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2015高考数学优化指导专题6


数学(文用)

第十一章 概 率

专题六 概率、统计的综合问题

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第十一章 概 率

1.掌握抽样方法,会用样本估计总体;掌握 线性回归及独立性检验的方法. 考纲 2.掌握常见的概率类型,会求概率;掌握离

要求

散型随机变量分布列的求法,会求均值、方
差. 3.会解决概率与统计综合的有关问题.

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第十一章 概 率

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第十一章 概 率

一、统计
1.抽样方法 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.

2.用样本估计总体
(1)用样本的频率分布估计总体的概率分布 ①频率分布表;②频率分布直方图;③频率分布折线 图.

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第十一章 概 率

(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征.
①平均数;②方差;③众数;④中位数. (3)茎叶图. 3.统计案例 (1)线性回归分析. (2)独立性检验.

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第十一章 概 率

二 、 概 率 1.常 见 概 率 类 型 名 称 特 点 公 式 m P(A)= n P(A)= 基 本 事 件 的 几 何 变 量 事 件 区 域 的 几 何 变 量

古 典 基 本 事 件 有 限 , 等 概 型 可 能

几 何 基 本 事 件 无 限 , 等 概 型 可 能

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第十一章 概 率

名 称 互 斥 事 件 的 概 率 对 立 事 件 的 概 率

特 点 在 一 次 试 验 中 不 同 时 发 生 在 一 次 试 验 中 不 同 时 发 生 但 必 有 一 个 发 生

公 式 P(A+B)=P(A)+ P(B) P(A)=1-P( A )

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第十一章 概 率

2.离散型随机变量的分布列、均值、方差

(1)分布列
离散型随机变量的取值为 x1 , x2 ,?, xn ,且对应的概 率为 P(X=xi)=pi(i=1,2,?,n),则其分布列为: X P x1 p1 x2 p2 ? ? xn pn

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第十一章 概 率

(2)均值
E(X)=x1p1+x2p2+?+xnpn (3)方差 D(X)=[x1-E(X)]p1+[x2-E(X)]p2+?+[xn-E(X)]pn. (4)均值与方差的性质 E(aX+b)=aE(X)+b, D(aX+b)=a2D(X).

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第十一章 概 率

三、概率与统计的综合

1 .概率常与统计结合在一起考查,成为当前高考的热
点题型,重点考查统计中的基本方法、基本思想与常见的概 率类型. 2.概率与统计综合的常见类型. (1)概率与分布列、均值与方差的综合. (2)概率与统计图表的综合. (3)概率与统计案例的综合.

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第十一章 概 率

1 .从正方体的两相邻表面对角线中随机取两条,这两
条表面对角线成60°的概率为________.

2 解析:3

正方体相邻两面对角线共有 4 条,随机抽取 2

条,共包含 6 个基本事件,其中易得成 60° 角的情况共有 4 种 4 2 可能,故其概率 P(A)=6=3.

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第十一章 概 率

2. 在 某 中 学 的 一 次 班 级 聚 会 上 , 高 三 比 男 同 学 多

( 4 ) 班 到 会 的 女 同 学

6人 , 从 这 些 同 学 中 随 机 挑 选 一 人 表 演 节 目 . 若 选 2 则 该 班 参 加 聚 会 的 同 学 的 人 数 为 3, _ _ _ _ _ _ _ _

到 女 同 学 的 概 率 为 人 .

解析:18

设女同学有 x 人 , 则 男 同 学 有

(x-6)人 , 由 题 意

2 x 得 = ,解得 x=12,故该班共有同学 2×12-6=18 人. 2x-6 3

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第十一章 概 率

3. 某 地 区 高 中 分 三 类 , 学 校 共 有 学 生 25 0 0

A类 学 校 共 有 学 生 35 0 0

10 0 0

人 ,B类

人 ,C 类 学 校 共 有 学 生

人 , 若 采 用 分

层 抽 样 的 方 法 抽 取 率 为( 1 A.1 0 )

7 0 0 人 , 则 A类 学 校 中 的 学 生 甲 被 抽 到 的 概

9 B.2 0

1 C.20 0 0

1 D.2

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第十一章 概 率

解析: 选A

在 分 层 抽 样 中 , 每 个 个 体 被 抽 到 的 概 率 相 等 ,

700 1 都等于7 000=10,选 A.

