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高一数学(人教A版)必修1课件:2-1-1-2 分数指数幂


第二章
基本初等函数(Ⅰ)

第二章
2.1 指 数 函 数

第二章
2.1.1 指数与指数幂的运算

第二章
第 2 课时 分数指数幂

课前自主预习

温故知新 1.根式及相关概念 (1)a 的 n 次方根定义 如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1,且 n ∈N*.

(2)a 的 n 次方根的表示 n ①当 n 是奇数时,a 的 n 次方根表示为 a,a∈R. n ②当 n 是偶数时, a 的 n 次方根表示为± a, a∈ [0,+∞). (3)根式 式子 a叫做根式, 这里 n 叫做 根指数 , a 叫做 被开方数 . n

2.根式的性质 (1) 0= 0 (n∈N*,且 n>1); (2)( a)n= a (n∈N*,且 n>1); (3) an= a (n 为大于 1 的奇数); (4) a = |a| n
n

n

n

n

? ? a =? ? ?-a

?a≥0? (n 为大于 1 的偶数). ?a<0?

3.正整数幂的运算法则(m,n∈N*,a>0,b>0).
m+n am· an= a



am m-n ; n= a a (am)n= amn ;
m m (ab)m= a b ;

4.计算 (1) ?-5?2= 5 ; (2)( ?-5?2)2= 25 ; (3)( a-2) + ?2-a? + ?2-a?3= a-2 .
2 2

3

新课引入 我们知道考古学家是通过对生物化石的研究判断生物的 发展和进化的,又怎样判断它们所处的年代呢? 当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰 减,大约每经过 5 730 年衰减为原来的一半,这个时间称为 “半衰期”.根据此规律,考古学家获得了生物体内碳 14 含 1 t 量 P 与死亡年数 t 之间的关系 P=( ) ,这样就能推断它 2 5 730 们所处的年代.在科学领域中,常常需要研究这一类问题.

自主预习 t 上例中5730不一定为整数,不为整数它还有意义吗?下 面我们来探究新知识——分数指数幂

一、阅读教材P50~52回答: 1.由 a =a =a 5
10 2
10 5

, a =a =a

3

12

4

12 3

思考:

(1)结果的指数与被开方数的指数、根指数有什么关系? 由此可得:当根式的被开方数的指数被根指数整除时,
被开方数的指数 根指数

根式可以写成 a

的形式.

(2)当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式 是否也可以写成分数指数幂的形式?
答案: 可以

2.我们规定: (1)正数的正分数指数幂的意义,即:a a>0,m,n∈N*,且n>1)
m - (2)正数的负分数指数幂的意义,即:a n m n



n

am .(其中

1



n

am

.

(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂 无意义 .(其 中a>0,m,n∈N*,且n>1)

(4)规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从 整数 推广到 分数 . (5)整数指数幂的运算性质,对于有理数指数幂也同样适
mn 用的有①am· an=am+n(a>0,m、n∈Q);②(am)n= a m m b (a>0,b>0,m∈Q). 0,m、n∈Q);③(ab)m= a ·

(a>

(6)依据上述定义可计算下列问题: 1 3 1 - ①16 4 = 8 ②49 2 = 7 125 ?1?- ? 81 ?- 3 ③?3? 2= 9 ④?625? 4 = 27 .
? ? ? ?

3.分数指数幂与根式可以互化,若a>0,则 a a 用分 1 1 1 3 2 3 3 - ( a · a ) 2 a 数指数幂表示为 ,a 用根式表示为 .

3

二、阅读教材 P52~53 回答: 1. 5 就是介于一串有理指数幂 51.4,51.41,51.414,51.414 2?和另
2

一串有理指数幂 51.5,51.42,51.415,51.414 3?之间的一个确定的实数, 因此,一般地,当 a>0,α 是一个无理数时,aα 是一个确定的 正实数.并且有理指数幂的运算性质,同样也适用于无理指 数幂,即 a>0,b>0,α、β 是无理数时,
αβ aαaβ= aα+β (aα)β= a

(ab)α= aαbα .

2.α 为无理数时,1α= 1 ,α0= 1 .

思路方法技巧

1
[例 1] 3 3

根式与分数指数幂的互化

用分数指数幂表示下列各式(a>0,b>0): (2) a a a; (4)( a)2· ab3. 3

4 (1) a· a; (3) a · a ; [分析]
2 3

解决本题的关键是理解分数指数寓的意义,先

将根式化为分数指数幂的形式,再运用分数指数幂的运算性 质进行化简.

[解析]

规律总结:在将根式化分数指数幂的形式时,关键是 分清指数中分子、分母的位置.

[解析]

(1)a = a2.

2 3

3

2

根式运算

学法指导:既含有分数指数幂,又有根式,应该把根 式统一化成分数指数幂的形式,便于运算,如果根式中根指 数不同,也应化为分数指数幂的形式,但最后结果还应以根 式为最终形式.

