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培优讲义5(一类与n有关的不等式的证明方法)


一类与 n 有关的不等式的证明方法
一.方法总结: 1. 数学归纳法:与自然数 n 有关的命题 2. 放缩法:可结合数学归纳法寻找放缩方向 3. 二项式定理:2n 或 3n 与 n 的多项式函数式比较大小 4. 构造函数法:令 x ? n ,或 n ? 1 ,或

1 1 ,或 等,把不等式转化为关于 x 的函数问题。 n n ?1

5. 数列单调性法:把不等式转化为一个数列的项的最值问题,再考虑数列的单调性。 二.针对训练: 1.已知各项为正数的数列{an}前 n 项和 Sn 满足:Sn>1,且 6 Sn =( an +1)( an +2). (1)求 an; (2)若 an (2
bn

? 1) ? 1 ,记 Tn ?

? b . 求证: 3T
i ?1 i

n

n

? 1 ? log2 (an ? 3)(n ? N ? )

2.数列{an}的前 n 项和 Sn,且 a 1=0, a n ?1 ?

1 . 2 ? an

(1)求 an;

(2)求证: S n ? n ? ln(n ? 1) (n ? N ? )

3.求证:对任意 n ? N ? , 都有 (1 ? 三.链接高考:

1 n ) ?3 n
?

1.09 山东 20) ( 等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N , (, Sn , 点 n ) 均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上. (Ⅰ)求 r 的值; 证明:对任意的 n ? N
?

(Ⅱ)当 b=2 时,记

bn ? 2 ( l o2g n ? a

1) ( N ? n?

)

,不等式

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 · ·· n ·· ·· ? n ? 1 成立 b1 b2 bn
2

2. (08 湖南 18)数列 ?an ? 满足a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos (Ⅰ)求 a3 , a4 , 并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

n? n? )an ? sin 2 , n ? 1, 2,3,?. 2 2

1 a2 n?1 S , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn . 证明:当 n ? 6时, n ? 2 ? . n a2 n

3. (10 四川 22)设 f ( x ) ?

1? ax ( a ? 0 且 a ? 1 ) g) ,( x 1? ax

是 f ( x ) 的反函数.

(Ⅰ)设关于 x 的方程 log a

t ? g( x ) 在区间 ? 2,6? 上有实数解,求 t 的取值范围; ( x ? 1 )( 7 ? x )
2

(Ⅱ)当 a ? e ( e 为自然对数的底数)时,证明:

? g( k ) ?
k ?2

n

2 ? n ? n2 ; 2n( n ? 1 )

1

(Ⅲ)当 0 ? ? ?

1 时,试比较? 2

? f ( k ) ? n?与 4 的大小,并说明理由.
k ?1

n

针对训练 参考答案 1. 解: (1)∵6 Sn =( an +1)( an +2) ,∴6 Sn+1 =( an+1 +1)( an+1 +2) 相减,得:6 an+1 = an+12 - an 2+3 an+1- 3an, 即( an+1 + an)( an+1- an-3)=0 ∵an+1 + an>0 ∴an+1- an=3 ∴{an}是等差数列,公差为 3. 由 6 Sn =( an +1)( an +2), 得 6 S1 =( a1 +1)( a1+2) 解得 a1 =1 或 a1=2 ∵Sn>1 ∴a1=2,故 an =2+3(n-1)=3n-1.

3n 3 6 9 3n ) ,∴ Tn ? log 2 ( ? ? ? ? ? 3n ? 1 2 5 8 3n ? 1 3 6 9 3n 3 ) ? 3n ? 2 ∴原不等式等价于 2 ( ? ? ? ? ? 2 5 8 3n ? 1
(2)由(1)知 bn ? log 2 方法一:数学归纳法(略) ∵n≥1 时, ( 方法二:放缩法:

3n 3 3n ? 2 3n 3 3n ? 2 27n 3 ? (3n ? 1) 2 (3n ? 2) 9n ? 2 ) ? ) ? ? ? ? 0 ∴( 3 3 3n ? 1 3n ? 1 3n ? 1 3n ? 1 (3n ? 1) (3n ? 1)

3n 3 ) 3n 3 3n ? 2 (3n) 3 (3n) 3 3n ? 1 ? ) ? 或 ? ? 1∴( 3n ? 2 (3n ? 1) ? (3n ? 1) ? (3n ? 2) 3 3n ? 1 3n ? 1 (3n ? 1)(3n ? 1)(3n ? 2) [ ] 3n ? 1 3 (
∴2 ( ?