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第十一章 概 率

4 . 已知一颗粒子等可能地落入如图所示的平面四边形 3 A B C D (AD=2CD)内 的 任 意 一 个 位 置 , 如 果 通 过 大 量 的 试 验 发 现 粒 子 落 入 △B C D 内 的 频 率 稳 定 在 的 距 离 与 点 3 A.5 4 C.9 2 近 , 那 么 点 5附 ( B 到 直 线 AD )

B到 直 线 CD 的 距 离 的 比 值 约 为 5 B.3 D.1

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第十一章 概 率

解 析 : 选D 记 点 B到 直 线 CD 的 距 离 为 h1,点 B 到 直 线 AD 的 距 离 为 h2.依 题 意 得 S△B S△B C D ∶S△ABD=2∶3, C D ∶S△ABD= CD· h1 AD· h2 故 选 D. 2 ∶ 2 =2∶3,h1∶h2=1∶1,

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第十一章 概 率

5. 在 区 间 [0, π ]上 随 机 取 一 个 数 发 生 的 概 率 为 1 A.4 3 C.4 ( ) 1 B.2 D.1

x, 则 事 件 “s i n x≥c o s x”

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第十一章 概 率

解析: 选 C 因为 s i n x-c o s x= 2s i n
? π 3π? ?- , ?, 以 4? 所 ? 4

? π? ?x- ?≥0, 且 4? ?

π x-4∈

?π ? π ? 3π? x-4∈?0, 4 ?, 即 x∈?4,π?, 故 事 件 s i n x≥c o s ? ? ? ?

π π-4 3 x 发生的概率为 P= = ,故选 C. π-0 4

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第十一章 概 率

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第十一章 概 率

古典概型与几何概型的综合

已知复数z=x+yi(x,y∈R)在复平面上对应的点 为M. (1)设集合P={-4 ,-3,-2,0}, Q={0,1,2},从集合 P中随机取一个数作为x,从集合Q中随机取一个数作为y,求

复数z为纯虚数的概率;

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第十一章 概 率

解 : 记“复 数 z为 纯 虚 数 ”为 事 件 A. 由 条 件 知 组 成 复 数 z 的 所 有 情 况 共 有 1 2 种 , 即 - 4, -4

+i,-4+2 i ,-3,-3+i,-3+2 i ,-2,-2+i,-2+2 i , 0 , i , 2 i , 且 每 种 情 况 出 现 的 可 能 性 相 等 , 其 中 事 件 2种 , 即 i , 2 i , 故 所 求 概 率 2 1 P(A)=1 2 =6. A包 含 的 情 况 共

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第十一章 概 率

( 2 ) 设 x∈[ 0 , 3 ] ,y∈[ 0 , 4 ] , 求 点 M(x,y)落 在 不 等 式 组 : ?x+2y-3≤0 ? ?x≥0 ?y≥0 ?

所 表 示 的 平 面 区 域 内 的 概 率 .

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第十一章 概 率

解 :依 条 件 可 知 , 点
?? ? 0≤x≤3? ? ?? ? ? ??x,y?? ?? ?0≤y≤4? ? ?

M均 匀 地 分 布 在 平 面 区 域 内 , 该 平 面 区 域 为 图 中 矩 S=3×4=1 2 .

形O A B C 围 成 的 区 域 , 面 积

而 所 求 事 件 构 成 的 平 面 区 域 为 ? ??x+2y-3≤0? ?? ? ? ? ??x,y???x≥0 ? ??y≥0 ? ?? ? ? 分).
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, 如 图 中 的 三 角 形

O A D (阴 影 部

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第十一章 概 率

又 直 线 x+2y-3=0与x轴 、 y轴 的 交 点 分 别 为
? 3? D?0,2?,∴三 角 形 ? ?

A( 3 , 0 ) 、

1 3 9 O A D 的 面 积 S1=2×3×2=4, 9 S1 4 3 P= S =1 2 =1 6.

