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浙江省宁波市北仑中学2016_2017学年高一数学下学期期中试题201808290178


北仑中学 2016 学年第二学期高一年级期中考试数学试卷

一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 1.已知 A ? {x | x ? 3 x ? 2 ? 0}, B ? {?2,?1,0,1,2}, 则 A ? B 是=(
2



A. {?1,0} 2.数列

B. {0,1}

C. {1,2}

D. ? ( )

5 9 3 7 , ? , , ? ,…的一个通项公式为 2 8 4 16
2n ? 1 2n 2n ? 1 2n

A. an ? (?1) n ?

C. an ? (?1) n ?1 ?

2n ? 1 2n 2n ? 1 D. an ? (?1) n ?1 ? n 2
B. an ? (?1) n ? ( D.72 ( ) )

3.等差数列{an}中,a2 + a8 =16,则{an}的前 9 项和为 A.56 B.96 C.80
an ? 2 ,则 a2015 ? 5 an ? 2 4

4.数列{an}满足 a1=0, an ?1 ?

A.0

B.

4 3

C.1

D.2 ( D.10 )

5.已知 0 ? x ? 3 ,则 y ? x ? A.

16 的最小值为 x
C.20

25 3

B.16
?

6.一船沿北偏西 45 方向航行,正东有两个灯塔 A,B, AB ? 10 海里,航行半小时后,看见 一灯塔在船的南偏东 60 ,另一灯塔在船的南偏东 75 ,则这艘船的速度是每小时 ( ) B. 5 2 海里 C. 10 海里 D. 10 2 海里
? ?

A.5 海里

7.关于 x 的不等式 | x ? 1 | ? | x ? 3 |? a 2 ? 3a 的解集为非空数集,则实数 a 的取值范围是 ( )

3 ? 17 3 ? 17 ?a? C. a ? 1 或 a ? 2 D. a ? 1 或 a ? 2 2 2 1? z 8.已知正数 x, y, z 满足 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ,则 s ? 的最小值为( ) 2 xyz

A. 1 ? a ? 2 B.

1

A.3

B.

3( 3 ? 1) 2

C.4

D. 2( 2 ? 1)

二、填空题:本大题共 7 小题,前四题每空 3 分,后三题每空 4 分 9. △ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 4 : 5 : 6, .则 a : b : c ? ______,

cos A : cos B : cos C ? _____
10.已知 m ? a ? 小关系为
2 1 (a ? 2) , n ? 2 2 ? b (b ? 0) ,m 的最小值为:_______,则 m, n 之间的大 a?2



11.已知实数 x, y 满足 ?1 ? x ? y ? 4 且 2 ? x ? y ? 3 ,则不等式围成的区域面积为______,则
2 x ? 3 y 的取值范围是



12.等差数列{an}中, | a3 |?| a9 | ,公差 d ? 0 ,则使前 n 项和 Sn 取得最大值的正整数 n 的值 是 ,使前 n 项和 Sn>0 的正整数 n 的最大值是________.

13.正项数列{an},a1=1,前 n 项和 Sn 满足

S n ? S n ?1 ? S n ?1 ? S n ? 2 S n ? S n ?1 (n ? 2) ,则 s n ? _____ .

x2 x3 ? 9 ,则 4 的最大值是_______. 14.设实数 x, y 满足 3 ? xy ? 8, 4 ? y y
2

15. 在非等腰直角△ABC 中,已知 C=90°,D 是 BC 的一个三等分点,若 cos∠BAD= 则 sin∠BAC=_________.

2 5 , 5

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.函数 f ( x) ? x ? ax ? b, 已知不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | 1 ? x ? 3}.
2

(1)若不等式 f ( x) ? m 的解集是 R,求实数 m 的取值范围; (2)若 f ( x) ? mx 对任意的实数 x ? 2 都成立,求实数 m 的取值范围.

17.在三角形 ABC 中, sin(C ? A) ? 1, sin B ? (1)求 sin A, (2)设 AC ?

1 . 3

6 , 求△ABC 的面积.

2

18.数列{an}中,前 n 项和为 s n ,2 s n ? 3 ? 3 , (1)求数列{an}通项公式 ; (2)若数列{bn}
n

满足 a n bn ? log 3 a n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn .

19. 对于函数 f ( x) ,若存在区间 A ? [ m, n]( m ? n) ,使得 { y | y ? f ( x), x ? A} ? A ,则 称函数 f ( x) 为 “ 可等域函数 ” ,区间 A 为函数 f ( x) 的一个 “ 可等域区间 ” .已知函数

f ( x) ? x 2 ? 2ax ? b(a, b ? R) .
(Ⅰ) 若 b ? 0,a ? 1 , g ( x) ?| f ( x) | 是 “可等域函数” , 求函数 g ( x) 的 “可等域区间” ; (Ⅱ)若区间 [1, a ? 1] 为 f ( x) 的“可等域区间” ,求 a 、 b 的值.

