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江西省新余市2015-2016学年高一(下)期末数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年江西省新余市高一(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.cos330°=( ) A. B. C. D.

2.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一 组样本数据(xi,yi) (i=1,2,…,n) ,用最小二乘法建立的回归方程 =0.85x﹣85.71,则 下列结论中不正确的是( ) A.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg B.回归直线过样本的中心( , ) C.y 与 x 具有正的线性相关关系 D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg 3.向量 、 的夹角为 60°,且 A.1 B. C. D.2 ,则 f(﹣10)的值是( ) , ,则 等于( )

4.已知函数 f(x)=

A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 5.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2:3:5,现用分层抽 样方法抽出一个容量为 n 的样本, 样本中 A 种型号产品有 16 件. 那么此样本的容量 n= ( ) A.60 B.70 C.80 D.90 6.茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则乙的平 均成绩超过甲的平均成绩的概率为( )

A.

B.

C.

D. )

7.在△ABC 中,若 tanAtanB=tanA+tanB+1,则 cosC=( A. B. C. D.

8.如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执 行该程序框图,若输入 a,b,i 的值分别为 6,8,0,则输出 a 和 i 的值分别为( )

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A.0,3 B.0,4 C.2,3 D.2,4 9.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD=1,点 E、F、G 分别是 DD1、 AB、CC1 的中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成角的余弦值是( )

A.

B.

C.

D.0

10.一位同学家里订了一份报纸,送报人每天都在在早上 5:20~6:40 之间将报纸送达, 该同学的爸爸需要早上 6:00~7:00 之间出发去上班,则这位同学的爸爸在离开家前能拿 到报纸的概率是( A. B. C. ) D.

11. 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示, 它是由 4 个相同的直角三角形与中间的小 正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为 θ,大正方形的面积是 1,小正方 形的面积是 ,则 sin2θ﹣cos2θ 的值等于( )

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A.1

B.﹣

C.

D.﹣ = , = , =x

12. AD=2DB, AE=3EC, CD 与 BE 交于 F, 如图, 在△ABC 中, 设 +y ,则(x,y)为( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 2) 3) 设向量 = (1, ,= (2, , 若向量 λ + 与向量 = (﹣4, ﹣7) 共线, 则 λ= . 14.将函数 f(x)= sinx﹣cosx 的图象向左平移 m 个单位(m>0) ,若所得图象对应的函 数为偶函数,则 m 的最小值是 . 15.已知 f(x)= 16.已知下列命题: ①函数 y=sin(﹣2x+ )的单调增区间是[﹣kπ﹣ ,﹣kπ+ ](k∈Z) . +ax+cos2x 若 f( )=2,则 f(﹣ )= .

②要得到函数 y=cos(x﹣

)的图象,需把函数 y=sinx 的图象上所有点向左平行移动

个单位长度. ③已知函数 f(x)=2cos2x﹣2acosx+3,当 a≤﹣2 时,函数 f(x)的最小值为 g(a)=5+2a. ④已知角 A、B、C 是锐角△ABC 的三个内角,则点 P(sinA﹣cosB,cosA﹣sinC)在第四 象限. 其中正确命题的序号是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 7 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤) 17.已知 sinθ、cosθ 是方程 x2﹣( ﹣1)x+m=0 的两根. (1)求 m 的值; (2)求 + 的值.

18.已知 =(1,1) , =(3,4) , (1)若 k + 与 k ﹣ 垂直,求 k 的值; (2)若|k +2 |=10,求 k 的值. 19.某学校为倡导全体学生为特困学生捐款,举行“一元钱,一片心,诚信用水”活动,学生 在购水处每领取一瓶矿泉水, 便自觉向捐款箱中至少投入一元钱. 现统计了连续 5 天的售出 和收益情况,如表: 售出水量 x(单位:箱) 7 6 6 5 6

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165 142 收益 y(单位:元) (Ⅰ)求 y 关于 x 的线性回归方程; (Ⅱ)预测售出 8 箱水的收益是多少元?

148

125

150

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

=



=





参考数据:7×165+6×142+6×148+5×125+6×150=4420. 20.某校从参加考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整数)分成六组[40,50) , [50,60)…[90,100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (Ⅰ)求成绩落在[70,80)上的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ) 估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分; (Ⅲ) 为调查某项指标, 从成绩在 60~80 分这两分数段组学生中按分层抽样的方法抽 6 人, 再从这 6 人中选 2 人进行对比,求选出的这 2 名学生来自同一分数段组的概率.

