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北京大学2008年保送生和自主招生数学试题解答


北京大学 2008 年保送生和自主招生数学试题解答
这套题的难度还是相当大的, 这里的解答也不是我一个人做出来的,有我自己做 的, 有同学帮着做的, 也有网上的解答。 在网上我还没发现这套题目的完整解答, 所以我写了这篇 Blog,希望对众多有意考北大的人能够提供一些帮助。 1.证明:边长为 1 的正五边形的对角线长为(1+√5)/2 证明:经鉴定,这是一道初中数学题,我就不写详细的解答了,用相似三角形就 证出来了。 2. 已知一个六边形 AB1CA1BC1,AB1=AC1,CB1=CA1,BA1=BC1, ∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1。证明:三角形 ABC 面积为六边形的一半。 证明:如图,把三角形 AB1C 转至 AC1D 的位置,连接 BD,则很明显三角形 BDC1 与三角形 BA1C 全等,所以三角形 ABC 和三角形 ADB 全等,故三角形 ABC 面积为 六边形的一半。

3.已知实数 a1、a2、a3、b1、b2、b3 满足:a1+a2+a3 = b1+b2+b3, a1^2 + a2^2 + a3^2 = b1^2 + b2^2 + b3^2

且 min{a1, a2, a3}≤min{b1, b2, b3} 证明:max{a1, a2, a3}≤max{b1, b2, b3}。

证明:令 a1 a2 a3 为 y=x^3+px^2+qx^1+m 的三根 则 b1 b2 b3 可以是 y=x^3+px^2+qx^1+n 的三根(三次方程的韦达定理) 两曲线仅仅是上下平移的关系 显然当最小根左移时最大根也左移

4.排球单循坏赛 南方球队比北方球队多 9 支 南方球队总得分是北方球队的 9 倍 求证 冠军是一支南方球队(胜得 1 分 败得 0 分) 解:设北方球队共有 x 支,则南方球队有 x+9 支

所有球队总得分为

南方球队总得分为

北方球队总得分为

南方球队内部比赛总得分

北方球队内部比赛总得分

解得:

因为 x=6 或 x=8 当 x=6 时

为整数

所有球队总得分为

=210

南方球队总得分为

=189

北方球队总得分为

=21

南方球队内部比赛总得分

=105

北方球队内部比赛总得分 北方胜南方得分=21-15=6 北方球队最高得分=5+6=11

=15

因为 11×15=165<189 所以南方球队中至少有一支得分超过 11 分. 冠军在南方球队中 当 x=8 时

所有球队总得分为

=300

南方球队总得分为

=270

北方球队总得分为

=30

南方球队内部比赛总得分

=136

北方球队内部比赛总得分 北方胜南方得分=30-28=2 北方球队最高得分=7+2=9 因为 9×17=153<270

=28

所以南方球队中至少有一支得分超过 9 分. 冠军在南方球队中 综上所述,冠军是一支南方球队 5. 立体直角坐标系 xyz,在 xy 平面上有图形 0<=y<=2-x^2,将此图形绕 y 轴旋 转得到一个不透光的几何体 V。在点 P(1,0,1)处有一点光源,xy 平面上有一以 原点为圆心的圆,此圆的圆周上被照亮的部分长度为 2π ,求未被照亮的部分的 长度。 这道题目前我还不会做,我认识的人也都不会做,在网上也没有找到答案,希望 会做的网友能够提供牛解...

2009 年北京大学保送生、自主招生考试试题及答案(Eagle Fantasy 的回忆)
时间:1 月 1 日上午 8:30~12:00 语文数学英语,下午 2:00~4:00 物理化 学。