[分析]

既含有分数指数幂,又有根式,应该把根式统

一化成分数指数幂的形式,便于运算,如果根式中根指数不 同,也应化为分数指数幂的形式,但最后结果还应以根式为 最终形式.

[解析]

规律总结:根式的运算一般化为分数指数幂的形式, 由分数指数幂运算公式化简求值.

化简下列各式: (1)2 3× 1.5× 12. 3 2 -3 (2)(a · b ) ÷ b-4 a-2;
1 2

3

6

[解析]

建模应用引路

7

分数指数幂的运算

学法指导:一般地,进行指数幂运算时,化负指数为 正指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数进行运算,便 于进行乘除、乘方、开方运算,以达到化繁为简的目的.但 化简的结果,形式上要统一,不能既含根号,又含分数指数 幂.

[分析]

所给算式中,指数有正、有负、有分数、有小数,

需先将负数化为正数、小数化为分数,再利用指数幂的运算性 质求解.

[解析]

2 25 1 1 64 37 5 - 2 3 (1)原式=( 9 ) +0.12+(27) -3+48=3+100+

9 37 16-3+48=100.

[解析]

进行分数指数幂的综合运算,要注意先算乘方、

开方,再算乘除,最后进行加减运算.

[规律总结]

进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数

幂的运算性质,并灵活应用.一般地,进行指数幂运算时,化 负指数为正指数、 化根式为分数指数幂、 化小数为分数运算. 同 时还要注意运算顺序问题.

探索延拓创新

4

有条件的求值问题

学法指导:(1)条件求值是代数式求值中的常见题型, 一般要结合已知条件先化简再求值,另外要特别注意条件的 应用,如条件中的隐含条件,整体代入等,可以简化解题过 程.本题若通过 a +a =3 解出 a 的值代入求值,则非常复 杂.
1 2 1 - 2

[分析]

解答本题可从整体上寻求各式与条件 a +a

1 2



1 2



联系,进而整体代入求值.
[解析] (1)将 a +a
1 2 - 1 2

=3 两边平方,

得 a+a-1+2=9,即 a+a-1=7. (2)将 a+a-1=7 两边平方,有 a2+a-2+2=49, ∴a2+a-2=47.

已知 x+y=12,xy=9,且 x<y,求

的值.

[解析]

① 又∵x+y=12,xy=9,② ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108. ∵x<y,∴x-y=-6 3③,

名师辩误做答

1.利用有理数指数幂的运算性质进行运算时,忽略了底 数需大于 0 [例 5] 计算:[(- 2) ]
-2 - 1 2 -2 - 1 2

.
1 (-2)×(- ) 2

[错解] [(- 2) ]

=(- 2)

=- 2.

[ 思路分析 ]

在应用有理数指数幂的运算性质进行运算

时,一定要注意底数必须大于 0 的数.

[正解] [(- 2) ]

-2

1 - 2

1 -1 =(2) 2 = 2.

2.利用有理数指数幂的运算性质进行运算时,忽略了底 数需相同 [例 6] 6 化简: a· -a. 3

[错因分析]

该解法中在利用有理数指数幂的运算性质进

行运算时,忽视了底数必须相同的条件. [思路分析] 很显然 -a有意义,则-a≥0,即 a≤0,所 6

以在进行偶次方根的化简时,要特别注意被开方数的符号.

[正解]

基础巩固训练

[答案]

A

2. (2012~2013 河北广平县月考试题) 形式为( )

1 a

1 分数指数幂 a

[答案]

A

[解析]

1 a

1 = a

3.下列各式中正确的是(

)

[答案]

D

4 . (2011 ~ 2012 淄博一中月考试题 ) 用分数指数幂表示 a a a的结果为( 3 )

[答案]

B

[解析]

解法 1:原式=

,故选 B.

5.设 b≠0,化简式子 (a b ) · (a b ) · (ab ) 的结果是 ( ) A.a C.ab
[答案]
-1

3

-3

1 2

-2

2

1 3

5

1 6

B.(ab)-1 D.a
-1

A

[解析]

6.化简 3 A. a 13 2 2 C.a 9a b

3b 3 a2 a · 3b(a>0,b>0)等于( 6 B. 3ab D. b 6

)

[答案]

B

[解析]

3b 3 a2 6 27b3 a4 6 · 3b= ×9b2= 3ab,故选 B. a a3

7.设 10m=2,10n=3,则 10

-2 m

-10 n=________.


[答案]

1 - 12

[解析]
-n

由 10 =2 得,10

m

-2 m

1 1 = m 2= , ?10 ? 4

1 1 1 1 1 -2 m -n 10 =10n=3.∴10 -10 =4-3=-12.

8.化简求值:

[解析]

=a-b.


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