3 2

6 9 3n 3 5 8 3n ? 2 ? ? ?? ) ? 2 ? ? ? ?? ? 3n ? 2 ,故原不等式成立。 5 8 3n ? 1 2 5 3n ? 1
3

3 6 9 3n 2( ? ? ? ? ? ) 2 5 8 3n ? 1 ? 1 方法三:数列的单调性法: 原不等式等价于 3n ? 2 3 6 9 3n 3n ? 3 3 2( ? ? ? ? ? ) ( ) (3n ? 2) (3n ? 3) 3 2 5 8 3n ? 1 ,则 c n ?1 ? 3n ? 2 ? ? 记 cn ? 3n ? 2 cn 3n ? 5 (3n ? 2)(3n ? 2)(3n ? 5)
3

27 (3n ? 3) 3 ? 1; ? 1,所以 cn?1 ? cn , {cn } 为递增数列, c n ? c1 ? (3n ? 2)(3n ? 2)(3n ? 5) 3 20 [ ] 3
故原不等式成立。 2. 解:(1) an ?

n ?1 n

思路:由前几项归纳出 an,由 an 的特点构造等差数列{

1 } an ? 1

(2)要证的不等式等价于 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? ? ln( n ? 1) 2 3 n

证法一:数学归纳法 ①当 n=1 时,1>0 不等式成立;

1 1 1 ? ? ? ? ? ln( k ? 1) 2 3 k 1 1 1 1 1 ? ln( k ? 1) ? 1 那么 1 ? ? ? ? ? ? , 记 f ( x) ? x ? ln( ? x)(x ? (0,1]) 2 3 k k ?1 k ?1
②假设当 n=k 时,不等式成立,即 1 ?
2

1 x ? ? 0 ,∴f(x)在(0,1]上为增函数, ∴f(x)>f(0)=0 1? x x ?1 1 1 1 1 1 ? ? (0,1] ,∴ ln( k ? 1) ? ? ln( k ? 2) ? ? ln(1 ? )? f( )?0 而k ?N , k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 1 1 1 1 1 ? ln( k ? 1) ? ? ln( k ? 2) ,即 n=k+1 时,不等式也成立; ∴1 ? ? ? ? ? ? 2 3 k k ?1 k ?1 1 1 1 根据①②可知, 1 ? ? ? ? ? ? ln( n ? 1) 对任意自然数 n 都成立 2 3 n
则 f ?( x) ? 1 ? 故原不等式成立。 证法二:放缩法记 f ( x) ? x ? ln( ? x)(x ? (0,1]) 1 ∴f(x)在(0,1]上为增函数, ∴f(x)>f(0)=0 则 f ?( x) ? 1 ?

1 x ? ? 0, 1? x x ?1

1 1 1 1 1 ? (0,1] ,∴ f ( ) ? ? ln( ? 1) ? 0 即 ? ln( n ? 1) ? ln n n n n n n 1 1 1 ∴ 1 ? ? ? ? ? ? (ln 2 ? ln 1) ? (ln 3 ? ln 2) ? ? ? (ln( n ? 1) ? ln n) ? ln( n ? 1) ,故原不等式成立。 2 3 n 1 1 1 证法三:数列单调性要证的不等式等价于 1 ? ? ? ? ? ? ln( n ? 1) ? 0 2 3 n 1 1 1 1 1 1 ? ln( n ? 2) ? ln( n ? 1) ? ? ln(1 ? ) 记 c n ? 1 ? ? ? ? ? ? ln( n ? 1) ,则 c n ?1 ? c n ? 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 1 1 ? ln(1 ? ) ? 0 ,所以 cn?1 ? cn , {cn } 为递增数列, cn ? c1 ? 1 ? ln 2 ? 0 ; 下同法一二,可得 n ?1 n ?1
而n? N ,
?

故原不等式成立。 3. 证法一:二项式定理、放缩法:当 k≥2 时,

C

k n

1 n(n ? 1)( n ? 2) ? (n ? k ? 1) ? k n n k ? k!

1 2 k ?1 1 1 1 1 ? (1 ? )(1 ? ) ?(1 ? )? ? ? ? n n n k ? (k ? 1) ? ? ? 2 ? 1 k (k ? 1) k ? 1 k
∴ (1 ?