20.已知数列{ a n }的前 n 项和 s n 满足 (1)求数列{ a n }的通项公式;

1 Sn ? an ? 1 , 2

(2)求证:数列{ a n }中的任意三项不可能成等差数列; (3)设 bn ?
an , Tn 为{ bn }的前 n 项和,求证 Tn ? 3 . (an ? 1) 2

3

北仑中学 2016 学年第二学年高一期中考试数学参考答案 数学试题答案 一. 选择题 CDDB 二. 填空题 10. 4, m ? n 11. ABBC

9. 4:5:6 ,12:9:2

5 , ?3,8? 12. 5 或 6 ,11 2

13.

4n 2 ? 4n ? 1,

14.27 ,

15.

3 10 , 10

三.解答题 16.解:(1)解方程组得 a ? ?4, b ? 3; m m ? f ( x) min ? f ( 2) ? ?1, ……………….7 分

x 2 ? 4x ? 3 1 (2) m ? ? y. m ? y min ? ? ……………….14 分 x 2
17. (1)由已知得

? ? ? C ? A ? ? ,? C ? A ?
?2A ?

?
2

,C ? A ?

?
2

.

?
2

? B,? cos 2 A ? sin B,? sin A ?

3 3

...........................

........7 分 (2)AC= b ?

6 , cos A ?

6 a b 1 , ? , a ? 3 2 ,? S ? aab sin C ? 3 2 ...15 分 3 sin A sin B 2 3, n ? 1
n ?1

18.解



(1) a n ? {

3

, n ? 2, n ? N *

, (漏







n=1,适





分) ............................7 分

(2) b1 ?

1 n ?1 13 6n ? 3 , bn ? n ?1 (n ? 2) , Tn ? ? , (错位相减法, )............15 分 3 12 4 ? 3 n 3

4

19. 解:(Ⅰ) b ? 0,a ? 1 , g ( x) ?| x 2 ? 2 x | 是“可等域函数”

? g ( x) ?| x 2 ? 2 x | = | ( x ? 1) 2 ? 1|? 0 ,? n ? m ? 0
结合图象,由 g ( x) ? x 得 x ? 0,1,3 函数 g ( x) 的“可等域区间”为 [0,1],[0,3] 当 1 ? m ? n ? 2 时, g ( x) ? 1 ,不符合要求 (此区间没说明,扣 1 分)……………………7 分 (Ⅱ) f ( x) ? x ? 2ax ? b ? ( x ? a ) ? b ? a
2 2 2

O

x

因为区间 [1, a ? 1] 为 f ( x) 的“可等域区间,所以 a ? 1 ? 1 即 a ? 0 当 0 ? a ? 1 时,则 ?

f (1) ? 1 ?a ?1 得? ;…………………………10 分 ? f (a ? 1) ? a ? 1 ?b ? 2 ? f (a) ? 1 无解;………………………………12 分 ? f (a ? 1) ? a ? 1 ?

当 1 ? a ? 2 时,则 ?

? 3+ 5 a? ? f ( a ) ? 1 ? ? 2 .…………………………15 分 当 a ? 2 时,则 ? 得? ? f (1) ? a ? 1 ? 9+3 5 b? ? ? 2
20. 解:(1)

1 1 S n ? an ? 1(1) S n ?1 ? an ?1 ? 1(2) , 2 2

(1) ? (2) 得

an ? 2(n ? 2) 又 a1 ? 2 an ?1

?{an } 为等比数列,首项为 2 ,公比为 2 ,? an ? 2n , n ? N * ……………..5
分 (2)假设 {an } 中存在三项 ar , as , at ( r ? s ? t ) 按某种顺序成等差数列
5

? an ? 2n 单增 ? ar ? as ? at ? 2as ? ar ? at 即 2 ? 2 s ? 2r ? 2t
同除以 2 得 2 ? 2
r s ?r

? 1 ? 2t ? r

? s ? r ? 1, t ? r ? 1 ? 左端为偶数,右端为奇数,矛盾
所 列 (3) bn ? 当 立 以 任 意 三 项 不 可 能 成 等 差 数

……………………9 分

2n (2n ? 1) 2

n ?1时



T1 ? b1 ? 2 ? 3 ,









………………………12 分

2n 2n 2n ?1 ? ? 当 n ? 2 时, bn ? n (2 ? 1)(2n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 2) (2n ? 1)(2n ?1 ? 1)
1 2 ?1 2 ?1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? 2 ? [( 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ??? ? ( n ?1 ? n )] 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 1 ? 2 ?1? n ? 3? n ?3 2 ?1 2 ?1 ?
n ?1

1

?

n

综 立













n? N* 有

Tn ? 3 成

…………………………15 分

6


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