语文:(个人觉得比较变态,可能是因为本身语文学得不怎么样)
1.写出两个对成语望文生义的例子 2.改病句 3.对对联:博雅塔前人博雅(注:博雅塔为北大校园内一建筑) 4.古文:一大段古文,没有断句,要求全文翻译(花了我好长时间...) 书杜袭喻繁钦语后[1]·(清)林纾 吴人之归,有绮其衣者[2],衣数十袭[3],届时而易之。而特居于盗乡,盗涎而 妇弗觉[4],犹日炫其华绣于丛莽之下[5],盗遂杀而取之。盗不足论,而吾甚怪 此妇知绮其衣,而不知所以置其身。夫使托身于荐绅之家[6],健者门焉,严扃 深居,盗乌得取?唯其濒盗居而复炫其装[7],此其所以死耳。天下有才之士, 不犹吴妇之绮其衣乎?托非其人,则与盗邻,盗贪利而耆杀[8],故炫能于乱邦, 匪有全者。杜袭喻繁钦曰:“子若见能不已[9],非吾徒也。”钦卒用其言,以 免于刘表之祸[10]。呜呼!袭可谓善藏矣,钦亦可谓善听矣。不尔,吾未见其不 为吴妇也。(原文没有标点没有断句) 5.现代文阅读:鲁迅的文章《求乞者》,问了一大堆词的象征意义,问了鲁迅的 人生观、行文特点等等 求乞者 我顺着剥落的高墙走路,踏着松的灰土。另外有几个人,各自走路。微风起来, 露在墙头的高树的枝条带着还未干枯的叶子在我头上摇动。 微风起来,四面都是灰土。 一个孩子向我求乞,也穿着夹衣,也不见得悲戚,近于儿戏;我烦腻他这追着哀 呼。 我走路。另外有几个人各自走路。微风起来,四面都是灰土。 一个孩子向我求乞,也穿着夹衣,也不见得悲戚,但是哑的,摊开手,装着手势。 我就憎恶他这手势。而且,他或者并不哑,这不过是一种求乞的法子。 我不布施,我无布施心,我但居布施者之上,给与烦腻,疑心,憎恶。 我顺着倒败的泥墙走路,断砖叠在墙缺口,墙里面没有什么。微风起来,送秋寒 穿透我的夹衣;四面都是灰土。 我想着我将用什么方法求乞:发声,用怎样声调?装哑,用怎样手势???

另外有几个人各自走路。 我将得不到布施,得不到布施心;我将得到自居于布施之上者的烦腻,疑心,憎 恶。 我将用无所为和沉默求乞!?? 我至少将得到虚无。 微风起来,四面都是灰土。另外有几个人各自走路。 灰土,灰土,?? ???????? 灰土?? 6.作文:有一种观点“腐败无害论”,认为腐败是人的本性、可以刺激消费、增 进感情、无碍和谐社会,请写一篇文章驳斥这种观点,要求至少正确引用古代诗 文 5 处,800 字左右。

数学:(比去年简单了)
1.圆内接四边形 ABCD,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求四边形 ABCD 的外接圆半径。 Eagle Fantasy 的思路:连结 AC,在连个三角形内用余弦定理求出边角,再用正 弦定理球三角形外接圆半径, 即四边形的外接圆半径。答案貌似是(√2310)/24. 2.正等差数列,29,41,57 都是其中的项,求证 2009 也是等差数列的某一项。 Eagle Fantasy 的思路:公差 d 一定是 4 除以某个正整数,而 2009-57 是 4 的倍 数...(貌似证得太简单了,可能另有玄机吧.) 3.是否存在实数 x 使得 tan x+√3 和 cot x+√3 都是有理数。 Eagle Fantasy 的思路:先假设存在 x 是他们都是有理数设为 p,q,然后把√3 移过去,两式相乘消掉 x,整理发现 p+q=0 必须成立,由此解出 p、q,发现都不 是有理数,矛盾了,所以不存在这样的 x. 4.a*cos x +b*cos 2x>=-1 恒成立,求 a+b 的最大值。 Eagle Fantasy 没有做出来...期待牛解... 5.有 333 人考试,一共作对了 1000 道题,做对<=3 道为不及格,做对>=6 道为优 秀,不是所有人答对的题的数量的奇偶性都相同,问不及格的多还是优秀的多。 Eagle Fantasy 的思路:答案貌似是不及格的多,反证法,当时证的就很混乱, 最后居然还真找到矛盾了,就证出来了,但是现在捋不清楚了...

英语:(一般难度,就是生词多了点儿)
20 个单选,其中十多个是考的词义辨析,好多次我不认识....两篇阅读(10 道 题),还有 4 道英译汉,3 道汉译英。

物理:(貌似挺难的,我做了 1 个多小时,没学过竞赛的估计不会好受)
1.浮力的题,受力平衡、牛顿第二定律,很简单。 2.运动学+动量,慢慢做也很简单。 3.碰撞问题,动量+能量,第一问背公式就可以了,没背过就要解一个挺麻烦的 方程,第二问慢慢算,有耐心算到底应该就 ok 了。 4.热学,送分题 5.有 4 个无限大平板,上面带电,问接地后电荷流走了多少,问电势最低的板电 势为多少。经典竞赛题。 6.日字形的电阻,每个边为 R,求总电阻。经典竞赛题。 7.He 离子激发什么的,原子物理题,经典竞赛题,但是太麻烦了,我当时就懒 得做了(不让用计算器不习惯啊!)。

化学:(我化学学得太烂了,好多不会的...)
貌似五六道填空题,七八道解答题,题太多回忆不起来了... 转帖请注明出处 http://www.eaglefantasy.com/archives/342


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