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广东省佛山一中08-09学年高一下学期期末考试(数学)


归海木心

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佛山一中 08-09 学年高一下学期期末考试 数学试题
一.选择题(每题 5 分,共 50 分)
1.数列 1,3,6,10,… 的一个通项公式是( A. n ? ( n ? 1)
2

). D.

B. n ? 1
2

C.

n (n ? 1) 2

n (n + 1) 2
开 始

2.若 b < a < 0, d < c < 0 ,则 正确的是( ) A. ac > bc B.

a b > c d

C. a + c > b + d

D. a ? c > b ? d

S =1 i = 3

3.某中学高一年级有学生 1200 人,高二年级有学生 900 人,高三 年级有学生 1500 人,现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 720 是 的样本进行某项调查,则高二年级应抽取的学生数为( ) A.180 B.240 C.480 ) D. 15 D.720
输出i
结 束
频频 组组 0.04 0.03 0.02 0.01

S ≥ 1000 ?


S = S *i
i = i+2

4.已知如右程序框图,则输出的 i 值是( A. 9 B. 11 C. 13

5.某雷达测速区规定:凡车速大于或等于 70km/h 的汽车视为 “超速” ,并将受到处罚,如图是某路段的一个检测点对 300 辆 汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图,则从图中可得 出将被处罚的汽车的概率 ( ) A. 30 辆 B. 40 辆 C. 60 辆 D. 80 辆 6.在等比数列 {an } 中,如果 a1 + a2 = 40,a3 + a4 = 60,那么

40 50 60

70 80

时时

a5 + a6 = (

)

A.100

B.95

C.90 ) x y

D.80 4 20 15 5 25 20 6 30 28

7. 根据表中数据, y 关于 x 的线性回归方程 求 ( A. y = 11.5 x ? 1.3 B. y = 11.5 x + 1.3 D. y = 1.3 x + 11.5

? C. y = 1.3 x ? 11.5

(提示: b =

∑x y
i =1 i

n

i

?n?x? y ? n? x
2

∑x
i =1

n

; a = y ? bx )

2 i

8.若不等式组 x ≥ o且y ≥ 0且y ≤ ?2 x + 4且x + y ≤ s 表示的平面区域是一个四边形,则 s 的 取值范围是(
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A. 0 < s ≤ 2 或 s ≥ 4

B. 0 < s ≤ 2

C. 2 < s < 4

9.已知有限数列 A: a1,a2,…,an,Sn 为其前 n 项和,定义

s1 + s2 + ... + sn 为 A 的“凯森 n

D. s ≥ 4

和” ;如有 99 项的数列{a1,a2,…,a99}的“凯森和”为 1000,则有 100 项的数列{2,a1, a2,…,a99}的“凯森和”为( A. 991 B. 992 ). C. 999 D. 1001 )

10.已知实数 a, b ∈ (0,1) ,则方程 x = ?2a ? A.

b2 x
C.

有实根的概率为 (

1 2

B.

1 3

1 6

D.

2 3

二.填空题(每题 5 分,共计 30 分)
11.在△ABC 中,若 b = 2 3 , A = 30 有 个。
0

, a = 3 3 ,则这样的三角形

12.已知等差数列 {a n } 的前 13 项之和为 78 ,则 a 7 等于

13.已知,右图给出了一个算法流程图。若输入 a = 2 cos 2 15 0 ? 1 , b = cos 15 0 , c = 2 sin 22.5 0 cos 22,5 0 ,则输出的 a =
14.从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,则以这 三条线段为边不构成直角三角形的概率是________。 15. 已知 △ABC 外接圆直径为 1,且 sin C = sin A + sin B ? sin A sin B .
2 2 2

则角 C =

三角形△ABC 面积的最大值为 16.若

∑ i(i + 1) ≤ λ (n + 1) 对一切 n ∈ N
i =1

n

1

*

恒成立,则实数 λ 的最小值



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2009 学年度下学期期末考试高一级数学考试答卷 学年度下学期期末考试高一
座位号: 二. 填空题(每题 5 分,共 30 分) 11. 试 号: 15


12 ;

13 16
0

14.

