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湖南省娄底市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


湖南省娄底市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.将正确答案的序号填在下表对应的题号下面. ) 1. (4 分)直线 x﹣y+3=0 的倾斜角是() A.30° B.45° C.60° D.135° 2. (4 分)下列函数中,是奇函数,又在定义域内为减函数的是() A.y=( )
x

B.y=

C.y=﹣2x

3

D.y=log2(﹣x)

3. (4 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别为 AA1、AB、BB1、B1C1 的中点, 则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于()

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

4. (4 分)某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来 越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系,可选用() A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 5. (4 分)若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的体积为()

A.8

B.

C .8

D.4

6. (4 分)经过点(﹣1,0) ,且与直线 x+2y﹣3=0 垂直的直线方程是() A.2x﹣y+2=0 B.2x+y+2=0 C.2x﹣y﹣2=0 7. (4 分)函数 f(x)=lnx﹣ 的零点所在的区 间是() A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4)

D.x﹣2y+1=0

D.(e,+∞)

8. (4 分)已知 a= A.c<b<a

,b=2 ,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为() B.b<c<a C.b<a<c
2 2

0.8

D.c<a<b

9. (4 分)若点 P(a,b)在圆 C:x +y =1 的外部,则直线 ax+by+ 1=0 与圆 C 的位置关系是() A.相切 B.相离 C.相交 D.以上均有可能

10. (4 分)函数 y=

的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. (4 分)求值:lg5+lg2=. 12. (4 分)在空间直角坐标系中,点 A(1,﹣2,3)关于平面 xoz 的对称点为 B,关于 x 轴的对称点为 C, 则 B、C 间的距离为. 13. (4 分)点 P(x,y)在直线 x+y﹣4=0 上,则 x +y 的最小值是. 14. (4 分)已知 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=loga(x﹣1)﹣2 必过定点. 15. (4 分)函数 f(x)的定义域为 D,若存在闭区间?D,使得函数 f(x)满足:①f(x)在内是单调函 数;②f(x)在上的值域为,则称区间为 y=f(x)的“倍值区间”.下列函数中存 在“倍值区间”的有. 2 x ①f(x)=x (x≥0) ;②f(x)=3 (x∈R) ; ③f(x)= (x≥0) ;④f(x)=|x|(x∈R) .
2 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分) 16. (6 分)设全集 U={x|0<x<9,且 x∈Z},集合 S={1,3,5},T={3,6},求: (1)S∩T (2)?U(S∪T) .

17. (8 分)已知函数 f(x)=

(1)在下表中画出该函数的图象; (2)直接写出函数 y=f(x)的值域、单调增区间及零点.

解: (1)

(2)y=f(x)的值域是 y=f(x)的单调增区间是 y=f(x)的零点是. 18. (8 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上 (1)求证:AC⊥平面 PDB (2)当 PD= AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

19. (8 分)已知函数 f(x)=loga(3﹣ax) . (1)当 x∈时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间上为减函数,并且最大值为 1?如果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. 20. (10 分)已知圆 C 的方程为:x +y =4. (1)求过点 P(1,2)且与圆 C 相切的直线 l 的方程; (2)直线 l 过点 P(1,2) ,且与圆 C 交于 A、B 两点,若|AB|=2
2 2

,求直线 l 的方程.

湖南省娄底市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.将正确答案的序号填在下表对应的题号下面. )

1. (4 分)直线 x﹣y+3=0 的倾斜角是() A.30° B.45°

C.60°

D.135°

考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 利用直线的倾斜角与斜率的计算公式即可得出. 解答: 解:设直线 x﹣y+3=0 的倾斜角的为 θ,θ∈ ∴θ=45°. 故选:B. 点评: 本题考查了直线的倾斜角与斜率的计算公式,属于基础题. 2. (4 分)下列函数中,是奇函数,又在定义域内为减函数的是() A.y=( )
x

B.y=

C.y=﹣2x

3

D.y=log2(﹣x)

考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 运用定义和常见函数的奇偶性和单调性,即可判断是奇函数,又在定义域内为减函数的函数. 解答: 解:对于 A.为指数函数,没有奇偶性,则 A 错; 对于 B.f(﹣x)=﹣f(x) ,则为奇函数,在 x<0,x>0 上均为减函数,则 B 错; 2 对于 C.f(﹣x)=﹣f(x) ,则为奇函数,且 y′=﹣6x ≤0,即有减函数,则 C 对; 对于 D.定义域为(﹣∞,0) ,不关于原点对称,则不为奇函数,则 D 错. 故选 C. 点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断,注意运用定义和常见函数的奇偶性和单调性,属于基础 题和易错题. 3. (4 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别为 AA1、AB、BB 1、B1C1 的中点, 则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于()