因 此 所 求 概 率

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第十一章 概 率

1 . 求解古典概型与几何概型概率的关键是如何度量事 件,在几何概型中需借助线段的长度(区域的面积或体积)来

表示.
2 .在解两种概率的综合问题时要分清所求概率是哪一 种类型.

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第十一章 概 率

1.( 2 0 1 4 · 河 南 三 市 联 考 域W中 的 点 的 坐 标 M(x,y).

)在 平 面 直 角 坐 标 系

x O y 中 , 平 面 区

(x,y)满 足 x2+y2≤4, 从 区 域 W中 随 机 取 点

( 1 ) 若x∈Z,y∈Z, 令 ξ=x2+y2,求ξ=4的 概 率 ; ( 2 ) 已 知 直 线 l:y= - x+b(b>0 )与 圆 x2+y2=4相 交 所 截 得 的 弦 长 为 2 2, 求 y≥-x+b的 概 率 .

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第十一章 概 率

解 :( 1 ) 若x∈Z,y∈Z, 则 满 足 条 件 的 点 共 有

1 3个 , 列 举

如 下 : (-2 , 0 ) ,(-1 , 0 ) ,( 0 , 0 ) ,( 1 , 0 ) ,( 2 , 0 ) ,(-1 , 1 ) ,( 0 , 1 ) , ( 1 , 1 ) ,(-1, -1 ) ,(0, -1 ) ,(1, -1 ) ,( 0 , 2 ) ,(0, -2 ). 满 足 ξ=x2+y2=4的 点 共 有 ( -2 , 0 ) ,( 2 , 0 ) ,( 0 , 2 ) ,(0,-2 ) 4 共4个 . 故 P(ξ=4 ) =1 3.

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第十一章 概 率

( 2 ) 由 已 知 得 , 区 域

W的 面 积 是 4 π, 因 为 直 线 l :y= - x+ 2 π 2, 2 , 所 以 直 线 l的

b(b>0 ) 与圆x2+y2=4相 交 所 截 得 的 弦 长 为 位 置 如 图 所 示 , 可 求 得 扇 形 的 圆 心 角 为

则 满 足 y≥-x+b(b>0 )的 点 M构 成 的 区 域 的 面 积 为 S=π-2, π-2 所 以 y≥-x+b的 概 率 为 4 π .

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第十一章 概 率

概率与统计的综合

(2014· 哈三中模拟)2013年哈尔滨市投资修建冰雪 大世界,为了调查此次修建冰雪大世界能否收回成本,组委

会成立了一个调查小组对国内参观冰雪大世界的游客的消费
指数(单位:百元人民币)进行调查,在调查的1 000位游客中 有100位哈尔滨本地游客,把哈尔滨本地游客记为A组,外地

游客记为B组,按分层抽样从这1 000人中抽取A,B组人数如
下表:

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第十一章 概 率

A组 消费指数( 百元) 人数 B组 消费指数( 百元) 人数 [3,4) 9 [4,5) 36 [5,6) a [6,7) 54 [7,8] 9 [1,2) 3 [2,3) 4 [3,4) 6 [4,5) 5 [5,6] 2

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第十一章 概 率

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第十一章 概 率

(1)确定a值后完成A组与B组频率分布直方图,并由频率 分布直方图直观地分析比较本地游客和外地游客的消费水 平; (2) 从A组[1,2) 的3人和 [5,6]的2 人共 5 人中任取 2 人,求取 出的2人消费指数都在[1,2)内的概率.

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第十一章 概 率

解 :( 1 ) 由 分 层 抽 样 比

1 0 0 2 0 得a=7 2 . 9 0 0 =1 0 8 +a

本 地 游 客 消 费 平 均 水 平 明 显 低 于 外 地 游 客 , 同 时 外 地 游 客 消 费 水 平 更 加 集 中 , 本 地 的 消 费 水 平 相 对 分 散 .

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第十一章 概 率

( 2 ) 设[ 1 , 2 ) 中的3个 人 为 a,b,c,[ 5 , 6 ) 中 的 2人 为 E,F, 共 有 (a,b),(a,c),(a,E),(a,F),(b,c),(b,E), (b,F),(c,E),(c,F),(E,F)共1 0种 , 满 足 条 件 的 情 况 共 有 所 以 所 求 概 率 为 (a,b),(a,c),(b,c)3种 .

