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高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx+φ的图象二课件新人教A版必修4_图文


第一章 三角函数 §1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 学习目标 1.会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象. 2.能根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象,确定其解 析式. 3.了解y=Asin(ωx+φ)的图象的物理意义,能指 出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象 思考1 用“五点法”作y=sin x,x∈[0,2π]时,五个关键点的 横坐标依次取哪几个值? π 3π 答案 依次为 0,2,π, 2 ,2π. 答案 思考2 用“五点法”作y= Asin(ωx+φ)时,五个关键的横坐标取 答案 用“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)(x∈R)的简图,先令 t π 3π =ωx+φ,再由 t 取 0,2,π, 2 ,2π 即可得到所取五个关键点的 φ φ π φ π φ 3π φ 2π 横坐标依次为-ω,-ω+2ω,-ω+ω,-ω+2ω,-ω+ ω . 哪几个值? 答案 梳理 用“五点法”作y=Asin(ωx+φ) 的图象的步骤: 第一步:列表: ωx+φ 0 x y π 2 π 3π 2 2π φ π φ π φ 3π φ 2π φ -ω 2ω-ω ω-ω 2ω-ω ω -ω 0 A 0 -A 0 第二步:在同一坐标系中描出各点. 第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图象. 知识点二 函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0 的性质 名称 性质 R 定义域 值域 ___ [-A,A] _________ 周期性 对称性 对称轴 2π ω T= ?kπ-φ ? ?(k∈Z) 对称中心? , 0 ? ω ? π kπ-φ x=2ω+ ω (k∈Z) ____________________ 奇偶性 奇 当φ=kπ( k∈Z)时是 函数; 当πφ=kπ+ 偶 (k∈Z)时是 函数 2 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 知识点三 函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参数的 物理意义 A ωx+φ 2? ? ? 2? φ 题型探究 类型一 用“五点法”画y=Asin(ωx+φ) 的图象 1 π 例 1 利用五点法作出函数 y=3sin(2x-3)在一个周期内的草图. 解答 反思与感 悟 π 3π (1)用“五点法”作图时, 五点的确定, 应先令 ωx+φ 分别为 0, π,2 , 2, 2π,解出 x,从而确定这五点. (2)作给定区间上y=Asin(ωx+φ)的图象时,若x∈[m,n],则 应先求出 ωx + φ 的相应范围,在求出的范围内确定关键点, 再确定x,y的值,描点、连线并作出函数的图象. π π π 跟踪训练 1 已知 f(x)=1+ 2sin(2x-4),画出 f(x)在 x∈[-2,2]上的 图象. 解答 类型二 由图象求函数y=Asin(ωx+φ)的 解析式 例 2 如图是函数 ? π?? ? y=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?的图象,求 ? ? A, ω,φ 的值,并确定其函数解析式. 解答 反思与感 悟 若设所求解析式为y=Asin(ωx+φ),则在观察函数图象的基础 上,可按以下规律来确定A,ω,φ. (1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|. (2)由函数图象与x轴的交点确定T,由T= 2π |ω| ,确定ω. (3)确定函数y=Asin(ωx+φ)的初相φ的值的两种方法 ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω已知)或代入图 象与x轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区 间上) ? φ ? ? ? - , 0 ? ? ②五点对应法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的第一个 ω ? ? 零点 作为突破口.“五点”的ωx+φ的值具体如下: “第一点”(即图象上升时与x轴的交点 π )为ωx+φ=0; 2 φ= ; “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+ “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π; 3π “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+ 2 φ= “第五点”为ωx+φ=2π. ; 跟踪训练2 函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 ? π?? ? A.y=2sin?2x-6? ? ? ? π?? ? C.y=2sin?x+6? ? ? ? π?? ? B.y=2sin?2x-3? ? ? ? π?? ? D.y=2sin?x+3? ? ? 解析 ?π ? π?? ? ?? ? 由图可知,A=2,T=2?3-?-6??=π, ? ?? ? π π 所以 ω=2.由五点作图法可知 2×3+φ=2, ? π?? π ? 所以 φ=-6,所以函数的解析式为 y=2sin?2x-6?,故选 A. ? ? 解析 答案 π 类型三 函数y=Asin(ωx+φ,|φ|< 2 的应用 )性质 π π 例 3 已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2)的图象过点 P(12,0), π 图象上与 P 点最近的一个最高点的坐标为(3,5). (1)求函数解析式; T π π π π 解 ∵图象最高点的坐标为(3,5),∴A=5.∵4=3-12=4,∴T=π, π 2π 2π ∴ω= T =2,∴y=5sin(2x+φ). 代入点(3,5),得 sin( 3 +φ)=1, π π 2π π ∴ 3 +φ=2kπ+2,k∈Z. 令 k=0,则 φ=-6,∴y=5sin(2x-6). 解答 (2)指出函数的增区间; π π π 解 ∵函数的增区间满足 2kπ-2≤2x-6≤2kπ+2(k∈Z), π 2π ∴2kπ-3≤2x≤2kπ+ 3 (k∈Z),

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