21.已知向量 =(cos x,sin x) , =(cos ,﹣sin ) ,且 x∈[0, (1)求 ? 及| + |; (2)若 f(x)= ? ﹣2λ| + |的最小值是﹣ ,求实数 λ 的值.

],

22.已知 A,B 分别是直线 y=x 和 y=﹣x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2 ,D 是 AB 的 中点. (1)求动点 D 的轨迹 C 的方程; (2)若过点(1,0)的直线 l 与曲线 C 交于不同两点 P、Q, ①当|PQ|=3 时,求直线 l 的方程; ②试问在 x 轴上是否存在点 E(m,0) ,使 ? 恒为定值?若存在,求出 E 点的坐标及 定值;若不存在,请说明理由.

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2015-2016 学年江西省新余市高一 (下) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.cos330°=( ) A. B. C. D.

【分析】由 cos(α+2kπ)=cosα、cos(﹣α)=cosα 解之即可. 【解答】解:cos330°=cos=cos(﹣30°)=cos30°= 故选 C. 2.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一 组样本数据(xi,yi) (i=1,2,…,n) ,用最小二乘法建立的回归方程 =0.85x﹣85.71,则 下列结论中不正确的是( ) A.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg B.回归直线过样本的中心( , ) C.y 与 x 具有正的线性相关关系 D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg 【分析】根据回归直线方程的性质分别进行判断即可. 【解答】解:A.由回归直线方程得若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg, 故 A 正确, B,任何一个回归方程,回归直线过样本的中心( , ) ,故 B 正确, C.回归直线的性质为 0.85>0,则 y 与 x 具有正的线性相关关系,故 C 正确, D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重可能为 58.79kg,故 D 错误, 故选:D. ,

3.向量 、 的夹角为 60°,且 A.1 B. C. D.2



,则

等于(



【分析】欲求

,只需自身平方再开方即可,这样就可出现两向量的模与数量积,

最后根据数量积公式解之即可. . 【解答】解:∵向量 、 的夹角为 60°,且 ∴ ? =1×2×cos60°=1 ∴|2 ﹣ |= 故选 D. =





=2

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4.已知函数 f(x)= A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1

,则 f(﹣10)的值是(



【分析】由题意,代入分段函数求函数的值. 【解答】解:f(﹣10)=f(﹣10+3)=f(﹣7)=f(﹣7+3) =f(﹣4)=f(﹣4+3)=f(﹣1)=f(﹣1+3)=f(2) =log22=1. 故选 D. 5.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2:3:5,现用分层抽 样方法抽出一个容量为 n 的样本, 样本中 A 种型号产品有 16 件. 那么此样本的容量 n= ( ) A.60 B.70 C.80 D.90 【分析】先求出总体中中 A 种型号产品所占的比例,是样本中 A 种型号产品所占的比例, 再由条件求出样本容量. 【解答】解:由题意知,总体中中 A 种型号产品所占的比例是 因样本中 A 种型号产品有 16 件,则 ×n=16,解得 n=80. 故选 C. 6.茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则乙的平 均成绩超过甲的平均成绩的概率为( ) = ,

A.

B.

C.

D.

【分析】由已知的茎叶图,我们可以求出甲乙两人的平均成绩,然后求出乙的平均成绩超过 甲的平均成绩的概率,得到答案. 【解答】解:由已知中的茎叶图可得 甲的 5 次综合测评中的成绩分别为 88,89,90,91,92, 则甲的平均成绩 = (88+89+90+91+92)=90

设污损数字为 X, 则乙的 5 次综合测评中的成绩分别为 83,83,87,99,90+X 则乙的平均成绩 当 X=9 时, 故选 A. < = (83+83+87+99+90+X)=88.4+ , ,即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为 ,

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7.在△ABC 中,若 tanAtanB=tanA+tanB+1,则 cosC=( A. B. C. D.