3 P=1 0.

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第十一章 概 率

在此类问题中,常以频率分布表,频率分布直方图或茎 叶图为载体给出条件,然后在此基础上解决有关的概率问 题,体现了概率、统计的有机结合.

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第十一章 概 率

2 .某校高三学生体检后,为了解高三学生的视力情 况,该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生 50人),每班按随机抽样抽取了 8名学生的视力数据.其中高 三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表:
视力 数据 人数 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 2 4.5 4.6 2 4.7 4.8 2 4.9 1 5.0 5.1 1 5.2 5.3

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第十一章 概 率

(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值; (2) 已 知 其 余 五 个 班 学 生 视 力 的 平 均 值 分 别 为 4.3,4.4,4.5,4.6,4.8. 若从这六个班中任意抽取两个班学生视力 的平均值作比较,求抽取的两个班学生视力的平均值之差的 绝对值不小于0.2的概率.

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第十一章 概 率

解 :( 1 ) 高三( 1 ) 班 抽 取 的 8名 学 生 视 力 的 平 均 值 为 4 . 4 ×2+4 . 6 ×2+4 . 8 ×2+4 . 9 +5 . 1 =4 . 7 . 8 所 以 高 三( 1 ) 班 学 生 视 力 的 平 均 值 约 为 ( 2 ) 因 为 高 三 六 个 班 学 生 视 力 的 平 均 值 分 别 为 4 . 3 , 4 . 4 , 4 . 5 , 4 . 6 , 4 . 7 , 4 . 8 . 所 以 任 意 抽 取 两 个 班 学 生 视 力 的 平 均 值 数 对 有 ( 4 . 3 , 4 . 4 ) ( 4 . 3 , 4 . 5 ) ( 4 . 4 , 4 . 6 ) ,( 4 . 4 , 4 . 7 ) ( 4 . 5 , 4 . 8 ) ,( 4 . 3 , 4 . 6 ) ,( 4 . 4 , 4 . 8 ) ,( 4 . 3 , 4 . 7 ) ,( 4 . 5 , 4 . 6 ) ,( 4 . 3 , 4 . 8 ) ,( 4 . 5 , 4 . 7 ) ,( 4 . 4 , 4 . 5 ) , , 4 . 7 .

,( 4 . 6 , 4 . 7 )

,( 4 . 6 , 4 . 8 )

,( 4 . 7 , 4 . 8 )

, 共1 5种 情 形 .
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第十一章 概 率

其 中 抽 取 的 两 个 班 学 生 视 力 0 . 2 的 有( 4 . 3 , 4 . 5 ) ( 4 . 4 , 4 . 7 ) 形 . ,( 4 . 4 , 4 . 8 ) ,( 4 . 3 , 4 . 6 ) ,( 4 . 5 , 4 . 7 ) ,( 4 . 3 , 4 . 7 )

的 平 均 值 之 差 的 绝 对 值 不 小 于 ,( 4 . 3 , 4 . 8 ) ,( 4 . 6 , 4 . 8 ) ,( 4 . 4 , 4 . 6 ) ,

,( 4 . 5 , 4 . 8 )

, 共1 0种 情

所 以 抽 取 的 两 个 班 学 生 视 力 的 平 均 值 之 差 的 绝 对 值 不 小 于 1 0 2 0 . 2 的 概 率 为 1 5 =3.

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第十一章 概 率

概率与统计案例的综合

某电视台2013年举办了“中华好声音”大型歌手
选秀活动,过程分为初赛、复赛和决赛.经初赛进入复赛的 40名选手被平均分成甲、乙两个班,由组委会聘请两位导师 各负责一个班进行声乐培训.下面是根据这40名选手参加复 赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图.

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第十一章 概 率

赛制规定:参加复赛的40名选手中,获得的支持票数排 在前5名的选手可进入决赛,若第5名出现并列,则一起进入 决赛;另外,票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑

战权”.

