
（2） b1 ?
1 n ?1 13 6n ? 3 , bn ? n ?1 (n ? 2) ， Tn ? ? ， （错位相减法， ）............15 分 3 12 4 ? 3 n 3
4
19. 解：（Ⅰ） b ? 0，a ? 1 ， g ( x) ?| x 2 ? 2 x | 是“可等域函数”
? g ( x) ?| x 2 ? 2 x | = | ( x ? 1) 2 ? 1|? 0 ，? n ? m ? 0
结合图象，由 g ( x) ? x 得 x ? 0,1,3 函数 g ( x) 的“可等域区间”为 [0,1],[0,3] 当 1 ? m ? n ? 2 时， g ( x) ? 1 ，不符合要求 （此区间没说明，扣 1 分）……………………7 分 （Ⅱ） f ( x) ? x ? 2ax ? b ? ( x ? a ) ? b ? a
2 2 2
O
x
因为区间 [1, a ? 1] 为 f ( x) 的“可等域区间，所以 a ? 1 ? 1 即 a ? 0 当 0 ? a ? 1 时，则 ?
f (1) ? 1 ?a ?1 得? ；…………………………10 分 ? f (a ? 1) ? a ? 1 ?b ? 2 ? f (a) ? 1 无解；………………………………12 分 ? f (a ? 1) ? a ? 1 ?
当 1 ? a ? 2 时，则 ?
? 3+ 5 a? ? f ( a ) ? 1 ? ? 2 .…………………………15 分 当 a ? 2 时，则 ? 得? ? f (1) ? a ? 1 ? 9+3 5 b? ? ? 2
20. 解：（1）
1 1 S n ? an ? 1(1) S n ?1 ? an ?1 ? 1(2) ， 2 2
(1) ? (2) 得
an ? 2(n ? 2) 又 a1 ? 2 an ?1
?{an } 为等比数列，首项为 2 ，公比为 2 ，? an ? 2n , n ? N * ……………..5
分 （2）假设 {an } 中存在三项 ar , as , at ( r ? s ? t ) 按某种顺序成等差数列
5
? an ? 2n 单增 ? ar ? as ? at ? 2as ? ar ? at 即 2 ? 2 s ? 2r ? 2t
同除以 2 得 2 ? 2
r s ?r
? 1 ? 2t ? r
? s ? r ? 1, t ? r ? 1 ? 左端为偶数，右端为奇数，矛盾
所 列 （3） bn ? 当 立 以 任 意 三 项 不 可 能 成 等 差 数
……………………9 分
2n (2n ? 1) 2
n ?1时
，
T1 ? b1 ? 2 ? 3 ，
不
等
式
成
………………………12 分
2n 2n 2n ?1 ? ? 当 n ? 2 时， bn ? n (2 ? 1)(2n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 2) (2n ? 1)(2n ?1 ? 1)
1 2 ?1 2 ?1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? 2 ? [( 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ??? ? ( n ?1 ? n )] 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 1 ? 2 ?1? n ? 3? n ?3 2 ?1 2 ?1 ?
n ?1
1
?
n
综 立
上
，
对
于
一
切
n? N* 有
Tn ? 3 成
…………………………15 分
6