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高考数列压轴 类型 点列


交融于点列与不等式的求和问题
点列可以将函数、数列、解析几何,导数以及不等式等知识融为一体,综合性强,以点列为载体考查数列 知识是近年高考的热点也是难点问题。以点列为背景,与前 n 项和有关的不等式问题包括求取值范围、证明不 等式、比较大小、恒成立等问题。解决问题的通法是先将点列问题数列化,求出数列的通项公式,再考虑能否 求出相关数列的前 n 项和。 一. 先求出前 n 项和,再解决不等式问题 若是对等差或等比数列求前 n 项和,可直线利用前 n 项和公式求解。若不是等差或等比数列,可依据项的 特点灵活解决。 1. 裂项相消法求前 n 项和

? 1 ? ? ? 对于形如 ? a n a n ?1 ? 等形式的数列求前 n 项和,可考虑用裂项相消法。
例 1. 设一次函数 f ( x ) 图象关于直线 y=x 对称的图象为 C,且 f (?1) ? 0 ,若点列 a a an Sn ? 1 ? 2 ? ? ? 2! 3! (n ? 1)! 的取值范围。 象 C 上,且 a 1 ? a 2 ? 1 ,求

Pn (n ? 1,

a n ?1 )( n ? N ? ) an 在图

图1 解:设 f ( x ) ? ax ? b(a ? 0) 。 因为 f (?1) ? 0 ,所以 0 ? ?a ? b a (n ? 1, n ?1 )( n ? N ? ) an 因为点 在函数 f ( x ) 图象关于直线 y ? x 对称的曲线 C 上, a ( n ?1 , n ? 1)( n ? N ? ) 所以 a n ,在函数 f ( x ) 图象上, a n ? 1 ? a ? n ?1 ? b an 于是 。 (1) a 2?a? 2 ?b a1 当 n=1 时,有 ,又知 a 1 ? a 2 ? 1 ,所以 2=a+b。

?0 ? ?a ? b ? 解方程组 ?2 ? a ? b

?a ? 1 ? 得 ?b ? 1

a n ?1 ?n 代入(1)式,得 a n
于是

an ?

a n a n ?1 a ? ?? 2 ? a 1 ? (n ? 1)( n ? 2) ?1 ? 1 ? (n ? 1)! (n ? 2) a n ?1 a n ? 2 a1

当 n=1 时, a 1 ? 1 也满足 a n ? (n ? 1)! 因此数列 ?a n ? 的通项公式为 a n ? (n ? 1)!

ai (i ? 1)! 1 1 1 ? ? ? ? , i ? 1,2, ?, n 所以 (i ? 1)! (i ? 1)! i(i ? 1) i i ? 1
又因为

Sn ?

a1 a 2 an ? ??? 2! 3! (n ? 1)!

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ?1 ? 2 2 3 n n ?1 n ?1 所以 1 ?Sn ? 单调递增,当 n=1 时, Sn ? 2 ; 容易判断 Sn ? 1 ?
当 n ? ?? , S n ? 1

1 ? Sn ? 1 所以 2
ai 1 1 1 ? ? S n 关键在于将项 (i ? 1)! i(i ? 1) 裂成 i i ? 1 形式。 评注:求
2. 错位相减法求前 n 项和 对数列 ?a n b n ? 求前 n 项和,若注意到数列 ?a n ??b n ? 分别是等差和等比数列,可考虑用错位相减法求前 n 项 和。 例 2. 已知点列 P1 (a 1 , a 2 ), P2 (a 2 , a 3 ), ?, Pn (a n , a n ?1 ) ,满足 a 1 ? 1 ,点 Pn (a n , a n ?1 ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上;点 列 Q1 (2b1 ? b 2 ,1), Q 2 (2b 2 ? b 3 ,2), ?, Q n (2b n ? b n ?1 , n) , … 满 足 b1 ? 2 , 点 Q n (2b n ? b n ?1 , n) 在 直 线

a1 a2 an 1 ? ??? ? c b1 ? 10 b 2 ? 14 b n ? 4n ? 6 12 对于一切正整数 n x ? 4y ? 2 ? 0 上,是否存在正整数 c,使不等式 恒成立?若不存在,说明理由;若存在,求出 c 的最小值。 解:因为点 Pn (a n , a n ?1 ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,
所以 a n ? a n ?1 ? 2 ? 0 即 a n ?1 ? a n ? 2