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第十一章 概 率

(1)从进入决赛的选手中随机抽出3名,求其中恰有1名拥

有“优先挑战权”的概率;
(2)电视台决定,复赛票数不低于85票的选手将成为电视 台的“签约歌手”,请填写下面的2×2列联表,并判断“能 否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成为‘签约歌 手’与选择的导师有关?” 甲班 签约歌手 乙班 合计

未签约歌手
合计
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第十一章 概 率

下面临界值表仅供参考:
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

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第十一章 概 率

解: (1) 进入决赛的选手共 6 名,其中拥有 “ 优先挑战

权”的选手共3名.
设拥有 “ 优先挑战权 ” 的选手编号为 1,2,3 ,其余 3 人编 号为A,B,C.

被选中3人的编号所有可能的情况共20种,分别为
(1,2,3) , (1,2 , A) , (1,2 , B) , (1,2 , C) , (1,3 , A) , (1,3,B),(1,3,C),(1,A,B),(1,A,C),(1,B,C),

(2,3 , A) , (2,3 , B) , (2,3 , C) , (2 , A , B) , (2 , A ,
C),(2,B,C), (3,A,B),(3,A,C),(3,B,C), (A,B,C).
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第十一章 概 率

其 中 拥 有 “优 先 挑 战 权 ”的 选 手 恰 有 1名 的 情 况 共 9种 , 分 别 为 : (1,A,B),(1,A,C),(1,B,C),(2,A,B),(2, A,C),(2,B,C),(3,A,B),(3,A,C),(3,B,C). 故 所 求 概 率 为 9 P=2 0.

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第十一章 概 率

(2)2×2列联表为 甲班 乙班 合计

签约歌手 未签约歌手 合计

3 17 20

10 10 20

13 27 40
40×?3×10-10×17?2 13×27×20×20

根据列联表中的数据,得到K2= ≈5.584>5.024

因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成为“签 约歌手”与选择的导师有关.
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第十一章 概 率

此类问题常将统计案例与概率问题结合在一起,解题时 要善于将两类问题加以区分,在解决统计案例问题的基础上 解答相关的概率问题.

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第十一章 概 率

3.某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前5个 月甲胶囊生产产量(单位:万盒)的数据如下表所示: 月份 产量/万盒 1 4 2 4 3 5 4 6 5 6

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第十一章 概 率

( 1 ) 该 同 学 为 了 求 出 表 中 数 据 已 经 正 确 计 算 出 月 份 生 产 的 甲 胶 囊 产 量 数 ;

y关 于 x的 线 性 回 归 方 程

^ y =b x +a, 根 据 6

b=0 . 6 , 试 求 出 a的 值 , 并 估 计 该 厂

( 2 ) 若 某 药 店 现 有 该 制 药 厂 今 年 月 份 生 产 的 甲 胶 囊

2月 份 生 产 的 甲 胶 囊

2盒 和3

3盒 , 小 红 同 学 从 中 随 机 购 买 了

2盒 甲 胶 囊 ,

后 经 了 解 发 现 该 制 药 厂 今 年 题 , 求 小 红 同 学 所 购 买 的 率 .

2月 份 生 产 的 甲 胶 囊 存 在 质 量 问 2盒 甲 胶 囊 中 恰 有 1盒 有 质 量 问 题 的 概

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第十一章 概 率

1 解:( 1 ) x =5(1+2+3+4+5)=3, 1 y =5(4+4+5+6+6)=5. ^x+a ^过点( x , y ), 因为线性回归方程^ y=b ^= y -b ^ x =5-0.6×3=3.2, 所以a 所以6月份的生产甲胶囊的产量数:^ y=0.6×6+3.2=6.8.

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第十一章 概 率

( 2 ) 记2月 份 生 产 的 2盒 甲 胶 囊 为 A,B;3月 份 生 产 的 3盒 甲 胶 囊 为 a,b,c, 从 中 取 2盒 的 所 有 可 能 情 况 有 : (A,B),(A,

a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a, c),(b,c)共1 0种 , 其 中 恰 有 6 3 率 为 P=1 0 =5. 1盒 有 质 量 问 题 有 6种 , 故 所 求 概

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第十一章 概 率

思想方法活用系列之(十二) 函数方程思想在概率统计

中的应用
【典例】 某工厂生产A,B两种元件,其质量按测试指 标划分为大于或等于 7.5 为正品,小于 7.5 为次品.现从一批 产品中随机抽取这两种元件各 5 件进行检测,检测结果记录 如下: A 7 7 7.5 9 9.5

