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多角度联系


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数 学通 讯 — — 2 O 1 4年 第 1 1 、 1 2期( 上半月)  

?辅 教 导 学 ?  

点评  方 程对 任 意的  ∈ N  都成 立 , 这说 明  方 程具 有一 般性 , 本题 对 n取 特殊 值 , 然后 证 明所  求的 c 的值 对所 有 的  ∈ N   都成 立 , 体现 由一 般  到特殊, 再 由特 殊到 一般 的思 想.   结论  通 过 以上 的典 型例 题 的 分析 , 我们 可 

化 归思想 . 而 在这 转 化 过程 中通 常需 要 构造 函数 ,   构 造 函数 的类 型 主 要 有 两 类 : 一 是 不 带 参 数 的 的  函数 , 需要 分 离 参 数 ; 二 是 带 参 数 的 函数 , 需 要 分  类 讨论.   ( 2 ) 数 列 中方 程恒 成立 问题 的方法 .  

以将 数列 中 的不 等 式 、 方 程 恒 成 立 问题 的 一 般 方 
法 总 结如 下 :   ( 1 ) 数 列 中不 等式 恒成 立 问题 的方 法.   解 决 这类 问题 的基 本 方法 是 将 不 等 式恒 成 立  问题转 化 为 函数最值 问题 , 体 现 函数 思 想 、 转 化 与 

解决 这 类 问题 的基 本 方 法 主要 有 两 种 : 一 是  利 用多项 式 恒 等 , 二 是从特殊人 手, 再 作 一 般 证  明. 体现 从一 般 到特 殊 , 再 从特 殊到一 般 的思想 .  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 4— 0 9— 1 8)  

多 角度联系 , 细 品 出 真 味 
— — 一

道 2 0 1 4年 高考 数 学 题 的解 法 赏析 

庄   丰  
( 浙 江 省 玉环 中学 ,3 1 7 6 0 0 )  

题目   已知 实数 口 , b , c 满 足 口+ b +c= = : 0 , n  
+b 。 +c  一 1 , 则 a的 最 大 值 是  .  

这是 2 0 1 4 年 高考 数学浙 江卷 文科 第 1 6 题, 以  两个 简 洁优美 的方 程 给 出 条件 , 求 其 中一 个 变 量  的最 值 , 使 得 问题 静 中有 动 、 平 中见 奇 . 该 题 结 构  特征 明显 、 入 口较 宽 , 可 以从 多 个 角 度 思 考 求 解 ,  
细细 赏玩 , 感 觉厚 味十 足. 下 面本 人 就 此 题 的解 法 
一 一

由 n 。 + 6   + c 2 — 1  ̄ a b + b c + c a 一 一 号 .  
设 a b c— t , 则 口 , b , c 是方程 。 一( n +b +c ) x 。  
+ (   +  + c a) z一  c= = =0即 z 。 一  z一 £一 。  

的三个 根.  
设 - 厂 (  )=  3 一  1   一 £/(   ) =3 x 2 一   1, 令 


细述 , 以飨 读 者.  
角 度 一  方 程 视 角 .  

解 法 1   联 立 方 程 组 { 抖 a +   b  ̄ c  , 消 去  
f , 得到 2 Ⅱ   +2 6   +2 a b一 1 , 整 理得 2 6 。 +2 a b 十2 口 。  


厂( z ) 一。 得  一±   .   O 
—   I  

1— 0 , △一 4 a   一8 b   ( 2 a   一1 ) ≥0 , 解 得 一  ≤  

}   一  
/ 、 \  
图 l  

口≤  , 故 。的最 大值是  .  
解法 2   由 已知 易得 , b + c一一 口, b c— n  一 

_ 去 _ , 6 , c 是方程z 。 +a x +n   一告 一0 的两根, △一  
n2


所 以 f ( x ) 的 极 大 值 为 f ( - 譬 ) 一   1 8  
由 图 1知 , 当 极 大 值 点 在 z轴 上 时 , 即 £ 一 

4 ( a 2 -  1)≥ o


解 得 一  ≤ n ≤ 譬 , 故 口 的  

最 大值 是  .   解法3   将a +b +c 一 0两边 平方 后 , 得n 。 + 

时, 口取 得 最 大 值 . 此时 , , ( z ): ( z+  ) z ( z— 
O  

?

辅教 导学 ?  

数 学通 讯 —— 2 O 1 4年 第 1 l 、 1 2期 ( 上半月)  

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) , 故 。的最 大 值是  .  

) , 即 G( O,   1)
.  

解法 4   由b +c 一 2? ( 一÷口 ) , 一寺口 是b ,  
c 的等差中项 , 设公差为 d , 得b 一一 - 去 _ n —d , c 一  


设 B C 的 中 点 为 D ,由  
D( 一  1
口 ,  

一 2  

, 易 得 


~  



口 。 ) , 由题 意知 点 D在  > z 。 表 
a<  

了 / g< 示 的区域 内 ,   1一   1   n 。 >  1 “ z解 得 一 ,


妄口 +d , 将它代入到方程口 。 +b 。 +c   一1 , 化简  

可得要口 。 +2 d 。 =1 , 所以 鲁n 。 ≤1 , 故Ⅱ 的最大值 
是  .  

