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三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第三章导数及其应用第一节导数的概念与计算课件理


第三章

导数及其应用

第一节 导数的概念与计算

1.导数的概念 (1)平均变化率 一般地,函数 f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为

f? x2?-f? x1? . x2- x1

(2)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 ①定义: 设函数 y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若 Δx f? x0+Δx?-f? x0? Δy Δx 无限趋近于 0 时,此值Δx= 无限趋近 于一个常数 A,则称 f(x)在 x=x0 处 可导 ,并称该常数 A 为函数 f(x)在 x=x0 处的 导数 ,记作 f′(x0) .

②几何意义: 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x) 上点 (x0,f(x0)) 处的 切线的斜率 .相应地,切线方程为

y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) .
(3)函数 f(x)的导函数 若 f(x)对于区间(a, b)内任一点都可导, 则 f(x)在各点的导数 也随着自变量 x 的变化而变化,因而也是自变量 x 的函数, 该函数称为 f(x)的导函数.

2.基本初等函数的导数公式
x (sin x)′= cos x , (cos x)′= -sin x , (ax)′= a ln a , 1 1 x (ex)′= e ,(logax)= xln a ,(ln x)′= x .

3.导数的运算法则
g′(x) ; (1)[f(x)± g(x)]′= f′(x)±

(2)[f(x)· g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ; f′?x? g? x?-f? x? g′? x? ? f? x? ? 2 ? ? [ g ? x ? ] (3)? (g(x)≠ 0). ?′= g ? x ? ? ?

1.(教材习题改编)一次函数 f(x)=kx+b 在区间[m,n]上的 平均变化率为________.

解析:由题意得函数 f(x)=kx+b 在区间[m,n]上的平 f?n?-f?m? 均变化率为 =k. n-m 答案:k

2.(教材习题改编 )如图,函数 y= f(x)的图象 在点 P 处的切线方程是 y=- x+ 5, 则 f(3) = ________, f′ (3)= ________.

解析:由图知切点为(3,2),切线斜率为-1. 答案:2 -1

3. 设函数 f(x)在(0, +∞)内可导, 且 f(x)=x+ln x, 则 f′(1) =________.

解析:由 f(x)=x+ln x(x>0),知 f′(x)=1 1 +x,所以 f′(1)=2. 答案:2

4. (2015· 天津高考)已知函数 f(x)=axln x, x∈(0, +∞), 其中 a 为实数, f′(x)为 f(x)的导函数. 若 f′(1)=3, 则 a 的值为________.
? 解析:f′(x)=a?ln ?

1? ? x+x· x?=a(1+ln x).

由于 f′(1)=a(1+ln 1)=a,又 f′(1)=3,所以 a=3. 答案:3

1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止 与乘法公式混淆. 2. 求曲线切线时, 要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的 区别,前者只有一条,而后者包括了前者. 3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究 直线与二次曲线相切时有差别.

[小题纠偏] 1.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(e) +ln x,则 f′(e)=________.

解析: 对关系式 f(x)=2xf′(e)+ln x 两边求导, 得 f′(x) 1 1 =2f′(e)+x, 令 x=e, 得 f′(e)=2f′(e)+ , 所以 f′(e) e 1 =- . e 1 答案:- e

2.已知 f(x)=x2+3xf′(2),则 f(2)=________.

解析: 因为 f′(x) = 2x + 3f′(2) ,所以 f′(2) = 4 + 3f′(2), 所以 f′(2)=-2, 所以 f(x)=x2-6x, 所以 f(2) =22-6×2=-8. 答案:-8

3.已知定义在 R 上的函数 f(x)=ex+x2-x+sin x,则曲线 y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是________.

解析:令 x=0,得 f(0)=1.对 f(x)求导,得 f′(x)=ex +2x-1+cos x, 所以 f′(0)=1, 故曲线 y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为 y=x+1. 答案:y=x+1

考点一

导数的运算?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透]
求下列函数的导数. (1)y= x2sin x; 1 (2)y= ln x+ ; x cos x (3)y= x ; e 1 1 (4)y= + . 1- x 1+ x

解: (1)y′= (x2)′ sin x+ x2(sin x)′= 2xsin x+ x2cos x.
? (2)y′=?ln ? ?1 ? 1? 1 1 ? ? ? x+ ′= (ln x)′+ ′ = - 2. x? x x ?x ?

?cos x ? ? cos (3)y′=? x ?′= ? e ?

x?′ ex- cos x? ex?′ ? ex?2

sin x+ cos x =- . x e
? 2 ? 1 1 2 ? (4)∵ y= + = ,∴ y′=? ?1- x? ′ 1 - x 1- x 1+ x ? ?

- 2? 1- x?′ 2 = = 2 2. ? 1- x? ? 1- x?

[谨记通法]
求函数导数的 3 种原则

考点二

导数的几何意义?常考常新型考点——多角探明?
[命题分析 ]

导数的几何意义是每年高考的必考内容,考查题型既有填 空题,也常出现在解答题的第 (1)问中,难度偏小,属中低档题. 常见的命题角度有: (1)求切线方程; (2)求切点坐标; (3)求参数的值.

[题点全练 ] 角度一:求切线方程 1. (2016· 南通调研 )已知 f(x)= x3- 2x2+ x+ 6,则 f(x) 在点 P(- 1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面 积等于 ________.

解析: ∵f(x)= x3- 2x2+ x+ 6, ∴ f′ (x)= 3x2- 4x+ 1, ∴ f′ (- 1)= 8, 故切线方程为 y- 2= 8(x+ 1), 即 8x- y+ 10= 0, 5 令 x= 0,得 y= 10,令 y= 0,得 x=- , 4 1 5 25 ∴所求面积 S= × × 10= . 2 4 4 25 答案: 4

角度二:求切点坐标 2.若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1 =0,则点 P 的坐标是________.

1 解析: 由题意得 y′ =ln x+ x·= 1+ ln x 直线 2x- y+ 1= 0 的斜率为 2. 设 P(m, n),则 1+ ln m= 2, 解得 m= e, 所以 n= eln e= e, 即点 P 的坐标为 (e, e). 答案: (e, e)

x,

角度三:求参数的值 3. (2016· 南京外国语学校检测 )已知函数 f(x)=x4+ax2-bx, 且 f′(0)=-13,f′(-1)=-27,则 a+b=________.

解析: ∵f′ (x)= 4x3+ 2ax- b,
?f′?0?=- 13, ? 由? ? ?f′?- 1?=- 27 ?a= 5, ? ∴? ? ?b= 13, ?- b=- 13 ? ?? ? ?- 4- 2a- b=- 27,

∴ a+ b= 18. 答案: 18

[方法归纳 ] 导数几何意义的应用的 2 个注意点 (1)当曲线 y=f(x)在点 (x0, f(x0))处的切线垂直于 x 轴时, 函数在该点处的导数不存在,切线方程是 x= x0; (2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲 线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线方程是 y- f(x0)=f′(x0)(x - x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知 点在切线上求解.


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