因此数列 ?a n ? 是首项 a 1 ? 1 ,公差为 2 的等差数列 所以 a n ? 1 ? 2(n ? 1) 即 a n ? 2n ? 1 因为点 Q n (2b n ? b n ?1 , n) 在直线 x ? 4 y ? 2 ? 0 上, 所以 (2b n ? b n ?1 ) ? 4n ? 2 ? 0 所以 b n ?1 ? 2b n ? 4n ? 2 故 b n ?1 ? [4(n ? 1) ? 6] ? 2[b n ? (4n ? 6)] 所以数列 ?b n ? (4n ? 6)?是首项为 b1 ? (4 ? 1 ? 6) ? 2 ? 10 ? 12 ,公比为 2 的等比数列
n ?1 因此 b n ? (4n ? 6) ? 12 ? 2 n ?1 即 b n ? 12 ? 2 ? (4n ? 6) ak 2k ? 1 ? , k ? 1,2, ? , n k ?1 所以 b k ? 4k ? 6 12 ? 2

a1 a2 an ? ??? b n ? 4n ? 6 故 b1 ? 10 b 2 ? 14

1 3 5 2n ? 1 ? ? ??? 0 1 2 12 ? 2 12 ? 2 12 ? 2 12 ? 2 n ?1 1 1 3 5 2n ? 1 ? ( 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ) 12 2 2 2 2 1 3 5 2n ? 1 T ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 令 ① T 1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ??? 2 21 2 2 2 3 2n 则 ② ?
①-②,得

T 1 2 2 2 2 n ?1 ? 0 ? ( 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ) ? 2 2 2n 2 2 2 1 1 1 2n ? 1 ? 1 ? (1 ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 2 ) ? 2 2 2 2n 2n ? 3 ?3? 2n 2n ? 3 T ? 6 ? n ?1 2 所以
a1 a2 an 1 1 2n ? 3 ? ??? ? T ? (6 ? n ?1 ) b n ? 4n ? 6 12 12 2 故 b1 ? 10 b 2 ? 14

a1 a2 an 1 1 2n ? 3 1 ? ??? ? c (6 ? n ?1 ) ? c b n ? 4n ? 6 12 可化为 12 12 2 故 b1 ? 10 b 2 ? 14


6?

2n ? 3 ?c 2 n ?1

2n ? 3 ?0 n ?1 由于 2
故 c ? 6 时,

c?

2n ? 3 ?6 2 n ?1 对于一切正整数 n 恒成立 2n ? 3 13 ?6? ?5 n ?1 16 2

又当 n ? 5 时,

6?

a1 a2 an 1 ? ??? ? c b n ? 4n ? 6 12 对于一切正整数 n 恒成立的最小正整数。 这说明 c=6 是使不等式 b1 ? 10 b 2 ? 14

a1 a2 an 1 ? ??? ? c b n ? 4n ? 6 12 对于一切正整数 n 恒成立的 c 存在, 的最小值为 所以使不等式 b1 ? 10 b 2 ? 14 c
6。 评注:求

T?

1 ? ? 1 3 5 2n ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ?(2n ? 1) ? n ?1 ? 0 2 ? ,求前 n 项和。注意到数列 2 2 2 2 ,实际上是在对数列 ?

?2n ? 1?, ? ?