3, l 由求 解 的 过 程 可 知 , 当 B, c 两 点 重 合 时 a 一 

3  

的最 大值 是  .  
解法 9   建立 空 间 直 角 

点 评  解 法 1 、 解 法 2通过 消元 、 韦 达定 理 建 

立 一元 二次 方 程 , 再利用判别式求解 , 解 法 自然 ;   解 法 3通过 建 立三 次方 程 , 利 用导 数 工 具求 解 , 解 
法 大气 ; 解法 4另辟 蹊 径 , 构建 等 差 数列 简 化 方 程 

坐 标 系 0一 a b c , 则a +b +C 一   0表 示 空 间 的 一 个 平 面 , 且 n  


( 1 , 1 , 1 )是 它 的一 个 法 向   图2  

求解 , 解法 简 洁利 索.  
角度 二  不等 式 视角.  
解法 5   方 程整 理 为 b + C一一 a , b   +c  一 l  
~ a。


量, n   +b   +C   一 1 表示 以原 

点 0为球 心半 径为 1 的球 , 显  然, 球被平 面所 截 的 图形 是 一 个 大 圆 , 问题 转 化 为  求 这个 大 圆上点 的横坐 标 的最 大值.  
设  轴 与大 圆所 在 平 面所 成 的角 为 0 , 由于 a  

代 入不 等式 ( 6 十c )   ≤2 ( 6   +C   ) 得口   ≤2 ( 1  

一n z ) , 即a z ≤  , 故 n的最 大值 是  .  
解法 6   由a 。 +b 。 +C 。 =1 , 设 a— c o s   a , b—  

轴 的方向为 i n一 ( 1 , 0 , 0 ) , 则s i n   一1 _ _  
一   ,

s i n口 c o s  , C— s i n   a s i n  , 代入 a +b +C 一0 可得 ,  
s i n   a ? s i n  +s i n   a ? C O S  = = = — — C O S   a , 且 口 √ 2   1   s i n  I ?  

由 于  是 口轴 与平 面 上 直 线所 成 角 的最 小 
晒 

. )  

值, 因此 , n的最大 值为 1? c o s   0一   .   点评  根据 式 子 的结 构 特 征 “ 为 数 配形 ” , 解 

s i n ( 卢 + )一一C O S   a , 所 以√ 2   f   s i n   a   f ≥l   C O S   a   f , 两 
边平 方化 简 可得 C O S z  ≤  , 故 n的最 大值 是  .  
点评  解 法 5先 通 过分 离 变量 , 再 根 据式 子  法7 联系 到直线 与 圆的位 置关 系求 解 , 本 质 与解法  5相 同 ; 解法 8联 想 到 重心 坐 标 公 式 , 构 造 抛物 线  上 的点进行 求解 , 解 法 巧妙 ; 解 法 9利用 空 问平 面  与球 的知识 求解 , 对 空 间想 象 能 力要 求 较高 , 让我  们深 刻认识 到 问题 的本质 .  

结构 特 点 , 由柯 西不 等式 顺 利求 解 , 也可 以利用 不  等式 ( 6 +c ) 。≥ 4 b c求解 , 这都 需 要 熟悉 不 等 式 的 
相关 知识 ; 解法 6 抓住 式子 中的“ 1 ” , 联 系到 三角 函 

数, 通过 三 角换 元建 立三 角 不 等式 求 解 , 对 三 角 变 
换 的技 巧要 求 较高 .  
角 度 三  几何 视角 .   解法 7   方 程整 理为 b + c一一 a , 6   +C 。= 1  

通过 玩 赏这 道 问题 后 发现 , 看 似 平淡 的问题 ,  
其 实背后 暗藏 玄 机 , 只 有 多 角 度 的 联 系其 代 数 意  义 和几何 意义 , 并掌 握 相应 的方 法 与技 巧 , 才 能达 

到 运用 自如 的境界 . 本 题作 为 高 考 题 , 能 够考 查 学 
生 的数 学素 养 与 能力 , 确 实 是 一道 好 题 . 另外 , 作  为填空题 还 可 以“ 小 题 小做 ” , 读 者不 妨一试 .  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 4 一O 6 ~1 8 )  

一口   , 点( 6 , f ) 在 直线 6 +c 一一日 上, 又在圆b   十C  


1 一a 。上 , 问 题 转 化 为 直 线 与 圆有 交 点 , 可 得 
. 

L  ≤ 、 / , 工 _ = = = _  , 即a 2 ≤  2, 故。的最大值是 


/ 2  

解法 8   设 A( a , a   ) , B( b , b   ) , C ( c , C 。 ) , 则 A,  

B, C三点 都在 函 数 y— 。 的图象 上 , 当口 , b , C 互不  相 等 时, AA BC  的 重 心 为 G(   上 生 ,  


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