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宁夏银川一中2015届高三第一次模拟考试数学【文】试题及答案


绝密★启用前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试









(银川一中第一次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选考题, 其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试 卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、 准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择 题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 参考公式:S 圆台侧面积= ? ( r ? R) L

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合 A ? x x ? a , B ? x 1 ? x ? 2 ,且 A ? ?C R B ? ? R ,则实数 a 的取值范围是 A. a ? 1 2.复数 B. a ? 1 C. a ? 2 D. a ? 2

?

?

?

?

2i 所对应的点位于复平面内 2?i
文科数学试卷 第 1 页(共 6 页) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

3.已知等差数列 {an } 的公差为 d (d ? 0) ,且 a3 ? a6 ? a10 ? a13 ? 32 ,若 am ? 8 ,则 m 的值为 A.8 B.12 C.6 D.4

4.下列命题中为真命题的是 A.若 x ? 0, 则x ?

1 ?2 x
2

B.命题:若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1 的逆否命题为:若 x ? 1 且 x ? ?1 ,则 x C.“ a ? 1 ”是“直线 x ? ay ? 0 与直线 x ? ay ? 0 互相垂直”的充要条件 D.若命题 P : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ? P : ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 5.设 x ? 0 ,且 1 ? b x ? a x ,则 A. 0 ? b ? a ? 1 B. 0 ? a ? b ? 1
2

?1

C. 1 ? b ? a

D. 1 ? a ? b

6.设 M ? x0 , y0 ? 为抛物线 C : y ? 8x 上一点, F 为抛物线 C 的焦点,若以 F 为圆心,

FM 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 x0 的取值范围是
A. (2 , ? ?) C. (0 , 2) B. (4 , ? ?) D. (0 , 4) i=12 s=1 DO s = s*i i = i-1 LOOP UNTIL 条 件 PRINT s END
(第 7 题)程序

7.如果下面的程序执行后输出的结果是 11880 ,那么在程序 UNTIL 后面的条件应为 A. i ? 10 B. i ? 10 C. i ? 9 D. i ? 9 8.若 k ? ?? 2,2? ,则 k 的值使得过 A(1,1) 可以做两条直线与圆

5 x 2 ? y 2 ? kx ? 2 y ? k ? 0 相切的概率等于 4
A.

1 4

B.

1 2

C.

3 4

D.不确定

9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的 表面积为 A. 36? B. 8π C. 9 ?
2

D. 27 ?
8

10.设 m, n 为空间两条不同的直线, ? , ? 为空间两个不同的平面,给出下列命题: ①若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? ; ②若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? ; ③若 m // ? , m // n 则 n // ? ; 其中的正确命题序号是 A.③④ B.①② C.②④ D. ①③ ④若 m ? ? , ? // ? ,则 m ? ? .

) (其中 A ? 0,| ? | ? 11.函数 f (x) ? A sin( ?x ? ?

?
2

)的图象如图所示,为了得到 g (x) ? cos2 x 的

图象,则只要将 f ( x ) 的图象 A.向右平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向左平移

? 个单位长度 6
? 个单位长度 12

? 个单位长度 6
? 个单位长度 12
? x ? [ x], x ? 0 , 其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,如 [ ?1.2] =-2, [1.2] =1 , ? f ( x ? 1), x ? 0

12.设函数 f ( x) ? ?

[1] =1,若直线 y ? kx ? k (k ? 0) 与函数 y= f ( x) 的图象恰有三个不同的交点,则 k 的取值范围
是 A. ( , ]

1 1 4 3

B. (0, ]

1 4

C. [ , ]

1 1 4 3

D. [ , )

1 1 4 3

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

?x ? y ?1 ? 0 ? 13.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( a 为常数)所表示平面区域的面积等于 2, ?ax ? y ? 1 ? 0 ?
则 a 的值 . 14.等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S1 , S 3 , S 2 成等差数列,则 {an } 的公比

q?

. 文科数学试卷

第 3 页(共 6 页)

15 . 若 等 腰 梯 形 ABCD 中 , AB // CD , AB ? 3 , BC ? 2 , ?ABC ? 45 , 则 AC ? BD 的 值 为 ________. 16.已知函数 f ( x) ? e ? mx ? 1 的图像为曲线 C ,若曲线 C 存在与直线 y ? ex 垂直的切线,则实
x

数 m 的取值范围为

.

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,

3 sin C cos C ? cos 2 C ?
(1)求角 C ;

1 ,且 c ? 3 2

(2)若向量 m ? (1, sin A) 与 n ? (2, sin B) 共线,求 a 、 b 的值.

18. (本小题满分 12 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ADC ? 90? , CD / / AB , AD ? CD ?

1 AB ? 2 , 点 E 为 AC 中点. 2

将 ?ADC 沿 AC 折起, 使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示. (1)在 CD 上找一点 F ,使 AD / / 平面 EFB ; (2)求点 C 到平面 ABD 的距离. D E E A 图1 B A 图2 B C C D

19. (本小题满分 12 分) 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录 了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料: 日 期 1 月 10 日 10 22 2 月 10 日 11 25 3 月 10 日 13 29 4 月 10 日 12 26 5 月 10 日 8 16 6 月 10 日 6 12

昼夜温差 x(° C) 就诊人数 y(个)

该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性回归方程, 再用被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率; (2)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程

y ? bx ? a ;

(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为得到的线 性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?