1 ? n ?1 ? ? 2 ? 分别是等差数列与等比数列,故可用错位相减法求出 T。

二. 先放缩,再求和,最后解决不等式问题 若无法求出给定数列的前 n 项和,可先对所给数列的通项进行适当放缩,进而利用裂项相消等方法解决问 题。 1. 利用不等式的性质进行放缩 例 3. 已知点列 P1 (a 1 , a 2 ), P2 (a 2 , a 3 ), ?, Pn (a n , a n ?1 ) ,…满足 a 1 ? 1 ,点 Pn (a n , a n ?1 ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,

1 1 1 ? ??? S n 与 2 的大小。 设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,试比较 S1 S 2 解:因为点 Pn (a n , a n ?1 ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,
所以 a n ? a n ?1 ? 2 ? 0 即 a n ?1 ? a n ? 2

因此数列 ?a n ? 是首项 a 1 ? 1 ,公差为 2 的等差数列,所以 a n ? 1 ? 2(n ? 1) 即 a n ? 2n ? 1

n(n ? 1) ? 2 ? n2 2 则 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? , i ? 1,2, ? , n (i ? 1)i i ? 1 i 所以 S i i 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? 2 S1 S 2 S n 11 2 2 3 2 n 故 Sn ? n ?
1 1 1 1 ? ? ??? 1 ( n ? 1) n 1 1? 2 2 ? 3 1 1 1 1 1 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 2 3 n ?1 n 1 ?2? ?2 n 1 1 1 ? ??? ?2 Sn 即 S1 S 2 ?

?1 1 1 1 ? ??? ? S n 与 2 的大小,可考虑先求出数列 ? S n 评注:为比较 S1 S 2 难达成目的。

? ? 1 ? ? ? ? ? ,即数列 ? n 2 ? 的前 n 项和,但很

? 1 ? 1 1 ? ? 2 故考虑用不等式的性质将 n 放大为 (n ? 1)n , 再利用裂项相消法求出数列 ? (n ? 1)n ? 前 n 项和, 从而比较 出大小。
例 4. 在坐标平面上有一点列 P1 (x 1 , y1 ) , P2 (x 2 , y 2 ), ?, Pn (x n , y n ) ,…,对于每个正整数 n,点 Pn 位于函数

y ? x 2 (x ? 0) 的图象上。以点 Pn 为圆心的圆 Pn 与 x 轴都相切,且圆 Pn 与圆 Pn ?1 又彼此相外切, x 1 ? 1 且
3 ? T ? x n ?1 ? x n (n ? N ? ) 。设圆 Pn 的面积为 S n , Tn ? S1 ? S2 ? ? ? Sn ,求证: n 2 。

图2 解:因为圆 Pn 、圆 Pn ?1 与 x 轴都相切,
2 且点 Pn ( x n , y n ) 、 Pn ?1 (x n ?1 , y n ?1 ) 位于函数 y ? x (x ? 0) 的图象上, 2 2 所以 rn ? y n ? x n , rn ?1 ? y n ?1 ? x n ?1

又因为圆 Pn 与圆 Pn ?1 又彼此相外切, 即 | Pn Pn ?1 |? rn ? rn ?1
2 2 2 2 2 2 所以 (x n ?1 ? x n ) ? (x n ?1 ? x n ) ? x n ?1 ? x n
2 2 2 2 2 2 2 则 (x n ?1 ? x n ) ? (x n ?1 ? x n ) ? (x n ?1 ? x n )

?(x n ?1 ? x n ) 2 ? 4x 2 ?1x 2 n n ? x n ?1 ? x n ? ?2x n ?1 x n 又因为 0 ? x n ?1 ? x n ,
所以只取 x n ?1 ? x n ? ?2x n ?1 x n 1 1 ? ? ?2 两边同除以 x n ?1 x n ,得 x n x n ?1

?

1 x n ?1

?