17. (14 分)在△ABC 中,若 b = 2 3 , A = 30 , a = 2 ,求角 B





18. (14 分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预 赛成绩中随机抽取 6 次,记录如下: 甲 83 81 79 78 97 92 乙 90 96 79 75 80 90 (Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据,并写出乙组数据的中位数; (Ⅱ)经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为 x甲 =85, x乙 =85 ,方差分别为

级:

2 2 s甲 = 49 s乙 = 55.3 ,现要从中选派一人参加数学竞赛,你认为选派哪位学生参加合适?请

说明理由; (Ⅲ)若将甲学生的 6 次成绩写在 6 个完全相同的标签上,并将这 6 个标签放在盒子中,则 从中摸出两个标签,至少有一个标签上写的是 80 以下的数字的概率是多少?
线

考号:

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19. (14 分)解关于 x 的不等式 mx2-(m+1)x+1<0.

20. (14 分)某地区有荒山 2200 亩,从 2002 年开始每年年初在荒山上植树造林,第一年植 树 100 亩,以后每年比上一年多植树 50 亩. (Ⅰ)若所植树全部成活,则到哪一年可以将荒山全部绿化? (Ⅱ)画出解决问题(Ⅰ)的程序框图。 (Ⅲ)若每亩所植树苗木材量为 2 立方米,每年树木木材量的自然增长率为 20%,那么到 全部绿化后的那一年年底,该山木材总量是多少?(精确到1立方米, 1.2 ≈ 4.3 )
8

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21. (14 分)已知函数 f ( x ) = ( x ? 1) 2 与函数 g ( x ) = 10( x ? 1) ,数列 {a n }满足 a 1 = 2 ,

(a n +1 ? a n )g(a n ) + f (a n ) = 0 , b n =

9 (n + 2)(a n ? 1) . n ∈ N ? ) ( 10

(Ⅰ)求证:数列 {a n ? 1}是等比数列; (Ⅱ)当 n 取何值时, b n 取最大值,并求之。

tm t m +1 * (III)若 < 对任意 m ∈ N 恒成立,求实数 t 的取值范围. b m b m +1

佛山市第一中学 2008—2009 学年第一学期期末考试高一年级
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数学试题答案
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 选择题( 1 2 3 4 题号 得分 D C A C 5 C 6 C 7 C 8 C 9 B 10 A

填空题( 二. 填空题(每题 5 分,共 30 分) 11.1 ; 12. 6 ; 13.

2 2

14.

3 4

; 15. 60 、

0

3 3 16

;16 .

1 4

三解答题 17(14 分) (

a b = ----------------------------------------2 ----------------------------------------2 分 sin A sin B b 2 3 3 sin 30 0 = 得 sin B = sin A = ----------------------------------8 ----------------------------------8 分 a 2 2 0 0 又 b > a ,所以, 30 < B < 180 ---------------------------------------10 分 ---------------------------------------10 0 0 得 B = 60 或B = 120 -------------------------------------------------14 分 -------------------------------------------------14
解:由正弦定理知: (Ⅰ) 18.(14 分)解: (
甲 9 8 8 2 7 2

作出茎叶图如下:


7 8 9

5 0 0

9 0 6
………………………… ………………………… ………………………… 3分 5分

乙组数据的中位数为 85 (Ⅱ)派甲参赛比较合适。理由如下:
2 2

Q x甲 = 85 , x乙 =85 , s甲 = 49 , s乙 = 55.3 , ∴ x甲 = x乙 , s甲2 < s乙2 ,

∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适。

………………--------------------7 分 ………………

(Ⅲ) 解法 1:从 6 张标签中摸出两个标签,共有 15 种不同的结果 83,81; 83,79; 83,78; 83,97; 83,92;81,79; 81,78; 81,97; 81, 92; 79,78; 79,97; 79,92;78,97; 78,92;97,92;-------------------------------10 分 设“抽出的两张标签中至少有一个标签上写的是 80 以下的数字为事件 A,其中事件 A 包含 以下 9 种不同的结果 83,79; 83,78;81,79; 81,78; 79,78; 79,97; 79, 92; 78,97; 78,92;------------------------------------------------------------------------------------12 分 所以, P ( A) =