【分析】利用两角和与差的正切函数公式化简 tan(A+B) ,将已知等式变形后代入求出 tan (A+B)的值,进而确定出 tanC 的值,利用特殊角的三角函数值求出 C 的度数,即可确定 出 cosC 的值. 【解答】解:∵tanAtanB=tanA+tanB+1,即 tanA+tanB=tanAtanB﹣1, ∴tan(A+B)= ∴tanC=1,即 C= 则 cosC=cos 故选 B 8.如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执 行该程序框图,若输入 a,b,i 的值分别为 6,8,0,则输出 a 和 i 的值分别为( ) = , . =﹣1,即 tan(A+B)=﹣tanC=﹣1,

A.0,3 B.0,4 C.2,3 D.2,4 【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的 a,b,i 的值,即可得到 结论. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得:a=6,b=8,i=0, i=1,不满足 a>b,不满足 a=b,b=8﹣6=2,i=2 满足 a>b,a=6﹣2=4,i=3 满足 a>b,a=4﹣2=2,i=4 不满足 a>b,满足 a=b,输出 a 的值为 2,i 的值为 4. 故选:D. 9.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD=1,点 E、F、G 分别是 DD1、 AB、CC1 的中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成角的余弦值是( )

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A.

B.

C.

D.0 和

【分析】以 DA,DC,DD1 所在直线方向 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,可得 的坐标,进而可得 cos< , >,可得答案.

【解答】解:以 DA,DC,DD1 所在直线方向 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 则可得 A1(1,0,2) ,E(0,0,1) ,G(0,2,1) ,F(1,1,0) ∴ =(﹣1,0,﹣1) , =(1,﹣1,﹣1)

设异面直线 A1E 与 GF 所成角的为 θ, 则 cosθ=|cos< 故选:D 10.一位同学家里订了一份报纸,送报人每天都在在早上 5:20~6:40 之间将报纸送达, 该同学的爸爸需要早上 6:00~7:00 之间出发去上班,则这位同学的爸爸在离开家前能拿 到报纸的概率是( A. B. C. ) D. , >|=0,

【分析】根据题意,设送报人到达的时间为 x,这位同学的爸爸在离开家;则(x,y)可以 看成平面中的点, 分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积, 同理可得事件 A 所构成的区域及其面积,由几何概型公式,计算可得答案. 【解答】解:如图,设送报人到达的时间为 x,这位同学的爸爸在离开家为 y; 则(x,y)可以看成平面中的点,试验的全部结果所构成的区域为 Ω={(x,y)|5 ≤x≤ 6 ,6≤y≤7},一个矩形区域,面积为 SΩ=1× = , 事件 A 所构成的区域为 A={(x,y)|5 ≤x≤6 ,6≤y≤7,x<y}即图中的阴影部分, 其中 A(6,6) ,C(6 ,6) .B(6 ,6 ) , △ABC 面积为= × = ,则阴影部分的面积 SA= ﹣ = .

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则对应的概率 P=

= .

故选:B.

11. 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示, 它是由 4 个相同的直角三角形与中间的小 正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为 θ,大正方形的面积是 1,小正方 形的面积是 ,则 sin2θ﹣cos2θ 的值等于( )

A.1

B.﹣

C.

D.﹣

【分析】求出每个直角三角形的长直角边,短直角边的长,推出小正方形的边长,先利用小 正方形的面积求得(cosθ﹣sinθ)2 的值,判断出 cosθ>sinθ 求得 cosθ﹣sinθ 的值,然后求 得 2cosθsinθ 利用配方法求得(cosθ+sinθ)2 的进而求得 cosθ+sinθ,利用平方差公式把 sin2θ ﹣cos2θ 展开后,把 cosθ+sinθ 和 cosθ﹣sinθ 的值代入即可求得答案. 【解答】解:依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为 cosθ,短直角边为 sinθ, 小正方形的边长为 cosθ﹣sinθ, ∵小正方形的面积是 ∴(cosθ﹣sinθ)2= 又 θ 为直角三角形中较小的锐角, ∴cosθ>sinθ ∴cosθ﹣sinθ=
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又∵(cosθ﹣sinθ)2=1﹣2sinθcosθ= ∴2cosθsinθ= ∴1+2sinθcosθ= 即(cosθ+sinθ)2= ∴cosθ+sinθ= ∴sin2θ﹣cos2θ=(cosθ+sinθ) (sinθ﹣cosθ)=﹣ 故选:B. 12. AD=2DB, AE=3EC, CD 与 BE 交于 F, 如图, 在△ABC 中, 设 +y ,则(x,y)为( ) = , = , =x =﹣

A.