1 ?2 xn

? 1 ? 1 ?1 ? ? x n ? 是首项为 x 1 因此 ? ,公差为 2 的等差数列, 1 ? 1 ? (n ? 2) ? 2 ? 2n ? 1 所以 x n

xn ? 2n ? 1 故数列 ?x n ? 的通项公式为
因此

1

rn ? x 2 ? ( n

1 2 ) 2n ? 1
? ?rn
? ? (2n ? 1) 2

所以 S n ?

2 ?rn

当 n=1 时, S1 ? ? 当 n ? 2 时,

Sn ?

? ? ? 1 1 ? ? ( ? ) 2 (2n ? 3)( 2n ? 1) 2 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ? Tn ? S1 ? S 2 ? ? ? S n ? ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 1 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 2 故

? ? ? (1 ?

1 ? 3 ? ) ? 2n ? 1 2 2

评注:解本题的关键是利用不等式的性质将

Sn ?

? ? 2 (2n ? 1) 适 当 放 大 为 (2n ? 3)( 2n ? 1) , 再 将

? ? 1 1 ( ? ) (2n ? 3)( 2n ? 1) 裂为 2 2n ? 3 2n ? 1 ,最后利用裂项相消解决问题。

x 例 5. 已知点列 B1 , B 2 , ?, B n , …顺次为曲线 上的点,点列 A1 , A 2 , ?, A n ,…,顺次为 x 轴上的 点,且 ?OB1A1 , ?A1B 2 A 2 ,…均为等腰直角三角形(其中 B1 , B 2 , ?, B n ,…为直角顶点) 。设 A n 的坐标为
? 1 ? 1 ? ? loga (n ? 1) (x n ,0)(n ? 1,2,3, ?) 。设 S n 为数列 ? x n ? 的前 n 项和,试比较 loga (S n ?1 ) 与 2 的大小,其中 a ? 0 ,
且a ?1。

y?

1

(x ? 0)

图3 解:因为 ?OB1 A1 为等腰直角三角形 所以直线 OB1 的方程为 y=x

?y ? x ? ? 1 ? y ? x ( x ? 0) 由?
?x ? 1 ? 得 ?y ? 1
即 B1 (1,1) ,因此 x 1 ? 2 因为 ?A n B n ?1A n ?1 为等腰直角三角形, 所以直线 A n B n ?1 的方程为 y ? x ? x n 。

?y ? x ? x n ? ? 1 ? y ? x ( x ? 0) 由? ,

? x2 ? 4 ? xn n ?x ? ? 2 ? 2 ? xn ? 4 ? xn ?y ? 2 得?

) 2 2 因为 ?A n B n ?1A n ?1 为等腰直角三角形,所以点 B n ?1 的横坐标与线段 A n A n ?1 中点横坐标相等,


B n ?1 (

x2 ? 4 ? xn n

,

x2 ? 4 ? xn n

x2 ? 4 ? xn n


2

?

x n ? x n ?1 2

? x 2 ? 4 ? x n ?1 n ? x 2 ?1 ? x 2 ? 4 n n
2 2 因此数列 x n 是以 x1 ? 4 为首项,以 ? 4 为公差的等差数列, 2 故 x n ? 4 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n

? ?

所以数列 ?x n ? 的通项公式为 x n ? 2 n 。 1 1 1 ? ? k ? 1 ? k ? k ? 1 ? k (k ? 1,2, ?, n) 因此 x k 2 k 所以

Sn ?

1 1 1 1 ? ? ??? 2 2 2 2 3 2 n

? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ( n ? 1 ? n ) ? n ?1 ?1 即 Sn ? 1 ? n ? 1 。

1 loga (Sn ? 1) ? loga (n ? 1) 2 ; 1 loga (Sn ? 1) ? loga (n ? 1) 0 ? a ? 1 时, 2 当 。 1 1 1 1 ? 评注:解本题的关键是利用不等式的性质将 x k 2 k 缩小为 k ? 1 ? k ,而 k ? 1 ? k 又可裂为
因此,当 a ? 1 时,

k ? 1 ? k ,故可利用裂项相消解决问题。
2. 利用单调性进行放缩 例 6. 如下图, 已知点 Q1 的横坐标为 a 1 (0 ? a 1 ? a ) 。 从曲线 C:y ? x 上的点 Q n (n ? N ) 作直线平行于 x 轴, 交直线 l: y ? ax 于点 Pn ?1 ,再从点 Pn ?1 作直线平行于 y 轴,交曲线 C 于点 Q n ?1 ,点 Q n ? (n ? 1,2,3, ?) 的横坐
2 ?