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题. 分析: 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 B,得到的锐角∠A1BC1 就是异面直线所成的角, 在三角形 A1BC1 中求出此角即可. 解答: 解:如图,连 A1B、BC1、A1C1,则 A1B=BC1=A1C1, 且 EF∥A1B、GH∥BC1, 所以异面直线 EF 与 GH 所成的角等于 60°, 故选 B.

点评: 本题主要考查了异面直线及其所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基 础题. 4. (4 分)某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来 越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系,可选用() A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 考点: 对数函数、指数函数与幂函数的增长差异. 专题: 应用题. 分析: 由题意可知, 利润 y 与时间 x 的关系是个增函数, 而且增长速度越来越慢, 符合对数函数的特征. 解答: 解:由题意可知,函数模型对应的函数是个增函数,而且增长速度越来越慢,故应采用对数型函 数来建立函数模型, 故选 D. 点评: 本题考查指数函数、幂函数、对数函数的增长差异,增长最快的是指数函数,增长最慢的是对数 函数. 5. (4 分)若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的体积为()

A.8

B.

C. 8

D.4

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知:该正三棱柱的高为 2,底面正三角形的一边上的高为 2 ,可得边长为 4.即可 得出底面正三角形的面积与这个 正三棱柱的体积. 解答: 解:由三视图可知:该正三棱柱的高为 2,底面正三角形的一边上的高为 2 ,可得边长为 4. ∴底面正三角形的面积= =4 .

∴这个正三棱柱的体积 V= =8 . 故选:C. 点评: 本题考查了正三棱柱的三视图及其体积计算公式、正三角形的边角关系及其面积,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题.

6. (4 分)经过点(﹣1,0) ,且与直线 x+2y﹣3=0 垂直的直线方程是() A. 2x﹣y+2=0 B.2x+y+2=0 C. 2x﹣y﹣2=0 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由垂直关系可得直线的斜率,进而可得点斜式方程,化为一般式即可. 解答: 解:∵直线 x+2y﹣3=0 的斜率为 ,

D. x﹣2y+1=0

∴与之垂直的直线斜率为 2, ∴所求直线方程为 y﹣0=2(x+1) , 化为一般式可得 2x﹣y+2=0 故选:A 点评: 本题考查直线的一般式方程和垂直关系,属基础题.

7. (4 分)函数 f(x)=lnx﹣ 的零点所在的区间是() A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(e,+∞)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数零点的判断条件,即可得到结论. 解答: 解:∵f(x)=lnx﹣ ,则函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∵f(2)=ln2﹣1<0,f(3)=ln3﹣ >0, ∴f(2)f(3)<0 , 在区间(2,3)内函数 f(x)存在零点, 故选:B 点评: 本题主要考查方程根的存在性,利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键. 8. (4 分)已知 a= A.c<b<a ,b=2 ,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为() B.b<c<a C.b<a<c D.c<a< b
0.8

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 0.8 0.5 解答: 解:∵a= >1,b=2 >2 = ,c=2log52=log54<1, ∴b>a>c. 故选:D. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. 9. (4 分)若点 P(a,b)在圆 C:x +y =1 的外部,则直线 ax+by+1=0 与圆 C 的位置关系是() A.相切 B.相离 C.相交 D.以上均有可能 考点: 点与圆的位置关系.
2 2

专题: 直线与圆. 分析: 根据点 P 在圆 C 的外部,得出点 P 到圆心的距离 d1>r,计算圆心到直线 ax+by+1=0 的距离,判 断出直线与圆 C 的位置关系. 2 2 解答: 解:∵点 P(a,b)在圆 C:x +y =1 的外部, ∴点 P 到圆心的距离 d1>r, 2 2 即 a +b >1; 又圆心到直线 ax+by+1=0 的距离为 d2= <1=r,

∴直线与圆 C 相交. 故选:C. 点评: 本题考查了点与圆以及直线与圆的位置关系的应用问题,是基础题目.