1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 n ) ? 1 ? C n ? ? C n ? 2 ? C n ? 3 ? ? ? C n ? n ? 1 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? n n 2 2 3 n n n
即原不等式成立。

?(

1 1 1 ? )?3? ?3 n ?1 n n

1 1 1 1 1 证法二:构造函数法:原不等式等价于 n ln(1 ? ) ? ln 3 ? ln(1 ? ) ? ln 3 ? ln(1 ? ) ? ln 3 ? 0 n n n n n 1 1 设 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ln 3 , x ? (0,1] 则 ? 1, ln 3 ? 1 ∴ f ?( x) ? ? ln 3 ? 0 1? x 1? x
∴f(x)在(0,1]上为减函数, ∴f(x)<f(0)=0 而n? N ,
?

1 1 ? (0,1] ,∴ f ( ) ? 0 ,故原不等式成立。 n n

3

三.链接高考: 3。 (10 四川) (Ⅲ)

1 1? n 2 , 则p ? 1,1 ? f (1) ? ? 1? ? 3 1? p 1? n n 2 当n ? 1时, f (1) ? 1 ? ? 2 ? 4. p 设n ? 当n ? 2时, 设k ? 2, k ? N * 时, 则f (k ) ? (1 ? p ) k ?1 2 ? 1? k ?1 (1 ? p ) (1 ? p ) k ? 1
? 1? 2 2 C P ? C P ? ? ? C4 P n
2 4 2 4 2

所以1 ? f (k ) ? 1 ?
n

2 4 4 4 ? 1? ? 1? ? 2 k (k ? 1) k k ?1 C ? C4
1 4

从而n ? 1 ? ? f (k ) ? n ? 1 ?
n?2 n

4 4 4 ? ? n ?1? ? n ? 1. 2 n ?1 n ?1

所以n ? ? f (k ) ? f (1) ? n ? 1 ? n ? 4
n ?1

综上,总有

? ?(k ) ? n ? 4. ……………………………………(14 分)
n ?1

n

1? ax 2a x ? 1? 法二: f ( x) ? 1? ax 1? ax
故|

∵0 ? a ?

1 ,n? N? 2



1 1 ? (当且仅当 n=1 时取等号) n 1? a 1? a

? f (k ) ? n |?
k ?1

n

a a2 an 2a 2a 2 2a n ? 2( ? ??? ) ? ??? 1? a 1? a 1? a 1? a 1? a2 1? an
2 ?4 1 a? ?2 a

?

2a(1 ? a n ) 2a ? ? 2 (1 ? a) (1 ? a) 2

1 解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数的图像上.
x

?

所以得 Sn ? bn ? r ,当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 , 又因为{ an }为等比数列,所以 r ? ?1 ,公比为 b , an ? (b ?1)bn?1
4

(2)当 b=2 时, an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 , 则

bn ? 2(log2 an ?1) ? 2(log2 2n?1 ?1) ? 2n

bn ? 1 2n ? 1 b ? 1 3 5 7 2n ? 1 b ? 1 b2 ? 1 ,所以 1 ? · ·· n ·· ·· ? ? ? ? b1 b2 bn 2 4 6 2n bn 2n b ? 1 3 5 7 2n ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 · ·· n ·· ·· ? ? ? ? ? n ? 1 成立. b1 b2 bn 2 4 6 2n

下面用数学归纳法证明不等式

① 当 n ? 1 时,左边=

3 3 ,右边= 2 ,因为 ? 2 ,所以不等式成立. 2 2

② 假设当 n ? k 时不等式成立,即

b ? 1 3 5 7 2k ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 · ·· k ·· ·· ? ? ? ? ? k ? 1 成立. b1 b2 bk 2 4 6 2k

则当 n ? k ? 1 时,左边=

b ? 1 bk ?1 ? 1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 2k ? 1 2 k ? 3 · ·· k ·· ·· ? ? ? ? ?? ? b1 b2 bk bk ?1 2 4 6 2k 2k ? 2

? k ?1 ?