9 = 0.6 --------------------------------------------------------------------------------13 分 15

答:抽出的两张标签中至少有一个标签上写的是 80 以下的数字的概率为 0.6-------------14 分 解法 2:设“抽出的两张标签中至少有一个标签上写的是 80 以下的数字为事件 A,设事件

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“仅第 1 次抽出的标签是 80 以下的数字” ;事件“仅第 2 次抽出的是 80 以下的数字” ;事件 “2 次抽出的标签都是 80 以下的数字”分为 A1 、 A2 、 A3 ,则它们之间相互互斥,且

A = A1 + A2 + A3







p ( A) = p ( A1 ) + P( A2 ) + P( A3 ) -----------------------------------------------------------------10 分
因为, A1 中的基本事件的个数为 8,中的基本事件的个数为 8 A2 、 A3 中的基本事件的个数 为 2,全部基本事件的总数为 30 所以,P ( A) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A3 ) =

8 8 2 + + = 0.6 --------------------------------13 分 30 30 30

答抽出的两张标签中至少有一个标签上写的是 80 以下的数字的概率是 0.6-----------------14 分 19( 19(14 分) 解:原不等式可化为 ( mx ? 1)( x ? 1) < 0 ------------------------------------------------------------1 分 1、 当 m = 0 时,原不等式可化为 ? x + 1 < 0 即 x > 1 -----------------------------3 分 -----------------------------3 2、 当 m < 0 时,原不等式可化为 m( x ? 所以不等式的解集为 ? x x <

1 1 )( x ? 1) < 0 即 ( x ? )( x ? 1) > 0 m m

? ?

? 1 或x > 1? ---------------------------------------6 分 ---------------------------------------6 m ?
1 )( x ? 1) < 0 m


3、 当 m > 0 时,原不等式可化为 ( x ? ① 当 m > 1 时,不等式的解集为 ? x

1 1? m ?1 = ------7 ------7 分 m m

? 1 ? < x < 1? ------------------------------9 分 ------------------------------9 ? m ?

------------------------------------------11 ② 当 m = 1 时,不等式的解集为 ? ------------------------------------------11 分 ③ 当 0 < m < 1 时,不等式的解集为 ? x 1 < x <

? ?

1? ---------------------------13 ? ---------------------------13 分 m?

综上所述得: 当 m < 0 时,解集为 ? x x <

? ?

? 1 或x > 1? ;当 m = 0 时,解集为 {x x > 1}当 0 < m < 1 时,解 m ?

集为 ? x 1 < x <

? ?

? 1 ? 1? ? ;当 m = 1 时,不等式的解集为 ? ;当 m > 1 时,解集为 ? x < x < 1? m? ? m ?

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------14 分 20. . (14 分) (
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解: (1)设植树n年后可将荒山全部绿化,记第n年初植树量为 an , 依题意知数列 {an } 是首项 a1 = 100 ,公差 d = 50 的等差数列,---------------------------1 分 则 100n + ∵n∈ N
?

n(n ? 1) = 2200 即 n 2 + 3n ? 88 = 0 ? (n + 11)(n ? 8) = 0 ---------------------2 分 2
∴ n = 8 -------------------------------------------------------3 分 -------------------------------------------------------3

∴到 2009 年初植树后可以将荒山全部绿化.---------------------------------4 分 .---------------------------------4 (2) 程序框图 开始
n=2002 i=1 S=0

t=100+50x(i-1) s=s+t

n=n+1 i=i+1

s>=2200
是 输出 n 结束



----------------------------------------------------9 分
8 3

(3)解:由题意知 2002 年初木材量为 2a1 m ,到 2009 年底木材量增加为 2a1 (1.2) m , 2003 年初木材量为 2a2 m ,到 2009 年底木材量增加为 2a2 (1.2) m , …… 2009 年初木材量为 2a8 m ,到 2009 年底木材量增加为 2a8 × 1.2 m .
3 3 3 7 3
3

则到 2009 年底木材总量 S = 2a1 × 1.2 + 2a2 × 1.2 + 2a3 ×1.2 + L + 2a8 × 1.2 ---------11 ---------11
8 7 6