10. (4 分)函数 y=

的图象大致是()

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的图象. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 法一:作函数 y= 的图象,从而判断;

法二:利用排除法,利用选项中易于判断的不同点求解. 解答: 解: (法一) :作函数 y= 的图象如下,

故选 A; (法二) :利用排除法, ∵2 ﹣1≠0,∴x≠0; 故排除 C; 2 x 当 x<0 时,x >0,2 ﹣1<0; 故 y<0; 故排除 B; 再由当 x→+∞时, → 0;
x

故排除 D; 故选 A. 点评: 本题考查了函数图象的作法与应用,属于中档题. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. (4 分)求值:lg5+lg2=1. 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算性质即可得出. 解答: 解:lg2+lg5=lg10=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查了对数的运算性质,属于基础题. 12. (4 分)在空间直角坐标系中,点 A(1,﹣2,3)关于平面 xoz 的对称点为 B,关于 x 轴的对称点为 C, 则 B、C 间的距离为 6. 考点: 空间两点间的距离公式. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 求出点 A(1,﹣2,3)关于平面 xoz 的对称点为 B,关于 x 轴的对称点为 C,直接利用空间零点 距离公式求出距离即可. 解答: 解:在空间直角坐标系中,点 A(1,﹣2,3)关于平面 xoz 的对称点为 B (1,2,3) , 点 A(1,﹣2,3)关于 x 轴的对称点为 C(1,2,﹣3) ,

则 B、C 间的距离为:

=6.

故答案为:6 点评: 本题考查空间点的对称坐标的求法,两点的距离公式的应用,考查计算能力. 13. (4 分)点 P(x,y)在直线 x+y﹣4=0 上,则 x +y 的最小值是 8. 考点: 直线与圆的位置关系;两点间距离公式的应用. 2 2 分析: x +y 的最小值,就是直线到原点距离的平方的最小值,求出原点到直线的距离的平方即可. 解答: 解:原点到直线 x+y﹣4=0 的距离
2 2 2 2



点 P(x,y)在直线 x+y﹣4=0 上,则 x +y 的最小值, 就是求原点到直线的距离的平方,为: 故答案为:8 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,考查等价转化的数学思想,是基础题. 14. (4 分)已知 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=loga(x﹣1)﹣2 必过定点(2,﹣2) . 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 x﹣1=1,可得 x=2,并求得 y=﹣2,故函数的图象经过的定点的坐标. 解答: 解:令 x﹣1=1,可得 x=2,并求得 y=﹣2,故函数的图象过点(2,﹣2) , 故答案为(2,﹣2) . 点评: 本题主要考查对数函数的图象过定点问题,属于基础题. 15. (4 分)函数 f(x)的定义域为 D,若存在闭区间?D,使 得函数 f(x)满足:①f(x)在内是单调函 数;②f(x)在上的值域为,则称区间为 y=f(x)的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有①③. 2 x ①f(x)=x (x≥0) ;②f(x)=3 (x∈R) ; ③f(x)= (x≥0) ;④f(x)=|x|(x∈R) .

考点: 函数的图象. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,根据倍值区间的定义,验证四个函数是否存在倍值区间即可,先令 f(x)=2x,至少有 两个不同的解,且在解构成的区间上单调即可. 2 解答: 解:①f(x)=x (x≥0)的倍值区间为,故正确; ②如图,

方程 3 =2x 没有解, x 故 f(x)=3 (x∈R)没有倍值区间; ③f(x)= (x≥0)的倍值区间为,故正确;

x

④方程|x|=2x 仅有一个解 0; 故 f(x)=|x|(x∈R)没有倍值区间; 故答案为:①③. 点评: 本题考查了学生对新定义的接受能力及应用能力,属于中档题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分) 16. (6 分)设全集 U={x|0<x<9,且 x∈Z},集合 S={1,3,5},T={3,6},求: (1)S∩T (2)?U(S∪T) . 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:U={1,2,3,4,5,6,7,8}, (1)∵S={1,3,5},T={3,6}, ∴S∩T={3}. (2)∵S={1,3,5},T={3,6}, ∴S∪T={1,3,5,6 }, 则?U(S∪T)={2,4,7,8}. 点评: 本题主要考查集合的基本运算,要求熟练掌握集合的交并补运算,比较基础.

