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2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质作业 苏教版选修1-1


最新中小学教案、试题、试卷 2.2.2 椭圆的几何性质 [基础达标] 2 2 1.椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为________. y2 x2 ?1 ? 1 2 1 2 解析:把椭圆的方程化为标准形式 + =1? >1?,故 a = ,b =1,所以 a= ,b=1,2 m 1 1 m m ? ? 1 =4, m m 1 解得,m= ,符合题意. 4 1 答案: 4 2.已知椭圆的短半轴长为 1,离心率 e 满足 0<e≤ 解析:由 e = 2= 得 0< 2 3 ,则长轴的最大值是________. 2 c2 a2-b2 a2-1 = 2 , a a2 a a2-1 3 ≤ , a2 4 2 解得 1<a ≤4. 故 1<a≤2,2<2a≤4.即长轴的最大值是 4. 答案:4 3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是________. 2 2 2 解析:由题意知 2b=a+c,又 b =a -c , 2 2 2 2 ∴4(a -c )=a +c +2ac. 2 2 ∴3a -2ac-5c =0, 2 2 ∴5c +2ac-3a =0. 2 ∴5e +2e-3=0, 3 ∴e= 或 e=-1(舍去). 5 3 答案: 5 → → 4.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,满足MF1·MF2=0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围 是________. 解析:结合图形(图略),转化为 c<b. 2? ? 答案:?0, ? 2? ? x2 y2 5. 设 P 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点, F1, F2 是椭圆的两个焦点, 如果∠PF1F2=75°, ∠PF2F1=15°, a b 则椭圆的离心率是________. 解析:在 Rt△PF1F2 中,由正弦定理, = = =2c, sin 15° sin 75° sin 90° PF1+PF2 ∴ =2c. sin 15°+sin 75° 由椭圆的定义,知 PF1+PF2=2a. c 1 6 代入上式,有 e= = = . a sin 75°+sin 15° 3 得 答案: 6 3 1 PF1 PF2 F1F2 教案、试题、试卷中小学 最新中小学教案、试题、试卷 x y a b 个焦点,与 y 轴相交于 B、C 两点,若△ABC 是锐角三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是________. b2 A c π 2 c 解析:由题意得,圆半径 r= ,因为△ABC 是锐角三角形,所以 cos 0>cos = >cos ,即 < <1, a 2 r 4 2 r 2 ac 2 e 5-1? ? 6- 2 所以 < 2 2<1,即 < , ?. 2<1,解得 e∈? 2 a -c 2 1- e 2 2 ? ? 6.在平面直角坐标系 xOy 中,以椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的一点 A 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的一 答案:? 5-1? ? 6- 2 , ? 2 ? ? 2 2 2 7.已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在 x 轴上,短轴的一个顶点 B 与两个焦点 F1,F2 2π 组成的三角形的周长为 4+2 3,且∠F1BF2= ,求椭圆的标准方程. 3 π 3 解:设长轴长为 2a,焦距为 2c,则在△F2OB 中,由∠F2BO= 得:c= a,所以△F2BF1 的周长为 2a 3 2 +2c=2a+ 3a=4+2 3,∴a=2,c= 3,∴b =1;故所求椭圆的标准方程为 +y =1. 4 8.已知椭圆 C1: +y =1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4 (1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, → → OB=2OA,求直线 AB 的方程. 解:(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2+ =1(a>2), a 4 3 a -4 3 其离心率为 ,故 = ,则 a=4, 2 a 2 故椭圆 C2 的方程为 + =1. 16 4 → → (2)A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由OB=2OA及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不 在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. 将 y=kx 代入 +y =1 中,得(1+4k )x =4, 4 4 2 所以 xA= 2, 1+4k 将 y=kx 代入 + =1 中,得(4+k )x =16, 16 4 16 2 所以 xB= 2, 4+k 16 16 → → 2 2 又由OB=2OA,得 xB=4xA,即 2= 2, 4+k 1+4k 解得 k=±1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. [能力提升] 1.过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 5 4 的面积为________. 2 2 x2 2 x2 2 y2 x2 y2 x2 x2 2 2 2 y2 x2 2 2 x2 y2 x y ? ? + =1 x y 解析:椭圆 + =1 的右焦点 F2(1,0),故直线 AB 的方程 y=2(x-1),由? 5 4 5 4 ? ?y= x- 2 2 2 2 ,消去 y,整理得 3x2-5x=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),x1<x2, 教案、试题、试卷中小学 2 最新中小学教案、试题、试卷 5 ?5 4? 2 则 x1,x2 是方程 3x -5x=0 的两个实根,解得 x1=0,x2= ,故 A(0,-2),B? , ?, 3 ?3 3? 4? 1 ? 5 故 S△OAB=S△OFA+S△OFB= ×?|-2|+ ?×1= . 3? 2 ? 3 5 答案: 3 x2 y2 3a 2.设 F1、F2

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