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(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 第42课 等差数列 文


第 42 课

等差数列

1. (2012 肇庆二模)若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”,则在 1~100 这 100 个数中,能称为“和平数”的所有数的和是( ) A.130 B.325 C.676 D.1300 【答案】C 【解析】设两个连续偶数为 2k ? 2 和 2k , 则 2k ? 2) ? (2k ) ? 4(2k ? 1) , (
2 2

∴和平数的特征是 4 的倍数,但不是 8 的倍数, ∴在 1~100 之间,能称为和平数的有 4 ?1, 4 ? 3, 4 ? 5, 4 ? 7 ,?, 4 ? 25 ,

1 ? 25 ? 13 ? 676 . 2 2 2 2 2. (2011 东城二模)已知正项数列 ?a n ?中,a1 ? 1 ,a 2 ? 2 ,2an ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2) ,则 a6 等于 (
即 1~25 之间的奇数个数,共计 13 个,其和为 4 ? A.16 【答案】D 【解析】∵ 2an ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2) ,令 bn ? an ,
2 2 2 2



B.8

C. 2 2

D.4

∴ 2bn ? bn ?1 ? bn ?1 ,∴数列 ?bn ? 为等差数列, ∵ b1 ? a1 ? 1 , d ? b2 ? b1 ? a2 ? a1 ? 3 ,
2 2 2

∴ bn ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 2 . ∴ an ? bn ? 3n ? 2 ,∴ a6 ? 3 ? 6 ? 2 ? 4 .

} 3. (2012 东莞一模)设 {lg an } 成等差数列,公差 d ? lg 3 ,且 {lg an 的前三项和为 6 lg 3 ,则 {an } 的通项
为___________. 【答案】 an ? 3
n

【解析】∵ {lg an } 的前三项和为 6 lg 3 , ∴ lg a1 ? lg a2 ? lg a3 ? 6lg 3 , lg a2 ? 2lg 3 , ∴ lg an ? lg a2 ? (n ? 2)d ? 2lg 3 ? (n ? 2) lg 3 , ∴ lg an ? n lg 3 ? lg 3 ,∴ an ? 3 .
n n

4. (2012 苏州质检)已知命题: “在等差数列 {an } 中,若 4a2 ? a10 ? a(?) ? 24 ,则 S11 为定值”为真命题, 由于印刷问题,括号处的数模糊不清,可推得括号内的数为_____. 【答案】 18 【解析】∵ S11 ?

(a1 ? a11 ) ?11 ? 11a6 , 2

1

S11 为定值为真命题,则 a6 为定值.
设括号内的数为 n ,则 4a2 ? a10 ? an ? 24 , ∴ 4(a6 ? 4d ) ? (a6 ? 4d ) ? [a6 ? (n ? 6)d ] ? 24 , ∴ 6a6 ? (n ? 18)d ? 24 , ∵ a6 为定值,且 d ? 0 ,∴ n ? 18 . 5.(2011 昌平二模)已知数列 {an } 满足 a1 ? (1)求证:数列 ?

a 4an ? 2 2 * ,且对任意 n ?N ,都有 n ? . an ?1 an ?1 ? 2 5

?1? ? 为等差数列; ? an ?
*

(2)试问数列 {an } 中 ak ? ak ?1 (k ? N ) 是否仍是 {an } 中的项?如果是,请指出是数列的第几项;如果 不是,请说明理由. 【解析】 (1) an an ?1 ? 2an ? 4an an ?1 ? 2an ?1 , 即 2an ? 2an ?1 ? 3an an ?1 , ∴

1 1 3 ? ? , an ?1 an 2

∴数列 ?

?1? 5 3 ? 是以 为首项,公差为 的等差数列. 2 2 ? an ? ?1? 1 3n ? 2 , ? 的通项公式为 ? an 2 ? an ?

(2)由(1)可得数列 ? ∴ an ?

2 . 3n ? 2
2 2 4 ? ? 2 3k ? 2 3(k ? 1) ? 2 9k ? 21k ? 10

∴ ak ? ak ?1 ?

?

2 2 ? . 2 9k ? 21k ? 6 3k ? 7 k ? 2 ? 2 3? ?2 2 2
2



3k 2 ? 7k ? 2 k (k ? 1) ? k 2 ? 3k ? 1 ? , 2 2
当 k ? N? 时,

k ? k ? 1? 2

一定是正整数,

3k 2 ? 7k ? 2 ∴ 是正整数. 2
∴ ak ? ak ?1 是数列 {an } 中的项,是第

3k 2 ? 7k ? 2 项. 2

2

* 6.已知数列 {a n } 中, a1 ? 5 且 an ? 2an ?1 ? 2 ? 1 ( n ? 2 且 n ?N ) .
n

(1)求 a 2 , a3 的值; (2)是否存在实数 ? ,使得数列 ?

? an ? ? ? ? 为等差数列,若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由. n ? 2 ?
2 3

【解析】 (1)∵ a1 ? 5 ,∴ a2 ? 2a1 ? 2 ? 1 ? 13 , a3 ? 2a2 ? 2 ? 1 ? 33 . (2)方法 1:假设存在实数 ? ,使得数列 ? 设 bn ?

? an ? ? ? ? 为等差数列, n ? 2 ?

an ? ? ,由 {bn } 为等差数列,则有 2b2 ? b1 ? b3 . 2n a ? ? a ? ? a3 ? ? ∴ 2? 2 2 ? 1 , ? 2 2 23 13 ? ? 5 ? ? 33 ? ? ∴ ,解得, ? ? ?1 . ? ? 2 2 8 a 1 ?1 a ?1 1 事实上, bn ?1 ? bn ? n ?n ?1 ? n n ? n ?1 ?? an ?1 ? 2an ? ? 1? ? 2 2 2 ? 1 ? n ?1 ?? 2n ?1 ? 1? ? 1? ? 1 . ? 2 ?
综上可知,存在实数 ? ? ?1 ,使得数列 ?

? an ? ? ? ? 为首项是 2 、公差是 1 的等差数列. n ? 2 ?

方法 2:假设存在实数 ? ,使得 ? 设 bn ?

? an ? ? ? ? 为等差数列, n ? 2 ?

an ? ? * ,由 {bn } 为等差数列,则有 2bn ?1 ? bn ? bn ? 2 ( n ?N ) . n 2 a ?? a ?? a ?? ∴ 2 ? n ?1n ?1 ? n n ? n ? 2 ? 2 . 2 2 2n
∴ ? ? 4an ?1 ? 4an ? an ? 2

? 2 ? an ?1 ? 2an ? ? ? an ? 2 ? 2an ?1 ?
? 2 ? 2n ?1 ? 1? ? ? 2n ? 2 ? 1? ? ?1 .
综上可知,存在实数 ? ? ?1 ,使得数列 ?

? an ? ? ? ? 为首项是 2 、公差是 1 的等差数列. n ? 2 ?

3


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