17. (8 分)已知函数 f(x)=

(1)在下表中画出该函数的图象; (2)直接写出函数 y=f(x)的值域、单调增区间及零点. 解: (1)

(2)y=f(x)的值域是 R y=f(x)的单调增区间是 y=f(x)的零点是﹣1,1. 考点: 函数的图象. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: (1)由分段函数作出其图象, (2)由图象直接写出其值域,单调区间及零点. 解答: 解: (1)作函数的图象如下,

(1)y=f(x)的值域为 R, 单调增区间为; 零点为﹣1,1. 故答案为:R; ;﹣1,1. 点评: 本题考查了分段函数的图象的作法及应用,属于基础题. 18. (8 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上 (1)求证:AC⊥平面 PDB (2)当 PD= AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)根据题意证明 AC⊥BD,PD⊥AC,可得 AC⊥平面 PDB; (2) 设 AC∩BD=O, 连接 OE, 根据线面所成角的定义可知∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角, 在 Rt△ AOE 中求出此 角即可. 解答: (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD, ∵PD⊥底面 ABCD, ∴PD⊥AC, 又 BD∩PD=D∴AC⊥平面 PDB, (3 分) (2)解:设 AC∩BD=O,连接 OE,由(1)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角, (5 分) 又 O,E 分别为 DB、PB 的中点, ∴OE∥PD,OE= PD, 在 Rt△ AOE 中,OE= PD= AB=AO,

∴∠AEO=45°, (7 分) 即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45°. (8 分)

点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及直线与平面所成的角,考查空间想象能力、运算能 力和推理论证能力,属于中档题. 19. (8 分)已知函数 f(x)=loga(3﹣ax) . (1)当 x∈时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间上为减函数,并且最大值为 1?如果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. 考点: 对数函数的定义;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: (1)根据题意:“当 x∈时,函数 f(x)恒有意义”,即要考虑到当 x∈时 3﹣ax 必须是正数,另外, 题中隐含条件:a>0 且 a≠1 也必须注意到;

(2)假设存在这样的实数,再根据 f(x)是减函数,X=1 取得最大值,求出 a 的值,进而得出当 x=2 时, f(x)没有意义,即可得出结论. 解答: 解: (1)由题设,3﹣ax>0 对一切 x∈恒成立,a>0 且 a≠1,…(2 分) ∵a>0,∴g(x)=3﹣ax 在上为减函数,…(4 分) 从而 g(2)=3﹣2a>0, ∴ , .…(6 分)

∴a 的取值范围为

(2)假设存在这样的实数 a,由题设知 f(1)=1, 即 loga(3﹣a)=1,∴ 此时 , ,…(10 分)

当 x=2 时,f(x)没有意义,故这样的实数不存在.…(12 分) 点评: 本小题主要考查对数函数的定义域、单调性的应用、函数单调性的性质、不等式的解法等基础知 识,考查运算求解能力.对于是否存在问题,一般假设存在,推出结论,属于基础题. 20. (10 分)已知圆 C 的方程为:x +y =4. (1)求过点 P(1,2)且与圆 C 相切的直线 l 的方程; (2)直线 l 过点 P(1,2) ,且与圆 C 交于 A、B 两点,若|AB|=2
2 2

,求直线 l 的方程.

考点: 圆的切线方程;直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)设出切线方程,利用点到直线的距离等于半径,求出 k,即可求出过点 P(1,2)且与圆 C 相切的直线 l 的方程; (2)通过弦长|AB|=2 ,半径与弦心距满足勾股定理, 求出直线的斜率,然后求直线 l 的方程. 解答: 解(1)显然直线 l 的斜率存在,设切线方程为 y﹣2=k(x﹣1) ,…(1 分) 则 =2 …(2 分)

解得,k1=0,k2=﹣ ,…(3 分) 故所求的切线方程为 y=2 或 4x+3y﹣10=0.…(5 分) (2)当直线 l 垂直于 x 轴时,此时直线方程为 x=1, l 与圆的两个交点坐标为(1, )和(1,﹣ ) , 这两点的距离为 2 ,满足题意;…(7 分) 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设其方程为 y﹣2=k(x﹣1) ,…(8 分) 即 kx﹣y﹣k+2=0, 设圆心到此直线的距离为 d,则 2 =2 ,∴d=1,…(9 分)

∴1=

,∴k= ,…(10 分)

此时直线方程为 3x﹣4y+5=0,…(11 分) 综上所述,所求直线方程为 3x﹣4y+5=0 或 x=1.…(12 分)

点评: 本题考查直线与圆的位置关系,圆的切线方程的求法,考查计算能力,注意直线的斜率不存在的 情况.


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