标构成数列 ?a n ? 。 (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)当 a ? 1 ,

a1 ?

n 1 1 ? (a k ? a k ?1 )a k ?2 ? 32 2 时,证明 k ?1 ;

(3)当 a=1 时,证明 k ?1

? (a

n

k

? a k ?1 )a k ? 2 ?

1 3;

图4 解: (1)因为点 Q n (n ? N ) 在曲线 C: y ? x 上,
2 ?

所以 Q n (a n , a n ) 因为直线 Q n Pn ?1 平行于 x 轴,且交直线 l: y ? ax 于点 Pn ?1 ,

2

1 Pn ?1 ( ? a 2 , a 2 ) n n a 所以
因为直线 Pn ?1Q n ?1 平行于 y 轴,且交曲线 C: y ? x 于点 Q n ?1 , 1 1 Q n ?1 ( ? a 2 , 2 ? a 4 ) n n a a 所以
2

因此点 Q n ?1 的横坐标为

1 a n ?1 ? ? a 2 n a

?a n ?

1 2 1 1 ? a n ?1 ? ( ? a 2 ? 2 ) 2 n a a a

2 1 ? ( )1? 2 a 2 ? 2 n a 1 1? 2 1 2 22 ? ( ) ( ? a n ?3 ) a a 2 3 1 ? ( )1? 2? 2 a 2 ?3 n a ?? 2 n ?1 1 2 n ?1 ? ( )1? 2? 2 ??? 2 a 1 a 1 2n ?1 ?1 2n ?1 ?( ) a1 a a n ?1 a n ? a ? ( 1 )2 a 即

(2)证明:由(1)知
2 而 a=1,所以 a n ? a 1
n ?1

an ? a ? (

a 1 2n ?1 ) a

1 2 ,所以易判断数列 ?a n ? 是递减正数列, 因为 1 1 23?1 4 a k ?2 ? a 3 ? a 1 ? a 1 ? ( ) 4 ? 2 16 所以当 k ? 1 时, 0 ? a1 ?
所以 k ?1

? (a

n

k

? a k ?1 )a k ? 2 ?

1 n (a k ? a k ?1 ) 16 k ?1

?

1 1 1 1 1 (a 1 ? a n ?1 ) ? a 1 ? ? ? 16 16 16 2 32 ?a n ? 是递减正数列 (3)由(2)知数列 ? 1 a n ?2 ? a 2 ?1 ? (a 2 ?1 ? a 2 ?1 ? a 2 ?1 ) n n n n 3 所以 1 ? (a 2 ?1 ? a n ?1a n ? a 2 ), n ? 1,2,3, ? n n 3
从而 k ?1

? (a

n

k

? a k ?1 )a k ? 2

?
?

1 n [(a k ? a k ?1 )(a 2 ?1 ? a n ?1a n ? a 2 )] n n 3 k ?1

?

1 n [( a 3 ? a 3 ?1 )] k k 3 k ?1

?

1 3 1 3 1 1 1 ? (a 1 ? a 3 ?1 ) ? a 1 ? ( ) 3 ? n 3 3 3 2 3

评注:解( 2) (3)的关键均是利用数列 ?a n ? 的单 调性分别得 到

a k ?2 ?

1 1 (k ? 2) a n ?2 ? (a 2 ?1 ? a n ?1a n ? a 2 ) n n 16 3 以及 ,使不等式得以证明。


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