(参考公式: b ?

? xi yi ? nx y
i ?1 n

n

?x
i ?1

2

i

? nx

2

?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

, a ? y ? bx )

2

20. (本小题满分 12 分) 已知 A(-2,0) ,B(2,0)为椭圆 C 的左、右顶点,F 为其右焦点,P 是椭圆 C 上异于 A,B 的动点,△APB 面积的最大值为 2 3 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 AP 的倾斜角为

3? ,且与椭圆在点 B 处的切线交于点 D,试判断以 BD 为直径的圆 4

与直线 PF 的位置关系,并加以证明.

21. (本小题满分 12 分) 文科数学试卷 设 a∈R,函数 f(x)=lnx-ax.

第 5 页(共 6 页)

(1)讨论函数 f(x)的单调区间和极值; (2)已知 x1 ? e (e 为自然对数的底数)和 x2 是函数 f(x)的两个不同的零点,求 a 的值并证明: x2>e .
3 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号方 框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进 行评分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,圆 O 的直径 AB ? 10 , P 是 AB 延长线上一点, BP ? 2 , 割线 PCD 交圆 O 于点 C , D ,过点 P 作 AP 的垂线,交直线 AC 于 点 E ,交直线 AD 于点 F . (I)求证: ?PEC ? ?PDF ;

(II)求 PE ? PF 的值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程.

1 ? ?x ? 1 ? 2 t, ? x ? cos ? , ? 已知直线 ? : ? (t 为参数), 曲线 C1 : ? ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ?
(I)设 ? 与 C1 相交于 A, B 两点,求 | AB | ; (II)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

( ? 为参数).

3 1 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 C2 ,设 2 2

点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 ? 的距离的最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 设不等式 | 2 x ? 1 |? 1的解集是 M , a, b ? M . (I)试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小;
2 2 ? 2 ? ? 2 a ?b (II)设 max 表示数集 A 的最大数. h ? max? , , ? ,求证: h ? 2 . ? ab b ? ? a

银川一中 2014 届高三第一次模拟数学(文科)试卷参考答案
一、选择题: 题号 1 C 答案 二、填空题: 13. 3 2 B 3 A 4 B 5 C 6 A 7 D 8 A 9 B 10 C 11 D 12 D

14. ?

1 2

15. -3 16. ( ,??)

1 e

三、解答题:
2 17.【解析】 (1)? 3 sin C cos C ? cos C ?

1 2

?

3 1 ? sin 2C ? cos 2C ? 1,即 sin(2C ? ) ? 1 ,? 0 ? C ? ? , 6 2 2 ? ? ? ……6 分 ?2C ? ? ,解得 C ? 6 2 3 (2)? m与n 共线,? sin B ? 2 sin A ? 0 。 a b ? 由正弦定理 ,得 b ? 2a ,①……8 分 sin A sin B

? c ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos
联立方程①②,得 ?

?
3

,②

? ?a ? 3

? ?b ? 2 3 18. (1) 取 CD 的中点 F ,连结 EF , BF ----2 分 在 ?ACD 中, E , F 分别为 AC , DC 的中点 ? EF 为 ?ACD 的中位线 ? AD / / EF EF ? 平面 EFB AD ? 平面 EFB ? AD / / 平面 EFB
(2) 设点 C 到平面 ABD 的距离为 h

……12 分

D F -----6 分 E A B C

? 平面ADC ? 平面ABC, 且BC ? AC ? BC ? 平面 ADC ? BC ? AD 而 AD ? DC
?
? ?

AD ? 平面BCD S ?ADB ? 2 3

即 AD

? BD

三棱锥 B ? ACD 的高 BC ? 2 2 , S ?ACD ? 2

1 1 ?VB? ACD ? VC ? ADB 即 ? 2 ? 2 2 ? ? 2 3 ? h 3 3 2 6 1 1 ------12 分 ? 2 2h ? ? 2 ? 2 2 ? ? h? 3 3 3
19.(Ⅰ)设抽到相邻两个月的数据为事件 A.因为从 6 组数据中选 取 2 组数据共有 15 种情况,每种情况都是等可能出现的 …………………(2 分) 其中,抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种 (Ⅱ)由数据求得 x ? 11, y ? 24 由公式求得 b ? 所以 P(A) ?

5 1 ? 15 3

…………………(4 分)

18 7
30 7 18 30 x? 7 7
…………………………… (8 分)

再由 a ? y ? bx ? ?

所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y ?