2k ? 3 (2k ? 3) 2 4(k ? 1) 2 ? 4(k ? 1) ? 1 1 ? ? ? (k ? 1) ? 1 ? ? (k ? 1) ? 1 2k ? 2 4(k ? 1) 4(k ? 1) 4(k ? 1)

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. 2.解 (Ⅰ)因为 a1 ? 1, a2 ? 2, 所以a3 ? (1 ? cos
2

?
2

)a1 ? sin 2

?
2

? a1 ? 1 ? 2,

an ? (1 ? cos2 ? )a2 ? sin 2 ? ? 2a2 ? 4.
* 一般地,当 n ? 2k ?1(k ? N ) 时, a2 k ?1 ? [1 ? cos
2

(2k ? 1)? 2k ? 1 ]a2 k ?1 ? sin 2 ? 2 2

= a2k ?1 ? 1 ,即 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 1. 所以数列 ?a2k ?1? 是首项为 1、公差为 1 的等差数列,因此 a2 k ?1 ? k.
* 当 n ? 2k (k ? N ) 时, a2 k ? 2 ? (1 ? cos
2

2 k? ? 2a2 k . 2

所以数列 ?a2k ? 是首项为 2、公比为 2 的等比数列,因此 a2 k ? 2k.

? n ?1 * ? 2 , n ? 2k ? 1(k ? N , 故数列 ?an ? 的通项公式为 a2 ? ? ? n * 2 ? 2 , n ? 2k ( k ? N .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ?

a2 n ?1 n ? 2, a2 n 2


Sn ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ?? ? n , 2 2 2 2
5

1 1 2 3 n S n ? 2 ? 2 ? 4 ? ? ? n ?1 ② 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n ①-②得, S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 . 2 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( )2 ] 2 ? n ? 1? 1 ? n . ?2 1 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2 1 n n?2 所以 S n ? 2 ? n ?1 ? n ? 2 ? n . 2 2 2 1 n( n ? 2) ? 1 成立. 要证明当 n ? 6 时, S n ? 2 ? 成立,只需证明当 n ? 6 时, n 2n
证法一

6 ? (6 ? 2) 48 3 ? ? ? 1 成立. 26 64 4 k ( k ? 2) ? 1. (2)假设当 n ? k (k ? 6) 时不等式成立,即 2k
(1)当 n=6 时, 则当 n=k+1 时,

(k ? 1)(k ? 3) k (k ? 2) (k ? 1)(k ? 3) (k ? 1)(k ? 3) ? ? ? ? 1. 2k ?1 2k 2k (k ? 2) (k ? 2)?2k
n(n ? 1) 1 ? 1 ,即当 n≥6 时, S n ? 2 ? . 2 2 n

由(1)、(2)所述,当 n≥ 6 时, 证法二

n(n ? 2) (n ? 1)(n ? 3) n(n ? 2) 3 ? n 2 (n ? 6) ,则 cn?1 ? cn ? ? ? n?1 ? 0. 令 cn ? 22 2n?1 22 2
所以当 n ? 6 时, cn?1 ? cn .因此当 n ? 6 时, cn ? c6 ? 于是当 n ? 6 时,

6?8 3 ? ? 1. 64 4

n( n ? 2) ? 1. 22 1 . n

综上所述,当 n ? 6 时, S n ? 2 ?

3.本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识,考查化归、分类整合等数学思想 方法,以及推理论证、分析与解决问题的能力。 解: (Ⅰ)由题意,得 a ?
n

y ?1 x ?1 , x ? (?? ,?1) ? (1,?? ). ? 0, 故 g ( x) ? log a x ?1 y ?1

t x ?1 由 loga 2 得 ? loga x ?1 ( x ? 1)(7 ? x)
列表如下:

t ? ( x ? 1) 2 (7 ? x), x ? [2,6] 则t ? ? ?3x 2 ? 18x ? 15 ? ?3( x ? 1)(x ? 5).

x
t?

2

(2,5) +

5 0
6

(5,6) -

6

t

5

极大值

25

所以 t 最小值 ? 5, t 最大值 ? 32 所以 t 的取值范围为[5,32]……………(5 分) (Ⅱ)

? g (k ) ? 1n 3 ? 1n 4 ? 1n 5 ? ?1n n ? 1
n?2

n

1

2

3

n ?1

1 2 3 n ?1 ? 1n( ? ? ? ? ? ) 3 4 5 n ?1 n(n ? 1) ? ?1n 2

1? z2 1 ? ?21nz ? z ? , z ? 0, z z 2 1 1 2 则u ?( z ) ? ? ? 1 ? 2 ? (1 ? ) ? 0. z z z 所以u ( z )在(0,??)上是增函数 . 令u ( z ) ? ?1nz 2 ?