B.

C.

D.

【分析】根据 AD=2DB,AE=3EC,利用 B、F、E 三点共线和 C、F、D 三点共线分别表示 出向量 ,根据平面向量基本定理可求出 x、y 的值. 【解答】解:∵AD=2DB,AE=3EC ∴ 同理向量 还可以表示为 , , 用不共线的两个向量线性表示是唯一的

根据平面向量基本定理可知向量

则对应系数相等可得

解得

,所以



故选 A. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设向量 =(1,2) , =(2,3) ,若向量 λ + 与向量 =(﹣4,﹣7)共线,则 λ= 2 . 【分析】由已知条件,求出 λ + ,利用共线向量的充要条件列出方程,求出 λ 的值. 【解答】解:∵向量 =(1,2) , =(2,3) ,若向量 λ + =(λ+2,2λ+3) , 又向量 λ + 与向量 =(﹣4,﹣7)共线, ∴(λ+2)×(﹣7)﹣(2λ+3)×(﹣4)=0,
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∴λ=2. 故答案为:2. 14.将函数 f(x)= sinx﹣cosx 的图象向左平移 m 个单位(m>0) ,若所得图象对应的函 .

数为偶函数,则 m 的最小值是

【分析】利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,求得 m 的 最小值. 【解答】解:将函数 f(x)= 0) , 可得 y=2sin(x+m﹣ )的图象, =kπ+ ,k∈Z,即 m=kπ+ , sinx﹣cosx=2sin(x﹣ )的图象向左平移 m 个单位(m>

若所得图象对应的函数为偶函数,则 m﹣ 故 m 的最小值为 故答案为: . ,

15.已知 f(x)=

+ax+cos2x 若 f(

)=2,则 f(﹣

)= ﹣2 .

【分析】由 f(x)可令 g(x)=

+ax,则 f(x)=g(x)+cos2x+ ,判断 g(x)

为奇函数,由 f(﹣

)+f(

)=0,即可得到所求值.

【解答】解:f(x)=

+ax+cos2x

=

﹣ +ax+cos2x+

=

+ax+cos2x+ ,

可令 g(x)=

+ax,则 f(x)=g(x)+cos2x+ ,

g(﹣x)=

﹣ax=

﹣ax

=﹣g(x) ,即有 g(x)为奇函数,
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可得 f(﹣ 又 f(

)=g(﹣ )+cos

)+cos(﹣ + , )=0,

)+

)=g(

两式相加可得,f(﹣ 由 f(

)+f(

)=2,可得 f(﹣

)=﹣2.

故答案为:﹣2. 16.已知下列命题: ①函数 y=sin(﹣2x+ )的单调增区间是[﹣kπ﹣ ,﹣kπ+ ](k∈Z) .

②要得到函数 y=cos(x﹣

)的图象,需把函数 y=sinx 的图象上所有点向左平行移动

个单位长度. ③已知函数 f(x)=2cos2x﹣2acosx+3,当 a≤﹣2 时,函数 f(x)的最小值为 g(a)=5+2a. ④已知角 A、B、C 是锐角△ABC 的三个内角,则点 P(sinA﹣cosB,cosA﹣sinC)在第四 象限. 其中正确命题的序号是 ②③④ . 【分析】①先用诱导公式,再由正弦函数的减区间,即可判断;②运用图象平移和诱导公 式,即可判断;③配方转化为二次函数的值域问题,注意运用余弦函数的有界性,即可判 断;④根据锐角三角形的定义,再由正弦函数和余弦函数的单调性,即可判断. 【解答】解:①函数 y=sin(﹣2x+ 2k k ①错; ②将函数 y=sinx 的图象上所有点向左平行移动 即 y=sin(x+ )=cos(x﹣ 个单位长度,得到 y=sin(x ) , ,k∈Z,解得, ≤x≤k ,故函数的单调增区间是[k ,k ],k∈Z,故 )=﹣sin(2x﹣ ) ,令 2k ≤2x﹣ ≤

) ,故②正确; ,当 a≤﹣2 时,即 ,而

③函数 f(x)=2cos2x﹣2acosx+3=2(cosx﹣ )2+3﹣

cosx∈[﹣1,1], 故函数 f(x)的最小值为 g(a)=2(﹣1)2﹣2a?(﹣1)+3=5+2a,故③正确; ④由角 A、B、C 是锐角△ABC 的三个内角,则 A+B>90°,A+C>90°, 即有 A>90°﹣B,A>90°﹣C,故 sinA>sin(90°﹣B)即 sinA>cosB,cosA<sinC, 故点 P 在第四象限内,故④正确. 故答案为:②③④.