S = 900 × 1.2 + 800 × 1.22 + L + 400 × 1.26 + 300 × 1.27 + 200 × 1.28 --------① 1.2 S = 900 × 1.22 + 800 × 1.23 + L + 400 × 1.27 + 300 × 1.28 + 200 × 1.29 ---------②
②-①得

0.2 S = 200 ×1.29 + 100 × (1.22 + 1.23 + L + 1.28 ) ? 900 × 1.2
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= 700 × 1.29 ? 500 × 1.22 ? 900 × 1.2 = 840 × 1.28 ? 1800 ≈ 840 × 4.3 ? 1800 = 1812
--------------------------------------------------------------13 ∴ S = 9060 m --------------------------------------------------------------13
3

分 答:到全部绿化后的那一年年底,该山木材总量为 9060 m -------------------------------------14 分 21.(14 分) . 解: (I)∵ (a n +1 ? a n )g (a n ) + f (a n ) = 0 , f (a n ) = (a n ? 1) , g (a n ) = 10(a n ? 1) ,
2 2 ∴ (a n +1 ? a n )10(a n - 1) + (a n - 1) = 0 . 即 (a n ? 1)(10a n +1 - 9a n - 1) = 0 .
3

又 a 1 = 2 ,可知对任何 n ∈ N , a n ? 1 ≠ 0 ,所以 a n +1 =
*

9 1 a n + .…---------…2 …---------… 10 10



9 1 a n + ?1 a ? 1 10 9 10 ∵ n +1 = = , a n ?1 a n ?1 10
∴ {a n ? 1}是以 a 1 ? 1 = 1 为首项,公比为 分 (II) (I) 由 可知 a n ? 1 = (

9 的等比数列.-------…--------------……5 -------… ……5 ------- --------------…… 10

9 n ?1 9 9 * ) ( n ∈ N ) ∴ bn = . (n + 2)(a n ? 1) = (n + 2)( ) n . 10 10 10

b n +1 = bn


9 (n + 3)( ) n +1 9 1 10 = (1 + ) .……………………------------------………6 ……………………------------------………6 ……………………------------------……… 9 n 10 n+2 (n + 2)( ) 10

当 n=7 时,

b8 b b = 1 , b 8 = b 7 ;当 n<7 时, n +1 > 1 , b n +1 > b n ;当 n>7 时, n +1 < 1 , b7 bn bn

b n +1 < b n .
∴当 n=7 或 n=8 时, b n 取最大值,最大值为 b 7 = b 8 =

98 .……………………….…9 分 ………………………. 10 7
(*)

(III)由

tm t m +1 1 10t < ,得 t m [ ? ]<0 b m b m +1 m + 2 9(m + 3)
*

依题意(*)式对任意 m ∈ N 恒成立,

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①当 t=0 时, (*)式显然不成立,因此 t=0 不合题意.……………………….…10 分 ……………… ………………………. ②当 t<0 时,由

1 10t ? > 0 ,可知 t m < 0 ( m ∈ N * ) . m + 2 9(m + 3)
m

而当 m 是偶数时 t ③当 t>0 时,由 t ∴ 分 设 h (m) =

> 0 ,因此 t<0 不合题意.…………………………………..…11 分 …………………………………..… ………………………………….. > 0 ( m ∈ N * ),
∴t >

m

1 10t ? <0 m + 2 9(m + 3) 9(m + 3) 10(m + 2)

9(m + 3) . 10(m + 2)

( m ∈ N )…--------------- … 12 … ---------------…
*

(m∈ N )
*

∵ h ( m + 1) ? h ( m) =

9( m + 4) 9(m + 3) 9 1 ? =? ? < 0, 10(m + 3) 10(m + 2) 10 (m + 2)(m + 3)

∴ h (1) > h ( 2) > L > h ( m ? 1) > h ( m) > L ……………………………---------…..13 分. …………………………--------…………………………---------… ∴ h ( m) 的最大值为 h (1) =

6 . 5
6 }.……………………---------……………14 分 ……………………---------……………14 ……………………---------…………… 5

所以实数 t 的取值范围是{t/ t >

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