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辽宁省北票市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质3导学案无答案新人教B版选修1_1


同一天涛 涛涛涛 鹅鹅鹅
2.1.2 椭圆的几何性质(3)
一、 学习目标及学法指导 (1)进一步熟悉椭圆的定义,以及椭圆的方程 (2)掌握椭圆的有关性质 (3)通过找椭圆中 a,b,c 的关系求椭圆的离心率及取值范围 二、预习案 (一).复习椭圆的定义,标准方程和简单几何性质 (二).课前预习题 1、(1)若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该焦点到同侧长轴一端点距离的 3 倍,则椭 圆的离心率 e=__________
(2)若椭圆的长轴长不大于短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率 e ? __________
2、椭圆 x2 ? y2 ? 1上的点 M(1,n)到左焦点 F1 的距离 MF1=__________;到右焦点 F2 的距离 43
MF2=___________
3、若椭圆经过原点,且焦点为 F1 (1,0), F2 (3,0) ,求离心率;

三、课中案 ※ 典型例题

例 1: 设椭圆 x 2 ? y 2 b2 a2

? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 和 F2,P 为椭圆上任意一点,?F1PF2



同一天涛 涛涛涛 鹅鹅鹅

最大值为 2 ? ,求该椭圆的离心率。 3



2:已知

P

是以

F1

(?c,

0)



F2

(c,

0)

为左右焦点的椭圆

x b

2 2

?

y2 a2

? 1(a

? b ? 0) 上一点,满



a

?

c

,求椭圆离心率的取值范围

sin ?PF1F2 sin ?PF2F1



3:已知 F1 F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上的一点,∠ F1PF2

?

? 3

(I)求椭圆的离心率的范围

(II)求证:△ F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关

推广:设椭圆 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? b ? 0) 的焦点为 F1 与 F2 ,P 为该椭圆上的点,且 ?F1PF2 = 2?



求证: ?PF1F2 的面积 S ? b2 tan?

课堂练习:

同一天涛 涛涛涛 鹅鹅鹅

若椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 上存在一点

M,使 F1M

?

F2 M

,求椭圆的离心率的范围

例 4:(1) 已知点 A 的坐标为(1,1),F1 是椭圆
5x 2 ? 9 y 2 ? 45 的左焦点,点 P 是椭圆上的动点,

①求 PA ? PF1 最大值和最小值。

②求

PA ?

3 2

PF1

的最小值,并求点 P 的坐标

(2)设 F 是椭圆 x2 ? y 2 ? 1 的右焦点,定点
32 24 A (2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点 P 使 PA ? 2 PF 最小,求 P 点坐标及最小值.

四、课后案
1、椭圆方程 5x 2 ? ky2 ? 5 的一个焦点是(0,2)那么 k=

2、已知 F1, F2 是椭圆的焦点,过 F2 作椭圆长轴的

垂线交椭圆于点 P,若 ?F1PF2 为等腰三角形,则
椭圆的离心率为___________

3、

F1

,

F2

分别为椭圆

x a

2 2

?

y2 b2

? 1的左右焦点,

点 P 在椭圆上,△PO F2 是面积为 3 的正三角形,

同一天涛 涛涛涛 鹅鹅鹅
则b2 ? 4、设 F 是椭圆的一个焦点, B1B 是短轴, ?B1FB ? 600 ,则椭圆的离心率为_______
5、椭圆满足这样的光学性质:从椭圆的一个焦点 发射光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另 一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘,
满足方程: x 2 ? y 2 ? 1,点 A、B 是它的两个焦 16 9
点,当静止的小球放在点 A 处,从点 A 沿直线出 发,经椭圆壁反弹后,再回到点 A 时,小球经过 的最短路程是___________

6、已知椭圆 x2 ? y2 ? 1 (a ? b ? 0) ,A 为左顶 a2 b2

点,B 为短轴一顶点,F 为右焦点,且 AB ? BF ,

则此椭圆的离心率为____________

7、椭圆 x2 25

?

y2 9

? 1上的一点

M

到左焦点 F1 的距离为

2,N

是 MF1 的中点,则 ON 的长度为

____________

8、设椭圆 x 2 b2

?

y2 a2

? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 和 F2,椭圆上存在一点 P,使 ?F1PF2 为钝角,

求该椭圆的离心率的范围。

9、椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的两个焦点为 F1、F2,过 F1 4
作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为 P, 则 P 到 F2 的距离为__________

同一天涛 涛涛涛 鹅鹅鹅

10、已知点

A(?1,1)



F2

是椭圆

x2 16

?

y2 9

? 1的右焦点,点

P

是椭圆上的动点,

(1)求| PA | ? | PF2 | 得最大值和最小值;

(2)求| PA | ?

4 7

|

PF2

|

最小值,并求点

P

的坐标


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