B

6

x

8.5

8.5

y

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第十一章 概 率

由于表格被污损,数据 x , y 看不清,统计员只记得 x <
y ,且 A , B 两种元件的检测数据的平均值相等,方差也相 等. (1)求表格中x与y的值; (2) 若从被检测的 5 件 B 种元件中任取 2 件,求 2 件都为正 品的概率. [ 思路点拨 ](1) 根据表中数据及题意列出方程组求解 x , y;

(2)利用列举法和古典概型概率公式求解.

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第十一章 概 率

1 解 :( 1 ) 因为 x A=5(7+7+7 . 5 +9+9 . 5 ) =8, 1 x B=5(6+x+8 . 5 +8 . 5 +y). 由 x A= x B , 得 x+y=1 7 . 因 为 1 2 sA= (1+1+0 . 2 5 5 5 +1+2 . 2 5 ) =1 . 1 , +0 . 2 5 +?y-8?2???, ② 因 为 x<y, 所 以 x=8,y ①

1?? 2 2 . 2 5 sB= ?4+?x-8? +0

2 2 2 由s2 = s , 得 ( x - 8 ) + ( y - 8 ) =1 . A B

由① ②解 得 =9 .

? ?x=8, ? ? ?y=9

? ?x=9, 或? ? . ?y=8

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第十一章 概 率

( 2 ) 记 被 检 测 的 5件B种 元 件 分 别 为 中B2,B3,B4,B5为 正 品 .

B1,B2,B3,B4,B5, 其

从 中 任 取 2件 , 共 有 1 0个 基 本 事 件 , 具 体 如 下 : (B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B1,B5),(B2,B3), (B2,B4),(B2,B5),(B3,B5),(B3,B5),(B4,B5). 记“2件 都 为 正 品 ”为 事 件 C, 则 事 件 C包 含 以 下 6个 基 本 事 件 : (B2,B3),(B2,B4),(B2,B5),(B3,B4),(B3,B5), (B4,B5). 6 3 3 所 以 P(C)=1 即 2件 都 为 正 品 的 概 率 为 5. 0 =5,

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第十一章 概 率

[题后总结]解决此类问题首先要分清问题的类型,明确 解题的思路,然后由已知列出方程求得未知数,并在此基础 上解决其他问题.

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第十一章 概 率

【针对训练】

(2013· 安徽高考 ) 为调查甲、乙两校高三年级学生某次
联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中各抽取30 名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样 本数据的茎叶图如图所示:

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第十一章 概 率

( 1 ) 若 甲 校 高 三 年 级 每 位 学 生 被 抽 取 的 概 率 为 高 三 年 级 学 生 总 人 数 , 并 估 计 甲 校 高 三 的 及 格 率 ( 6 0 分 及6 0分 以 上 为 及 格 );

0 . 0 5 , 求 甲 校

年 级 这 次 联 考 数 学 成 绩

( 2 ) 设 甲 、 乙 两 校 高 三 年 级 学 生 这 次 联 考 数 学 平 均 成 绩 分 别 为 x 1、 x 2, 估 计 x 1- x 2的 值 .

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第十一章 概 率

解:( 1 ) 设 甲 校 高 三 年 级 学 生 总 人 数 为 0.05,即n=600.

30 n,由题意知, n =

样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5,据此 5 5 估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1-30=6.

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第十一章 概 率

( 2 ) 设 甲 、 乙 两 校 样 本 平 均 数 分 别 为 本 茎 叶 图 可 知 , 3 0 ( x ′1- x ′2)=3 0 x ′1-3 0 x ′2

x ′1, x ′2, 根 据 样

=(7-5 ) +( 5 5 +8-1 4 ) +( 2 4 -1 2 -6 5 ) +( 2 6 -2 4 -7 9 ) + ( 2 2 -2 0 ) +9 2 =2+4 9 -5 3 -7 7 +2+9 2 =1 5 . 因 此 x ′1- x ′2=0 . 5 . 故 x 1- x 2的 估 计 值 为 0 . 5 分 .

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第十一章 概 率

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