n(n ? 1) n(n ? 1) ? 1 ? 0, 所以n( ) ? n(1) ? 0 2 2 n(n ? 1) 1? 2 2 却1n ? ? 0, n(n ? 1) n(n ? 1) 2 n 2 ? n ? n2 即? g (k ) ? ???? (9分) 2n(n ? 1) n?2 又因为
(Ⅲ)

1 1? n 2 , 则p ? 1,1 ? f (1) ? ? 1? ? 3 1? p 1? n n 2 当n ? 1时, f (1) ? 1 ? ? 2 ? 4. p 设n ? 当n ? 2时, 设k ? 2, k ? N * 时, 则f (k ) ? (1 ? p ) k ?1 2 ? 1? k ?1 (1 ? p ) (1 ? p ) k ? 1
? 1? 2 2 C P ? C P ? ? ? C4 P n
2 4 2 4 2

7

所以1 ? f (k ) ? 1 ?
n

2 4 4 4 ? 1? ? 1? ? 2 k (k ? 1) k k ?1 C ? C4
1 4

从而n ? 1 ? ? f (k ) ? n ? 1 ?
n?2 n

4 4 4 ? ? n ?1? ? n ? 1. 2 n ?1 n ?1

所以n ? ? f (k ) ? f (1) ? n ? 1 ? n ? 4
n ?1

综上,总有

? ?(k ) ? n ? 4. ……………………………………(14 分)
n ?1

n

法二: f ( x) ? 号) 故|

1? ax 2a x ? 1? 1? ax 1? ax

∵0 ? a ?

1 ,n? N? 2



1 1 ? (当且仅当 n=1 时取等 n 1? a 1? a

? f (k ) ? n |?
k ?1

n

a a2 an 2a 2a 2 2a n ? 2( ? ??? ) ? ??? 1? a 1? a 1? a 1? a 1? a2 1? an
2 ?4 1 a? ?2 a

?

2a(1 ? a n ) 2a ? ? 2 (1 ? a) (1 ? a) 2

∴∴∵∵

同类高考题
n ?1 1. (09 湖北 19).已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? an ? ( ) ? 2 (n 为正整数) 。

1 2

(Ⅰ)令 bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式;

n ?1 5n an , Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn 试比较 Tn 与 的大小,并予以证明。 n 2n ? 1 1 n ?1 1 19.解析: (I)在 S n ? ? an ? ( ) ? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?an ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ? 2 2 1 n?2 1 n ?1 ? 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? ? an ?1 ? ( ) ? 2, an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) , 2 2 1 n ?1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 . 2
(Ⅱ)令 cn ?
8

?bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1 .
又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列.
n 于是 bn ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n ? 2 an ,? an ?

?

n . 2n

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n ,所以 n 2 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? K ? ( n ? 1)( ) n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? 4 ? ( ) 4 ? K ? (n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 由①-②得 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? K ? ( ) ? ( n ? 1)( ) 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2
(II)由(I)得 cn ?

① ②

5n n?3 5n (n ? 3)(2n ? 2n ? 1) Tn ? ? 3? n ? ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2n (2n ? 1)
于是确定 Tn与

5n n 的大小关系等价于比较 2 与2n ? 1的大小 2n ? 1

由 2 ? 2 ?1 ? 1;22 ? 2 ? 2 ? 1;23 ? 2 ? 3 ? 1;24 ? 2 ? 4 ? 1;25 ? 2 ? 5;K

2 可猜想当 n ? 3时, ? 2n ? 1. 证明如下:
n

证法 1: (1)当 n=3 时,由上验算显示成立。 (2)假设 n ? k ? 1 时 2k ?1 ? 2g k ? 2(2k ? 1) ? 4k ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 ? (2k ?1) ? 2(k ? 1) ? 1 2 所以当 n ? k ? 1 时猜想也成立
n 综合(1) (2)可知 ,对一切 n ? 3 的正整数,都有 2 ? 2n ? 1.

证法 2:当 n ? 3 时
0 1 2 n n 0 1 n n 2n ? (1 ?1)n ? Cn ? Cn ? Cn ? K ? Cn ?1 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1 ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ? 1

综上所述,当 n ? 1, 2时 Tn ?

5n 5n ,当 n ? 3 时 Tn ? 2n ? 1 2n ? 1
2

2. (07 山东) (22) (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 . (Ⅰ)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值点; 2
9

(Ⅲ)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln ?