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 7 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤) 17.已知 sinθ、cosθ 是方程 x2﹣( ﹣1)x+m=0 的两根. (1)求 m 的值; (2)求 + 的值.

【分析】 (1)由条件利用韦达定理可得

,化简求得 m 的值.

(2)利用同角三角函数的基本关系化简 求得结果. 【解答】解: (1)由条件利用韦达定理可得

+

为 cosθ+sinθ,再由(1)



化简可得 m= ﹣



(2)

+

=

+

=

=cosθ+sinθ=

﹣1.

18.已知 =(1,1) , =(3,4) , (1)若 k + 与 k ﹣ 垂直,求 k 的值; (2)若|k +2 |=10,求 k 的值. 【分析】 (1)利用向量的坐标运算、向量垂直与数量积的关系即可得出; (2)利用数量积的运算性质即可得出. 【解答】解: ; (1)由 ,得: ,解得: (2)由 ,得 ,解得:k=0 或 k=﹣14. . ,

19.某学校为倡导全体学生为特困学生捐款,举行“一元钱,一片心,诚信用水”活动,学生 在购水处每领取一瓶矿泉水, 便自觉向捐款箱中至少投入一元钱. 现统计了连续 5 天的售出 和收益情况,如表: 6 6 5 6 售出水量 x(单位:箱) 7
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165 142 收益 y(单位:元) (Ⅰ)求 y 关于 x 的线性回归方程; (Ⅱ)预测售出 8 箱水的收益是多少元?

148

125

150

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

=



=





参考数据:7×165+6×142+6×148+5×125+6×150=4420. 【分析】 (Ⅰ)首先求出 x,y 的平均数,得到样本中心点,利用最小二乘法做出线性回归方 程的系数,即可写出线性回归方程. (Ⅱ) 当自变量取 8 时, 把 8 代入线性回归方程, 求出销售额的预报值, 这是一个估计数字. 【解答】解: (Ⅰ) 由所给数据计算得 = (7+6+6+5+6)=6, = =146, =72+62+62+52+62=182,

=

=

=20,

= ﹣

=146﹣20×6=26,

所求回归直线方程为 =20x+26; (Ⅱ)将 x=8 代入回归方程可预测售出 8 箱水的收益为 =20×8+26=186(元) .

20.某校从参加考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整数)分成六组[40,50) , [50,60)…[90,100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (Ⅰ)求成绩落在[70,80)上的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ) 估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分; (Ⅲ) 为调查某项指标, 从成绩在 60~80 分这两分数段组学生中按分层抽样的方法抽 6 人, 再从这 6 人中选 2 人进行对比,求选出的这 2 名学生来自同一分数段组的概率.

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【分析】 (Ⅰ)根据频率分布直方图,用 1 减去成绩落在其它区间上的频率,即得成绩落在 [70,80)上的频率,从而补全频率分步直方图. (Ⅱ) 先根据频率分布直方图,用 1 减去成绩落在[40,50) ,[50,60)上的频率,即可得 到这次考试的及格率,并求出平均分. (Ⅲ)分别求得成绩落在区间[60,70) 、[70,80)上的人数,即可求得他们在同一分数段 的概率. 【解答】解(Ⅰ)成绩落在[70,80)上的频率是 0.3,频率分布直方图如下图.

(Ⅱ) 估计这次考试的及格率(60)分及以上为及格为 1﹣0.01×10﹣0.015×10=75% 平均分:45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71, (Ⅲ) 成绩是 60~70 分 A 组有 0.015×10×60=9 人,成绩在 70~80 分 B 组有 0.03×10× 60=18 人,按分层抽样 A 组抽 2 人记为 a,b,B 组抽 4 人记为 1,2,3,4.从这 6 人中抽 2 人有 a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,12,13,14,23,24,34,ab 共 15 种选法. 两人来自同一组有 12,13,14,23,24,34,ab 有 7 种选法. 所以两人来自同一组的概率为

21.已知向量 =(cos x,sin x) , =(cos ,﹣sin ) ,且 x∈[0, (1)求 ? 及| + |; (2)若 f(x)= ? ﹣2λ| + |的最小值是﹣ ,求实数 λ 的值. 【分析】 (1)由题意利用两个向量的数量积公式求得 ? ,再根据 的值.