150 , 7 78 同样, 当 x ? 6 时, y ? , 7
(Ⅲ)当 x ? 10 时, y ?

|

150 ? 22 |? 2 ; 7 78 | ? 14 |? 2 7
……………………………………(12 分)

所以,该小组所得线性回归方程是理想的. 20. 解:

(Ⅰ)由题意可设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , F (c, 0) . a 2 b2

?1 ? ? 2a ? b ? 2 3 , 解得 b ? 3 . ………2 分 由题意知 ? 2 ? a ? 2 ? x2 y 2 ………4 分 故椭圆 C 的方程为 ? ? 1. 4 3 (Ⅱ)以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 证明如下:由题意可知, c ? 1 , F (1, 0) ,直线 AP 的方程为 y ? ? x ? 2 . 则点 D 坐标为 (2, -4) , BD 中点 E 的坐标为 (2, -2) ,圆的半径 r ? 2 ………6 分 ? y ? ?x ? 2 ? 由 ? x2 y 2 得 7 x 2 ? 16 x ? 4 ? 0 . ? ? 1 ? 3 ?4 2 ? x0 ? ? ? ? 7 ………8 分 设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 ? ? y ? ? 12 0 ? 7 ? 4 因为点 F 坐标为 (1, 0) ,直线 PF 的斜率为 ,直线 PF 的方程为: 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 3 8?6?4 ………10 分 点 E 到直线 PF 的距离 d ? ? 2. 5 ………12 分 所以 d ? r . 故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.
21.解: (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞). 1-ax 1 求导数,得 f ′(x)=x-a= x . ①若 a≤0,则 f ′(x)>0,f(x)是(0,+∞)上的增函数,无极值; 1 ②若 a>0,令 f ′(x)=0,得 x= . a 1 1 当 x∈(0,a)时,f ′(x)>0,f(x)是增函数; 当 x∈(a,+∞)时,f ′(x)<0,f(x)是减函数. 1 1 1 所以当 x=a 时,f(x)有极大值,极大值为 f(a)=lna-1=-lna-1. 1 综上所述,当 a≤0 时,f(x)的递增区间为(0,+∞) ,无极值;当 a>0 时,f(x)的递增区间为(0,a) , 1 递减区间为( ,+∞) ,极大值为-lna-1.…(6 分) a (2)因为 x1= e是函数 f(x)的零点, 所以 f(x)=lnx-

1 e 1 所以 f ( e )=0,即 -a e =0,解得 a= . = 2 2 e 2e
3 2 5
2

1 2 e

x.

3 e 5 e 因为 f(e )= - >0,f(e 2 )= - <0,所以 f(e 2 )f(e 2 )<0. 2 2 2 2
5 3

3

5

由(1)知,函数 f(x)在(2 e ,+∞)上单调递减,
3

所以函数 f(x)在区间(e 2 ,e 2 )上有唯一零点,

因此 x2>e 2 .…………………(12 分)

22.解法 1:(I)连接 BC ,则 ?ACB ? ?APE ? 90 ,
?

即 B 、 P 、 E 、 C 四点共圆. ∴ ?PEC ? ?CBA 又 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆,∴ ?CBA ? ?PDF ∴ ?PEC ? ?PDF ∵ ?PEC ? ?PDF , ∴ F 、 E 、 C 、 D 四点共圆, ∴ PE ? PF ? PC ? PD ,又 PC ? PD ? PB ? PA ? 2 ? (2 ? 10) ? 24 ,

PE ? PF ? 24 . ………………10 分 解法 2:(I)连接 BD ,则 BD ? AD ,又 EP ? AP
∴ ?PDF ? ?PDB ? ?PEA ? ?EAP ? 90 ,
?

?PEC ? ?PDF ?PDB ? ?EAP ,∴ (II)∵ ?PEC ? ?PDF , ?EPC ? ?DPF ,


PC PE ? PD , ∴ ?PEC ∽ ?PDF ,∴ PF 即 PE ? PF ? PC ? PD , 又∵ PC ? PD ? PB ? PA ? 2(2 ? 10) ? 24,
∴ PE ? PF ? 24 ………………10 分 23.解.(I) ? 的普通方程为 y ? 联立方程组

3 ( x ? 1), C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1.

? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1), 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) , B ( ,? ), ? 2 2 2 2 ? ? x ? y ? 1,

则 | AB |? 1 . ………………5 分

1 ? x ? cos ? , ? 1 3 ? 2 (II) C2 的参数方程为 ? sin ? ) ,从而点 P (? 为参数).故点 P 的坐标是 ( cos ? , 2 2 ? y ? 3 sin ? . ? 2 ? 到直线 ? 的距离是 3 3 | cos? ? sin ? ? 3 | 3 ? 2 2 d? ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] , 2 4 4 6 ? 由此当 sin(? ? ) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 ( 2 ? 1) .…………10 分 4 4 24.解:由 | 2 x ?1|? 1得 ?1 ? 2 x ?1 ? 1, 解得0 ? x ? 1. 所以 M ? {x | 0 ? x ? 1}. (I) 由 a, b ? M ,得 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1, 所以 (ab ? 1) ? (a ? b) ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0. 故 ab ? 1 ? a ? b. ………………5 分

? 2 a2 ? b2 2 2 2 a2 ? b2 ,h? (II)由 h ? max? ,h ? , , , } ,得 h ? a b ab ab b ? a 2 a2 ? b2 2 4(a 2 ? b 2 ) 所以 h 3 ? 故 h ? 2 .………………10 分 ? ? ? ?8 ab a ab b
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