?1 ? 1 1 ? 1? ? 2 ? 3 都成立. ?n ? n n

解: (Ⅰ)由题意知, f ( x ) 的定义域为 (?1 ? ?) , f ?( x) ? 2 x ? ,

b 2 x3 ? 2 x ? b ? x ?1 x ?1

设 g ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? b ,其图象的对称轴为 x ? ? 当b ?

1 1 ? 1? ? (?1, ?) ,? g ( x)max ? g ? ? ? ? ? ? b . ? 2 2 ? 2?

1 1 时, g ( x) max ? ? ? b ? 0 ,即 g ( x) ? 2 x2 ? 3x ? b ? 0 在 (?1 ? ?) 上恒成立, , 2 2 1 ? ? ? 当 x ? (?1, ?) 时, f ?( x) ? 0 , ? 当 b ? 时,函数 f ( x) 在定义域 (?1, ?) 上单调递增. 2 1 (Ⅱ)①由(Ⅰ)得,当 b ? 时,函数 f ( x ) 无极值点. 2

1? ? 2? x ? ? 1 1 2? ? ? 0 有两个相同的解 x ? ? , ② b ? 时, f ?( x) ? 2 2 x ?1
1? ? 1 ? ? ? x ? ? ?1, ? 时, f ?( x) ? 0 ; x ? ? ? , ? ? 时, f ?( x) ? 0 , ? ? 2? ? 2 ? ?
?b ? 1 时,函数 f ( x ) 在 (?1 ? ?) 上无极值点. , 2 1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时, f ?( x) ? 0 有两个不同解, x1 ? , x2 ? , 2 2 2

3

③当 b ?

? b ? 0 时, x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? ?1 , x2 ? ? 0, 2 2

即 x1 ? (?1 ? ?) , x2 ?? ?1 ? ?? .? b ? 0 时, f ?( x ) , f ( x ) 随 x 的变化情况如下表: , ,

x
f ?( x )
f ( x)

(?1,x1 )

x1
0
极小值

( x2, ?) ?

?
?

?
?

由此表可知: b ? 0 时, f ( x ) 有惟一极小值点 x1 ?

?1 ? 1 ? 2b , 2

当0 ? b ?

1 ?1 ? 1 ? 2b 时, x1 ? ? ?1 ,? x1,x2 ? (?1 ? ?) , 2 2

此时, f ?( x ) , f ( x ) 随 x 的变化情况如下表:
10

x
f ?( x )
f ( x)

(?1,x1 )

x1
0
极大值

( x1,x2 )

x1
0
极小值

( x1, ?) ?

?
?

?
?

?
?

由此表可知: 0 ? b ? 综上所述:

1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时, f ( x ) 有一个极大值点 x1 ? 和一个极小值点 x2 ? ; 2 2 2

b ? 0 时, f ( x) 有惟一最小值点 x ?

1 ?1 ? 1 ? 2b ; b ≥ 时, f ( x ) 无极值点; 2 2

0?b?

1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时, f ( x ) 有一个极大值点 x ? 和一个极小值点 x ? . 2 2 x

(Ⅲ)当 b ? ?1 时,函数 f ( x) ? x2 ? ln( x ? 1) , 令函数 h( x) ? x2 ? f ( x) ? x2 ? x2 ? ln( x ? 1) , 则 h?( x) ? 3x ? 2 x ?
2

1 3x 2 ? ( x ? 1) 2 ? . x ?1 x ?1

? ? ? 当 x??0, ?? 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 h( x) 在 ?0, ?? 上单调递增,
又 h(0) ? 0 .

? x ? (0, ?) 时,恒有 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 x2 ? x3 ? ln( x ? 1) 恒成立. ?
故当 x ? (0, ?) 时,有 ln( x ? 1) ? x ? x . ?
2 3

对任意正整数 n 取 x ? 所以结论成立.

1 ?1 ? 1 1 ? (0, ? ) ,则有 ln ? ? 1? ? 2 ? 3 . ? n ?n ? n n

I 设函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? b ln x ,其中 b 为常数
2

(1)当 b ? 0 时,求 f(x)的极值点; (2)求证:对任意不小于 3 的正整数 n,不等式

1 1 ? ln( n ? 1) ? ln n ? 都成立. 2 n n

11


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