],

的坐标,求得| + |

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(2)由(Ⅰ)得 f(x)=2(cosx﹣λ)2﹣1﹣2λ2,再结合 1≥cosx≥0 可得,分类讨论,利 用二次函数的性质,根据 f(x)的最小值是﹣ ,分别求得实数 λ 的值,综合可得结论. 【解答】解: (1)由题意可得 ? =cos xcos ﹣sin xsin =cos2x, sin x﹣sin ) , =(cos x+cos ,

∴| + |=

=

=2|cosx|.

∵x∈[0,

],∴1≥cosx≥0,∴| + |=2cosx.

(2)由(Ⅰ)得 f(x)= ? ﹣2λ| + |=cos2x﹣4λcosx=2(cosx﹣λ)2﹣1﹣2λ2, 再结合 1≥cosx≥0 可得, 当 λ<0 时,则 cosx=0 时,f(x)取得最小值为﹣1,这与已知矛盾. 当 0≤λ≤1 时,则 cosx=λ 时,f(x)取得最小值为﹣1﹣2λ2. 当 λ>1 时,则 cosx=1 时,f(x)取得最小值为 1﹣4λ. 由已知得 1﹣4λ=﹣ ,λ= ,这与 λ>1 相矛盾. 综上所述,λ= 为所求.

22.已知 A,B 分别是直线 y=x 和 y=﹣x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2 ,D 是 AB 的 中点. (1)求动点 D 的轨迹 C 的方程; (2)若过点(1,0)的直线 l 与曲线 C 交于不同两点 P、Q, ①当|PQ|=3 时,求直线 l 的方程; ②试问在 x 轴上是否存在点 E(m,0) ,使 ? 恒为定值?若存在,求出 E 点的坐标及 定值;若不存在,请说明理由. 【分析】 (1)设 D(x,y) ,A(a,a) ,B(b,﹣b) ,然后根据线段 AB 的长为 2 ,D 是 AB 的中点消去 a 与 b,得到 x 与 y 的等量关系,即为动点 D 的轨迹 C 的方程; (2)①讨论直线 l 与 x 轴是否垂直,然后利用点到直线的距离公式建立等式关系,从而求 出直线方程; ②讨论直线 l 的斜率是否存在,不存在时直接求 ? ,存在时,将直线与圆联立方程组, 消去 y,然后设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,将 ? 表示出来,使其与 k 无关即可求出 m 的值. 【解答】解: (1)设 D(x,y) ,A(a,a) ,B(b,﹣b) , ∵D 是 AB 的中点,∴x= ,y= ,

∵|AB|=2 ,∴(a﹣b)2+(a+b)2=12, ∴(2y)2+(2x)2=12,∴点 D 的轨迹 C 的方程为 x2+y2=3. (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时,P(1, ) ,Q(1,﹣ ) ,此时|PQ|=2 意;

,不符合题

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当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) ,由于|PQ|=3,所以圆心 C 到直 线 l 的距离为 ,



=

,解得 k=±

.故直线 l 的方程为 y=±

(x﹣1) .

②当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=k(x﹣1) , 2 2 2 2 由消去 y 得(k +1)x ﹣2k x+k ﹣3=0, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)则由韦达定理得 x1+x2= ,x1x2= ,

则 =(m﹣x1,﹣y1) , =(m﹣x2,﹣y2) , 2 ∴ ? =(m﹣x1) (m﹣x2)+y1y2=m ﹣m(x1+x2)+x1x2+y1y2 2 =m ﹣m(x1+x2)+x1x2+k2(x1﹣1) (x2﹣1) =m2﹣ + +k2 ( ﹣ +1)=

要使上式为定值须

=1,解得 m=1,∴

?

为定值﹣2,

当直线 l 的斜率不存在时 P(1, ) ,Q(1,﹣ ) , 由 E(1,0)可得 =(0,﹣ ) , =(0, ) , ∴ ? =﹣2, ? 为定值﹣2. 综上所述当 E(1,0)时,

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2016 年 8 月 18 日

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