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从高考试题看线性规划的学习与复习


从高考试题看线性规划的学习与复习 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成 熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。 在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中,提高经济效益 是人们不可缺少的要求,而提高经济效益一般通过两种途径:一是 技术方面的改进,例如改善生产工艺,使用新设备和新型原材料。 二是生产组织与计划的改进,即合理安排人力、物力资源,线性规 划所研究的是:在一定条件下,合理安排人力、物力等资源,使经 济效益达到最大。一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条件的 解叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、 约束条件、目标函数是线性规划的三要素。 高中阶段线性规划内容是新课标实施后新增加的内容,近年来成 为高考中的热点问题,其试题已从简单的求线性目标函数的最值、 平面区域的面积,转变为求非线性目标函数的最值、参数的范围, 现在更是出现了与向量、概率、不等式、函数相结合的新题型。下 面通过高考试题分析解读体会如何学习、复习该部分知识。 一 考题回顾 高考试题对线性规划内容的考查主要体现在以下三个方面: 第一,注重对基本题型的考查。 (1)已知线性约束条件,求目标 函数的最值问题。如 2012 年,山东理第 5 题。 (2)线性规划应用 题。如 2012 年,四川理第 9 题。 第二,体现对线性规划与其他知识相结合问题的考查。 (1)含有 参数的线性规划问题。如 2012 年,福建理第 9 题。 (2)与向量、 不等式、概率等知识相结合的线性规划问题。如 2011 年,湖北理 第 8 题;2009 年,山东理第 12 题;2012 年,北京理第 2 题。 第三,凸显对线性规划体现的“数学规划”思想方法的考查。典 型试题: (2012 年,江苏 14)已知正数 a,b,c 满 足:5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,则 的取值范围是 。 二 分析解读 1.关于线性规划基本题型 已知线性约束条件求目标函数的最值问题,线性规划应用题,属 于线性规划的最基本问题,是线性规划的简单应用,要求学生能够 熟练掌握可行域的画法,并能根据目标函数的变化情况,在可行域 内找到相应的最优解及最值。对于应用性问题还要求学生能够根据 题意,通过设置恰当的未知数将实际问题转化为线性规划的问题求 解。旨在考查学生对线性规划基本知识、基本问题的掌握,属于容 易题。 2.关于对线性规划与其他知识相结合的题型 它体现了线性规划的灵活应用,突出了对学生能力的考查,有一 定的综合性,其本质还是线性规划问题,解决方法仍然同基本问题 的方法类似。含参数的线性规划可在作可行域时先将约束条件中的 不含参数的不等式所表示的平面区域作出,然后再考虑含参数的不 等式,可以利用尝试的方法去研究。与向量、不等式、概率等知识 相结合的问题,从题目中容易看出其中包含的线性规划的“轮廓” 还是比较清晰的,结合相关知识的内容转化成线性规划的基本题型 不困难。 3.关于用“数学规划”思想求解问题的题型 这类问题从形式上可能看不出线性规划的“影子” ,其约束条件隐 蔽,需要进行适当的数学变形,变形后约束条件可能不是线性的, 其目标函数也未必是线性的,我们可以称之为“异化”的线性规划 问题。此类问题有一个共同特征:具备某些不等(或相等)关系的 限制条件, 求某个变量的范围或最值。 从下面的解答过程可见一斑。 解析:条件 5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc 可化为: 设

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